19.3 课题学习 选择方案（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第19章 一次函数 19.3 课题学习 选择方案 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 　1．会用一次函数知识解决方案选择问题，体会函数模型思想；（重点、难点） 　2．能从不同的角度思考问题，优化解决问题的方法； 　3．能进行解决问题过程的反思，总结解决问题的方法． 用一次函数解决实际问题的策略： 一要利用好图(表)中的信息； 二要采用待定系数法求出函数解析式； 三要注意分段函数的应用； 四要注意自变量在不同阶段的取值范围. 情景导入 做一件事情，有时有不同的实施方案，比较这些方案，从中选择最佳方案作为行动计划，是非常必要的。在选择方案时，往往需要从数学角度进行分析，涉及变量的问题常用到函数。 新知探究 活动一 怎样选取上网收费方式？ 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 下表给出A，B，C三种上宽带网的收费方式. 1.哪种方式上网费是会变化的？哪种不变？A、B会变化，C不变 2.在A、B两种方式中，上网费由哪些部分组成？上网费=月使用费+超时费 3.影响超时费的变量是什么？上网时间 4.这三种方式中有一定最优惠的方式吗？ 没有一定最优惠的方式，与上网的时间有关 6 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 5.设月上网时间为x小时，则方式A、B的上网费y1、y2都是x的函数，要比较它们，需在 x > 0 的条件下，考虑何时（1） y1 = y2； （2） y1 < y2；（3） y1 > y2. 6.在方式A中，超时费一定会产生吗？什么情况下才会有超时费？ 不一定，只有在上网时间超过25小时时才会产生． 合起来可写为： 当0≤x≤25时，y1=30； 当x＞25时，y1=30+0.05×60（x-25）=3x-45. 收费方式 月使用费/元 包时上网时间/时 超时费/(元/分) A 30 25 0.05 B 50 50 0.05 C 120 不限时 7.你能自己写出方式B的上网费y2关于上网时间 x之间的函数关系式吗? 方式C的上网费y3关于上网时间x之间的函数关系式呢? 当x≥0时，y3=120. 当上网时间__________时，选择方式A最省钱. 当上网时间__________时，选择方式B最省钱. 当上网时间_________时，选择方式C最省钱. 在同一坐标系画出它们的图象： 活动2 怎样租车？ 某学校计划在总费用2300元的限额内，租用汽车送234名学生和6名教师集体外出活动，每辆汽车上至少有1名教师．现有甲、乙两种大客车，它们的载客量和租金如表所示： 问题1：租车的方案有哪几种？ 共三种： （1）单独租甲种车；（2）单独租乙种车；（3）甲种车和乙种车都租． 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 问题2：如果单独租甲种车需要多少辆？乙种车呢？ 问题3：如果甲、乙都租，你能确定合租车辆的范围吗？ 汽车总数不能小于6辆，不能超过8辆. 单独租甲种车要6辆，单独租乙种车要8辆. 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 问题4：要使6名教师至少在每辆车上有一名，你能确定排除哪种方案？你能确定租车的辆数吗？ 说明了车辆总数不会超过6辆，可以排除方案(2)——单独租乙种车；所以租车的辆数只能为6辆． 问题5：在问题3中，合租甲、乙两种车的时候，又有很多种情况，面对这样的问题，我们怎样处理呢？ 方法1：分类讨论——分3种情况； 方法2：设租甲种车x辆，确定x的范围. 设租用 x 辆甲种客车，则租车费用y(单位：元)是 x 的函数，即 怎样确定 x 的取值范围呢? 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 答:设租车费用为y元. 因为租用甲种客车x辆，所以租用乙种客车(6-x)辆. 根据表格可知，y=400x+280(6-x)，化简得y=120x+1680. 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 根据题意，存在两个不等关系： ①240名师生都有车坐，则45x+30（6-x）≥ 240； ②总费用在2300元的限额内，则y ≤ 2300，即120x＋1680 ≤ 2300. 甲种客车 乙种客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 两种方案： ①4辆甲种客车，2辆乙种客车； ②5辆甲种客车，1辆乙种客车. 因为y是x的一次函数﹐且y随x的增大而增大， 所以当x=4时，y有最小值，最小值为120×4+1680=2160. 解决含有多个变量的问题时，可以分析这些变量之间的关系，从中选取一个取值能影响其他变量的值的变量作为自变量，然后根据问题的条件寻求可以反映实际问题的函数，以此作为解决问题的数学模型. 概念归纳 活动 1 （1）根据下表的数据，在直角坐标系中画出世界人口增长曲线图. 年份 x 1960 1974 1987 1999 2010 人口数 y/亿 30 40 50 60 69 世界人口数统计表 年份 x 1960 1974 1987 1999 2010 人口数 y/亿 30 40 50 60 69 世界人口数统计表 ① 列表 ② 描点 ③ 画线 （2）选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的解析式. 年份 x 1960 1974 1987 1999 2010 人口数 y/亿 30 40 50 60 69 世界人口数统计表 回想一下一次函数解析式的求法以及求解步骤？ 1. 设函数的解析式： 设年份为 x，人口数为 y，则有 y = kx+b 2. 选择两个合适的点； 3. 列出方程组并解答： 1960k + b = 30 2010k + b = 69 k = 0.78 b = -1498.8 解得 4. 将 k 和 b 带入解析式： y = 0.78x-1498.8（答案不唯一） 年份 x 1960 1974 1987 1999 2010 人口数 y/亿 30 40 50 60 69 世界人口数统计表 （2）选择一个近似于人口增长曲线的一次函数，写出它的解析式. 解：将 x = 2020 带入到解析式中 y = 0.78×2020-1498.8 答：估计 2020 年的世界人口数将达到 76.8 亿. 年份 x 1960 1974 1987 1999 2010 人口数 y/亿 30 40 50 60 69 世界人口数统计表 （3）按照这样的增长趋势，估计 2020 年的世界人口数. 活动 2 水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，可进行以下的试验与研究： （1）在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器，每 5 min 记录一次容器中的水量，并填写下表. 时间 t / min 0 5 10 15 20 25 30 水量 w / mL 0 50 99 150 200 251 300 （2）建立直角坐标系，以横轴表示时间 t，纵轴表示水量 w ，描出以上述试验所得数据为坐标的各点，并观察它们的分布规律. 时间 t / min 0 5 10 15 20 25 30 水量 w / mL 0 50 99 150 200 251 300 （3）试写出 w 关于 t 的函数解析式，并由它估算这种漏水状态下一天的漏水量. 时间 t / min 0 5 10 15 20 25 30 水量 w / mL 0 50 99 150 200 251 300 w = 10 t 一天有 24 小时，一小时 60 分钟 24 ×60 = 1440（min） w = 1440 ×10 = 14400（mL） 1. 小亮现已存款 100 元，他计划今后三年每月存款 10 元. 存款总金额 y（单位:元）将随时间x（单位:月）的变化而改变．指出其中的常量与变量，自变量与函数，并写出函数解析式. 解: 函数解析式 y = 10x + 100（0 ≤ x ≤ 36，x为整数），其中常量是 10，100，变量是存款总数 y 与时间 x，自变量是时间 x，函数是存款总数 y. 复习题 2. 判断下列各点是否在直线 y = 2x + 6上. 这条直线 与坐标轴交于何处？ 解: 当 x = -5 时，y = 2×(-5) + 6 = -4. 当 x = -7 时，y = 2×(-7) + 6 = -8 ≠ 20； 当 x = - 时，y = 2×(- ) + 6 = -1 ≠ 1； 当 x = 时，y = 2× + 6 = = . 所以点 在直线 y = 2x + 6 上. 点 不在直线 y = 2x + 6 上. 这条直线与坐标轴交于点（0,6），（-3,0）. 2. 判断下列各点是否在直线 y = 2x + 6上. 这条直线 与坐标轴交于何处？ 3. 填空： （1）直线 经过第_______________象限，y 随 x 的增大而_______； （2）直线 y = 3x - 2 经过第_______________象限，y 随 x 的增大而_______. 一、二、四 减小 一、三、四 增大 4. 根据下列条件分别确定函数 y = kx + b 的解析式: （1）y 与 x 成正比例，当 x = 5 时，y = 6； 解:（1）因为 y 与 x 成正比例，所以 b = 0.又当 x = 5时，y = 6，所以 6 = 5k， 解得 k = . 所以函数解析式为 y = x. （2）直线 y = kx＋b 经过点（3，6）与点 . （2）因为直线 y = kx+b 经过点（ 3，6）与点 ， 所以 解得 所以函数解析式为 y = x . 5. 试根据函数 y = 3x-15 的性质或图象，确定 x 取何值时: （1）y > 0； （2）y < 0. 解:在平面直角坐标系中画出函数 y = 3x -15 的图象: （1）由图象知，当 x > 5 时， 直线在 x 轴的上方，即此时 y > 0，所以当 x > 5 时，y > 0； 5. 试根据函数 y = 3x-15 的性质或图象，确定 x 取何值时: （1）y > 0； （2）y < 0. （2）由图象知， 当 x < 5 时， 直线在 x 轴的下方， 即此时 y < 0， 所以当 x < 5 时，y < 0. 6. 在某火车站托运物品时，不超过 1 kg 的物品需付 2 元，以后每增加 1 kg（不足 l kg 按 1 kg 计）需增加托运费0.5元. 设托运 p kg（p 为整数）物品的费用为 c 元. 试写出 c 的计算公式. 解题策略：对于分段函数，在不同的自变量取值范围内对应着不同的解析式 综合运用 解: 因为当 p= 1 时，c = 2， 当 p > 1 时，c = 2 + (p-1)×0.5 = p + ， 所以 c 的计算公式： p + （p > 1且 p 为整数）. c = 综合运用 6. 在某火车站托运物品时，不超过 1 kg 的物品需付 2 元，以后每增加 1 kg（不足 l kg 按 1 kg 计）需增加托运费0.5元. 设托运 p kg（p 为整数）物品的费用为 c 元. 试写出 c 的计算公式. 7. 某水果批发市场规定，批发苹果不少于 100 kg 时，批发价为 2.5元/kg. 小王携带现金 3 000 元到这市场采购苹果，并以批发价买进．设购买的苹果为 x kg，小王付款后还剩余现金 y 元. 试写出 y 关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x的取值范围. 求自变量的取值范围 1. 批发苹果不少于 100 kg ， 2. y ≥ 0. 解: y 与 x 之间的函数解析式为 y = 3 000 - 2.5x ， 因为剩余现金 y ≥ 0，所以 3 000-2.5x ≥ 0， 所以 x ≤ 1 200， 所以自变量 x 的取值范围是 100 ≤ x ≤ 1 200. 7. 某水果批发市场规定，批发苹果不少于 100 kg 时，批发价为 2.5元/kg. 小王携带现金 3 000 元到这市场采购苹果，并以批发价买进．设购买的苹果为 x kg，小王付款后还剩余现金 y 元. 试写出 y 关于 x 的函数解析式，并指出自变量 x的取值范围. 8. 匀速地向一个容器内注水，最后把容器注满．在注水过程中，水面高度 h 随时间 t 的变化规律如图所示（图中 OABC 为一折线）. 这个容器的形状是下图中哪一个？匀速地向另两个容器注水时，你能画出水面高度 h 随时间 t 变化的图象（草图）吗？ 解:从图象上看，在注水过程中，容器的中间部分的水面高度 h 随时间 t 的变化最缓慢，其次是容器的下面部分，变化最迅速的应该是容器的上面部分，因此可以断定这个容器的形状是图（3）. （1）向图（1）的容器注水时水面高度 h 随时间 t 变化的图象: （2）向图（2）的容器注水时水面高度 h 随时间 t 变化的图象: 9. 已知等腰三角形周长为 20. （1）写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式（x 为自变量）； （2）写出自变量取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象. 解:（1）因为2x + y = 20，所以 y = 20 - 2x. 所以底边长 y 与腰长 x 之间的函数关系式为 y = 20 - 2x. 9. 已知等腰三角形周长为 20. （1）写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式（x 为自变量）； （2）写出自变量取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象. （2）因为三角形任意两边之和要大于第三边， 所以 把 y = 20-2x 代入，得 x + y > x， x + x > y， x + 20-2x > x， x + x > 20-2x， 解得 5 < x < 10，即自变量 x 的取值范围是 5 < x < 10. （3）图象如图所示. 9. 已知等腰三角形周长为 20. （1）写出底边长 y 关于腰长 x 的函数解析式（x 为自变量）； （2）写出自变量取值范围； （3）在直角坐标系中，画出函数图象. 10. 已知点 A（8，0）及在第一象限的动点 P（x，y），且 x＋y = 10. 设△OPA 的面积为 S. （1）求 S 关于 x 的函数解析式； （2）求 x 的取值范围； （3）当 S = 12 时，求 P 点坐标； （4）画出函数 S 的图象. 利用三角形的面积求一次函数的解析式，关键是要找到合适的底和高. 解:（1）因为动点 P(x，y) 在第一象限， 所以 x > 0，y > 0. 因为 x + y = 10，所以 y = 10 - x ， 所以 ， 即 S 关于 x 的函数解析式为 S = -4x + 40； 10. 已知点 A（8，0）及在第一象限的动点 P（x，y），且 x＋y = 10. 设△OPA 的面积为 S. （1）求 S 关于 x 的函数解析式； 10. 已知点 A（8，0）及在第一象限的动点 P（x，y），且 x＋y = 10. 设△OPA 的面积为 S. （2）求 x 的取值范围； （3）当 S = 12 时，求 P 点坐标； （2）因为点 P 在第一象限内，所以 x 的取值范围是0 < x < 10； （3）当 S = 12 时，-4x + 40 = 12，x = 7，则 y = 10-x = 3，所以当 S = 12 时，P 点的坐标为（7，3）. 10. 已知点 A（8，0）及在第一象限的动点 P（x，y），且 x＋y = 10. 设△OPA 的面积为 S. （4）画出函数 S 的图象. （4）函数 S 的图象如图所示: 11.（1）画出函数 y = | x -1 | 的图象. （2）设 P(x,0) 是 x 轴上的一个动点，它与 x 轴上表示-3的点的距离为 y. 求 y 关于 x 的函数解析式，并画出这个函数的图象. 解：（1）因为 y = |x-1| = 所以函数 y = |x-1| 的图象如图所示： x-1（x ≥ 1）， -x+1（x < 1）， 11.（1）画出函数 y = | x -1 | 的图象. （2）设 P(x,0) 是 x 轴上的一个动点，它与 x 轴上表示-3 的点的距离为 y. 求 y 关于 x 的函数解析式，并画出 这个函数的图象. （2） y = | x - ( -3) | = | x + 3 | = 这个函数的图象如图所示： x + 3（x ≥ -3）， -x -3（x < -3）， 12. A，B 两地相距 25 km. 甲 8:00 由 A 地出发骑自行车去 B 地，速度为 10 km/h；乙 9:30 由 A 地出发乘汽车也去 B 地，速度为40 km/h. （1）分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式； （2）乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？ A B 甲 乙 这题是行程问题，由于是以平均速度考虑问题，因此两人的运动形式都按匀速运动考虑. 解:（1）设甲、乙行驶中的时刻为 x 时，甲、乙行驶的路程分别为 y甲，y乙，则有 y甲 = 10(x-8) = 10x-80 (8 ≤ x ≤ 10.5)， y乙= 40(x - 9.5) = 40x - 380 (9.5≤ x ≤ 10.125)； （2）令 y甲< y乙，则10x-80 < 40x-380. 所以 x > 10，即 10 时以后乙超过甲. 12. A，B 两地相距 25 km. 甲 8:00 由 A 地出发骑自行车去 B 地，速度为 10 km/h；乙 9:30 由 A 地出发乘汽车也去 B 地，速度为40 km/h. （1）分别写出两个人的行程关于时刻的函数解析式； （2）乙能否在途中超过甲？如果能超过，何时超过？ 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始 4 min 内只进水不出水，在随后的 8 min 内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量 y（单位:L）与时间 x（单位:min）之间的关系如图所示. （1）当 0 ≤ x ≤ 4 时，求 y 关于 x 的函数解析式. （2）当 4 < x ≤ 12 时，求 y 关于 x 的函数解析式. （3）每分进水、出水各多少升？ 拓广探索 解:（1）设 y 关于 x 的函数解析式为 y = kx (0 ≤ x ≤ 4). 由题意知 20 = 4k，解得 k = 5. 所以当 0 ≤ x ≤ 4 时， y 关于 x 的函数解析式为 y = 5x. （1）当 0 ≤ x ≤ 4 时，求 y 关于 x 的函数解析式. （2）当 4 < x ≤ 12 时，求 y 关于 x 的函数解析式. （2）设 y 关于 x 的函数解析式为 y = k'x + b' ( 4< x ≤ 12 ). 20 = 4k' + b' ， 30 = 12k' + b' ， 由图象知 解得 所以当 4< x ≤ 12 时，y 关于 x 的函数解析式为 y = x + 15 . （3）每分进水、出水各多少升？ （3）由图象知，4 min 进水 20 L，20÷4 = 5 (L). 所以每分钟进水 5 L. 设每分钟出水 a L， 则 (5-a)×( 12-4 ) = 30-20， 解得 a = . 所以每分钟出水 L. 一次越野赛跑中，当小明跑了 1600 m 时，小刚跑了1 450 m. 此后两人分别以 a m/s 和 b m/s 匀速跑. 又过100 s 时小刚追上小明，200 s 时小刚到达终点，300 s 时小明到达终点．这次越野赛跑的全程为多少米？ 解: 根据题意得方程组: 所以 1600 + 300×1.5 = 2050 (m)，即这次越野赛跑的全程为 2050 m. 1600 + 300a = 1450 + 200b， 1600 + 100a = 1450 + 100b， a = 1.5， b = 3， 解得 A 城有肥料 200 t，B 城有肥料 300 t. 现要把这些肥料全部运往 C，D 两乡.从 A 城往 C，D 两乡运肥料的费用分别为 20 元/t 和 25 元/t；从 B 城往 C，D 两乡运肥料的费用分别为 15 元/t 和 24 元/t. 现 C 乡需要肥料 240 t，D 乡需要肥料 260 t，怎样调运可使总运费最少？ 解:设 A 城运往 C 乡x t 肥料，总费用为 y 元， 由题意列方程得 y = 20x + ( 200-x)×25 + (240-x )×15 + (300-240 + x )×24 (0 ≤ x ≤ 200)， 整理得 y = 4x + 10040 ( 0 ≤ x ≤ 200 )， 当 x = 0 时，y最小，y最小值 = 10 040. 答:调运方案为 A 城运往 D 乡 200 t 肥料，B 城运往 D 乡60 t肥料，B 城运往 C乡 240 t 肥料，可使总费用最小. 抽象 构造 实际问题 (多个)函数模型 直线交点 图象间位置 限制条件 函数增减性 确定方案 课堂小结 $$