第五章 §5.1 平面向量的概念及线性运算（新高考通用）-【2026年高考数学一轮备考·学霸专练】

第五章平面向量与复数 §5.1　平面向量的概念及线性运算 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 平面向量垂直求参数 2024·上海卷、2024·全国甲卷 2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷 2023·全国甲卷、2021·全国甲卷2020·全国卷、2021·全国乙卷 掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义。 【知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||. (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝ λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【名师点拨】 1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). 2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.(　　) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) (3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　) 2.下列命题正确的是(　　) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b C.向量与是平行向量 D.平行向量不一定是共线向量 3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta与a－b共线，则实数t＝　　　　　　. 【名师点拨】熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则). (2)在△ABC中，点P满足＝0⇔P为△ABC的重心⇔). (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 【必练核心题型】 题型一　平面向量的基本概念 【典例】1.下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” C.在平行四边形ABCD中，一定有 D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0 【典例】2.如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A. B. C. D. 【变式训练】 变式1.(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　) A.若|a|＝0，则a＝0 B.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上 C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb 变式2.在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1). ①是共线向量的有　　　　　　； ②方向相反的向量有　　　　　　； ③模相等的向量有　　　　　　. 题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 【典例】1.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 命题点2　向量的线性运算 【典例】2.(2025·成都模拟)在△ABC中，＋2＝0，则等于(　　) A. B. C. D. 【变式训练】 变式1.设D，E为△ABC所在平面内两点，，＝2，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 变式2.若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11) 题型三　共线定理及其应用 【典例】1.已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.＝－2 B.λμ＝－2 C.＝2 D.λμ＝2 变式2.如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　　　　. 【变式训练】 变式1.(2025·深圳模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为(　　) A.－8 B.8 C.6 D.－6 变式2.如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若＝m，＝n，m，n∈R，则m＋n的值为　　　　　. 【拓展训练】 等和(高)线定理 如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，设＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立. 平面内一个基底{，}及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)； ③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过点O时，k＝0； ⑤若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比. 【典例】1.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A.1 B. C. D. 【典例】2.如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为　　　　　　. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.化简等于(　　) A. B.0 C. D. 2.(2025·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ＋μ等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 3.已知点P是△ABC的重心，则等于(　　) A. B. C. D. 4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且，则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 5.已知△ABC所在平面内一点D满足＝0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 6.已知a是单位向量，向量b满足|a－b|＝3，则|b|的最大值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.1 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a＝b”的必要不充分条件 B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向 D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A.＝－ B. C.＝－ D. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知O为△ABC内一点，且2，＝t，若B，O，D三点共线，则实数t的值为　　　　. 10.已知在四边形ABCD中，，且||＝||，则四边形ABCD的形状是　　　　. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由. 12.(14分)如图所示，在▱ABCD中，，，＝a，＝b. (1)试用向量a，b来表示，；(6分) (2)AM交DN于点O，若＝λ，求实数λ的值.(8分) 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且＋λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A.△PCD的面积为定值 B.∃λ∈R，使得||>|| C.∠CPD的取值范围是 D.||的取值范围是[1，] 14.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足，＝2，则||＝　　　　. 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第五章平面向量与复数 §5.1　平面向量的概念及线性运算 【考情分析·探规律】 考点 3年考情（2021-2024） 命题趋势 平面向量垂直求参数 2024·上海卷、2024·全国甲卷 2024·全国新Ⅰ卷、2023·全国新Ⅰ卷 2023·全国甲卷、2021·全国甲卷2020·全国卷、2021·全国乙卷 掌握向量的加法、减法运算，并理解其几何意义及向量共线的含义；了解向量线性运算的性质及其几何意义。 【知识梳理】 1.向量的有关概念 (1)向量：既有大小又有方向的量叫做向量，用有向线段表示，此时有向线段的方向就是向量的方向.向量的大小就是向量的长度(或称模)，记作||. (2)零向量：长度为0的向量，记作0. (3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量. (4)平行向量(共线向量)：方向相同或相反的非零向量.向量a，b平行，记作a∥b.规定：0与任一向量平行. (5)相等向量：长度相等且方向相同的向量. (6)相反向量：长度相等且方向相反的向量. 2.向量的线性运算 向量运算 定义 法则(或几何意义) 运算律 加法 求两个向量和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1)交换律： a＋b＝ b＋a (2)结合律： (a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 减法 求两个向量差的运算 三角形法则 a－b＝a＋(－b) 数乘 规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa (1)|λa|＝|λ||a|； (2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当λ＝0时，λa＝0 λ(μa)＝λμa； (λ＋μ)a＝ λa＋μa； λ(a＋b)＝ λa＋λb 3.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa. 【名师点拨】 1.中点公式的向量形式：若P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则＝(＋). 2.＝λ＋μ(λ，μ为实数)，若点A，B，C共线(O不在直线BC上)，则λ＋μ＝1. 3.解决向量的概念问题要注意两点：一是不仅要考虑向量的大小，更要考虑向量的方向；二是要特别注意零向量的特殊性，考虑零向量是否也满足条件. 【随堂训练】 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)|a|与|b|是否相等和a，b的方向无关.(　　) (2)若a∥b，b∥c，则a∥c.(　　) (3)向量与向量是共线向量，则A，B，C，D四点在一条直线上.(　　) (4)当两个非零向量a，b共线时，一定有b＝λa，反之成立.(　　) 【答案】(1)√　(2)×　(3)×　(4)√ 【解析】(2)若b＝0，则a与c不一定平行. (3)共线向量所在的直线可以重合，也可以平行，则A，B，C，D四点不一定在一条直线上. 2.下列命题正确的是(　　) A.零向量是唯一没有方向的向量 B.若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b C.向量与是平行向量 D.平行向量不一定是共线向量 【答案】C 【解析】A项，零向量是有方向的，其方向是任意的，故A错误； B项，|a|＝|b|说明a，b的长度相等，不能判断它们的方向，故B错误； C项，向量与方向相反，是平行向量，故C正确； D项，平行向量就是共线向量，故D错误. 3.设M为平行四边形ABCD对角线的交点，O为平行四边形ABCD所在平面内的任意一点，则等于(　　) A. B.2 C.3 D.4 【答案】D 【解析】如图，连接OM， 在△OAC中，M为AC的中点，所以＝2， 在△OBD中，M为BD的中点，所以＝2，所以＝4. 4.已知a，b是两个不共线的向量，向量b－ta与a－b共线，则实数t＝　　　　　　. 【答案】 【解析】由题意知，存在实数λ，使得b－ta＝λ，则解得t＝. 【名师点拨】熟记平面向量线性运算的常用结论 (1)设P为线段AB的中点，O为平面内任一点，则). (2)在△ABC中，点P满足＝0⇔P为△ABC的重心⇔). (3)＝λ＋μ(λ，μ为实数，点O，B，C不共线)，若A，B，C三点共线，则λ＋μ＝1. (4)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a±b|≤|a|＋|b|. 【必练核心题型】 题型一　平面向量的基本概念 【典例】1.下列四个命题中正确的有(　　) A.若a∥b，b∥c，则a∥c B.“a＝b”的充要条件是“|a|＝|b|且a∥b” C.在平行四边形ABCD中，一定有 D.若a为平面内的某个向量，a0为单位向量，则a＝|a|a0 【答案】C 【解析】A不正确，若b＝0，则由a∥b，b∥c，无法得到a∥c；B不正确，当|a|＝|b|且a∥b时，a，b的方向可能相反，此时a与b是相反向量，即a＝－b；当a＝b时，a与b的模相等且方向相同，即|a|＝|b|且a∥b，故“|a|＝|b|且a∥b”是“a＝b”的必要不充分条件；C正确，平行四边形ABCD对边平行且相等，且和方向相同，故；D不正确，向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相等，但方向不一定相同. 【典例】2.如图，在等腰梯形ABCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F分别在两腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB，则下列等式中成立的是(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】方法一(排除法) ，不共线，，不共线，故A，B错误；，方向相反，C错误；故选D. 方法二　在等腰梯形ABCD中，，不平行，，不平行，故A，B错误； ∵AB∥CD，∴，则， 即，即， ∵EF∥AB，∴， ∴PE＝PF，即P为EF的中点， ∴，故C错误，D正确. 【解题技巧】 平面向量有关概念的四个关注点 (1)非零向量的平行具有传递性. (2)共线向量即为平行向量，它们均与起点无关. (3)向量可以平移，平移后的向量与原向量是相等向量. (4)是与非零向量a同方向的单位向量. 【变式训练】 变式1.(多选)下列关于向量的说法正确的是(　　) A.若|a|＝0，则a＝0 B.若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点必在同一条直线上 C.对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b| D.若a∥b，则存在唯一实数λ，使a＝λb 【答案】AC 【解析】对于A，若|a|＝0，则a＝0，故A正确； 对于B，若向量与是共线向量，则A，B，C，D四点不一定在同一条直线上，故B错误； 对于C，若a，b方向相同，则|a＋b|＝|a|＋|b|，若a，b方向相反，则|a＋b|<|a|＋|b|， 若a，b不共线，根据向量加法的三角形法则及三角形两边之和大于第三边可知|a＋b|<|a|＋|b|. 综上可知，对于任意向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|，故C正确； 对于D，若a≠0，b＝0，则a∥b，此时不存在实数λ，使a＝λb，故D错误. 变式2.在如图所示的向量a，b，c，d，e中(小正方形的边长为1). ①是共线向量的有　　　　　　； ②方向相反的向量有　　　　　　； ③模相等的向量有　　　　　　. 【答案】①a和d，b和e　②a和d，b和e　③a，c，d 【解析】①a∥d，b∥e，故a和d，b和e是共线向量；②a和d，b和e是方向相反的向量；③由勾股定理可得，模相等的向量有a，c，d. 题型二　平面向量的线性运算 命题点1　向量加、减法的几何意义 【典例】1.若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足||＝|－2|，则△ABC的形状为(　　) A.等腰直角三角形 B.直角三角形 C.等腰三角形 D.等边三角形 【答案】B 【解析】－2＝()＋()＝，， ∴||＝||. 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形. 命题点2　向量的线性运算 【典例】2.(2025·成都模拟)在△ABC中，＋2＝0，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】因为＋2＝0， 所以D为线段BC上靠近C的三等分点，如图所示， 故)＝. 【解题技巧】平面向量线性运算的解题策略 (1)向量求和用平行四边形法则或三角形法则；求差用向量减法的几何意义. (2)[爪子定理]在△ABC中，D为BC上一点，若，则. 【变式训练】 变式1.设D，E为△ABC所在平面内两点，，＝2，则等于(　　) A.－ B. C. D.－ 【答案】B 【解析】如图，因为，＝2， 所以，， 所以 ＝)＝. 变式2.若||＝7，||＝4，则||的取值范围是(　　) A.[3，7] B.(3，7) C.[3，11] D.(3，11) 【答案】C 【解析】由题意知||＝7，||＝4，且||＝||， 当，同向时，||取得最小值，||＝||＝|||－|||＝|4－7|＝3； 当，反向时，||取得最大值，||＝||＝||＋||＝4＋7＝11； 当，不共线时，3＝|||－|||<||<||＋||＝11， 故|| 的取值范围是[3，11]. 题型三　共线定理及其应用 【典例】1.已知e1，e2是两个不共线的向量，若2e1＋λe2与μe1＋e2(λ，μ为实数)是共线向量，则(　　) A.＝－2 B.λμ＝－2 C.＝2 D.λμ＝2 【答案】D 【解析】由题意，可设2e1＋λe2＝t(μe1＋e2)，t∈R， 又e1，e2是两个不共线的向量， 故解得λμ＝2. 变式2.如图，在△ABC中，，P是BN上的点，若＝m，则实数m的值是　　　　　　. 【答案】 【解析】因为，所以＝3， 因为＝m＝m， 且B，P，N三点共线， 所以m＋＝1，所以m＝. 【解题技巧】利用向量共线定理解题的策略 (1)a∥b⇔a＝λb(b≠0)是判断两个向量共线的主要依据. (2)若a与b不共线且λa＝μb，则λ＝μ＝0. (3)已知O，A，B是不共线的三点，且＝m＋n(m，n∈R)，则A，P，B三点共线的充要条件是m＋n＝1. 【变式训练】 变式1.(2025·深圳模拟)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1－ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，则实数k的值为(　　) A.－8 B.8 C.6 D.－6 【答案】B 【解析】根据题意，得＝e1－4e2， 若A，B，D三点共线，设＝t， 则有2e1－ke2＝t(e1－4e2)＝te1－4te2， 所以所以k＝8. 变式2.如图所示，在△ABC中，O是BC的中点，过点O的直线分别交AB，AC所在直线于点M，N，若＝m，＝n，m，n∈R，则m＋n的值为　　　　　. 【答案】2 【解析】连接AO(图略)， 则)＝， 因为M，O，N三点共线， 所以＝1，所以m＋n＝2. 【拓展训练】 等和(高)线定理 如图，由三点共线结论可知，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝1，由△OAB与△OA'B'相似，必存在一个常数k，k∈R，使得＝k，则＝k＝kλ＋kμ，设＝x＋y(x，y∈R)，∴x＋y＝kλ＋kμ＝k；反之也成立. 平面内一个基底{，}及任一向量，＝λ＋μ(λ，μ∈R)，若点P'在直线AB上或在与AB平行的直线上，则λ＋μ＝k(定值)；反之也成立，我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为等和(高)线. ①当等和线恰为直线AB时，k＝1； ②当等和线在点O和直线AB之间时，k∈(0，1)； ③当直线AB在点O和等和线之间时，k∈(1，＋∞)； ④当等和线过点O时，k＝0； ⑤若两等和线关于点O对称，则定值k1，k2互为相反数； ⑥定值k的绝对值与点O到等和线的距离成正比. 【典例】1.如图，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段AO的中点.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，则λ＋μ等于(　　) A.1 B. C. D. 【答案】B 【解析】方法一　(常规方法)∵E为线段AO的中点， ∴)＝ ＝＝λ＋μ， ∴λ＝，μ＝，则λ＋μ＝. 方法二　(等和线法) 如图，AD为值是1的等和线，过点E作AD的平行线，设λ＋μ＝k， 则k＝. 由图易知，，即λ＋μ＝k＝. 【典例】2.如图，圆O是边长为2的等边△ABC的内切圆，其与BC边相切于点D，点M为圆上任意一点，＝x＋y(x，y∈R)，则2x＋y的最大值为　　　　　　. 【答案】2 【解析】如图，点D，E，N分别为BC，AB，AC的中点，点P为DE与BN的交点， ＝x＋y＝2x·＋y＝2x＋y， 设2x＋y＝k，作出定值为1的等和线DE，AC是过圆上的点最远的等和线， 当点M在点N所在的位置时，2x＋y最大， 则kmax＝＝2，所以2x＋y的最大值为2. 【限时训练】（限时：60分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.化简等于(　　) A. B.0 C. D. 【答案】B 【解析】－()＝＝0. 2.(2025·沈阳模拟)已知a，b为两个不共线的向量，＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb(λ，μ∈R)，若A，B，C三点共线，则2λ＋μ等于(　　) A.0 B.1 C.2 D.3 【答案】D 【解析】由＝a＋b，＝2a－b，＝λa＋μb，则＝a－2b， ＝(λ－1)a＋(μ－1)b， 因为A，B，C三点共线， 设＝t(t∈R)， 则(λ－1)a＋(μ－1)b＝ta－2tb， 所以即 则2λ＋μ＝3. 3.已知点P是△ABC的重心，则等于(　　) A. B. C. D. 【答案】D 【解析】设BC的中点为D，连接AD，如图，由点P是△ABC的重心， 则 ＝×) ＝(2)＝ ＝)＋ ＝， 故A，B，C错误，D正确. 4.已知点P为△OAB所在平面内一点，且，则(　　) A.点P在线段AB上 B.点P在线段AB的延长线上 C.点P在线段AB的反向延长线上 D.点P在射线AB上 【答案】D 【解析】由，得，所以·， 所以点P在射线AB上. 5.已知△ABC所在平面内一点D满足＝0，则△ABC的面积是△ABD面积的(　　) A.5倍 B.4倍 C.3倍 D.2倍 【答案】A 【解析】设AB的中点为M， 因为＝0， 所以＝2()， 所以＝4， 所以点D是线段CM上靠近点M的五等分点， 所以＝5， 所以△ABC的面积是△ABD面积的5倍. 6.已知a是单位向量，向量b满足|a－b|＝3，则|b|的最大值为(　　) A.2 B.4 C.3 D.1 【答案】B 【解析】方法一　设＝a，＝b，因为|a－b|＝3， 即||＝||＝3，即||＝3， 所以点B在以A为圆心，3为半径的圆上， 又a是单位向量，则||＝1， 故||的最大值为||＋||＝1＋3＝4，即|b|的最大值为4. 方法二　因为b＝a－(a－b)， 所以|b|≤|a|＋|a－b|＝1＋3＝4， 所以|b|的最大值为4. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列说法正确的是(　　) A.若a与b是非零向量，则“a与b同向”是“a＝b”的必要不充分条件 B.若与共线，则A，B，C三点在同一条直线上 C.a与b是非零向量，若a与b同向，则a与－b反向 D.设λ，μ为实数，若λa＝μb，则a与b共线 【答案】ABC 【解析】根据向量的有关概念可知A，B，C正确，对于D，当λ＝μ＝0时，a与b不一定共线，故D错误. 8.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，AB＝2AD＝2DC，E为BC边上一点，且＝3，F为AE的中点，则(　　) A.＝－ B. C.＝－ D. 【答案】ABC 【解析】∵AB∥CD，AB＝2DC， ∴＝－＝－，故A正确； ∵＝3，∴＝－， ∴， 又F为AE的中点，∴，故B正确； ∴＝－＝－，故C正确； ∴＝－＝－，故D错误. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知O为△ABC内一点，且2，＝t，若B，O，D三点共线，则实数t的值为　　　　. 【答案】 【解析】设线段BC的中点为M， 则＝2. 因为2，所以， 则) ＝. 由B，O，D三点共线，得＝1，解得t＝. 10.已知在四边形ABCD中，，且||＝||，则四边形ABCD的形状是　　　　. 【答案】等腰梯形 【解析】由， 可得AB∥CD且AB＝DC， 所以四边形ABCD是梯形， 又因为||＝||， 所以梯形ABCD的两个腰相等， 所以四边形ABCD是等腰梯形. 四、解答题(共27分) 11.(13分)已知a，b不共线，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，设t∈R，如果3a＝c，2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在实数t，使得C，D，E三点在同一条直线上？若存在，求出实数t的值，若不存在，请说明理由. 【解析】存在.由题设知，＝d－c＝2b－3a， ＝e－c＝(t－3)a＋tb， 又a，b不共线，则≠0， C，D，E三点在同一条直线上的充要条件是存在实数k，使得＝k， 即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因为a，b不共线， 所以解得t＝. 故存在实数t＝，使得C，D，E三点在同一条直线上. 12.(14分)如图所示，在▱ABCD中，，，＝a，＝b. (1)试用向量a，b来表示，；(6分) (2)AM交DN于点O，若＝λ，求实数λ的值.(8分) 【解析】 (1)因为，， 所以a－b. 因为，， 所以＝a＋b. (2)因为D，O，N三点共线， 所以存在实数k，使得＝kka－kb， 所以 ＝b＋ka－kb＝ka＋(1－k)b， ① 因为A，O，M三点共线，所以存在实数m， 使得＝m＝ma＋mb， ② 由①②得解得m＝， 所以，，即λ＝. 【尖子拔高训练】13题6分，14题5分，共11分 13.(多选)已知P是边长为1的正六边形ABCDEF内一点(含边界)，且＋λ，λ∈R，则下列说法正确的是(　　) A.△PCD的面积为定值 B.∃λ∈R，使得||>|| C.∠CPD的取值范围是 D.||的取值范围是[1，] 【答案】AC 【解析】对于A，由＋λ，λ∈R可得＝λ，即＝λ，可得∥，因此，点P在正六边形ABCDEF的对角线BE上，所以点P到CD的距离为定值，所以△PCD的面积为定值，故A正确； 对于B，因为正六边形ABCDEF关于对角线BE对称，故||＝||，故B错误； 对于C，根据图形的对称性，当点P为BE中点时，∠CPD取得最大值，当点P与B或E重合时∠CPD取得最小值，即∠CPD的取值范围是，故C正确； 对于D，因为正六边形边长为1，所以平行线BE，CD的距离d＝，又当PC⊥BE时，||有最小值，故D错误. 14.(2024·盐城模拟)如图，已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，CD上，且满足，＝2，则||＝　　　　. 【答案】3 【解析】因为， 所以， 又因为＝2， 所以， 所以||＝||＝||， 又因为∠BAD＝120°，所以∠ADC＝60°， 所以△ADC为等边三角形，所以AC＝AD＝2， 所以||＝||＝×2＝3. 学科网（北京）股份有限公司 $$