选择性必修第三册第六章《计数原理》章末检测试卷（含答题卡）-2024-2025学年高二下学期数学章末复习试卷人教A版2019

2024-2025学年高二年级下学期 选择性必修第三册《计数原理》章末检测 数 学 答 题 卡 班级：____________ 姓名：____________ 分数：____________ 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分 题号 1 2 3 4 答案 题号 5 6 7 8 答案 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分 题号 9 10 11 答案 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12 13 14 四、解答题：本题共5小题，共77分 15（13分） 16（15分） 17（15分） 18（17分） 19（17分） 数学答题卡 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 2024-2025学年高二年级下学期选择性必修第三册 第六章《计数原理》 章末检测 答 案 解 析 考试范围：人教A版2019选择性必修第三册（第六章：计数原理）； 考试时间：120分钟； 总分：150分 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是 （     ） A．1 B．3 C．6 D．9 【答案】D 【详解】这件事可分为两步完成：第一步，在集合{2，3，7}中任取一个值x有3种方法；第二步，在集合{－31，－24，4}中任取一个值y有3种方法．根据分步乘法计数原理知，有3×3＝9个不同的点． 所以选：D 2. 已知，则 （     ） A．20 B．30 C．42 D．56 【答案】C 【详解】由，可得，则．所以选：C． 3. 设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高､跳远､铅球､跑步4项比赛的冠军的可能结果有种，则为 （     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】每名同学报名有4种选择，5名同学报名就有种选择，所以；每项冠军归属结果有5种可能，4项冠军则有种可能结果，所以，所以. 所以选：A． 4. 已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为 （     ） A． B．1 C．2 D． 【答案】A 【详解】解：由于展开式中的通项公式为： ， 令，求得，可得它的展开式的常数项是， 再根据展开式中的常数项是112 ，可得，求得， 所以选：A． 5. 展开式中不含项的系数的和为 （     ） A． B． C． D．2 【答案】B 【详解】试题分析：由二项式定理知，展开式中最后一项含，其系数为1，令=1得，此二项展开式的各项系数和为=1，故不含项的系数和为1-1=0， 所以选B. 6. 某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 （     ） A．12 B．24 C．36 D．48 【答案】B 【详解】因为甲、乙两种商品必须排在一起，故将甲、乙看成一个元素，甲、乙内部排法数有种， 将甲、乙看成一个元素与戊进行全排列，排法数有， 再将丙、丁插入到甲乙、戊形成的空隙中，排法数有， 所以一共的排法总数为种， 所以选：B. 7. 的展开式中含项的系数为 （     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由， 则二项式的展开式 当，此时，此时可得展开式中项的系数为. 所以选：B. 8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是 （     ） A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 【答案】D 【详解】解：①每人都安排一项工作的不同方法数为，即选项错误， ②每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为，即选项B错误， ③如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为：（），即选项C错误， ④分两种情况：第一种，安排一人当司机，从丙、丁、戊选一人当司机有 ,从余下四人中安排三个岗位， 故有；第二种情况，安排两人当司机，从丙、丁、戊选两人当司机有 , 从余下三人中安排三个岗位，故有；所以每项工作至少有一人参加， 甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是，即选项D正确， 所以选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列问题是组合问题的是 （     ） A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 B．从7本不同的书中取出5本给某个同学 C．10个人相互发一微信，共发几次微信 D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话 【答案】BD 【详解】A.因为书不同，每个同学拿到的也不同，与顺序有关，故不是组合问题； B.从7本不同的书中取出5本给某个同学，每种取法中取出的书不考虑顺序，故是组合问题； C. 10个人相互发一微信，与顺序有关，故不是组合问题； D. 因为互相通一次电话与顺序无关，故是组合问题； 所以选：BD 10. 下列关于的说法中正确的是 （     ） A．展开式中的各二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 【答案】AB 【详解】根据二项式系数的性质 ，知的展开式中各二项式系数之和为，故A正确； 的展开式中，二项式系数最大的项是中间一项即第6项的二项式系数最大，故B正确，C错误； 易知展开式中各项的系数与对应二项式系数相等，故第6项的系数最大，故D错误． 所以选：AB 11. 关于二项式的展开式，下列结论正确的是 （     ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为 C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项 【答案】BCD 【详解】A选项：取．有，A错， B选项：展开式二项式系数和为，B对， C选项：由， 则时即为第5项为，C对， D选项：由C选项可知恒成立，D对， 所以选：BCD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，电路中共有3个电阻与1个灯泡，若灯泡不亮，则因电阻断路的情况共有 种. 【答案】5 【详解】每个电阻都有断路与通路两种状态，灯泡不亮可以分3种情况讨论：①1个电阻断路，即只有断路，此时只有1种情况；②2个电阻断路，包含，和，此时有3种情况；③3个电阻断路，此时只有1种情况根据分类加法计数原理，可知灯泡因电阻断路不亮的情况共有（种）. 故答案为：5 13. 若，则的值为 ． 【答案】5 【详解】令x＝2，得a0＝(22＋1)(2－3)9＝－5， 令x＝3，则a0＋a1＋a2＋a3＋…＋a11＝(32＋1)(3－3)9＝0， 所以a1＋a2＋a3＋…＋a11＝－a0＝5. 故答案为：5 14. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有 种． 【答案】54 【详解】根据题意知，甲、乙都没有得到冠军，且乙不是最后一名，分2种情况讨论： ①甲是最后一名，则乙可以是第二名、第三名或第四名，即乙有3种名次排列情况，剩下的三人有A＝6（种）名次排列情况，此时有3×6＝18（种）名次排列情况； ②甲不是最后一名，则甲、乙需要排在第二、三、四名，有A＝6（种）名次排列情况，剩下的三人有A＝6（种）名次排列情况，此时有6×6＝36（种）名次排列情况． 综上可知，一共有36＋18＝54（种）不同的名次排列情况． 故答案为：54 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， （1）求n； （2）求展开式中x的一次项的系数； （3）求展开式的所有项的系数和. 【答案】（1）11；（2）－1320；（3）－1 【详解】（1）∵第4项和第9项的二项式系数相等，∴，∴． （2）展开式通项公式是，令，， ∴的系数为； （3）在中令得，即为所求所有系数和． 16. （15分） 在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为，③各项系数之和为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由. 设二项式，若其展开式中，______，是否存在整数，使得是展开式中的常数项？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分. 【答案】答案不唯一，见解析. 【详解】若选填条件①，即只有第八项的二项式系数最大，即最大，由二项式系数的性质可得，； 若选填条件③，即各项系数之和为，则，即； 二项式展开式的通项：. 由，得. 即存在整数，使得是展开式中的常数项； 若选填条件②，即奇数项二项式系数之和为， 则，∴. 二项式展开式的通项：. 由，得. 即不存在整数k，使得是展开式中的常数项. 17. （15分） 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数： （Ⅰ）每个项目都要有人报名； （Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目； （Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同； 【答案】（Ⅰ）36；（Ⅱ）9；（Ⅲ）18. 【详解】（Ⅰ）每个项目都要有人报名，共有种； （Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目，共有种； （Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同， 若、项目各有一人，有种； 若、项目各有两人，有种， 所以甲不报项目，且、项目报名的人数相同共有18种． 18. （17分） 在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 【答案】(1)展开式中二项式系数最大的项为，， (2)，常数项为 【详解】（1）解：由已知， 整理得，即，，解得. 则展开式中二项式系数最大的项为第项和第项， 即，. （2）解：设第项为常数项，则为整数，， 则有，即， 所以，可得，解得或. 当时，；当时，（不合题意舍去），所以. 常数项为. 19. （17分） 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 【答案】（Ⅰ）共有30个符合题意的三位偶数．（Ⅱ）共有20个符合题意的“凹数. （Ⅲ）共有28个符合题意的五位数 【详解】（1）将所有的三位偶数分为两类： （i）若个位数为，则共有（个）； （ii）若个位数为或，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的三位偶数． （2）将这些“凹数”分为三类： （i）若十位数字为，则共有（个）； （ii）若十位数字为，则共有（个）； （iii）若十位数字为，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的“凹数”． （3）将符合题意的五位数分为三类： （i）若两个奇数数字在一、三位置，则共有（个）； （ii）若两个奇数数字在二、四位置，则共有（个）； （iii）若两个奇数数字在三、五位置，则共有（个）， 所以，共有个符合题意的五位数． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 保密★启用前 2024-2025学年高二年级下学期选择性必修第三册 第六章《计数原理》 章末检测 数 学 考试范围：人教A版2019选择性必修第三册（第六章：计数原理）； 考试时间：120分钟； 总分：150分 注意事项： 1． 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2． 回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3． 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 已知x∈{2，3，7}，y∈{－31，－24，4}，则(x，y)可表示不同的点的个数是 （     ） A．1 B．3 C．6 D．9 2. 已知，则 （     ） A．20 B．30 C．42 D．56 3. 设5名男同学报名参加同一时间安排的4种课外活动的方案有种；5名女同学在运动会上共同争夺跳高､跳远､铅球､跑步4项比赛的冠军的可能结果有种，则为 （     ） A． B． C． D． 4. 已知的展开式中常数项为112，则实数a的值为 （     ） A． B．1 C．2 D． 5. 展开式中不含项的系数的和为 （     ） A． B． C． D．2 6. 某商店要求甲、乙、丙、丁、戊五种不同的商品在货架上排成一排，其中甲、乙两种必须排在一起，而丙、丁两种不能排在一起，不同的排法共有 （     ） A．12 B．24 C．36 D．48 7. 的展开式中含项的系数为 （     ） A． B． C． D． 8. 现安排甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加2022年杭州亚运会志愿者服务活动，有翻译、导游、礼仪、司机四项工作可以安排，以下说法正确的是 （     ） A．每人都安排一项工作的不同方法数为54 B．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，则不同的方法数为 C．如果司机工作不安排，其余三项工作至少安排一人，则这5名同学全部被安排的不同方法数为 D．每人都安排一项工作，每项工作至少有一人参加，甲、乙不会开车但能从事其他三项工作，丙、丁、戊都能胜任四项工作，则不同安排方案的种数是 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列问题是组合问题的是 （     ） A．把5本不同的书分给5个学生，每人一本 B．从7本不同的书中取出5本给某个同学 C．10个人相互发一微信，共发几次微信 D．10个人互相通一次电话，共通了几次电话 10. 下列关于的说法中正确的是 （     ） A．展开式中的各二项式系数之和为1024 B．展开式中第6项的二项式系数最大 C．展开式中第5项与第7项的二项式系数最大 D．展开式中第6项的系数最小 11. 关于二项式的展开式，下列结论正确的是 （     ） A．展开式所有项的系数和为 B．展开式二项式系数和为 C．展开式中第5项为 D．展开式中不含常数项 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，电路中共有3个电阻与1个灯泡，若灯泡不亮，则因电阻断路的情况共有 种. 13. 若，则的值为 ． 14. 甲、乙、丙、丁、戊五名同学参加某种技术竞赛，得出了第一名到第五名的五个名次，甲、乙去询问成绩，组织者对甲说：“很遗憾，你和乙都未拿到冠军．”对乙说：“你当然不会是最差的．”从组织者的回答分析，这五个人的名次排列的不同情况共有 种． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15. （13分） 已知的展开式中，第4项和第9项的二项式系数相等， （1）求n； （2）求展开式中x的一次项的系数； （3）求展开式的所有项的系数和. 16. （15分） 在①只有第八项的二项式系数最大，②奇数项二项式系数之和为，③各项系数之和为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的存在，求的值；若不存在，说明理由. 设二项式，若其展开式中，______，是否存在整数，使得是展开式中的常数项？ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答给分. 17. （15分） 甲、乙、丙、丁四名同学报名参加三个智力竞赛项目，每个人都要报名参加．分别求在下列情况下不同的报名方法的种数： （Ⅰ）每个项目都要有人报名； （Ⅱ）甲、乙报同一项目，丙不报项目； （Ⅲ）甲不报项目，且、项目报名的人数相同； 18. （17分） 在二项式的展开式中. (1)若展开式后三项的二项式系数的和等于，求展开式中二项式系数最大的项； (2)若为满足的整数，且展开式中有常数项，试求的值和常数项. 19. （17分） 用0，1，2，3，4这五个数字组成无重复数字的自然数． （Ⅰ）在组成的三位数中，求所有偶数的个数； （Ⅱ）在组成的三位数中，如果十位上的数字比百位上的数字和个位上的数字都小，则称这个数为“凹数”，如301，423等都是“凹数”，试求“凹数”的个数； （Ⅲ）在组成的五位数中，求恰有一个偶数数字夹在两个奇数数字之间的自然数的个数． 第 2 页 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$