2025年河南中考数学之反比例函数专练

参考答案及解析 1．(1)； (2)； (3)． 【分析】（1）由反比例函数的图象经过点，得到，求得反比例函数的表达式为； （2）根据正方形的性质得到点是四边形的中心，连接，得到，，求得所对圆心角的度数为，根据勾股定理得到所在圆的半径为； （3）设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接，求得，根据全等三角形的判定得到，根据三角形的面积公式和扇形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为； （2）解：四边形是正方形，为对角线，， 点是四边形的中心， 连接， ，， ，为所在圆的直径， 所对圆心角的度数为， ， , ， 所在圆的半径为； 故答案为：； （3）解：设所在圆的圆心为，与轴交于，与轴交于，连接， ， ，，， ， 弓形的面积扇形的面积三角形的面积， 图中阴影部分的面积之和半圆的面积弓形的面积． 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了全等三角形的判定和性质，扇形面积的计算，勾股定理，圆周角定理，待定系数法求函数的解析式，正确地识别图形是解题的关键． 2．(1) (2)四边形为平行四边形 【分析】（1）根据题意直接利用待定系数法将A点坐标代入即可得出答案． （2）由题意求出直线的解析式，可得E点坐标，求出，，，即可解决问题． 【详解】（1）把，代入反比例函数的解析式得， 解得：， ∴反比例函数表达式为：． （2）反比例函数表达式为：， ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴点B的纵坐标为4，代入中，得，解得， ∵， ∵，设直线的解析式为：， 则有，解得， ∴直线的解析式为：，令，得，解得， ∴， ∴， ∵，，， ∴四边形为平行四边形． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何综合，待定系数法，平行四边形的判定． 3．(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2) (3)当或时，一次函数的值大于反比例函数的值 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的综合，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解题的关键； （1）由题意易得，然后根据反比例函数图象在第二、四象限，可得，进而问题可求解； （2）设一次函数的图象与轴的交点为，然后可得点的坐标为，进而联立反比例函数与一次函数解析式可得点A、C坐标，最后根据割补法可求解面积； （3）由（2）及函数图象可进行求解 【详解】（1）解：∵轴于点，且， ∴， ∴， ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为； （2）解：设一次函数的图象与轴的交点为， 令，得， ∴点的坐标为， 由，解得，或， ∴，， ∴； （3）解：∵，， ∴根据图象可知：当或时，一次函数的值大于反比例函数的值． 4．(1)， (2) (3)或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数图像的交点问题，熟知反比例函数及一次函数的图像与性质是解题的关键． （1）根据点C坐标及的面积，求出点A的坐标，再分别代入反比例函数及一次函数解析式即可解决问题； （2）将（1）中所得函数解析式，组成方程即可解决问题． （3）利用数形结合的数学思想，得到一次函数图像位于反比例函数图像上方部分的点的横坐标的取值范围即可解决问题． 【详解】（1）解：点的坐标为， ， 轴，且的面积为3， ， ， 点的坐标为， 将点代入，得， 将点代入，得； （2）解：由（1）可知，，， 令， 解得，， 经检验，是原方程的解， 当时，， 点的坐标为； （3）解：由函数图像可知， 关于的不等式的解集为或． 5．(1) (2)见解析 (3)四边形是菱形，证明过程见解析 【分析】（1）根据题意得，，根据勾股定理得到，舍去，于是得到反比例函数的解析式为； （2）根据线段垂直平分线的性质即可得到结论； （3）设与的交点为，根据线段垂直平分线的性质得到，，，根据矩形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，根据菱形的判定定理即可得到结论． 【详解】（1）设，， ，， 对角线， ， 即， 解得，舍去， 反比例函数的解析式为； （2）如图所示；直线即为所求； （3）四边形是菱形， 证明：设与的交点为， 是的垂直平分线， ，，， 四边形是矩形， ， ， 在与中， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 【点睛】本题考查了矩形的性质，基本作图，菱形的判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理，反比例函数与几何综合，正确地作出辅助线是解题的关键． 6．(1)；点E的坐标为(2，2) (2) 【分析】（1）根据矩形的性质先求得的坐标，进而用待定系数法求反比例函数的解析式，再求得点的坐标； （2）作点E关于y轴的对称点F，连接DF交y轴于点P，连接PE，则此时△PDE的周长最小，根据对称性求得点F的坐标，设直线DF的表达式为y=mx+b， 待定系数法求一次函数的解析式，令，进而求得点的坐标，利用即可求解． 【详解】（1）解：∵在矩形OABC中，AB=2，BC=4，D是AB边的中点， ∴AD=1，OA=4， ∴点D的坐标为（1，4）， ∵反比例函数的图象经过点D（1，4）， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∵OC=AB=2， ∴点E的横坐标为2， 当x=2时，， ∴点E的坐标为(2，2) ． （2）解：如图，作点E关于y轴的对称点F，连接DF交y轴于点P，连接PE， △PDE的周长, 则此时△PDE的周长最小， ∵点E的坐标为(2，2)， ∴点F的坐标为(-2，2)， 设直线DF的表达式为y=mx+b， 则， 解得， ∴直线DF的表达式为， 令，得，则点P的坐标为(0，)， ∴ ． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数与一次函数综合，待定系数法求反比例函数和一次函数解析式，关于坐标轴对称的点的坐标特点，根据对称性求最值问题，能够综合运用以上知识是解题的关键． 7．(1)， (2)△OAB的面积为3 (3)点P的坐标（0，3）或（0，5） 【分析】（1）把B（﹣1，4）代入y求得，将点A（m，2），代入，进而求得的值，根据的坐标待定系数法求一次函数解析式即可； （2）根据直线解析式求得点的坐标，根据求解即可； （3）设，根据BPOA，列出方程解方程求解即可求解． 【详解】（1）把B（﹣1，4）代入y， ， 反比例函数解析式为： 将点（m，2），代入，即，得 设直线解析式为 解得 一次函数的解析式为 （2）由，令，得 （3）设，，， BPOA， 解得 点P的坐标（0，3）或（0，5） 【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，勾股定理求坐标系中两点距离，解一元二次方程，掌握以上知识是解题的关键． 8．（1）；（2）点P的坐标是（0，4）或（0，－4）. 【分析】（1）求出OA=BC=2，将y=2代入求出x=2，得出M的坐标，把M的坐标代入反比例函数的解析式即可求出答案. （2）求出四边形BMON的面积，求出OP的值，即可求出P的坐标. 【详解】（1）∵B（4，2），四边形OABC是矩形， ∴OA=BC=2. 将y=2代入3得：x=2，∴M（2，2）. 把M的坐标代入得：k=4， ∴反比例函数的解析式是； （2）. ∵△OPM的面积与四边形BMON的面积相等， ∴. ∵AM=2， ∴OP=4. ∴点P的坐标是（0，4）或（0，－4）. 9．(1) 反比例函数的解析式为y＝﹣，一次函数的解析式为y＝﹣x+2．（2）x≤﹣2或0＜x≤6． 【分析】（1）根据S△AOD=3可得AD=2，根据反比例函数的特点k=xy为定值，列出方程，求出k的值，便可求出反比例函数的解析式；根据k的值求出B点的坐标，用待定系数法便可求出一次函数的解析式． （2）根据函数图象可直接解答． 【详解】（1）∵AD⊥y轴于点D，OD＝3， ∴， ∴AD＝2．即A（﹣2，3）， 将A点坐标代入y＝（k≠0），得k＝﹣2×3＝﹣6． 反比例函数的解析式为y＝﹣． 将B点坐标代入y＝﹣中，得﹣1＝﹣，解得n＝6．即B（6，﹣1）， 将A、B两点坐标代入y＝ax+b，得，解得． 所以一次函数的解析式为y＝﹣x+2． （2）ax+b≥的自变量x的取值范围是x≤﹣2或0＜x≤6． 【点睛】此题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点及用待定系数法求一次函数及反比例函数的解析式，比较简单． 10．（1）y=，y=﹣2x+9；（2）当x＜0或＜x＜4时，k1x+b≥；（3）当x=时，面积最大值为，M（，） 【分析】（1）首先把P（，8）代入反比例函数解析式中确定k2的值，得到反比例函数解析式；然后把Q（4，m）代入反比例函数确定m的值，再根据P，Q两点坐标利用待定系数法确定一次函数解析式； （2）根据函数的图象即可求得； （3）设M（x，﹣2x+9），则ON=x，MN=﹣2X+9，根据三角形面积公式即可得到关于x的二次函数，将其化为顶点式，即可得到函数的最大值，从而确定M点的坐标． 【详解】（1）∵点P（，8）在反比例函数图象上， ∴8=， ∴k2=4， ∴反比例函数的表达式为：, ∵Q（4，m）在反比例函数的图象上， ∴m==1， ∴Q（4，1）， 把P（，8），Q（4，1）分别代入一次函数y=k1x+b中， ∴，， 解得：k1=-2，b=9， ∴一次函数的表达式为y=﹣2x+9； 即反比例函数的表达式：，一次函数的表达式为：y=﹣2x+9； （2）由图象得：当x＜0或＜x＜4时，k1x+b≥． （3）设M（x，﹣2x+9）， ∴ON=x，MN=﹣2X+9， ∴S△MON=×ON×MN=x×（﹣2x+9）=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+， ∴当x=时，面积最大值为， 即M（，）． 【点睛】本题主要考查反比例函数的图象与性质，主要利用了待定系数法求函数解析式，二次函数的最值问题，熟练掌握知识点是解题的关键． 11．(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）将点A坐标代入解析式可求k的值； （2）利用尺规作图，结合角平分线的作图方法，即可求解； （3）过C作轴于D，则，根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义得到设，根据三角函数的定义即可得到结论． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∵ ∴ ∴ ∵反比例函数经过点A． ∴ ∴， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：如图所示：射线为的平分线； （3）解：过C作轴于D， 则， ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∵点C在反比例函数的图象上， ∴设 ∴， 解得或（不合题意舍去）， ∴ 【点睛】本题是反比例函数的综合题，考查了待定系数法求函数的解析式，基本作图，角平分线的定义，三角函数的定义，正确地作出图形是解题的关键． 12．（1）直线的表达式为，双曲线的表达方式为；（2）点P的坐标为或 【详解】分析：（1）将点B（-1，4）代入直线和双曲线解析式求出k和m的值即可； （2）根据直线解析式求得点A坐标，由S△ACP＝AC•|yP|＝4求得点P的纵坐标，继而可得答案． 详解：（1）∵直线与双曲线 （）都经过点B（－1，4）， ， ， ∴直线的表达式为，双曲线的表达方式为.    （2）由题意，得点C的坐标为C（－1，0），直线与x轴交于点A（3，0）， ， ∵， ， 点P在双曲线上， ∴点P的坐标为或. 点睛：本题主要考查反比例函数和一次函数的交点问题，熟练掌握待定系数法求函数解析式及三角形的面积是解题的关键． 13．(1)反比例函数的解析式为， (2)点坐标为 【分析】（1）根据题意得出点，把代入，得，反比例函数的解析式为，设点，代入，得，即，进而根据三角形的面积公式即可求解； （2）方法一：在中，勾股定理求得，根据菱形的性质求得，，进而得出直线解析式为，联立，求得的坐标； 方法二：过点作，证明，设，则，，则，将点代入得，解方程即可求解． 【详解】（1）解：，点为的中点， ，， 点 把代入，得， 反比例函数的解析式为 在上，， 设点，代入，得 ， ， （2）方法一： 在中，，， ， 四边形是菱形， ， 设直线解析式为 把，代入，得， 则直线解析式为，由两个关系式得： ， 解得：， ，， 则点E坐标为 方法二：过点作， ，    由平移可得 ， 设，则，， 将点代入得 解得，（舍） 点坐标为． 【点睛】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，反比例函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，平移的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 14．(1) (2)作图见解析 (3)单位长度 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象，平移变换，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）由解析式得出得反比例函数过点，，，描点画图即可； （3）设点向下平移个单位长度得，得，再代入求解即可． 【详解】（1）解：由题意，将代入， 得：， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由反比例函数的解析式为， 得反比例函数过点，，， 描点画图如图： （3）解：由图可得， 设点向下平移个单位长度得， 则， 由在上， 则， 解得：， 即向下平移单位长度． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式． （2）根据待定系数法求出直线的函数解析式，再利用平移即可求解． 本题考查了反比例函数与一次函数的交点，解（1）的关键是将点A的坐标代入，解（2）的关键是求出直线的函数解析式． 【详解】（1）解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数的图象经过点 ∴， 解得： ∴反比例函数的解析式为 （2）设直线的函数解析式为， 把点代入得，，解得， ∴直线的函数解析式为， 由图象可知，直线向上平移3个单位长度得到直线 ∴直线的函数解析式为， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025河南中考数学之反比例函数专练 一、解答题 1．如图，反比例函数的图象经过点，连接并延长，交双曲线于点C．以为对角线作正方形，点B在第四象限，过点A，O，B作弧． (1)求反比例函数的解析式； (2)求弧所在圆的半径； (3)直接写出图中阴影部分的面积． 2．如图，已知反比例函数的图像经过点，过作轴于点．点为该反比例函数图像上的一点，过点作轴于点，连接．直线与轴的负半轴交于点．    (1)求反比例函数表达式； (2)若，判断四边形的形状，并说明理由． 3．如图，的顶点A是反比例函数的图象与一次函数的图象在第二象限的交点，轴于点，且． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求一次函数与反比例函数图象的两个交点A，的坐标以及的面积； (3)当为何值时，一次函数的值大于反比例函数的值． 4．如图所示，一次函数：的图像与反比例函数的图像交于A，B两点，过点A作y轴的垂线，垂足为点，若的面积为3． (1)分别求出m和n的值； (2)求点B的坐标； (3)结合图像直接写出关于x的不等式的解集． 5．如图，平面直角坐标系中，矩形的顶点的坐标为，反比例函数经过矩形的顶点，，对角线． (1)求反比例函数的解析式； (2)作出的垂直平分线，交于点，交于点；尺规作图，保留作图痕迹，不写作法 (3)连接，，判断四边形的形状，并证明． 6．如图，在矩形OABC中，，，D是AB边的中点，反比例函数的图象经过点D，与BC边交于点E． (1)求反比例函数的表达式及点E的坐标； (2)若点P在y轴上，当△PDE的周长最小时，直接写出△PDE的面积． 7．如图，一次函数y＝k1x+b的图象与反比例函数y的图象交于点A（m，2），B（﹣1，4），与y轴交于点C，连接OA，OB． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)求△OAB的面积； (3)若点P在y轴上，且BPOA，请直接写出点P的坐标． 8．如图，在直角坐标系中，矩形OABC的顶点O与坐标原点重合，A、C分别在坐标轴上，点B的坐标为（4，2），直线交AB，BC分别于点M，N，反比例函数的图象经过点M，N． （1）求反比例函数的解析式； （2）若点P在y轴上，且△OPM的面积与四边形BMON的面积相等，求点P的坐标． 9．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数交于第二、四象限的，两点，过点作轴于点，，，点的坐标为． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请根据图象直接写出的自变量的取值范围． 10．已知一次函数y=k1x+b与反比例函数y=的图象交于第一象限内的P（，8），Q（4，m）两点，与x轴交于A点． （1）分别求出这两个函数的表达式； （2）直接写出不等式k1x+b≥的解集； （3）M为线段PQ上一点，且MN⊥x轴于N，求△MON的面积最大值及对应的M点坐标． 11．如图，中，顶点，顶点，反比例函数经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（要求：不写作法，保留作图痕迹）； (3)（2）中所作的角平分线与反比例函数交于点C，求C点坐标． 12．如图，在平面直角坐标系xOy中，直线与x轴交于点A，与双曲线的一个交点为B（－1，4）. （1）求直线与双曲线的表达式； （2）过点B作BC⊥x轴于点C，若点P在双曲线上，且△PAC的面积为4，求点P的坐标. 13．如图，在中，，点在轴的正半轴上，点坐标为，函数的图象过斜边的中点，交于点．    (1)求这个函数的解析式及的面积； (2)将沿x轴向右平移到的位置，若四边形，是菱形，求与的图象交点E的坐标． 14．如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，反比例函数的图象经过点． (1)求这个反比例函数的解析式； (2)请先描出这个反比例函数图象上不同于点的三个格点，再画出反比例函数的图象； (3)将等腰向下平移，当点落在这个反比例函数的图象上时，求平移的距离． 15．如图，小亮在草稿纸上画了某反比例函数在第一象限内的图象，并把矩形直尺放在上面直尺与反比例函数图象交于点，，并且与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)求直线的函数解析式． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$