专题10： 圆锥曲线（九大易错点通关训练） -2025届高三数学满分冲刺【基础提升练+易错题型练+综合热点练】 上海专用

2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（十） 圆锥曲线 易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件 注意：椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)； 双曲线的定义：面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)； 平面内到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹不是双曲线；当定长时,表示的只是双曲线的一支 忽略圆锥曲线几何性质致错；有关椭圆方程求参数范围问题忽略分母不等致错 【例1】（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）若平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的轨迹存在，则该轨迹可以是_________ （1）椭圆；（2）双曲线；（3）抛物线；（4）两条射线；（5）一条直线. 【例2】椭圆的焦距为6，求m的值。 【例3】已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为(　　) A. B. C．5 D．2 【跟踪训练】 1．下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 2.（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为圆 3．若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2,0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为M，则椭圆的长轴长为(　　) A．2 B．4 C. D. 4.若点F1，F2依次为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝6，B1(0，－b)，B2(0，b)．若双曲线C上存在点P，使得·＝－2，则实数b的取值范围为_______． 5．若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为(　 ) A．(5,7) B．(5,6)　C．(6,7)　D．(5,6)∪(6,7) 易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置 注意：在中心为原点的前提下，需要确定焦点在哪个坐标轴上 【例4】椭圆关于坐标轴对称，焦距为，离心率等于，则椭圆的标准方程为_________. 【例5】以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为__________． 【例6】已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 【跟踪训练】 1.．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　 ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 3.若顶点在原点的抛物线经过点(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2个，则该抛物线的标准方程为_______． 4.已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围 【例7】已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________． 【例8】在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若A为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______． 2.设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 3．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(4，＋∞) C．(，＋∞) D．(2，＋∞) 4.双曲线－＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|＝2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为________． 易错点04：求轨迹方程对隐含条件挖掘不全致错 【例9】已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 【例10】已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【跟踪训练】 1.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1 2.若Rt△ABC的斜边为AB,点A(－2,0),B(4,0), 则点C满足的方程为________. 3．已知点M，N，直线PM，PN的斜率乘积为－，P点的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为________. 4．已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　 ) A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 5.在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 6.一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 易错点05：直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 【例11】过点P(3,1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有________条(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 【跟踪训练】 1.若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 . 2．设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 3．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点． 易错点06：直线与圆锥曲线的位置关系忽略判别式致错 注意：用点差法求直线方程时,只是承认了直线与曲线相交,而事实上,存在不相交的可能,所以在求出直线方程后,应利用判别式判断直线与曲线是否相交． 【例12】（多选）已知点，，曲线C上存在M点，满足，则曲线C可以是（    ） A． B． C． D． 【例13】给定椭圆方程，经过点，能否作直线m，使m与所给椭圆交于两点，且B是的中点，若果存在这样的直线m，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 【错解】假设直线m存在，则直线m不垂直于x轴，可设直线方程为， 设的坐标分别为，则，两式相减可得：，因为B是的中点，所以，，所以直线m的方程为 【跟踪训练】 1．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,3，|BF|成等差数列，则k＝(　　) A.±1　　　　　B．1－　　　　　C．1±　　　　　D．1＋ 2.已知双曲线x2－＝1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于Q1,Q2两点,且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由． 易错点07：设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在 【例14】直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，＋＝________. 【例15】若过点Q的直线l交椭圆C：＋y2＝1.于A，B两点，证明：＋为定值． 【跟踪训练】 1.已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足． (1)求的值； (2)若，求直线AB的方程． 2.已知椭圆，四点中恰有三点在上. (1)求的方程； (2)若圆的切线与交于点，证明：. 3．若直线l与椭圆C：＋＝1.交于A，B两点，且|＋|＝|－|，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程． 易错点08：求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置 注意：求与抛物线有关的最值问题，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错 【例15】是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【跟踪训练】 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为 2．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为 . 3．已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 易错点09：混淆“焦点弦”和“非焦点弦” 【例17】设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【例18】直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【跟踪训练】 1.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线准线的垂线，，垂足分别是，，下列说法正确的是(    ). A．直线过抛物线的焦点 B．当时，，两点横坐标的和为5 C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D．以为直径的圆与直线相切 2.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 3.已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为 ． 4.已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 一、选择题 1.已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 2.动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 3．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ） A．若1＜t＜5，则C为椭图 B．若t＜1．则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距为4 D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5 4.已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（    ） A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25] 5.已知双曲线，，为坐标原点，为双曲线上任意一点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 6．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　 ) A．＋∞) B．(0，＋∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞) 7.求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 8.已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈，则离心率e的取值范围为(　　) A. B. C. D. 10.若两数1､9的等差中项是a, 等比中项是b, 则曲线的离心率为（ ） A．或 B．或 C． D． 11.设定点，，动点满足条件，则动点P的轨迹是 A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段或不存在 12.过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 13.写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 . ①实轴长为4；②渐近线方程为 14.设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 . 15.如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______． 16.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________． 17.直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 18.双曲线与直线的公共点个数 ； 19在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为8，则直线l的方程为________． 20.（2022春·上海普陀·高二校考期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为__． 21．已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为 ． 22．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为 ． 三、解答题 23.已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点. (1)求点的轨迹的方程; 24.已知椭圆的右焦点为F，且经过点，过F的直线与椭圆E交于C，D两点，当轴时，． (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使成立，证明直线PQ过定点． 25.已知椭圆的上､下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足. (1)证明：是定值，并求出该定值； (2)求动点的轨迹方程. 26.已知曲线C上的每一个点到的距离减去它到y轴的距离的差都是2. (1)求曲线C的方程； (2)过F作直线交曲线C于A、B两点，点，求△ABD面积的最小值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年上海高考数学满分冲刺易错题型专项训练（十） 圆锥曲线 易错点01：忽略圆锥曲线定义中的限制条件 注意：椭圆的定义：平面内与两个定点的距离的和等于常数(大于)； 双曲线的定义：面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数(小于)； 平面内到两个定点的距离之差等于定长的点的轨迹不是双曲线；当定长时,表示的只是双曲线的一支 忽略圆锥曲线几何性质致错；有关椭圆方程求参数范围问题忽略分母不等致错 【例1】（2023秋·上海浦东新·高三校考期末）若平面内到两定点的距离差的绝对值为常数的点的轨迹存在，则该轨迹可以是_________ （1）椭圆；（2）双曲线；（3）抛物线；（4）两条射线；（5）一条直线. 【答案】（2）（4）（5） 【分析】设两定点分别为、，动点为，则为定值.分、、三种情况讨论，分析出三种情况下点的轨迹的形状，可得出结论. 【详解】设两定点分别为、，动点为，则为定值. ①若，则，此时点的轨迹为线段的垂直平分线，（5）满足； ②若，则点的轨迹是以、为焦点的双曲线，（2）满足； ③若，则点的轨迹是直线上去除线段（不含端点）的两条射线，（4）满足. 故答案为：（2）（4）（5）. 【例2】椭圆的焦距为6，求m的值。 【错解】标准方程为，故. 【错因】因为题设不能确定椭圆的焦点在那个坐标轴上，解出m的值可能有两个。 【正解】（1）当焦点在x轴上时，即 当焦点在x轴上时，即不合题意，故4． 【例3】已知P在椭圆＋y2＝1上，A(0,4)，则|PA|的最大值为(　　) A. B. C．5 D．2 【错解】选B　设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故x＝4(1－y)， 所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－32＋， 所以当y0＝－时，|PA|2取得最大值，即|PA|的最大值为 . 故选C. 【错因】忽略了椭圆中，本题中－1≤y0≤1， 【正解】选C　设P(x0，y0)，则由题意得＋y＝1，故x＝4(1－y)， 所以|PA|2＝x＋(y0－4)2＝4(1－y)＋y－8y0＋16＝－3y－8y0＋20＝－32＋， 又－1≤y0≤1，所以当y0＝－1时，|PA|2取得最大值25，即|PA|的最大值为5. 【跟踪训练】 1．下列说法正确的个数是（   ） ①动点满足，则P的轨迹是椭圆 ②动点满足，则P的轨迹是双曲线 ③动点满足到y轴的距离比到的距离小1，则P的轨迹是抛物线 ④动点满足，则P的轨迹是圆和一条直线（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据椭圆、双曲线、抛物线、直线和圆的知识对四个说法进行分析，从而确定正确答案. 【详解】①，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，所以点轨迹是两点间的线段，①错误. ②，表示点与点的距离和为， 而两点的距离为，，所以点的轨迹是椭圆，②错误. ③，动点满足到y轴的距离比到的距离小1， 当点在y轴左侧或在y轴上时则动点满足到直线的距离和到的距离相等，则P的轨迹是抛物线； 当点在y轴右侧时，此时P的轨迹是射线，③不正确. ④，动点满足， 则或， 表示的是直线在圆外和圆上的部分； 表示一个圆，所以P的轨迹是圆和两条射线，④错误. 所以正确的有0个. 故选：A 2.（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，是一个动点，则（   ） A．若，则点的轨迹为椭圆 B．若，则点的轨迹为双曲线 C．若，则点的轨迹为直线 D．若，则点的轨迹为圆 【答案】AD 【分析】根据椭圆的定义判断A，根据双曲线的定义判断B，可得，即可判断C，设，由距离公式推出轨迹方程，即可判断D. 【详解】对于A：，则点的轨迹为以、为焦点的椭圆，故A正确； 对于B：，则点的轨迹是以、为焦点双曲线的右支，故B错误； 对于：由，可得， 则点的轨迹是以为直径的圆，故C错误； 对于D：设，由，则， 即，所以点的轨迹为圆，故D正确. 故选：AD. 3．若椭圆的中心为原点，过椭圆的焦点F(－2,0)的直线l与椭圆交于A，B两点，已知AB的中点为M，则椭圆的长轴长为(　　) A．2 B．4 C. D. 【错解】选C　由焦点F(－2,0)在x轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以 作差得＋＝0.(*)，因为直线l过M及F(－2,0)，且AB的中点为M， 所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1，kl＝＝＝，代入(*)式， 得＋·＝＋×＝0，即b2＝a2， 因为c2＋b2＝a2，c＝2，所以a＝，故选C. 【错因】忽略椭圆的的长轴长的定义，椭圆的的长轴长为2a,而不是a. 【正解】选D　由焦点F(－2,0)在x轴上，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)， A(x1，y1)，B(x2，y2)．因为A(x1，y1)，B(x2，y2)在椭圆上，所以 作差得＋＝0.(*)，因为直线l过M及F(－2,0)，且AB的中点为M， 所以x1＋x2＝－2，y1＋y2＝1，kl＝＝＝，代入(*)式， 得＋·＝＋×＝0，即b2＝a2， 因为c2＋b2＝a2，c＝2，所以a＝，所以椭圆的长轴长为，故选D. 4.若点F1，F2依次为双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，且|F1F2|＝6，B1(0，－b)，B2(0，b)．若双曲线C上存在点P，使得·＝－2，则实数b的取值范围为_______． 【错解】设双曲线上的点P(x，y)满足·＝－2，即x2＋y2＝b2－2， 又－＝1⇒y2＝x2－b2，∴x2＝2b2－2，即x2＝2b2－2， ∵|x|≥a⇒x2≥a2，且c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥， ∴实数b的取值范围是。 【错因】忽略了双曲线中b<c。 【正解】设双曲线上的点P(x，y)满足·＝－2，即x2＋y2＝b2－2， 又－＝1⇒y2＝x2－b2，∴x2＝2b2－2，即x2＝2b2－2， ∵|x|≥a⇒x2≥a2，且c2＝9，∴2b2－2≥9⇒b≥，又b<c＝3， ∴实数b的取值范围是. 5．若方程＋＝1表示椭圆，则实数k的取值范围为(　 ) A．(5,7) B．(5,6)　C．(6,7)　D．(5,6)∪(6,7) 【错解】选A　由题意可知，解得5＜k＜7. 【错因】未考虑椭圆方程中分母不等的情况， 【正解】选D　由题意可知解得5＜k＜7且k≠6. 易错点02：忽略圆锥曲线焦点的位置 注意：在中心为原点的前提下，需要确定焦点在哪个坐标轴上 【例4】椭圆关于坐标轴对称，焦距为，离心率等于，则椭圆的标准方程为_________. 【答案】或 【分析】根据给定条件，求出椭圆的长短半轴长，再按焦点位置求出方程作答. 【详解】令椭圆长短半轴长分别为，半焦距为c，则，而离心率，则，， 当焦点在x轴上时，椭圆的标准方程为，当焦点在y轴上时，椭圆的标准方程为， 所以椭圆的标准方程为或. 故答案为：或 【例5】以坐标原点为对称中心，两坐标轴为对称轴的双曲线的一条渐近线的倾斜角为，则双曲线的离心率为__________． 【错解】设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x， 由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2； 答案：2 【错因】未对焦点位置分情况讨论， 【正解】若双曲线的焦点在x轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，b＝a，可得c＝2a，则e＝＝2； 若双曲线的焦点在y轴上，设双曲线的方程为－＝1，则渐近线的方程为y＝±x，由题意可得＝tan＝，a＝b，可得c＝a，则e＝.综上可得e＝2或e＝. 答案：2或 【例6】已知椭圆的离心率为，则（   ） A．2 B． C．4或 D．或2 【答案】C 【分析】由椭圆方程可知对和进行分类讨论，再由离心率公式代入计算可得结果. 【详解】根据椭圆方程可知， 当时，可得，所以离心率， 解得； 当时，可得，所以离心率， 解得，所以； 所以或4. 故选：C 【跟踪训练】 1.．若直线x－2y＋2＝0经过椭圆的一个焦点和一个顶点，则该椭圆的标准方程为(　 ) A.＋y2＝1 B.＋＝1 C.＋y2＝1或＋＝1 D．以上答案都不对 【错解】选A　直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)． 则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 【错因】未考虑抛物线的焦点在y轴上的情况， 【正解】选C　直线x－2y＋2＝0与坐标轴的两个交点分别为(0,1)和(－2,0)． 若椭圆的焦点在x轴上，则c＝2，b＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为＋y2＝1. 若椭圆的焦点在y轴上，则b＝2，c＝1，a2＝5，故所求椭圆的标准方程为＋＝1. 2.渐近线互相垂直，且的双曲线的标准方程是______． 【答案】或 【分析】根据题意，分焦点在轴上和焦点在轴上两种情况讨论求解即可. 【详解】当双曲线焦点在轴上时，设方程为 所以，其渐近线方程为， 因为渐近线互相垂直， 所以，，即， 因为，， 所以，，即方程为； 当双曲线焦点在轴上时，设方程为 所以，其渐近线方程为， 因为渐近线互相垂直， 所以，，即， 因为，， 所以，，即方程为； 综上，所求双曲线方程为或 故答案为：或 3.若顶点在原点的抛物线经过点(－2,1)，(1,2)，(4,4)中的2个，则该抛物线的标准方程为_______． 【错解】设抛物线的标准方程为x2＝my，若点(－2,1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4,4)在抛物线上，点(1,2)不在抛物线上，满足题意；若点(1,2)在抛物线上，则m＝，此时x2＝y，点(－2,1)，(4,4)均不在抛物线上，不满足题意． 答案：x2＝4y 【错因】未考虑抛物线的焦点在x轴上的情况， 【正解】（1）当抛物线的焦点在未考虑抛物线的焦点在x轴上的情况，轴上时，设抛物线的标准方程为x2＝my， 若点(－2,1)在抛物线上，则m＝4，此时x2＝4y，点(4,4)在抛物线上，点(1,2)不在抛物线上，满足题意；若点(1,2)在抛物线上，则m＝，此时x2＝y，点(－2,1)，(4,4)均不在抛物线上，不满足题意． （2）当抛物线的焦点在x轴上时，设抛物线的标准方程为y2＝nx，同理可求得当点(1,2)，(4,4)在抛物线上时满足题意，此时y2＝4x.故满足题意的抛物线的方程为x2＝4y或y2＝4x. 答案：x2＝4y或y2＝4x 4.已知双曲线，则“”是“双曲线的离心率为”的（    ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】根据双曲线离心率为，可得或，即可由充分不必要条件求解. 【详解】的离心率为时，当焦点在轴时，，解得， 当焦点在轴时，，解得， 故“”是“双曲线的离心率为”的充分不必要条件， 故选：B 易错点03：求离心率范围时忽略离心率本身范围 【例7】已知椭圆C的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，直线l：y＝x与椭圆C相交于A，B两点，若|AB|＝2c，则椭圆C的离心率为________． 【错解】设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1，y1)，则y1＝x1，由|AB|＝2c， 可知|OA|＝＝c(O为坐标原点)，即＝c，所以x1＝c， 所以A.把点A的坐标代入椭圆方程得＋＝1，又a2＝b2＋c2， 整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝或. 【错因】忽略了椭圆的离心率0＜e＜1， 【正解】设直线l与椭圆C在第一象限内的交点为A(x1，y1)，则y1＝x1，由|AB|＝2c， 可知|OA|＝＝c(O为坐标原点)，即＝c，所以x1＝c， 所以A.把点A的坐标代入椭圆方程得＋＝1，又a2＝b2＋c2， 整理得8e4－18e2＋9＝0，即(4e2－3)(2e2－3)＝0，又0＜e＜1，所以e＝. 答案： 【例8】在平面直角坐标系中，已知双曲线左、右顶点为A，B，若该双曲线上存在点P，使得的斜率之和为1，则该双曲线离心率的范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题可得与双曲线有公共点，据此可得答案. 【详解】易知，设，则，所以， 又，所以，即，所以，即直线与双曲线有公共点.联立与双曲线方程，有， 消去得：，则要使方程有根，需使. 故选：D 【跟踪训练】 1.已知双曲线（，）的左、右焦点分别为，，直线（）与轴交于点，若A为右支上的一点，且，则的离心率的取值范围为______． 【答案】 【分析】利用定义化简条件可得，根据建立不等关系，化简可得a，c关系，由此可求离心率范围. 【详解】设双曲线的半焦距为， 对于直线，令，解得，即， ∵A为右支上的一点，则，即， 则，整理得， 注意到，可得，整理得， 由双曲线可知，所以的离心率的取值范围为. 故答案为：. 2.设分别为椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动时，至少有两个位置使得，则椭圆C的离心率范围是 ． 【答案】 【分析】探求动点的轨迹，找出满足的不等关系，再转化为离心率解之即可. 【详解】因为动点满足，所以在以为直径的圆上. 又因为在椭圆上运动时，至少有两个位置使得， 所以， 则，即， 同除得，解之得. 故答案为：. 3．已知圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点，则双曲线C的离心率的取值范围是(　　) A．(1，) B．(4，＋∞) C．(，＋∞) D．(2，＋∞) 【错解】选B，由题意，圆心(1,0)到切线的距离d＝＝，解得k＝±， 因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点， 所以＞，所以e2＝1＋＞4. 【错因】求离心率时忘记开方，注意双曲线中， 【正解】选D由题意，圆心(1,0)到切线的距离d＝＝，解得k＝±， 因为圆(x－1)2＋y2＝的一条切线y＝kx与双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)有两个交点， 所以＞，所以e2＝1＋＞4，则，所以e＞2. 4.双曲线－＝1 (a>0,b>0)的两个焦点为F1、F2,若P为双曲线上一点,且|PF1|＝2|PF2|, 则双曲线离心率的取值范围为________． 【错解】如图,设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0<θ<π), 由条件得|PF1|＝2m,|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ, 且||PF1|－|PF2||＝m＝2a. 所以e＝＝＝. 又－1<cos θ<1,所以e∈(1,3)． 【错因】漏掉了P在x轴上的情况,即∠F1PF2＝π时的情况． 【正解】设|PF2|＝m,∠F1PF2＝θ (0<θ≤π), （1）当θ＝π，即点P在右顶点处时.e＝＝＝＝3. （2）当θ≠π,由条件,得|PF1|＝2m,|F1F2|2＝m2＋(2m)2－4m2cos θ,且||PF1|－|PF2||＝m＝2a. 所以e＝＝＝.又－1<cos θ<1,所以e∈(1,3)． 综上,e∈(1,3]． 易错点04：求轨迹方程对隐含条件挖掘不全致错 【例9】已知点是椭圆的一个焦点，且椭圆经过，两点，则椭圆的另一个焦点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】由椭圆的定义可知， 所以， 因此点的轨迹是以、为焦点，实轴长为2的双曲线的左支， 故它的轨迹方程为． 故答案为：. 【例10】已知平面直角坐标系中、．若A为动点且满足，则动点的轨迹方程为 ． 【答案】 【分析】根据双曲线的定义可求的轨迹方程. 【详解】因为，故的轨迹为双曲线的右支（扣除顶点）， 且半焦距，实半轴长，故虚半轴长为， 的轨迹方程为：. 故答案为：. 【跟踪训练】 1.已知△ABC的周长为20，且顶点B(0，－4)，C(0,4)，则顶点A的轨迹方程是(　　) A.＋＝1(x≠0) B.＋＝1(x≠0) C.＋＝1(x≠0) D.＋＝1 【错解】选D，∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8， |AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20， ∴椭圆的方程是＋＝1 【错因】忽略了A、B、C三点不共线这一隐含条件。 【正解】选B　∵△ABC的周长为20，顶点B(0，－4)，C(0,4)，∴|BC|＝8， |AB|＋|AC|＝20－8＝12，∵12＞8，∴点A到两个定点的距离之和等于定值， ∴点A的轨迹是椭圆的一部分，∵a＝6，c＝4，∴b2＝20， ∴椭圆的方程是＋＝1(x≠0)． 2.若Rt△ABC的斜边为AB,点A(－2,0),B(4,0), 则点C满足的方程为________. 【错解】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中线长是斜边长的一半, 如图,这样直角三角形斜边上的中点为M(1,0), 则半径为,即得所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝9. 【错因】因为忽视结论的检验,没有注意到点C是直角三角形的顶点,即C点不能在直线AB上． 【正解】设C(x,y),由于直角三角形斜边上的中点为M(1,0),如图所示,则半径为, 即得圆的方程为(x－1)2＋y2＝9.但是顶点C不能在直线AB上,因此y≠0, 也就是要除去两个点,即(－2,0),(4,0),因此C点满足的方程为(x－1)2＋y2＝9(y≠0)． 3．已知点M，N，直线PM，PN的斜率乘积为－，P点的轨迹为曲线C.则曲线C的方程为________. 【错解】设P点坐标为(x，y)，∵kPM·kPN＝－，∴·＝－， ∴4＋3(x－1)(x＋1)＝0，∴＋＝1，∴曲线C的方程为＋＝1． 【错因】忽略了直线PM，PN的斜率都存在这一隐含条件。 【正解】设P点坐标为(x，y)，∵kPM·kPN＝－，∴·＝－， ∴4＋3(x－1)(x＋1)＝0，∴＋＝1，∴曲线C的方程为＋＝1(x≠±1)． 4．已知点F1(－5,0)，F2(5,0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别是(　 ) A．双曲线的右支 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 【错解】选A　当a＝3时，|PF1|－|PF2|＝2a＝6，故点P的轨迹为双曲线的右支； 当a＝5时，|PF1|－|PF2|＝2a＝10，故点P的轨迹为双曲线的右支； 【错因】忽略了双曲线定义中2a＜|F1F2|这一条件。 【正解】选D　依题意得|F1F2|＝10，当a＝3时，2a＝6＜|F1F2|，故点P的轨迹为双曲线的右支；当a＝5时，2a＝10＝|F1F2|，故点P的轨迹为一条射线． 5.在平面直角坐标系中，已知的顶点，其内切圆圆心在直线上，则顶点的轨迹方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内切圆的性质，结合双曲线的定义，可得答案. 【详解】如图，设与圆的切点分别为，则有，所以. 根据双曲线定义，所求轨迹是以为焦点，实轴长为2的双曲线的右支（右顶点除外）， 即，又，所以，所以方程为. 故选：B. 6.一动圆过定点，且与已知圆：外切，则动圆圆心的轨迹方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合图象利用双曲线的定义判断动圆圆心的轨迹，然后再求方程即可. 【详解】圆与圆外切，如图， ，即， ， 由双曲线的定义，点的轨迹是以为焦点，为实轴长的双曲线的左支，其中，， ． 故所求轨方程为：． 易错点05：直线与圆锥曲线的位置关系考虑不全出错 【例11】过点P(3,1)作直线l与抛物线y2＝－4x只有一个交点，这样的直线l有________条(　　) A．1　　 B．2 C．3　　 D．4 【答案】C 【解析】当直线l斜率不存在时，l：x＝3，与抛物线无交点，不合题意； 当直线l斜率为零时，l：y＝1，与抛物线有且仅有一个交点，满足题意； 当直线l斜率不为零时，x－3＝(y－1)， 即x＝(y－1)＋3， 由得ky2＋4y＋12k－4＝0， 则Δ＝16－4k(12k－4)＝0，解得k＝， ∴满足题意的直线l有两条； 综上所述，过点P(3,1)与抛物线y2＝－4x只有一个交点的直线l有3条． 【跟踪训练】 1.若直线与双曲线恰好有一个交点，则直线的斜率的所有可能值为 . 【答案】或 【分析】联立直线方程和双曲线方程，然后根据判别式来判断交点个数. 【详解】将代入双曲线方程中得到：， 展开整理得. 当时，即时，方程变为一次方程，此时直线与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线恰好有一个交点. 当时方程是二次方程， 若直线与双曲线恰好有一个交点，则判别式， 展开得到：. 进一步化简为，则. 解得.   综上所得，直线的斜率的所有可能值或. 2．设直线与椭圆相交于、两点，当变化时，线段的中点所在的直线方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先通过联立直线和椭圆方程，利用韦达定理求出中点坐标，再根据中点坐标的关系得出中点所在直线方程. 【详解】将直线方程代入椭圆方程中，得到. 展开式子化简为. 根据韦达定理,所以，又因为中点横坐标. 已知，把代入可得. 因为，即. 所以线段的中点所在的直线方程为. 3．已知直线l：y＝2x＋m，椭圆C：＋＝1.试求当m取何值时，直线l与椭圆C： (1)有两个不同的公共点； (2)有且只有一个公共点． 解：将直线l的方程与椭圆C的方程联立，得方程组 将①代入②，整理得9x2＋8mx＋2m2－4＝0.③ 方程③根的判别式 Δ＝(8m)2－4×9×(2m2－4)＝－8m2＋144. (1)当Δ>0，即－3<m<3时，方程③有两个不同的实数根，可知原方程组有两组不同的实数解．这时直线l与椭圆C有两个不同的公共点． (2)当Δ＝0，即m＝±3时，方程③有两个相同的实数根，可知原方程组有两组相同的实数解．即直线l与椭圆C有且只有一个公共点． 易错点06：直线与圆锥曲线的位置关系忽略判别式致错 注意：用点差法求直线方程时,只是承认了直线与曲线相交,而事实上,存在不相交的可能,所以在求出直线方程后,应利用判别式判断直线与曲线是否相交． 【例12】（多选）已知点，，曲线C上存在M点，满足，则曲线C可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】先求得线段的垂直平分线的方程，再将该直线分别与椭圆，双曲线，抛物线的方程联立，利用判别式判断二者的位置关系，有公共点则满足要求，进而判断选项ABC；利用直线与圆的位置关系判断选项D，有公共点则满足要求. 【详解】由，，可得,中点坐标为， 又由，可得M点在直线上. 选项A：由整理得， 则， 则直线与椭圆有公共点， 则椭圆上存在M点满足.判断正确； 选项B：由整理得， 则， 则直线与双曲线没有公共点， 则双曲线上不存在M点满足.判断错误； 选项C：由整理得， 则， 则直线与抛物线有公共点， 则抛物线上存在M点满足.判断正确； 选项D：圆的圆心坐标为，半径为2， 由， 可得直线与圆相交， 则圆上存在M点满足.判断正确. 故选：ACD 【例13】给定椭圆方程，经过点，能否作直线m，使m与所给椭圆交于两点，且B是的中点，若果存在这样的直线m，求出它的方程；如果不存在，说明理由. 【错解】假设直线m存在，则直线m不垂直于x轴，可设直线方程为， 设的坐标分别为，则，两式相减可得：，因为B是的中点，所以，，所以直线m的方程为 【错因】由，消去y，代入，可得， 不存在这样的直线. 【正解】假设直线m存在，则直线m不垂直于x轴，可设直线方程为， 设的坐标分别为 由，消去y可得 上述方程有解的前提条件是，而，故不存在这样的直线. 【跟踪训练】 1．若直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点，抛物线的焦点为F，且|AF|,3，|BF|成等差数列，则k＝(　　) A.±1　　　　　B．1－　　　　　C．1±　　　　　D．1＋ 【错解】选C，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 故x1＋x2＝.由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|,3，|BF|成等差数列， 得x1＋2＋x2＋2＝6，得x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝1±. 【错因】错解中没有考虑判别式，即没有保证直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A，B两个不同的点， 【正解】选D，设A(x1，y1)，B(x2，y2)．由消去y，得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0， 故Δ＝16(k＋2)2－16k2＝64(1＋k)＞0，解得k＞－1，且x1＋x2＝. 由|AF|＝x1＋＝x1＋2，|BF|＝x2＋＝x2＋2，且|AF|,3，|BF|成等差数列， 得x1＋2＋x2＋2＝6，得x1＋x2＝2，所以＝2，解得k＝1±.又k＞－1，故k＝1＋. 2.已知双曲线x2－＝1,过点B(1,1)能否作直线m,使m与已知双曲线交于Q1,Q2两点,且B是线段Q1Q2的中点？这样的直线m如果存在,求出它的方程；如果不存在,说明理由． 【错解】设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),代入双曲线方程得 ①－②化简得k＝＝.，∵中点B(1,1),∴x1＋x2＝2,y1＋y2＝2,∴k＝2. ∴满足题设的直线存在,且方程为y－1＝2(x－1),即2x－y－1＝0. 【错因】错解中没有考虑判别式，即没有判断直线2x－y－1＝0和双曲线x2－＝1是否相交． 【正解】设Q1(x1,y1),Q2(x2,y2),代入双曲线方程得 ①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＝(y1＋y2)(y1－y2)．∵B(1,1)为Q1Q2的中点,∴k＝＝2. ∴直线方程为y－1＝2(x－1),即2x－y－1＝0.联立 消去y得2x2－4x＋3＝0. Δ＝(－4)2－4×2×3＝－8<0,∴所求直线不存在． 易错点07：设直线的点斜式或斜截式方程忽略判断斜率是否存在 【例14】直线l过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F(1,0)，且与C交于A，B两点，则p＝_______，＋＝________. 【错解】设直线的方程为l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程，得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0， 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1，＋＝＝＝ ＝＝1.综上，＋＝1. 答案：2　1 【错因】未考虑直线斜率不存在的情况， 【正解】由＝1，得p＝2. （1） 当直线l的斜率不存在时，l：x＝1，与y2＝4x联立解得y＝±2， 此时|AF|＝|BF|＝2，所以＋＝＋＝1； （2） 当直线l的斜率存在时，设l：y＝k(x－1)，代入抛物线方程， 得k2x2－2(k2＋2)x＋k2＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝1， ＋＝＝＝＝＝1. 综上，＋＝1. 答案：2　1 【例15】若过点Q的直线l交椭圆C：＋y2＝1.于A，B两点，证明：＋为定值． 【错解】设直线AB的方程为x＝ty－，点A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 消去x得(t2＋2)y2－y－＝0，则Δ＝t2＋(t2＋2)>0恒成立，由根与系数的关系， 得y1＋y2＝，y1y2＝－，所以＋＝＋＝ ＝＝＝＝×＝3. 综上，＋＝3为定值． 【错因】未考虑斜率为零的情况， 【正解】（1）当直线AB的斜率为零时，点A，B为椭圆长轴的端点， 则＋＝＋＝ ＝＝3； （2） 当直线AB不与x轴重合时，设直线AB的方程为x＝ty－，点A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立消去x得(t2＋2)y2－y－＝0，则Δ＝t2＋(t2＋2)>0恒成立， 由根与系数的关系，得y1＋y2＝，y1y2＝－， 所以＋＝＋＝＝ ＝＝＝×＝3. 综上，＋＝3为定值． 【跟踪训练】 1.已知F为抛物线的焦点，O为坐标原点，过点的直线与抛物线交于A，B两点，且满足． (1)求的值； (2)若，求直线AB的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据可得，设直线AB：，与抛物线的方程联立，写出韦达定理，代入即可求出； （2）将转化成向量运算进行处理，，利用向量的坐标运算表示出，抛物线的焦半径公式表示出，通过解方程即可求得直线AB的方程． 【详解】（1）显然直线的斜率不为0，设直线AB：，，， 联立，得， 显然，，， 则， 由可得，可得，得． （2）由（1）可知拋物线方程为，， 此时AB；，，． ， ． 由，解得， 因此直线AB的方程为，即． 2.已知椭圆，四点中恰有三点在上. (1)求的方程； (2)若圆的切线与交于点，证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）利用对称性可以判断经过，两点，与的纵坐标相同可以判断在上，进而求出结果； （2）先讨论切线的斜率不存在时，求出，再讨论切线的斜率存在时，利用相切得到，进而联立直线与椭圆可以判断，从而求出结果. 【详解】（1）由两点关于轴对称，可得经过两点. 与的纵坐标相同，且都位于第一象限，不可能都在上，所以不在上， 则解得 故的方程为. （2）证明：当切线的斜率不存在时，得. 当时，可得. ，则. 当时，同理可证. 当切线的斜率存在时，设. 因为与圆相切，所以圆心到的距离为，即. 联立得. 设，则. 由，得，则. 综上，若圆的切线与交于点，则. 3．若直线l与椭圆C：＋＝1.交于A，B两点，且|＋|＝|－|，求证：直线l与某个定圆E相切，并求出定圆E的方程． 【错解】∵|＋|＝|－|，∴⊥，则. 设直线l的方程为y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得m2<6k2＋3　(*)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝， 则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝， 由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，可得＋＝0， 整理得m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴＝，即原点到直线l的距离为， ∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切． 【错因】未考虑直线斜率不存在的情况， 【正解】证明：∵|＋|＝|－|，∴⊥，则. ①当直线l的斜率不存在时，设l：x＝t，代入椭圆方程得y＝±， 不妨令A，B，由·＝0得t2－3＋＝0， 解得t＝±，此时l：x＝±，与圆x2＋y2＝2相切； ②当直线l的斜率存在时，设l：y＝kx＋m，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 联立得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－6＝0， 则Δ＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－6)>0，化简得m2<6k2＋3　(*)， 由根与系数的关系得x1＋x2＝－，x1x2＝， 则y1y2＝(kx1＋m)(kx2＋m)＝k2x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝， 由·＝0，即x1x2＋y1y2＝0，可得＋＝0， 整理得m2＝2k2＋2，满足(*)式，∴＝，即原点到直线l的距离为， ∴直线l与圆x2＋y2＝2相切．综上所述，直线l与圆E：x2＋y2＝2相切． 易错点08：求与抛物线有关的最值问题是忽视定点位置 注意：求与抛物线有关的最值问题，定点的位置尤为重要，处理不当就会出错 【例15】是抛物线的焦点，点，为抛物线上一点，到直线的距离为，则的最小值是（    ） A． B． C．3 D． 【答案】C 【分析】根据抛物线定义有，数形结合判断其最小值. 【详解】由题设，抛物线焦点，准线为，故， 如上图：，仅当共线且在两点之间时等号成立. 故选：C 【例16】已知M为抛物线上的动点，F为抛物线的焦点，点，则的最小值为__________． 【答案】2 【分析】根据抛物线的定义，利用三点共线即可求解. 【详解】设点在准线上的射影为，根据抛物线的定义可知, 所以,要使最小，只需要最小即可， 由于在抛物线内，故当三点共线时，此时最小，故最小值为， 故答案为：2 【跟踪训练】 1．已知椭圆的左、右焦点分别为，，为椭圆上一个动点，为圆上一个动点，则的最大值为 【分析方案】根据椭圆定义及圆心位置、半径，应用分析法要使最大只需让最大即可，由数形结合的方法分析知共线时有最大值，进而求目标式的最大值 【详解】由题意得：，根据椭圆的定义得，∴ 圆变形得，即圆心，半径 要使最大，即最大，又 ∴使最大即可，如图所示： ∴当共线时，有最大值为 ∴的最大值为 ∴的最大值，即的最大值为11+1=12 故答案为：12 2．设，分别为椭圆（）的左，右焦点，为内一点，为上任意一点，若的最小值为，则的方程为 . 【分析方案】由题意知，，则；由三角形的三边关系可知，从而可求出，由椭圆的定义知 ，从而可求出，进而可求出椭圆的标准方程 【详解】由椭圆定义可知，且，则 因为，所以，所以，所以，故的方程为，故答案为： 3．已知抛物线：，过点的直线与交于，两点，则下列说法正确的是（   ） A． B． C．的最小值为16 D．若点是的外心，其中是坐标原点，则直线的斜率的最大值为 【答案】ACD 【分析】把过点的直线方程设为，与联立，用韦达定理即可得到选项A正确，B错误；利用弦长公式即可求出弦长，再利用，即得得到坐标原点即为的外心，再利用不等式即可求得结果. 【详解】显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得， 所以，，，故A正确，B错误； ， 所以，当且仅当时，取到最小值，故C正确； 因为，所以，所以的外心就是弦的中点， 记为，其中，．由，以及， 得， 即，所以直线的斜率．要求直线的斜率的最大值，所以， 所以，当且仅当， 即时“=”号成立，即直线的斜率的最大值为，故D正确. 故选：ACD． 易错点09：混淆“焦点弦”和“非焦点弦” 【例17】设为抛物线：的焦点，过且斜率为1的直线交抛物线于，两点，则（    ） A．10 B．8 C．6 D． 【答案】B 【分析】根据题意依次求得与直线的方程，联立直线与抛物线的方程，利用韦达定理与抛物线的焦点弦公式即可得解. 【详解】因为为抛物线：的焦点，则，， 又直线过且斜率为1，交抛物线于，两点，所以直线的方程为， 联立，消去，得， 显然，所以， 则. 故选：B. 【例18】直线经过抛物线的焦点，且与抛物线交于、两点.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据给定条件，利用抛物线焦半径公式求出点、的横坐标，进而求出弦长. 【详解】抛物线的焦点坐标为，准线方程为，   设、，则，， 由，得，则， 由，得，得， 联立解得，，所以. 故选：C 【跟踪训练】 1.已知抛物线，直线与抛物线交于，两点，分别过，两点作抛物线准线的垂线，，垂足分别是，，下列说法正确的是(    ). A．直线过抛物线的焦点 B．当时，，两点横坐标的和为5 C．当时，直线截抛物线所得的弦长为8 D．以为直径的圆与直线相切 【答案】ACD 【分析】分别写出抛物线的焦点和直线所过定点，即可得出A选项；当时联立直线和抛物线方程，由韦达定理和抛物线弦长公式分别计算B和C选项；联立方程，利用韦达定理即可判断D选项. 【详解】由题意知抛物线的交点坐标为，准线方程为，直线 过定点，所以直线过抛物线的焦点，故A正确； 当时，直线的方程为，联立，消去得，， 设，，则，所以，两点横坐标的和为6，故B错误； 由抛物线的定义可知，，故C正确； 设直线的方程为，设点、，则、， 联立，可得，， 由韦达定理可得，， 所以线段MN的中点为,, 线段MN的中点到直线的距离为， 所以以为直径的圆与直线相切，故正确. 故选：ACD. 2.设为坐标原点，直线过抛物线的焦点，且与交于，两点，若直线为的准线，则（    ） A． B． C．以为直径的圆与相切 D．为等腰三角形 【答案】BC 【分析】先求得焦点坐标，进而求得抛物线方程，根据弦长公式、直线和圆的位置关系等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】由直线，令，解得，所以抛物线的焦点， 所以，所以A选项错误，抛物线方程为，准线为， 由消去并化简得， 解得，所以，B选项正确. 由上述分析可知，中点， 其到准线的距离是，所以以为直径的圆与相切， C选项正确. ， 所以三角形不是等腰三角形，D选项错误. 故选：BC    3.已知为坐标原点，直线与抛物线相交于两点，则的面积为 ． 【答案】 【分析】根据弦长公式求出，再根据点到直线的距离公式及三角形面积公式即可求解. 【详解】设，， 由得，， 所以，， 所以， 因为点到直线的距离， 所以. 故答案为：. 4.已知抛物线上的点到焦点的距离为4. (1)求的值； (2)过抛物线的焦点的直线与抛物线相交于，两点，且，求直线的方程. 【答案】(1)6 (2) 【分析】（1）根据题意列式，求出的值，即得答案. （2）由（1）可得抛物线方程，设直线方程，并联立，利用抛物线弦长公式求出参数，即得答案. 【详解】（1）由题知，，所以. 因为点到焦点的距离为4，所以4，所以，即， 所以，所以. （2）由（1）知，抛物线的方程为，其焦点坐标为. 设，，由题意知l的斜率不为 0，设直线的方程为. 由得，， 所以，所以. 因为，所以，即，解得， 所以直线的方程为，即. 一、选择题 1.已知点，，动点满足，则动点P的轨迹是（   ） A．椭圆 B．直线 C．线段 D．不存在 【答案】D 【分析】根据与的关系判断点的轨迹. 【详解】由题设知， 则动点P的轨迹不存在． 故选：D 2.动点满足方程，则点的轨迹是（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 【答案】D 【分析】根据轨迹方程所代表的意义和抛物线的定义可得答案. 【详解】由得， 等式左边表示点和点的距离， 等式的右边表示点到直线的距离， 整个等式表示的意义是点到点的距离和到直线的距离相等， 且点不在直线上，所以其轨迹为抛物线. 故选：D. 3．若方程所表示的曲线为C，则下面四个命题中正确的是（ ） A．若1＜t＜5，则C为椭图 B．若t＜1．则C为双曲线 C．若C为双曲线，则焦距为4 D．若C为焦点在y轴上的椭圆，则3＜t＜5 【答案】BD 【解析】根据椭圆和双曲线的标准方程及简单的几何性质，逐项判定，即可求解，得到答案. 由题意，若方程表示椭圆，则满足，解得或， 对于A中，当时，此时方程表示圆，所以不正确； 当方程表示焦点在轴上椭圆，则满足，解得， 所以D项正确；对于B中，当时， ，此时表示焦点在轴上的双曲线，所以是正确的；对于C中，当时，方程，此时双曲线的焦距为，所以不正确.故选BD. 4.已知，，若圆上存在点P，使得，则实数r的取值范围是（    ） A．[3,5] B．（0,5] C．[4,5] D．[16,25] 【答案】C 【分析】由已知可得动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且从而可得实数r的取值范围. 【详解】动点P的轨迹是以为焦点的椭圆，且又点P在上，椭圆与圆有公共点，实数r的取值范围是[4,5]. 故选：C. 5.已知双曲线，，为坐标原点，为双曲线上任意一点，则的最小值是（       ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设点，可得或，且有，求得，设，利用二次函数的基本性质求得函数在上的值域，进而求解. 【详解】设点，则或，且有，可得， 则，， 所以， 令，其中或， 二次函数的图象开口向上，对称轴为直线. 当时，函数单调递减，此时； 当时，函数单调递增，此时. 综上所述，函数在上的值域为. 因此，的最小值是. 故选：B. 6．若直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1总有公共点，则m的取值范围是(　 ) A．＋∞) B．(0，＋∞) C．(0,1)∪(1,5) D．[1,5)∪(5，＋∞) 【错解】选A 由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上，则0<≤1，解得m≥1. 【错因】未考虑椭圆方程中分母不等的情况， 【正解】选D　由于直线y＝kx＋1恒过点(0,1)，所以点(0,1)必在椭圆内或椭圆上， 则0<≤1且m≠5，解得m≥1且m≠5. 7.求长轴长是短轴长的倍，且过点的椭圆的标准方程（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】分析可知，，对椭圆的焦点位置进行分类讨论，将点的坐标代入椭圆方程，求出的值，即可得出椭圆的标准方程. 【详解】由题意可知，， 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为； 若椭圆的焦点在轴上，则椭圆的标准方程为， 将点的坐标代入椭圆方程可得，解得， 此时，椭圆的标准方程为. 综上所述，椭圆的标准方程为或. 故选：C. 8.已知焦点在x轴上的椭圆C：上顶点A与右顶点C连线与过下顶点B和右焦点F的直线交于点P，若∠APB为钝角，则椭圆的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意分析可得，根据数量积的坐标表示结合椭圆的性质运算求解. 【详解】设椭圆的半焦距为c， 由题意可得：， 可得：， 由图可得：∠APB即为的补角， 若∠APB为钝角，即为锐角， 由图可知，故原题意等价于， 整理得，且，解得， 所以椭圆的离心率的取值范围是. 故选：D. 9．已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)，直线y＝x与椭圆相交于A，B两点，若椭圆上存在异于A，B两点的点P使得kPA·kPB∈，则离心率e的取值范围为(　　) A. B. C. D. 【错解】选D　设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)， 则kPAkPB＝×＝. 又＋＝1，＋＝1，两式作差， 代入上式得kPAkPB＝－∈，故<1－<1，又e＝1－，故选D。 【错因】求离心率时忘记开方，注意椭圆中， 【正解】选B　设P(x0，y0)，直线y＝x过原点，由椭圆的对称性设A(x1，y1)，B(－x1，－y1)， 则kPAkPB＝×＝. 又＋＝1，＋＝1，两式作差， 代入上式得kPAkPB＝－∈，故<1－<1， 所以e＝ ∈. 10.若两数1､9的等差中项是a, 等比中项是b, 则曲线的离心率为（ ） A．或 B．或 C． D． 【错解】D，由题意,,则曲线方程为, 该方程表示椭圆,其离心率为。 【错因】开方运算出错，开方时。 【正解】A，由题意,, 若,曲线方程为,表示椭圆,离心率为, 若时,曲线方程为,表示双曲线,离心率为 11.设定点，，动点满足条件，则动点P的轨迹是 A. 椭圆 B. 线段 C. 不存在 D. 椭圆或线段或不存在 【错解】A，由题中坐标得到，又由于，点P的轨迹为椭圆； 【错因】忽略了椭圆的定义中2a>|F1F2|这一条件。 【正解】由题中坐标得到，又由于，当时，点P的轨迹为线段；当时，点P的轨迹为椭圆；当时，点P的轨迹不存在． 12.过点且与抛物线恰有一个公共点的直线的条数为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】根据抛物线的几何性质，分当直线与轴平行时，直线与轴垂直时，和直线与坐标轴不平行时，三种情况，结合，即可求解. 【详解】当直线过点，且与轴平行时，此时直线与抛物线只有1个公共点； 当直线过点，且与轴垂直时，此时直线与抛物线有2个公共点； 当直线过点，斜率存在且不为0时，设直线，代入抛物线，得：， 因为. 由，因为，所以方程有两根， 故过点可以作两条直线与抛物线相切. 综上，过点共有3条直线，与抛物线只有1个公共点. 故选：D 二、填空题 13.写出符合下列两个条件的一个双曲线的标准方程为 . ①实轴长为4；②渐近线方程为 【答案】或 【分析】根据题意可求出a，然后在根据渐近线方程求出b，由于题目没有告诉双曲线的焦点在x轴上还是y轴上，所以需要分类讨论. 【详解】当双曲线焦点在x轴上时，由题意可知:，此时双曲线标准方程为. 当双曲线焦点在y轴上时，由题意可知：，此时双曲线标准方程为. 故答案为：或 14.设，是椭圆与双曲线的公共焦点，曲线，在第一象限内交于点，，若椭圆的离心率，则双曲线的离心率的范围是 . 【答案】 【分析】利用椭圆与双曲线的定义，结合勾股定理可得与关系，进而得解. 【详解】由椭圆及双曲线定义得：，， 即，， 因为， 所以， 即， 所以， 因为，所以， 即， 故答案为：. 15.如图，我们把由半椭圆和半椭圆合成的曲线称作“果圆”．，，是相应半椭圆的焦点，则的周长为______，直线与“果圆”交于，两点，且中点为，点的轨迹方程为______． 【答案】          【分析】根据各半椭圆方程可得，，的坐标，再根据两点间距离公式求得距离及周长；分别表示点，的坐标，利用中点公式表示，消参即可得到点，得轨迹方程. 【详解】由，，是相应半椭圆的焦点， 可得，，， 所以，，， 故所求周长为； 设， 联立直线与，得， 即点， 联立直线与，得， 即点，且不重合，即， 又为中点， 所以， 即，，整理可得，， 故答案为：，. 16.已知圆C1：(x＋3)2＋y2＝1和圆C2：(x－3)2＋y2＝9,动圆M同时与圆C1及圆C2外切,则动圆圆心M的轨迹方程为________． 【错解】x2－＝1， 如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|, |MC2|－|BC2|＝|MB|.因为|MA|＝|MB|,所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|, 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2. 所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数． 又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小), 其中a＝1,c＝3,则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1． 【错因】错误运用双曲线定义出错．本题中,|MC2|－|MC1|＝2,与双曲线定义相比,左边少了外层绝对值,因此只能是双曲线的一支． 【正解】如图所示,设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B. 根据两圆外切的条件,得|MC1|－|AC1|＝|MA|,|MC2|－|BC2|＝|MB|. 因为|MA|＝|MB|,所以|MC1|－|AC1|＝|MC2|－|BC2|, 即|MC2|－|MC1|＝|BC2|－|AC1|＝2.所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数．又根据双曲线的定义,得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大,与C1的距离小),其中a＝1,c＝3,则b2＝8.故点M的轨迹方程为x2－＝1(x<0)． 17.直线与双曲线的右支只有一个公共点，则的取值范围为 . 【答案】 【分析】直线过定点,作出直线与双曲线的图象,通过图象即可求解. 【详解】直线过定点，直线与双曲线图象如图所示，    又双曲线的两条渐近线为， 因为直线与双曲线的右支只有一个公共点， 所以由图可知，， 故答案为： 18.双曲线与直线的公共点个数 ； 【答案】0或1 【分析】先求出双曲线的渐近线方程，可得已知直线与之重合或平行，即得结论. 【详解】由，可得双曲线的渐近线方程为：， 对于 直线，当时，直线与渐近线重合，两者无交点； 当时，因此时直线与双曲线渐近线平行，故只有一个公共点. 综上可得，双曲线与直线的公共点个数为0或1. 19在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线，直线l过抛物线的焦点，直线l与抛物线交于A，B两点，弦AB长为8，则直线l的方程为________． 【答案】或 【解析】由题意知，直线l过． 当斜率不存在时，直线l为，此时，，，不满足题意． 当斜率存在时，可设直线l的方程为，，． 联立，得  整理，得．所以． 又，所以，解得， 所以直线l的方程为或． 20.（2022春·上海普陀·高二校考期中）过椭圆的中心的直线与椭圆交于两点，是椭圆的右焦点，则的面积的最大值为__． 【答案】12 【分析】根据椭圆方程求出，方法一：分类讨论求，进而求的面积，分析运算；方法二：设出的坐标，将的面积用表示，利用的最大值可求出结果. 【详解】由椭圆，得，，． 方法一： 当轴时，为椭圆的短轴，； 当与轴不垂直时，设直线， 由，得，解得，得， 设，不妨取， 所以； 综上所述：的面积的最大值为12． 方法二：设点，则， 故的面积. 故答案为：12. 【点睛】关键点点睛： 方法一：联立方程求点的坐标，进而求的面积，注意分类讨论直线的斜率是否存在； 方法二：根据几何性质可得，再结合的范围分析运算. 21．已知直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点，为椭圆上一个动点，则的最大值与最小值之和为 ． 【答案】 【分析】求出圆的圆心，根据题意可得、，利用平面向量的线性运算可得，即可求解. 【详解】圆，圆心，半径， 因为直线过圆的圆心，且与圆相交于，两点， 所以，又椭圆，则，，右焦点为， 所以 ， 又，即，所以， 即，所以的最大值为，最小值为. 则的最大值与最小值之和为. 故答案为： 22．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】由余弦定理变形得出，在以为焦点，长轴长为6的椭圆上，因此当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大，由此可求得三角形面积最大值． 【详解】, ， 由余弦定理得， 所以， 即，又， 所以在以为焦点，长轴长为6的椭圆上（不在直线上）， 如图以为轴，线段中垂线为轴建立平面直角坐标系， 设椭圆方程为，则， 所以， 当是椭圆短轴顶点时，到的距离最大为， 所以的最大值为， 故答案为：． 三、解答题 23.已知圆 ，过点的直线与圆交于两点，过点作的平行线交直线于点. (1)求点的轨迹的方程; 【答案】(1)； 【分析】（1）根据双曲线的定义即可求解； 【详解】（1）如图，. ，， 即 ，当互换位置时，， 当直线 与轴重合时无法作出，故不在轴上， 点在以为焦点的双曲线上，且， 故点的轨迹的方程为； 24.已知椭圆的右焦点为F，且经过点，过F的直线与椭圆E交于C，D两点，当轴时，． (1)求椭圆E的标准方程； (2)椭圆E的右顶点为A，若椭圆上的存在两点P，Q，且使成立，证明直线PQ过定点． 【答案】(1) (2)证明见详解 【分析】（1）由已知可推得，又点在椭圆上，可得，联立两方程，即可求出的值； （2）设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得出，由韦达定理得出坐标关系，求出直线的斜率.根据已知，列出，代入的表达式，整理得出，解出或，代入直线方程，舍去不合适的值，即可得出定点坐标. 【详解】（1）当轴时,方程为， 由，可得与椭圆两交点为， 则. 由于，所以. 又因为椭圆经过点， 所以有. 联立，解得 ， 所以椭圆的方程为. （2） 由（1）可得，椭圆的右焦点. 因为，所以直线与的斜率同号， 所以直线不垂直于轴， 故可设，设，， 联立直线与椭圆的方程可得， . 由韦达定理可得，， 所以. 又， 所以有. 因为，，， 所以， 所以， 整理可得，， 所以， 整理可得，， 所以或. 当时，满足，此时直线方程为过点，舍去； 当时，由可得有解，此时直线方程为过定点. 所以直线经过定点. 【点睛】思路点睛：设直线方程为，联立直线与椭圆的方程，得出一元二次方程，由韦达定理得出坐标，求出直线的斜率.根据已知，代入的表达式，整理得出的关系，代入直线方程，即可得出定点坐标. 25.已知椭圆的上､下顶点分别为，点是椭圆上异于的动点，记分别为直线的斜率.点满足. (1)证明：是定值，并求出该定值； (2)求动点的轨迹方程. 【答案】(1)证明见解析， (2) 【分析】（1）根据两点斜率公式以及点在椭圆上，即可代入化简求解， （1）根据垂直关系求解斜率关系，联立直线方程得交点坐标即可求解. 【详解】（1）由题意可知, 设点，显然 ，为定值. （2）设点, 由于， 的方程：①. 的方程：② 由①②联立可得：， 代入①可得， 即点 点满足：， 代入可得点的轨迹方程为： 26.已知曲线C上的每一个点到的距离减去它到y轴的距离的差都是2. (1)求曲线C的方程； (2)过F作直线交曲线C于A、B两点，点，求△ABD面积的最小值. 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）设点是曲线上任意一点，利用已知条件列方程，化简求得曲线的方程. （2）设出直线的方程，通过联立方程组以及根与系数关系、弦长公式、二次函数的性质等知识求得正确答案. 【详解】（1）设点是曲线上任意一点， 则. 当时曲线的方程为， 当时，曲线方程为. 故曲线方程是 （2）由题意得，直线的方程为，要与曲线有两个交点， 则曲线方程为， 设.由，得. ， 所以.， 故当时，. 所以三角形ABC面积的最小值是16. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$