2025年江西省中考数学第一轮复习课件-课时18　相似三角形

回归教材 知识梳理 第四单元 三角形 课时18 相似三角形 江西中考 知识梳理 返回目录 一、比例线段 1.线段的比与成比例线段 对于四条线段a,b,c,d,如果其中两条线段的比(即它们长度的比) 与另两条线段的比相等,如 (即ad=bc),我们就说这四条线段成比例. 返回目录 课时18 相似三角形 bc 返回目录 课时18 相似三角形 返回目录 课时18 相似三角形 4.平行线分线段成比例 (1)基本事实:两条直线被一组平行线所截,所得的对应线段④_. 如图,已知l3∥l4∥l5,则 =⑤_, =⑥_, =⑦_ (2)推论:平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线),所得的对应线段成比例. 成比例 返回目录 课时18 相似三角形 二、相似多边形 1.定义:两个边数相同的多边形,如果它们的角分别相等,边成比例,那么这两个多边形叫做相似多边形.相似多边形对应边的比叫做相似比 2.性质 相等 返回目录 课时18 相似三角形 二、相似三角形 1.概念:对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形 2.性质: (1)对应角相等,对应边⑨ (2)周长的比等于相似比,面积的比等于⑩ (3)对应高的比、对应中线的比与对应角平分线的比都等于⑪ 成比例 相似比的平方 相似比 返回目录 课时18 相似三角形 3.判定: 两角分别相等的两个三角形相似 三边对应成比例的两个三角形相似 两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似 平行于三角形一边的直线和其他两边相交,所构成的三角形与原三角形相似(人教) 返回目录 课时18 相似三角形 4.判定思路 已知一对等角 已知两边对应成比例 已知是直角三角形 (1)找另一对等角; (2)找该角的两边对应成比例 (1)找夹角相等; (2)找第三边也对应成比例; (3)找这两个三角形是直角三角形 (1)找一对锐角相等; (2)找任意两边对应成比例 返回目录 课时18 相似三角形 四、位似 1.位似图形 (1)定义:如图,如果两个相似多边形任意一组对应顶点P,P′所在的直线都经过同一点O,且OP′=k OP(k≠0),那么这样的两个图形叫做位似图形,这个点叫做 ⑫_,这两个图形关于这个点位似 位似中心 相似比 (2)位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于⑬_ 返回目录 课时18 相似三角形 2.利用位似将一个图形放大或缩小的步骤 (1)确定位似中心; (2)确定原图形中的关键点关于位似中心的对应点; (3)描出新图形 返回目录 课时18 相似三角形 回归教材 返回目录 【解题依据】 (1)相似三角形的对应角相等. (2)相似三角形的对应边成比例;相似三角形的相似比等于对应边的比,面积比等于相似比的平方. 返回目录 课时18 相似三角形 相似三角形的性质 例1 (北师九上P120改编)如图,点C,D在线段AB上, PCD是等边三角形,且 ACP∽ PDB. (1)∠APB的度数为_; (2)若AC=4,BD=9,则CD的长为 _, ACP与 PDB的相似比 为_,面积比为_. 例1题图 120 6 返回目录 课时18 相似三角形 【思路分析】 返回目录 课时18 相似三角形 【模型分析】 A字型相似——公共角∠A 模型 解题思路 已有一对公共角相等,只需再找一组同侧角相等(∠ADE=∠B或∠AED=∠C)或该角的两邻边成比例 返回目录 课时18 相似三角形 相似三角形的判定 例2 (人教九下P30改编)在 ABC中,D,E分别是边AB和AC上的点,连接DE. (1)如图1,请添加一个条件_, 使得 ADE∽ ABC,并证明. 例2题图1 解:DE∥BC 证明:∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C. ∴ ADE∽ ABC. 返回目录 课时18 相似三角形 [或∠ADE=∠B(或∠AED=∠C) 证明:∵∠ADE=∠B(或∠AED=∠C),∠A=∠A, ∴ ADE∽ ABC. 例2题图1 返回目录 课时18 相似三角形 【模型分析】 斜A字型相似——公共角∠A 模型 解题思路 已有一对公共角相等,只需再找一组异侧角相等(如斜交型中,∠ADE=∠C或∠AED=∠B)或该角的两邻边对应成比例 返回目录 课时18 相似三角形 (2)如图2,请添加一个条件_,使得 ADE∽ ACB,并证明. 例2题图2 解:∠ADE=∠C(或∠AED=∠B) 证明:∵∠ADE=∠C(或∠AED=∠B),∠A=∠A, ∴ ADE∽ ACB. 返回目录 课时18 相似三角形 【模型分析】 正8字型相似——有一组对顶角 模型 解题思路 已有一组对顶角相等,只需再找一组异侧角相等(∠A=∠C或∠B=∠D)或该角的两边对应成比例 返回目录 课时18 相似三角形 (3)如图3,CD与BE相交于点O,请添加一个条件_,使得 DOE∽ COB,并证明. 例2题图3 解:DE∥BC(或∠ODE=∠OCB或∠OED=∠OBC) 证明:∵DE∥BC,∴∠ODE=∠OCB. 又∠DOE=∠COB,∴ DOE∽ COB. 返回目录 课时18 相似三角形 【模型分析】 斜8字型相似——有一组对顶角 模型 解题思路 已有一组对顶角相等,只需再找一组同侧角相等(∠A=∠D或∠B=∠C)或该角的两边对应成比例 返回目录 课时18 相似三角形 (4)如图4,CD与BE相交于点O,若∠BDC=∠CEB,OB=3,OE=2,求OC OD的值. 例2题图4 解:∵∠BDO=∠CEO,∠BOD=∠COE, ∴ BOD∽ COE. ∴OC OD=3 2=6. 返回目录 课时18 相似三角形 江西中考 返回目录 命题点1 相似三角形的判定与性质 1.(2017江西,13(2))如图,正方形ABCD中,点E,F,G分别在AB,BC,CD上,且∠EFG=90 .求证: EBF∽ FCG. 第1题图 证明:∵四边形ABCD是正方形, ∴∠B=∠C=90 .∴∠BEF+∠EFB=90 . ∵∠EFG=90 , ∴∠EFB+∠CFG=180 -90 =90 . ∴∠BEF=∠CFG. 又∠B=∠C,∴ EBF∽ FCG. 返回目录 课时18 相似三角形 2.(2018江西,14)如图,在 ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分线,BD交AC于点E.求AE的长. 第2题图 解:∵BD是∠ABC的平分线,∴∠ABD=∠DBC. 又CD∥AB,∴∠D=∠ABD. ∴∠DBC=∠D.∴CD=BC=4. ∵∠ABE=∠D,∠AEB=∠CED, ∴ AEB∽ CED. ∴AE=2CE, 返回目录 课时18 相似三角形 3.(2022江西,17)如图,四边形ABCD为菱形,点E在AC的延长线上,∠ACD=∠ABE. (1)求证: ABC∽ AEB; 第3题图 证明:∵四边形ABCD为菱形, ∴∠ACD=∠ACB. ∵∠ACD=∠ABE,∴∠ACB=∠ABE. 又∠BAC=∠EAB, ∴ ABC∽ AEB. 返回目录 课时18 相似三角形 (2)当AB=6,AC=4时,求AE的长. 第3题图 解:∵ ABC∽ AEB, ∴AE=9. 返回目录 课时18 相似三角形 命题点2 相似三角形的应用 4.(2023江西,11)《周髀算经》中记载了“偃矩以望高”的方法.“矩”在古代指两条边呈直角的曲尺(即图中的ABC).“偃矩以望高”的意思是把“矩”仰立放,可测量物体的高度.如图,点A,B,Q在同一水平线上,∠ABC和∠AQP均为直角, AP与BC相交于点D.测得AB=40 cm,BD= 20 cm,AQ=12 m,则树高PQ=_m. 第4题图 6 返回目录 课时18 相似三角形 变式4.1 (2024扬州)物理课上学过小孔成像的原理,它是一种利用光的直线传播特性实现图像投影的方法.如图,燃烧的蜡烛(竖直放置)AB经小孔O在屏幕(竖直放置)上成像A′B′.设AB=36 cm,A′B′=24 cm.小孔O到AB的距离为30 cm,则小孔O到A′B′的距离为_ cm. 变式4.1题图 20 返回目录 课时18 相似三角形 全国新考法——在平面直角坐标系中考查位似 5.(2024浙江)如图,在平面直角坐标系中, ABC与 A′B′C′是位似图形,位似中心为点O.若点A(-3,1)的对应点为A′(-6,2),则点B(-2,4)的对应点B′的坐标为( ) A.(-4,8) B.(8,-4) C.(-8,4) D.(4,-8) 第5题图 A 返回目录 课时18 相似三角形 = 2.比例的性质 (1)基本性质:如果=,那么ad=①_;反过来,如果ad=bc(abcd≠0),那么=. (2)合比性质:如果=,那么=. (3)等比性质:如果==…=(b+d+…+n≠0),那么=. 例:已知 ==(b+d≠0),则=②_,=③_ 3.黄金分割 如图,点C把线段AB分成两条线段AC和BC(AC>BC),如果 =,那么称线段AB被点C黄金分割,点C叫做线段AB的黄金分割点,AC与AB的比叫做黄金比.黄金比=≈0.618. 或:= 证明:∵=,∠A=∠A, ∴ ADE∽ ABC.] (或: = ∵ =,∠A=∠A, ∴ ADE∽ ACB.) (或: = ∵ = ,∠DOE=∠COB, ∴ DOE∽ COB.) ∴=,即=. ∴===2. 即AE=CA= 6=4. ∴=,即=. $$