精品解析：天津经济技术开发区第一中学2024-2025学年高一下学期4月期中数学试题

高一数学 一、单选题：（每题3分，共27分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C D. 【答案】D 【解析】 【分析】AB选项，利用向量的加减运算法则得到答案；C选项，举出反例；D选项，利用向量数量积运算法则得到D正确. 【详解】A选项，，A错误； B选项，，B错误； C选项，不妨设， 则， ， 故，C错误. D选项，由数量积的运算法则得到，D正确. 故选：D 2. i为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用复数的除法法则计算即可. 【详解】. 故选：C 3. 下面给出的命题中，正确的个数是（ ） ①一个棱柱至少有5个面 ②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 ③正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 ④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】根据简单几何体的结构特征，逐项判断，即可得出结果. 【详解】根据棱柱的特征可得，一个棱柱的底面至少有三条边，所以至少有5个面；即①正确； 由平行六面体的概念和性质，可知：平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形；即②正确； 根据正棱锥的特征可得，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形；即③正确； 根据棱台的特征可知：棱台是棱锥截得的，侧棱的延长线要交于同一点。有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体，不能保证侧棱的延长线交于同一点，因此该多面体不一定是棱台，即④错； 因此正确的个数有3个. 故选：C. 4. 已知向量，，若，，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面向量共线的坐标表示以及平面向量垂直的坐标表示可得出关于、的方程组，解出这两个未知数的值，即可求得的值. 【详解】因为，，则， ， 因为，则，① 因为，则，可得，② 联立①②可得，因此，. 故选：A. 5. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据平面内直线、平面平行的判定及性质逐项判断即可. 【详解】对于A，若，，则或，A错误； 对于B，若，则或与相交，B错误； 对于C，由，，，得或是异面直线，C错误； 对于D，若，，两个平面平行，一个平面内的任何一条直线都平行于另一个平面， 即，D正确. 故选：D. 6. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，结合数量积的运算即可求解. 【详解】， 在上的投影向量为， 故选：C 7. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正方体和正四面体的表面积公式计算即可得解. 【详解】正方体中，正四面体，如图： 不妨设正方体的棱长为，则正四面体的棱长为， 所以正方体的表面积为， 正四面体的表面积为， 所以正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为. 故选：B 8. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用球体、圆柱体体积公式求鼎容积. 【详解】由题设，此鼎的容积为半球体积与圆锥体积的和， 所以容积约为. 故选：D 9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ） A 2 B. C. 3 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由及面积公式与正弦定理求得， 由得，由平方结合二次函数求的最小值. 【详解】，， 由正弦定理得， ，， ， ，. ，，当且仅当时取等号. ， . 故选：D 二、填空题：（每题4分，共28分） 10. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据复数的几何意义，结合向量的减法运算求解. 【详解】由题意可知：， 可得， 所以向量对应的复数为. 故答案为：. 11. 若圆锥的表面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为______． 【答案】 【解析】 【分析】设出圆锥的底面半径，由它的侧面展开图是一个半圆，分析出母线与半径的关系，结合圆锥的表面积为，构造方程，可求出直径． 【详解】设圆锥的底面的半径为，圆锥的母线为， 则由得， 而 解得，所以直径为． 故答案为：． 12. 阿基米德（Archimedes， 公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为______. 【答案】 【解析】 【分析】先根据球的体积得出球的半径，再根据圆柱的表面积公式计算即可. 【详解】可设球的半径为，则根据题意可知圆柱的底面半径也为， 圆柱的高等于直径，即为，由球的体积为， 利用球的体积公式可得：，解得：， 再由圆柱的表面积公式得：， 故答案为：. 13. 在梯形ABCD中，为AD中点，若，则__________.. 【答案】 【解析】 【分析】由已知结合向量的线性运算和平面向量的基本定理即可求解. 【详解】 因为为AD中点， 所以， 所以， 所以， 故答案为：. 14. 已知矩形，，为的中点，，，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】建立如下图所示平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴，求出点坐标，则，代入求解即可. 【详解】建立如下图所示平面直角坐标系，以为原点，所在直线为轴， 所在直线为轴，，，，，，， 所以的直线方程为：，即， 所以的直线方程为：，即， 联立解得，即， 所以，，所以. 故答案为：. 15. 如图，一架无人机距离地面的高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为__________m. 【答案】300 【解析】 【分析】先求出，继而利用正弦定理求出AC，再解直角三角形ABC，即可求得答案. 【详解】由题意知，m，则， 在中，， 故，则， 又直角三角形ABC中，，故， 故答案为：300 16. 如图，已知边长为1的正方体，点P为棱CG的中点，点Q､R分别在棱BF､DH上，且四边形AQPR为平行四边形，则四棱锥的体积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将四棱锥可分割成两个三棱锥和，两个三棱锥的底面面积及高均可由条件求得，从而求得四棱锥体积. 【详解】四棱锥可分割成两个三棱锥和， 三角形GQP与三角形GPR均可视为底为，高为1三角形，其面积均为， 又A到两平面GQP和GPR的距离均为1，故两三棱锥的体积均为， 得四棱锥的体积为. 故答案为： 三、解答题：（共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知复数为虚数单位，其中是实数. （1）若是实数，求的值； （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由复数的除法和乘法运算结合复数的意义计算即可； （2）由共轭复数的定义和复数的运算结合复数的几何意义计算即可； 【小问1详解】 ， 因为是实数，则. 【小问2详解】 ， 因为复数在复平面内对应的点在第二象限，则， 故a的取值范围为. 18. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 【答案】（1）证明见解析； （2）证明见解析． 【解析】 【分析】（1）由已知可得，得到平面，同理得到平面，再由面面平行的判定可得平面平面； （2）由公理及平面与平面平行的性质得，则，由为的中点，可得为的中点． 【小问1详解】 证明：如图， ，分别为，的中点， ， 平面，平面， 平面， 又，分别为，的中点， ， 又，四边形为平行四边形，则， 平面，平面， 平面， 又，平面， 平面平面； 【小问2详解】 证明：平面平面，平面平面， 平面与平面有公共点，则有经过的直线，交于G， 则，得， 为的中点， 为的中点． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）若. （i）求的值： （ii）求的值. 【答案】（1）6 （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理代入计算，即可得到结果； （2）由余弦定理即可得到，从而得到，再由二倍角公式以及余弦的和差角公式，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 由正弦定理及， 得 【小问2详解】 （i）由余弦定理有， （ii）因为，所以， 从而， 则， 20. 已知点、、，是坐标原点. （1）若，求的值； （2）若实数、满足，，求的最大值. 【答案】（1）；（2），时有最大值16. 【解析】 【分析】（1）根据，代入向量的坐标运算求得，再两边平方得的值；（2）根据，可得，代入求最大值. 【详解】 ， 两边平方后可得 ， ； （2）， ， ， ， ， 时，取得最大值16， 此时 ， 的最大值16. 【点睛】本题考查向量的坐标运算和三角函数结合求值和最值的问题，意在考查转化与三角函数恒等变形，属于基础题型，形如类型函数的值域，根据定义域先求的范围，再求的范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高一数学 一、单选题：（每题3分，共27分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 2. i为虚数单位，则复数（ ） A. B. C. D. 3. 下面给出的命题中，正确的个数是（ ） ①一个棱柱至少有5个面 ②平行六面体中相对的两个面是全等的平行四边形 ③正棱锥侧面是全等的等腰三角形 ④有两个面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 4. 已知向量，，若，，则为（ ） A. B. C. D. 5. 已知m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，则 C. 若，，则 D. 若，，则 6. 已知，若与的夹角为120°，则在上的投影向量为（ ） A B. C. D. 7. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体（四个面都是正三角形的三棱锥）的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的比值为（ ） A. B. C. D. 8. 辽宁省博物馆收藏的商晚期饕餮纹大圆鼎（如图1）出土于辽宁省略左县小波汰沟．此鼎直耳，深腹，柱足中空，胎壁微薄，口沿下及足上端分别饰单层兽面纹，足有扉棱，耳、腹、足皆有炱痕．它的主体部分可以近似地看作是半球与圆柱的组合体（忽略鼎壁厚度），如图2所示．已知球的半径为R，圆柱的高近似于半球的半径，则此鼎的容积约为（ ） A. B. C. D. 9. 在中，角，，所对的边分别为，，．已知的面积为S，，，，则的最小值为（ ） A. 2 B. C. 3 D. 二、填空题：（每题4分，共28分） 10. 在复平面内，复数，对应的向量分别是，，其中是坐标原点，则向量对应的复数为______． 11. 若圆锥的表面积是，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面直径为______． 12. 阿基米德（Archimedes， 公元前287年—公元前212年）是古希腊伟大的数学家、物理学家和天文学家.他推导出的结论“圆柱内切球体的体积是圆柱体积的三分之二，并且球的表面积也是圆柱表面积的三分之二”是其毕生最满意的数学发现，后人按照他生前的要求，在他的墓碑上刻着一个圆柱容器里放了一个球，如图，该球顶天立地，四周碰边，圆柱的底面直径与高都等于球的直径，若球的体积为36π，则圆柱的表面积为______. 13. 在梯形ABCD中，为AD中点，若，则__________.. 14. 已知矩形，，为中点，，，则_______ 15. 如图，一架无人机距离地面高度m，在处观测到岳麓山山顶的仰角为15°，地面上处的俯角为45°，若，则岳麓山的高度为__________m. 16. 如图，已知边长为1的正方体，点P为棱CG的中点，点Q､R分别在棱BF､DH上，且四边形AQPR为平行四边形，则四棱锥的体积为___________. 三、解答题：（共45分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17. 已知复数为虚数单位，其中是实数. （1）若是实数，求值； （2）若复数在复平面内对应的点在第二象限，求的取值范围. 18. 如图，在三棱柱中，，，分别为，，的中点． （1）求证：平面平面； （2）若平面，求证：为的中点． 19. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知. （1）求的值； （2）若. （i）求的值： （ii）求的值. 20. 已知点、、，是坐标原点. （1）若，求的值； （2）若实数、满足，，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$