第四章 三角形诊断卷-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

第四章三角形诊断卷

一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．如图，生活中都把自行车的几根梁做成三角形的支架，这是利用三角形的（　B　）

A．全等形 B．稳定性 C．灵活性 D．对称性

   

第1题图                  第2题图

2．如图，下列不正确的几何语句是（　C　）

A．直线AB与直线BA是同一条直线         B．射线OA与射线OB是同一条射线 

C．射线OA与射线AB是同一条射线         D．线段AB与线段BA是同一条线段

3．下列命题是假命题的是（　D　）

A．对顶角相等    B．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 

C．垂线段最短        D．在同一平面内，有且只有一条直线与已知直线垂直

4．光线从空气射入水中时，光线的传播方向会发生改变，这就是折射现象．如图，水面MN与底面EF平行，光线AB从空气射入水里时发生了折射，变成光线BC射到水底C处，射线BD是光线AB的延长线，∠1＝66°，∠2＝40°，则∠DBC的度数为（　B　）

A．24° B．26° C．40° D．60°

     

第4题图                  第6题图

5．下列长度的三根木棒首尾相接，能组成三角形的是（　A　）

A．3cm，4cm，5cm B．7cm，8cm，15cm 

C．6cm，12cm，20cm D．5cm，5cm，11cm

6．已知方格纸中的每个小方格是边长为1的正方形，A，B两点在小方格的格点上，位置如图所示，在小方格的格点上确定一点C，连接AB，AC，BC，使△ABC的面积为3个平方单位，则这样的点C共有

（　D　）

A．2个 B．4个 C．5个 D．6个

二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．如图，利用隧道，把弯曲的公路改直，就能缩短两地的路程，这其中蕴含的数学道理是 　两点之间线段最短　．

    

   第7题图                   第8题图

8．如图，点O在直线DB上，已知∠1＝15°，∠AOC＝90°，则∠2的度数为 　105°　．

9．如图，在△ABC中，点D，E分别是AC，BC的中点，以点A为圆心，AD为半径作圆弧交AB于点F．若AD＝7，DE＝5，则BF的长为  3  ．

         

第9题图                   第10题图

10．如图，在△ABC中，AD是边BC上的中线，△ABD的周长比△ADC的周长多3，AB与AC的和为13，则AB的长为 　8　．

11．在中国地理地图册上，连接上海、香港、台湾三地构成一个三角形，用刻度尺测得它们之间的距离如图所示，飞机从台湾直飞上海的距离约为1286千米，那么飞机从台湾绕道香港再到上海的飞行距离约为  3 858  ．

            

第11题图                       第12题图

12．如图所示，已知△ABC中，∠B＝90°，BC＝16cm，AC＝20cm，点P是△ABC边上的一个动点，点P

从点A开始沿A→B→C→A方向运动，且速度为每秒4cm，设出发的时间为t（s），当点P在边CA上运动时，若△ABP为等腰三角形，则运动时间t＝　或9或　．

三．解答题（本大题共5小题，满分30分，每小题6分）

13．（1）如图①，已知AB＝DF，∠B＝∠F，BE＝FC．求证△ABC≌△DFE．

证明：∵BE＝FC，

∴BC＝EF，

在△ABC和△DFE中，

，

∴△ABC≌△DFE（SAS）．

第13题图①

（2）已知，如图，△ABC中，AB＝4，BC＝8，D为BC边上一点，BD＝2．求证：△ABD∽△CBA．

证明：∵AB＝4，BC＝8，BD＝2，

∴．

∵∠ABD＝∠CBA，

∴△ABD∽△CBA．

第13题图②

14．已知，△ABC在平面直角坐标系的位置如图所示，点A，B，C的坐标分别为（1，0），（4，﹣1），（3，2）．△A1B1C1与△ABC是以点P为位似中心的位似图形．

（1）请画出点P的位置，并写出点P的坐标　（0，﹣2）　；

（2）以点O为位似中心，在y轴左侧画出△ABC的位似图形      △A2B2C2，使相似比为1：1，若点M（a，b）为△ABC内一点，点M在△A2B2C2内的对应点的坐标为　（﹣a，﹣b）　．

第14题图

解：（1）如解图所示，点P即为所求，点P的坐标是（0，﹣2）；

（2）如解图所示，△A2B2C2即为所求，点M对应点的坐标为（﹣a，﹣b）．

第14题解图

15．如图，∠1+∠2＝180°．

（1）求证：AB∥EF；

（2）若CD平分∠ACB，∠DEF＝∠A，∠BED＝50°，求∠EDF的度数．

（1）证明：∵∠1+∠2＝180°，∠1+∠DFE＝180°，

∴∠2＝∠DFE，∴AB∥EF；

（2）解：∵AB∥EF，∴∠DEF＝∠BDE，

又∵∠DEF＝∠A，∴∠BDE＝∠A，∴ED∥AC，

∴∠BED＝∠ACB＝50°，∠EDF＝∠DCA，

∵CD平分∠ACB，∴，

∴∠EDF＝25°．

第15题图

16．已知：如图，∠ABC＝∠ADC＝90°，M是AC的中点，连接MB、MD．

（1）求证：BM＝MD．

（2）若∠BAD＝30°，求证：△MBD是等边三角形．

证明：（1）∵∠ABC＝∠ADC＝90°，

∴△ABC，△ADC是直角三角形，斜边均为AC，

∵M是AC的中点，

∴，，∴BM＝MD；

（2）∵BM＝AM，DM＝AM，∴∠ABM＝∠BAM，∠ADM＝∠DAM，

∵∠ABM+∠BAM＝∠BMC，∠ADM+∠DAM＝∠DMC，

∴2∠BAM＝∠BMC，2∠DAM＝∠DMC，

∴∠BMD＝∠BMC+∠DMC＝2（∠BAM+∠DAM）＝2∠BAD，

∵∠BAD＝30°，∴∠BMD＝2∠BAD＝60°，

∵BM＝MD，∴△MBD是等边三角形．

第16题图

第17题图

解：（1）如解图，过点A作BC边上的垂线，垂足为D．

在Rt△ADC中，，∴．

由勾股定理，得，，∴BC＝BD+CD＝14．

（2）在Rt△ABD中，．

第17题解图

四．解答题（本大题3小题，每小题8分，共24分）

18．如图，点O是菱形ABCD的对角线BD上一点，联结AO并延长，交CD于点E，交BC的延长线于点F．

（1）求证：AB2＝DE•BF；

（2）如果OE＝1，EF＝2，求的值．

第18题图

证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD＝BC＝CD，AB∥CD，AD∥BC，

∴△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，

∴，∴AB2＝DE•BF；

（2）∵△CEF∽△BAF，△ADE∽△FCE，∴，，

∴11，∴，∴，∴AO，∴．

19．如图，大小不同的两块三角板△ABC和△DEC直角顶点重合在点C处，AC＝BC，DC＝EC，连接AE、BD，点A恰好在线段BD上．

（1）找出图中的全等三角形，并说明理由；

（2）当AD＝AB＝4cm，则AE的长度为 　8　cm；

（3）猜想AE与BD的位置关系，并说明理由．

第19题图

∴∠ACB+∠ACD＝∠DCE+∠ACD，即∠BCD＝∠ACE，

在△CBD与△CAE中，，∴△CBD≌△CAE（SAS）；

（2）8；【解法提示】∵△CBD≌△CAE，∴BD＝AE＝AD+AB＝4+4＝8（cm）．

（3）AE⊥BD，理由如下：

如解图，设AE与CD相交于点O，∵△CBD≌△CAE，∴∠ADO＝∠CEO，

∵∠AOD＝∠COE，∴∠OAD＝∠OCE＝90°，∴AE⊥BD．

第19题解图

 

 

20．如图1，是放置在水平桌面1上的台灯，底座的高AB为5cm．长度均为20cm的连杆BC，CD与AB始终在同一水平面上．

（1）如图2，旋转连杆BC，CD，使∠BCD成平角，∠ABC＝150°，求连杆端点D离桌面l的高度DE；

（2）如图3，将（1）中的连杆CD绕点C逆时针旋转，使∠BCD＝165°，问此时连杆端点D离桌面L的高度较（1）是增加还是减少了？增加了多少或减少了多少？（结果都精确到0.1cm，参考数据：，）

第20题图

第20题解图①

（2）如解图②，过点D作DG⊥l，垂足为G，过点B作BH⊥DG，垂足为H，过点C作CM⊥BH，垂足为M，过点C作CN⊥DG，垂足为N，由题意得，HG＝AB＝5cm，NH＝CM，∠ABH＝∠MCN＝∠BMC＝90°，∵∠ABC＝150°，∴∠CBM＝∠ABC﹣∠ABH＝60°，∴∠BCM＝90°﹣∠CBM＝30°，

∵∠BCD＝165°，∴∠DCN＝∠BCD﹣∠BCM﹣∠MCN＝45°，

在Rt△BCM中，BC＝20cm，∴CM＝BC•sin60°＝2010（cm），∴NH＝CM＝10（cm），

在Rt△DCN中，CD＝20cm，

∴DN＝CD•sin45°＝2010（cm），

∴DG＝DN+NH+HG＝（10105）cm，

∴205﹣（10105）＝10103.2（cm），

∴此时连杆端点D离桌面L的高度较（1）是减少了，减少了3.2cm．

第20题解图②

 

 

②当n为任意值时，请直接写出∠BOC与∠A的数量关系（用含α、n的代数式表示）；

知识拓展

（4）如图③，BF、CF分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点F，∠CBF

∠DBC，∠BCF∠ECB，∠A＝α，求∠BFC的度数（用含α、n的代数式表示）．

解：（1）∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝115°，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，

∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝57.5°，∴∠F＝122.5°；

（2）90°α；【解法提示】∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣α，∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∴∠FBC+∠FCB（∠ABC+∠ACB）＝90°α，∴∠F＝90°α．

（3）①∠F＝120°α．理由：∠F＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°（∠ABC+∠ACB）＝180°（180°﹣∠A）＝120°α；

②•180°；

（4）∠F＝180°﹣（∠FBC+∠FCB）＝180°（∠DBC+∠ECB）＝180°（180°+∠A）•180°．

22．定义：如果三角形有两个内角的差为60°，那么这样的三角形叫做“准等边三角形”．

（1）理解概念；顶角为120°的等腰三角形 　不是　“准等边三角形”．（填“是”或“不是”）

（2）巩固新知；已知△ABC是“准等边三角形”，其中∠A＝35°，∠C＞90°．求∠B的度数．

（3）解决问题；如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，，点D在AC边上，若△BCD是“准等边三角形”，求BD的长．

第22题图