第一章 数与式诊断卷-【一战成名新中考】2025江西中考数学中考必考知识点专题特训

第一章数与式诊断卷

一．选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

1．﹣2 024的倒数是（　B　）

A．2 024 B． C．﹣2 024 D．

2．下列实数中，最大的是（　C　）

A．0 B．﹣1 C．2 D．

3．要使二次根式有意义，x的值可以是（　D　）

A．﹣1 B．0 C．1 D．

4．下列运算正确的是（　C　）

A．a2+a2＝2a4      B．a6÷a3＝a2 C．2a3•a2＝2a5      D．（﹣3a2）3＝﹣9a6

5．计算：的结果是（　D　）

A．﹣1 B．a C．a﹣1 D．1

6．国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳计数”．如图，浔浔在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录立志为中考奋斗后努力的天数，由图可知，浔浔努力的天数是（　C　）

第6题图

A．124 B．469 C．67 D．210

二．填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）

7．单项式a3b2的次数是 　5　．

8．如果电梯上升8层记作+8层，那么下降2层记作  ﹣2　层．

9．把化成最简二次根式得　2　．

10．分解因式：2x3﹣2x＝　2x（x+1）（x﹣1）　．

11．若分式有意义，则x的取值范围是 　x≠1　．

12．兆帕是压强的单位，全称为兆帕斯卡，1帕是指1牛顿的力均匀的压在1平方米的面积上所产生的压强，

1兆帕＝1000000帕，那么300兆帕换算成帕并用科学记数法表示为　3×108帕　．

三．解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）

13．计算：（1）（﹣1）2023×2﹣2+（）0；

（2）．

解：（1）原式＝﹣111；

（2）原式＝121＝11．

14．定义新运算“@”与“⊕”：a@b，a⊕b．

（1）计算3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）的值；

（2）若A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b），B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b），比较A和B的大小．

解：（1）3@（﹣2）﹣（﹣2）⊕（﹣1）

＝1；

 

（2）A＝3b@（﹣a）+a⊕（2﹣3b）

＝3b﹣1，

B＝a@（﹣3b）+（﹣a）⊕（﹣2﹣9b）

＝3b+1，

则A＜B．

15．下面是小斌同学进行分式化简的部分过程，请认真阅读并解决问题．

问题：（1）从第 　一　步开始出现错误，这一步错误的原因是 　分式的减法计算错误　；

（2）以上化简步骤中，第三步用到的运算是 　因式分解　（填“整式乘法”或“因式分解”）；

（3）请写出此题正确的解题过程，并从﹣2＜x＜2中，取一个合适的整数值求分式的值．

解：（1）一，分式的减法计算错误；（2）因式分解；

（3）原式• ，

∵﹣2＜x＜2，∴整数x＝﹣1，0，1，

当x＝﹣1，0时，原式没有意义；当x＝1时，原式＝0．

16．下面是小明同学化简求值的部分过程，请你认真阅读并完成相应任务．

任务一：填空：①第一步用到的乘法公式有 　完全平方公式，平方差公式　；②第 　二　　步开始出现错误，这一步错误的原因是　括号前是“﹣”号，去括号时，﹣1没有变号　；

任务二：请直接写出正确的求值结果．

解：任务一：完全平方公式，平方差公式；括号前是“﹣”号，去括号时，﹣1没有变号；

任务二：（2x+1）2﹣3x（x﹣1）﹣（x+1）（x﹣1）

＝4x2+4x+1﹣3x2+3x﹣（x2﹣1）

＝4x2+4x+1﹣3x2+3x﹣x2+1

＝7x+2，

当x时，原式＝7×（）+2＝﹣3+2＝﹣1．

17．先化简，再求值：a，其中a＝2020．如图是小亮和小芳的解答过程．

第17题图

（1）　小亮　的解法是错误的；

错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：　|a|　；

（2）先化简，再求值：a，其中a＝﹣2021．

解：（1）小亮；|a|；

（2）原式＝a+2＝a+2|a﹣4|，

∵a＝﹣2021，∴a﹣4＜0，

∴原式＝a﹣2（a﹣4）＝﹣a+8＝2021+8＝2029．

四．解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18．某商店销售羽毛球拍和羽毛球，羽毛球拍每副定价40元，羽毛球每桶定价10元，“双十一”期间商店决定开展促销活动，活动期间向客户提供两种优惠方案．

方案一：买一副羽毛球拍送一桶羽毛球；

方案二：羽毛球拍和羽毛球都按定价的90%付款．

现某客户要到该商店购买羽毛球拍10副，羽毛球x桶（x＞10）．

（1）若该客户按方案一、方案二购买，分别需付款多少元？（用含x的代数式表示）

（2）当x＝30时，通过计算，说明此时按哪种方案购买较为合算？

（3）当x＝30时，你还能给出一种更为省钱的购买方案吗？试写出你的购买方法，并计算需付款多少元？

解：（1）该客户按方案一需付款：40×10+10（x﹣10）＝（10x+300）元，

该客户按方案二需付款：（40×10+10x）×90%＝（9x+360）元，

答：该客户按方案一、方案二购买，分别需付款（10x+300）元、（9x+360）元；

（2）当x＝30时，按方案一需付款：10×30+300＝600（元），

按方案二需付款：9×30+360＝630（元），∵600＜630，∴客户按方案一购买较为合算；

（3）能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，

共付款：40×10+10×20×90%＝580（元），

答：能，先按方案一买羽毛球拍10副，送10桶羽毛球，按方案二购买20桶羽毛球，需付款580元．

19．【阅读理解】|5﹣2|表示5与2差的绝对值，也可理解为5与2两数在数轴上所对应的两点之间的距离；|5+2|可以看作|5﹣（﹣2）|，表示5与﹣2的差的绝对值，也可理解为5与﹣2两数在数轴上所对应的两点之间的距离．

【问题探究】（1）如图，先在数轴上画出表示点4.5的相反数的点B，再把点A向左移动1.5个单位，得到点C，则点B和点C表示的数分别为 　﹣4.5　和 　3.5　，B，C两点间的距离是　8　；

（2）若点A表示的整数为x，则当x为 　﹣2　时，|x+6|与|x﹣2|的值相等；

（3）要使代数式|x+1|+|x﹣2|取最小值时，求相应的x的取值范围．

第19题图

当a＝4时，，没有满足题意的b值，

综上，满足条件的两位数n为36．

 

六．解答题（本大题共12分）

23．综合与实践

【问题背景】通常情况下，用两种不同的方法计算同一图形的面积，可以得到一个恒等式．如图①，小刚同学动手剪了相同大小的正方形与长方形纸片若干张．

第23题图

【归纳类比】

（1）他用1张1号、1张2号和2张3号纸片拼出一个新的图形（如图②）．根据这个图形的面积关系写出一个你所熟悉的乘法公式，这个乘法公式是　（a+b）2＝a2+2ab+b2　；

（2）如图③，小刚同学用x张1号纸片，y张2号纸片，z张3号纸片，拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的长方形，则x＝　1　，y＝　2　，z＝　3　，由此可以得出一个恒等式是　（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2　；

【实践操作】

（3）请你依照小刚的方法，利用拼图分解因式a2+5ab+6b2并画出拼图；

【拓展应用】

（4）若图2中的长方形的长（b）与宽（a）的值分别为：a＝12﹣m，b＝m﹣3，且满足（12﹣m）（m﹣3）＝18，请求出（12﹣m）2+（m﹣3）2的值．

＝45．

第23题解图