第三章 位置与坐标 复习巩固课件 　　2024—2025学年北师大版（2024）数学八年级上册

第三章 位置与坐标 专题6 点的位置坐标特征 1 类型1 象限内的点的坐标 1. 已知点，且，则点 在( ) B A. 第二、三象限 B. 第一、三象限 C. 第三、四象限 D. 第一、二象限 2. 若点在第一象限，则点 在( ) B A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 2 3. 若点在第四象限，则 的值 可以是_________________. 4（答案不唯一） 返回 3 4. 已知，都是实数，设点 ，若满足 ，则称点 为“梦想点”. （1）判断点 是否为“梦想点”； 【解】因为， ， 所以.所以点 是“梦想点”. 4 （2）若点是“梦想点”，请判断点 在第几 象限，并说明理由. 点在第三象限.理由如下：因为点 是“梦想 点”，所以，解得 . 所以，.所以点 在第三象限. 返回 5 类型2 坐标轴上的点的坐标 5. ［2025重庆万州区期中］若点在 轴上， 则 的值为( ) B A. B. C. D. 1 返回 6 6.已知点，试分别根据下列条件，求出点 的坐标. （1）点在 轴上； 【解】因为点在 轴上， 所以，解得 . 所以.所以点的坐标为 . 7 （2）点在 轴上； 因为点在 轴上， 所以，解得 . 所以 . 所以点的坐标为 . 8 （3）点 的纵坐标比横坐标大5； 因为点 的纵坐标比横坐标大5， 所以，解得 . 所以， . 所以点的坐标为 . 9 （4）点在过点，且与 轴平行的直线上. 因为点在过点，且与 轴平行的直 线上，所以，解得 . 所以 . 所以点的坐标为 . 返回 10 类型3 象限角平分线上点的坐标 7.已知点 在第四象限的角平分线上，则该点的 坐标是__________. 返回 11 8.在平面直角坐标系内，已知点 在第三象限的 角平分线上，求 的值及此点的坐标. 【解】因为点 在第三象限的角平分线上，所以 ，解得 . 所以, , 故此点的坐标为 . 返回 类型4 与坐标轴平行的直线上的点的坐标 9.如图，在平面直角坐标系中，已知点 的坐标 是，点的坐标为，， 为 上一点，且平行于轴， ，则点 的坐标为_________. 返回 13 10.已知点.若点和点都在过点 且与 轴平行的直线上，，求点 的坐标. 【解】因为点和点都在过点且与 轴平行的直线上， 所以点和点 的纵坐标都为3. 所以.所以.所以 . 又因为,所以点的横坐标为或 . 所以点的坐标为或 . 返回 14 11.［2025九江期中］已知点 ，解答下列各题： （1）若点的坐标为，且直线轴，求出点 的坐标； 【解】因为直线轴，点的坐标为 . 所以点 的纵坐标为3. 所以.所以 ， 所以，所以点的横坐标为 . 所以点的坐标为 . 15 （2）若点在第二象限，且它到轴、 轴的距离相等，求 的值. 因为点在第二象限，且它到轴、 轴的距离相等，所以 ，解得 . 所以 . 返回 16 类型5 关于坐标轴对称的点的坐标 12.过点，的直线与轴平行，则点关于 轴对称的点的坐标是______. 返回 17 13.已知点, . （1）若点，关于轴对称，求, 的值； 【解】因为点,关于轴对称，所以 , ,解得, . 18 （2）若点，关于轴对称，求 的值. 因为点,关于 轴对称， 所以, , 解得, . 所以 . 返回 19 类型6 关于特殊直线对称的点的坐标 （第14题） 14. 如图，在直角坐标系中，点 的坐 标为，直线轴且交 轴于 点，则点关于直线 的对称点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 20 【点拨】如图，作点关于直线 的对 称点，交于点，则 的横坐标 为3. 由题意得，所以点到 轴 的距离为所以 . 返回 21 15.如图，点与点关于直线 对称，则 ____. （第15题） 返回 22 16.如图，， 关于直线 的对称点分别为， . （1）的坐标为______， 的坐标为 ______； （2）关于直线 的对称点的坐标为______， 关于直线 的对称点的坐标为_________； 23 （3）求点关于直线 的对称点 的坐标.、 【解】设对称点的坐标为 ， 则有，，所以 . 所以点关于直线的对称点的坐标为 . 返回 24 $$第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第1课时 平面直角坐标系 1 1. ［2025南充期末］如图，小手盖住的点的坐标可能为 ( ) D A. B. C. D. 2. 已知在平面直角坐标系中，点在 轴上，位于原点右侧， 距离原点2个单位长度，则点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 返回 2 3. 若，为实数，且，则点到 轴的距离为( ) C A. B. 2 C. 5 D. 返回 3 4. 关于平面直角坐标系，给出以下说法： ①坐标平面内的点可以用有序数对来表示； ②坐标原点不属于任何象限； 轴与 轴互相平行; ④在平面直角坐标系中，水平的数轴称为 轴或横轴，铅直 的数轴称为 轴或纵轴. 其中正确的个数为( ) C A. 1 B. 2 C. 3 D. 0 返回 4 5. 已知点，且点 的纵坐标 比横坐标大3，则点 的坐标为__________. 返回 5 6. 教材P59操作·思考 如 图，在所给的坐标系中描出下 列各点： ， ， ，， ， . 这些点有什么关系？你能再找 出一些类似的点吗？ 6 【解】如图，这些点的横、纵坐标相等， 能.类似的点有，，，， 等. 返回 7 （第7题） 7. 如图所示,小颖从家到学校要穿过一个居 民小区,若小区的道路均是正南或正东方向, 小颖走下面哪条线路不能到达学校?( ) D A. B. C. D. 返回 8 8. 已知点到轴的距离是它到 轴距离的2 倍，则 的值为( ) D A. 5 B. C. 或 D. 5或 返回 9 （第9题） 9. 如图，直角坐标系 中点，点，以点 为圆心， 为半径画弧交轴于点，则点 的坐 标为_______. 10 （第9题） 【点拨】因为点的坐标为，点 的坐标为，所以, ,所 以.因为以点 为圆 心，长为半径画弧，交 轴的负半轴 于点,所以 ,所以 ,所以点 的坐标为 . 返回 11 10. 如果点的坐标满足 ， 那么称点为“和谐点”.若某个“和谐点”到轴的距离为3，则 点的坐标为______________. 或 【点拨】由题意得.因为,所以 或 ,解得或.所以点的坐标为 或 . 返回 12 11. 如图，动点 在平面直角坐标系中按图中 箭头所示方向运动，第1次从原点运动到点 ,第2次接着运 动到点,第3次接着运动到点, ,按这样的运动规律， 经过第2 025次运动后，动点 的坐标是__________. 返回 13 12. 南沙群岛是我 国固有的领土，如图是我国南沙 群岛中某个小岛的平面示意图， 小明建立了平面直角坐标系后， 营房的坐标为 ，哨所2的坐 标为 . 14 （1）请将小明所建的坐标系在图上画出，并写出雷达、码 头、停机坪、哨所1的坐标； 15 【解】画出坐标系如图①，雷达的 坐标为 ，码头的坐标为 ，停机坪的坐标为 ， 哨所1的坐标为 . 16 （2）如果平移直角坐标系，使营 房为坐标原点，值班士兵从营房 出发，沿着， ， ，，， 的 路线巡逻，请依次写出他所经过 的地方. 17 如图②，他所经过的地方依次为停 机坪、小广场、雷达、哨所2、码 头、哨所1. 返回 18 13.在平面直角坐标系中，三角形的边在 轴上，且 ，已知点的坐标为，点的坐标为 . 19 （1）在如图所示的直角坐标系中画出所有符合条件的三角 形，并写出点 的坐标； 20 【解】如图①所示，当点在点的左边时， ，所 以点的坐标为 ； 如图②所示，当点在点的右边时， ， 所以点的坐标为 . 综上，点的坐标为或 . 21 （2）求三角形 的面积. 三角形的面积为 . 返回 22 14. 在平面直角坐标系 中，给出如下定义： 点到轴、轴距离的较小值称为点的“短距”，当点 的“短 距”等于点的“短距”时，称， 两点为“等距点”. （1）点 的“短距”为___； 2 （2）若点的“短距”为1，求 的值； 【解】由题意可知，解得或 . 23 （3）若，两点为“等距点”，求 的值. 分类讨论：，解得或 ， 时， ，符合题意； 时， ，符合题意. ，解得或 ， 时，,不合题意，舍去; 时， ,不合题意，舍去.综上， 或2. 返回 24 $$第三章 位置与坐标 专题7 坐标系中的图形面积 1 类型1 运用补形法求图形的面积 1.如图，在中，，，三点的坐标分别为 ， ，，求 的面积. 2 【解】如图，作出长方形 . 因为，，三点的坐标分别为，， ， 所以，，，，， . 所以 . 返回 3 类型2 运用分割法求图形的面积 2.如图，在平面直角坐标系中，四边形 各顶点的坐标分 别是，，， ，求四边形 的面积. 4 【解】如图，过点作轴，垂足为 . 因为 ， 所以， . 因为， ， 所以，.所以 . 5 所以 . 返回 类型3 利用图形面积求点的坐标 3.已知点，，点在坐标轴上，且三角形 的 面积是2，则满足条件的点 的坐标为__________________. 或或 【点拨】若点在轴上，则 ，解得 ，所以点的坐标为或;若点在 轴上，则 ，解得，所以点的坐标为 或.综上所述，点的坐标为或或 . 返回 7 4.［2025成都锦江区期中］已知 ，，， 四个点. （1）在图中描出，，， 四个点， 顺次连接，，，， ； 8 【解】画出图形如图所示. 9 （2）在轴上有一点 ，且 ，求出点 的坐标. . 设点，因为 ， 所以，即 ， 解得， . 所以点的坐标为或 . 返回 10 类型4 探究面积的存在性问题 5.［2025宜昌期中］已知在平面直角坐 标系中有三点,, ， 请回答下列问题： 11 （1）在如图的坐标系内描出点，，的位置，连接 , ,，则 的面积是___； 5 【解】画 如图所示. 12 （2）画出关于 轴对称的 ； 画 如图所示. 13 （3）在轴上是否存在点，使以 ， ， 三点为顶点的三角形的面积为5.若 存在，请求出点 的坐标；若不存在，请 说明理由. 存在.设点的坐标为 ， 由题意得，解得 或 . 所以点的坐标为或 返回 14 $$第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第3课时 建立平面直角坐标系 1 （第1题） 1. 为培养青少年的科学态度和科学思维， 某校创建了“科技创新”社团.小红将“科” “技”“创”“新”写在如图所示的方格纸中， 若建立平面直角坐标系，使“创”“新”的坐 标分别为， ，则“技”所在的 象限为( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 返回 2 （第2题） 2. 如图是小明、小刚和小红做课间操时的位置， 老师建立一个平面直角坐标系，如果用坐标 表示小明的位置，坐标 表示小刚的位 置，那么小红的位置坐标为( ) C A. B. C. D. 返回 3 3. 教材P66习题 如图是天安门广 场周围的主要景点分布示意图，在此图中 建立平面直角坐标系，若表示故宫的点的 坐标为 ，表示美术馆的点的坐标为 C A. 王府井 B. 电报大楼 C. 人民大会堂 D. 天安门 ，则表示其他景点的点的坐标正确的是( ) 4 【点拨】由题意得表示王府井 的点的坐标为 ,表示电报 大楼的点的坐标为 ,表 示人民大会堂的点的坐标为 ,表示天安门的点的坐 标为 . 返回 5 4. 如图，平行四边形的顶点 ， ，的坐标分别是， ， ，则顶点 的坐标是( ) D A. B. C. D. 【点拨】由题易知,点与点到 轴的距离相等.因为 平行四边形的顶点，，的坐标分别是 ， ，，所以，.所以顶点 的坐标为 .故选D. 返回 6 5. 教材P63例3 如图，四边形 是 边长为4的正方形，在正方形的一个角上剪 去长方形，其中，分别是边 ， 上的点，且， ，剩余部分 是六边形 ，请你建立适当的平面直角坐标系，求六 边形 各顶点的坐标. 7 （第5题） 【解】分别以边， 所在的直线为坐标轴， 建立平面直角坐标系，如图所示. 因为点是原点，所以 . 易知 . 因为点，分别在轴、 轴上，所以 ， . 因为点，的纵坐标相等，且 ， 8 所以 . 因为点， 的横坐标相等，且 ，所以.因为点 与 点的横坐标相等，点与点 的纵坐标相等， 所以 . 因为点与点的横坐标相等，点与点 的 纵坐标相等，所以 . （第5题） 返回 6. 小明家位于公园的正东方向 处，从 小明家出发向北走 就到小华家，若选取小华家为原点， 分别以正东、正北方向为轴、 轴正方向建立平面直角坐标 系，规定一个单位代表 ，则公园的坐标是( ) C A. B. C. D. 10 【点拨】依据题意建立平面直角坐标系如图所示. （第6题） 11 由“从小明家出发向北走 就到小华家”可知小明家在小 华家的正南方向 处， 由“小明家位于公园的正东方向 处”可知公园在小明家 的正西方向 处， 图中点是小华家，点是小明家，点 是公园， 故公园的坐标为 . 返回 12 7. ［2025成都双流区期末］在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已 经找到了和 两个标志点，并且知道藏宝地点 的坐标为 ，如图，藏宝地点可能是( ) B A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 13 8. 已知等腰三角形 ,建立适当的平面直角坐标系后,其三 个顶点的坐标分别为，, ,其中 ，则下列关于该三角形的三边关系正确的是( ) A A. B. C. D. 14 【点拨】建立平面直角坐标系如图所示，交轴于点 ， 则,， , 所以, , ,所以 . 返回 15 9.建立如图所示的直角坐标系，在中， ， ，则线段 的长为___. 5 16 【点拨】如图，过作轴于，过 作轴于.因为, ， 所以, ， 所以 . 所以 ， 返回 17 10.如图所示是某台阶的一部分,如果点的坐标为,点 的 坐标为 . （1）请建立适当的平面直角坐标系，并写出点,,, 的坐 标.（已知轴向右为正方向， 轴向上为正方向） 18 【解】以点为原点，水平方向为轴，以竖直方向为 轴， 建立如图所示的平面直角坐标系. 根据题意得，,, . 19 （2）如果该台阶有10级,你能得到该台阶的高度吗? 因为每级台阶高为1，所以10级台阶的高度是10. 返回 20 11.如图①所示,已知四边形, , , ,, . （1）试说明: ; 21 【解】因为,, , 所以 . 因为， ,所以 ,所以 是直角三 角形，且 ,所以 . 22 （2）求四边形 的面积; . 23 （3）如图②,以为坐标原点,分别以,所在直线为 轴、 轴建立直角坐标系,点在轴上,若 ,求点 的坐标. 24 因为,所以 ，即 ,解得 . 因为，点在 轴上， 所以的坐标为或 . 返回 25 12.在平面直角坐标系中，对于任意三点，， 的“矩面 积”，给出如下定义：“水平底” 表示任意两点横坐标差的最 大值，“铅垂高” 表示任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面 积” ． 例如：三点坐标分别为，， ，则“水 平底”，“铅垂高”，所以“矩面积” ． 26 根据所给定义解决下列问题： （1）若三点，，，则“水平底” ___， “铅垂高”___，所以“矩面积” ____． 4 5 20 27 （2）若三点，， 的“矩面积”为18，求 点 的坐标． 【解】 由题意知 . 因为“矩面积”为18，所以.当 时， ,所以 ； 当时,,所以 . 综上所述，或 . 28 （3）若三点，， ，其中 ．若三点，，的“矩面积”为15，求 的取值范围． 当时，因为,, ,所以 ,,所以三点、、 的“矩 面积”为15，满足题意；当 时，则 , ,所以 29 ，解得（舍去）；当 时，则 ,,所以 , ,所以此时.综上所述， . 返回 $$第三章 位置与坐标 1 确定位置 1 1. ［2025保定期中］河北省艺术中心是省会文化娱乐活动中 心、高雅艺术展示基地、精神文明建设的窗口.若艺术中心“9 排7号”记作，那么 表示( ) B A. “3排2号” B. “2排3号” C. “2排2号” D. “3排3号” 返回 2 2. 北京时间2024年10月30日，搭载神舟 十九号载人飞船的长征二号 遥十九运载火箭在酒泉卫星发 射中心点火发射，下列描述能准确确定酒泉卫星发射中心位 置的是( ) B A. 甘肃省西北部 B. 东经 ，北纬 C. 东经 D. 北纬 返回 3 3. 如图所示为雷达在一次探测中发现的三个目标，其中目标 ，的位置分别表示为， ，按照此方法可 以将目标 的位置表示为( ) C （第3题） A. B. C. D. 返回 4 （第4题） 4. ［2025无锡期中］如图的密码表是用来 玩听声音猜字母的，如果听到“咚咚—咚咚， 咚—咚，咚咚咚—咚”表示的是“ ”，那 么听到“咚咚—咚咚咚，咚咚咚咚—咚咚咚 咚，咚咚咚—咚咚咚咚”时，表示的是 ( ) B A. B. C. D. 5 （第4题） 【点拨】因为咚咚-咚咚，咚-咚，咚咚咚- 咚”表示的是“ ”，而由题图知表示 ，，对应的字母为D，， ， 所以“咚咚-咚咚咚，咚咚咚咚-咚咚咚咚， 咚咚咚-咚咚咚咚”表示，， ， 对应表格中的字母为B，， ，所以“咚咚-咚咚咚，咚咚咚 咚-咚咚咚咚，咚咚咚-咚咚咚咚”表示的是“ ”. 返回 6 5.电子银行口令卡相当于一种动态的电子 银行密码.交易时，电子银行系统就会随 机给出一组口令卡坐标，客户根据坐标从 卡片中找到口令组合并输入电子银行系统. 163177 只有当口令组合输入正确时，客户才能完成相关交易.如图是 电子银行口令卡的一部分，如果电子银行系统发出的口令组 合为 ，其对应的密码为________. 返回 7 6.如图是游乐园一角的平面示意图， 图中1个单位长度表示 . （1）如果用有序数对 表示跳 跳床的位置，填写下列游乐设施的 位置：跷跷板______，摩天轮____ __，碰碰车______； 8 （2）秋千的位置是 ，请在图中标出来； 【解】秋千的位置如图所示. 9 （3）旋转木马在大门以东，再往北 处，请在图 中标出来. 如图所示，旋转木马的位置是 . 返回 10 7. 如图是一个按某种规律排列的数阵.若用有序实数对 表示 第行，从左到右第个数，如表示实数3，则 表示的实 数是( ) 1 第1行 第2行 第3行 第4行 …… …… B A. B. C. D. 11 【点拨】由表格可知每行数的个数与行数相同，被开方数为 正整数且按顺序排列，所以第八行第1个数为 ,所以第八行第5个数为 ，所以表示的实数是 . 返回 12 8. 七年级某班有48名学生，所在教室有6行8列座位，用 表示第行第 列的座位，新学期准备调整座位.设某个 学生原来的座位为，若调整后的座位为 ，则称该 生作了平移，并称 为该生的位置 数.某生的位置数为8，当取最小值时，则 的最大值 为( ) A A. 25 B. 30 C. 36 D. 48 13 【点拨】因为 ，所以 .又因为 ， 所以，即 .因为 ，，且，都是整数，所以 的最小 值为10.当,时，,当, 时， ,当,时，,当, 时， ,当,时，,所以 的最大值为25， 故选A. 返回 14 9.根据格子图填空. （1）如果学校的位置用数对 表示，那么医院的位置应 用数对（___，___）表示； 7 2 15 （2）经测量学校到医院 的图上距离约为____ （保留一位小数），实 际距离约是____ ； （3）医院位于学校的__________方向上（用量角器测量角 度，精确到 ）. 北偏东 返回 16 10.［2025上海浦东新区期中］如图，在 的方 格（每个小正方形的边长为1）内有1只甲虫，它爬 行规律总是先左右，再上下.规定：向右与向上为 （1）图中（____，____），，____ ； 正，向左与向下为负.从到 的爬行路线记为： ，从到的爬行路线为： ，其 中第一个数表示左右爬行信息，第二个数表示上下爬行信息. 17 （2）若甲虫的爬行路线为 ，计算甲虫爬行的路程. 【解】由到的爬行路线为 ，由 到的爬行路线为，由到 的 爬行路线为 ，所以甲虫爬行的路 程为 . 18 （3）若甲虫从点出发，爬行路线依次为 ， ，，，最终到达点 处，请在图中 标出点 的位置. 如图,点 即为所求. 返回 19 11. 如图①，将射 线按逆时针方向旋转 ，得到 射线，如果点为射线上的一点，且 ，那么我 们规定用表示点在平面内的位置，并记为 ，例 如，在图②中，如果， ，那么点 在 平面内的位置记为 ，根据图形，解答下面的问题： 20 （1）如图③，如果点在平面内的位置记为 ，那么 ___， ____； 6 21 （2）如果点，在平面内的位置分别记为 ， ，求， 两点之间的距离，并画出图. 22 【解】如图所示，因为， ， 所以 ， ，， ， 所以 ， 所以在中， . 返回 23 $$第三章 位置与坐标 3 轴对称与坐标变化 1 （第1题） 1. 线段 在平面直角坐标系中的位置如图 所示，若线段与线段关于 轴对称， 则点的对应点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 返回 2 2. ［2024雅安］在平面直角坐标系中，将点 向右平 移2个单位长度后，得到的点关于 轴的对称点的坐标是 ( ) B A. B. C. D. 3. ［2025西安雁塔区期中］若点与点 关于轴对称，则 等于( ) B A. 1 B. C. 2 025 D. 返回 3 （第4题） 4.如图，经过两次轴对称 轴和轴为对称轴变化后，得到 ， 如果，，各点的坐标分别为 ， ，，那么，, 各点的坐标 分别为________，______， _________. 返回 4 5.若，满足 ，则平面直角坐标系 内，点关于轴对称的点 在第____象限. 一 【点拨】因为，且 ， ，所以， ，解得 ，.所以点的坐标为.所以点关于 轴对 称的点的坐标为，即点 在第一象限. 返回 5 6.如图所示的正方形网格中,每个小正方 形的边长都为1,, 的顶点都 在网格线的交点上,在图中建立平面直角 坐标系,使与关于 轴对 称,点的坐标为 . 6 （1）在图中画出平面直角坐标系 ; 【解】建立平面直角坐标系 如图所示. 7 （2）①画出关于轴对称的图形,其中点 的 对称点是,点的对称点是，点的对称点是 ； 如图所示. 8 ②写出点 的坐标. . 返回 9 7. 如图,在 的正方形网格中有四个格点 ，，， ，以其中一点为原点,网格线所在 直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，使其余 三个点中存在两个点关于一条坐标轴对称,则 原点是( ) B A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 返回 10 8. 在平面直角坐标系中，点 ，丽丽同 学对点进行了如下操作，每次只把其中一个坐标乘以 ， 另一坐标不变.第一次将点的横坐标乘以 ，纵坐标不变得 到；第二次将点的纵坐标乘以，横坐标不变得到 ； 第三次将点的横坐标乘以，纵坐标不变得到 ；第四 次将的纵坐标乘以，横坐标不变得到；第五次将 的横坐标乘以，纵坐标不变得到； ，她按照上述规 律操作，则点 的坐标为_______. 11 【点拨】由题意知，第一次操作后, ；第二次 操作后，；第三次操作后， ；第四次操 作后，；第五次操作后， ；…；由此可得， 每4次一个循环.因为，所以点 的坐标为 . 返回 12 （第9题） 9.如图，在直角坐标系中，第一次将 变 换成，第二次将 变换成 ，第三次将变换成 ， 已知，，， ， ，，，， ，观察每次变换中 的顶点坐标有何变化，找出规律，推测 的坐标是 _______， 的坐标是_________． 返回 13 （第10题） 10.如图，在平面直角坐标系中摆放着一个轴 对称图形,其中点的对称点 的坐标为 ,点为图形上的一点,则点 在图 形上的对称点的坐标为____________. 【点拨】因为点的对称点 的坐标为 ，所以对称轴为直线.设点 在图形上的对称点的 坐标为,所以,.所以 .所以 点在图形上的对称点的坐标为 . 返回 14 11. 如图，在 平面直角坐标系中，点 的 坐标为，点 的坐标为 ，点的坐标为 . 15 （1）请画出关于轴对称的图形点，， 的 对称点分别为，， ； 【解】如图， 即为所求. 16 （2）求 的面积； . 17 （3）在轴上找一点 ，使 的周长最小，并求出这个 最小值. 18 连接，交轴于点，连接 ,由对称可得 ，易知此时 的周长最小. 且 周长的最小值为 . 易知 , 又因为， ， 所以 ， 19 . 所以周长的最小值为 . 返回 12.在平面直角坐标系 中，直线 表示经过点 ，且平行于 轴的直线.给出如下定义：将点 关于 轴的对称点，称为点 的一次反射 点；将点关于直线的对称点 ，称 为点关于直线的二次反射点.例如，如图，点 的一次 反射点为，点关于直线 的二次反射点为 .已知点， . 21 （1）点 的一次反射点为_______，点 关于直线 的二次反射点为 ______； （2）点是点关于直线 的 二次反射点，求 的值； 【解】因为点是点关于直线 的二次反射点， 所以.所以 . 22 （3）设点，关于直线 的 二次反射点分别为， ，求四边形 的面积. 因为， ， 所以点，关于直线 的二次 反射点分别为， . 所以易得四边形的面积 . 返回 23 $$第三章 位置与坐标 第三章综合素质评价 1 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列在具体情境中不能确定平面内位置的 是( ) C A. 东经 ，北纬 B. 电影院某放映厅7排3号 C. 益阳大道 D. 益阳站北偏东 方向，2千米处 返回 2 2. 下列说法正确的是( ) D A. 若,则点 表示原点 B. 点 在第四象限 C. 已知点与点,则直线平行于 轴 D. 坐标轴上的点不属于任何象限 返回 3 （第3题） 3. 如图，将长为3的长方形 放在平 面直角坐标系中，且 轴，若点 ，则点 的坐标为( ) D A. B. C. D. 返回 4 （第4题） 4. 教材P56随堂练习 如图 是中国象棋棋盘的一部分，建立如 图所示的平面直角坐标系，已知“車” 所在位置的坐标为 ，则“炮”所 在位置的坐标为( ) A A. B. C. D. 返回 5 5. 若点满足,则点 所在的象 限是( ) B A. 第一或第三象限 B. 第二或第四象限 C. 第一或第二象限 D. 不能确定 返回 6 （第6题） 6. 如图，在平面直角坐标系中, 是等 边三角形，其中为原点,点 的坐标为 ,则在第二象限内的顶点关于 轴的 对称点的坐标是( ) C A. B. C. D. 返回 7 7. 在平面直角坐标系中，点，，经过点 的直 线轴，点是直线上的一个动点，当线段 的长度最 短时，点 的坐标为( ) C A. B. C. D. 返回 8 （第8题） 8. 如图，在平面直角坐标系中，一 动点从原点出发按箭头所示的方向 运动，向右始终保持运动一个单位 长度，向上或向下比前一次的向上 或向下都多运动一个单位长度，经 过第2 025次，该点的坐标是( ) D A. B. C. D. 9 （第8题） 【点拨】根据题意可得，第一次从 原点运动到，第二次从 运 动到，第三次从 运动到 ，第四次从运动到 ， 第五次从运动到 ，第 六次从运动到 ，第七次 10 从运动到，第八次从 运动到，第九次从 运 动到， ,所以第一次和第二 次的横坐标都为1，第三次和第四次 的横坐标都为2，第五次和第六次的 横坐标都为3，所以第 次的横坐标 为，第次的横坐标也为 ， （第8题） 所以第2 025次的横坐标为 .由点的坐标知，第 二次和第三次的纵坐标都是1，第四 次和第五次的纵坐标都是 ，第六 次和第七次的纵坐标都是2，第八次 和第九次的纵坐标都是 ，所以从 第二次开始纵坐标依次为1，1， （第8题） ，，2，2，， ，3，3， .因为第四次和第五次的纵坐标都 是 ，第八次和第九次的纵坐标都 是，所以第次和第 次的 纵坐标为 ，所以第2 024次和第 2 025次的纵坐标都是 ，所以经过第2 025 次，该点的坐标是 . （第8题） 返回 二、填空题（每题5分，共20分） 9.小刚在小明的北偏东 方向的 处，则小明在小刚的 __________方向的_____ 处. 10.若点在轴的负半轴上，则点 的坐标为 ________. 11.已知点的坐标为，且点 到两坐标轴的距 离相等，则 的值为______. 南偏西 500 3或1 返回 14 12.［2025宁德期中］如图， 的顶点在同一平面直角坐 标系中，点的坐标为，点的坐标为 ， ，，则点 的坐标为_______. 15 【点拨】如图，过点作轴于点 ， 过点作轴于点，过作 交 的延长线于点，交的延长线于 ，则 .所以 轴. 所以，.因为点的坐标为，点 的坐标为，所以，， ， . 所以.因为 ，所以 16 .所以 . 因 为 ，所以 .又因为 ， 所以 .所以 ， . 所以 ， .易知 ,所以.所以 .所以 . 返回 三、解答题（共48分） 13.（12分） 教材P73复习题 如图， 六边形 在平面直角坐标系内. （1）写出点，，，，， 的坐标； 【解】,,,,, . 18 （2）求六边形 的面积. 六边形的面积为 . 返回 19 14.（16分） 教材P68例题 如图， 在平面直角坐标系中，解答下列问题： （1）若 各顶点的横坐标不变，纵 坐标都乘 ，请你在同一平面直角坐标 系中描出对应的点，， ，并依次连接这三个点，所得 的与 有怎样的位置关系？ 20 【解】如图所示.与 的位置关系是关 于 轴对称. 21 （2）求 的面积. . 22 （3）已知为轴上一点，若的面积是 的面积 的3倍，求此时点 的坐标. 23 设的边上的高为，点 的坐标 为，易知.因为 的面积 是 的面积的3倍，所以 ，解得 . 所以当点在 轴负半轴上时， ； 24 当点在轴正半轴上时， . 综上，点的坐标为或 . 返回 15.（20分）在“勾股定理”一章的学习 中，我们体会到了勾股定理应用的广 泛性，以及“数形结合”是解决数学问 题的一种重要的思想方法. 【已有认识】由于 ，由 此得到在数轴上寻找 所表示的点的方法，如图①.结合正 方形网格，我们还可以表示某些长度为无理数的线段. 26 【拓展运用】 （1）在图②中，每个小正方形的边长 为1. ①画出顶点在格点的，其中, , ； 27 【解】 如图①所示. 28 ②的面积___，点到 边的距离为_ ____. 2 29 （2）①在图③中，设,,轴， 轴， 则_________， _________，由此得到平面直角坐 标系内， 两点间的距离公式： ； ②在图④中，平面直角坐标系中有两点 ,, 为轴上任一点， 求 的最小值； 30 如图②，作点关于轴对称的点 ，连 接，直线与 轴的交点即为所求 的点 . 因为，所以 .由题知 的最小值为 .因为 ,所以 的最小值 为 . 31 ③应用平面内两点间的距离公式，求代数式 的最大值. 因为把 可以看 成点到点和点 的距离之差， 所以点和 之间的距离就是 的最大值. 所以最大值为 . 返回 32 $$第三章 位置与坐标 专题 8 平面直角坐标系中的规律探 究问题 1 类型1 平面直角坐标系中的动点移动问题 1.在平面直角坐标系中，一个动点从原点 出发，按向上、 向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次只移动1个单 位长度，其行走路线如图所示. 2 （1）填写下列各点的坐标：______，______， ______， ______； （2）按此规律移动，为正整数，则点 的坐标为_______， 点 的坐标为__________； 3 （3）动点从点到点 的移动方向是______. （填“向上”“向右”或“向下”） 向上 返回 4 类型2 平面直角坐标系中的图形摆放问题 （第2题） 2. 如图，在平面直角坐标系中， 轴， 轴，点，，，在 轴 上，，，， ， ，把一条长为2 026个单位 D A. B. C. D. 长度且没有弹性的细线（粗细忽略不计）的一端固定在点 处， 并按 的规律紧绕在 图形“凸”的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是 ( ) 5 （第2题） 【点拨】因为 轴， 轴，且 ， ，，， ， 所以,, , , .所以绕“凸”一圈 一共20个单位长度.因为 ， ，所以细线另一端在点 . 所以细线另一端所在位置的点的坐标是 . 返回 6 （第3题） 3. 如图，在平面直角坐标系中，有若干 个整数点，其顺序按图中箭头方向排列， 如，，，， ， ，， ，根据规律探索可得， 第2 025个点的坐标为( ) B A. B. C. D. 7 （第3题） 【点拨】由题图知，第一列有1个点，点 的横坐标为0，第二列有2个点，点的横坐 标为1，第三列有3个点，点的横坐标为 2， ，依次类推，第列有 个点，点 的横坐标为 ，且奇数列点由上到下 进行运动，偶数列点从下到上进行运动， 8 所以所有列点的总数为 .因为 ， , ,所以第2 025个点 在第64列.所以第2 025个点的横坐标为63. 因为 ，64为偶数列，所 以第2 025个点的纵坐标为8.所以第2 025 个点的坐标为 .故选B. （第3题） 返回 类型3 平面直角坐标系中的图形翻转问题 4.如图，在平面直角坐标系中，点 为坐 标原点，是直角三角形，点 为直 角顶点，已知点，， ， 将按如图方式在 轴负半轴上向左连续翻滚，依次得 到，，，， ，则 的直角顶点的横坐标 是________. 10 【点拨】由题意得从的直角顶点到 的 直角顶点经过的路程恰好为 的周长， 即,故的直角顶点的横坐标为， 的直角 顶点的横坐标为 . 同理,从的直角顶点到 的直角顶点经过的路程恰好为 ,故的直角顶点的横坐标为， 11 的直角顶点的横坐标为， ,所以 , ,, , 的直角顶点的横坐标为0, ,, , .因为 ,所 以 的直角顶点的横坐标为 .因为与 的 直角顶点的横坐标相同，所以 的直角 顶点的横坐标是 . 返回 5.如图，在平面直角坐标系中， ， ，， 是边长为1个单位长度的小正方 形的顶点，开始时，顶点， 依次放在 点，的位置，然后向右滚动，第1次滚动使点 落在 点的位置，第2次滚动使点落在点的位置， ， 按此规律滚动下去，则第2 025次滚动后，顶点 的坐标是 __________. 13 【点拨】第1次滚动点的坐标为 ， 第2次滚动点的坐标为 ，第3次滚动 点的坐标为，第4次滚动点 的坐 标为，第5次滚动点的坐标为， ，所以 ，， ， .因为 ，所以第2 025 次滚动后，顶点的坐标为，即 . 返回 14 类型4 平面直角坐标系中的新定义型问题 6.在平面直角坐标系中，对于点，把点 叫作 点的友好点．已知点的友好点为点，点 的友好点为 点， ，这样依次得到点，，，， ， ，若 点的坐标为，则根据友好点的定义，点 的坐标 为________. 15 【点拨】因为对于点，把点叫作点 的友好 点,且点的坐标为，所以， , ，，，， ，观察发现， 每6个点为一个循环组依次循环.因为 ， 所以点的坐标与的坐标相同，为 . 返回 16 $$第三章 位置与坐标 全章热门考点整合应用 1 考点1 位置的确定 1. 我国神舟十八号载人飞船在太空飞行 了192天，并于2024年11月4日成功着陆，下列描述能确定飞 船着陆位置的是( ) C A. 内蒙古西部 B. 酒泉卫星发射中心东南方向 C. 东经，北纬 D. 东经 返回 2 2. 如图，已知 ， ，平分，若点 表 示为，点表示为 ，则点 表示为( ) A A. B. C. D. 返回 3 考点2 平面直角坐标系及点的坐标特征 3. 在平面直角坐标系中，若点 的坐标为 ，则点 所在的象限是( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4.已知点在第四象限，且到轴的距离为2，到 轴的距离为 3，则点 的坐标为________. 5.点在轴上，则点 的坐标为______. 返回 4 考点3 建立平面直角坐标系描述点的位置 6. 中国象棋文化历史久远，雅俗 共赏，具有广泛的参与度.象棋残局是象棋的基础， 如图就是某次对弈的残局图.如果建立平面直角坐 标系，使“帅”位于点，“象”位于点 ， 那么“兵”在同一坐标系下的坐标是( ) C A. B. C. D. 返回 5 考点4 轴对称与坐标变化 7. ［2025深圳罗湖区月考］已知点， 关 于轴对称，则 的值是( ) C A. B. 2 C. D. 3 返回 6 8.在如图的直角坐标系中，每个小方格都 是边长为1个单位的正方形， 的三 个顶点都在格点上（每个小正方形的顶点 叫格点），点的坐标为 . 7 （1）请画出关于轴对称的（其中，， 分别是，， 的对应点）； 【解】如图所示， 即 为所求. 8 （2）写出,, 三点的坐标：_________ ____________________. ，， （3）若在轴上有一点，使得 的值最小，请画出点 的位置. 如图所示，点 即为所求. 返回 9 9.［2025成都锦江区期中］如图所示，在 平面直角坐标系中，已知 ， ， . 10 （1）在平面直角坐标系中画出， 的面积是__； 11 【解】如图， 即为所求. 12 （2）若点与点关于轴对称，点与点 关于轴对称，点与点关于 轴对称，画出 ，写出点 的坐标为________； 如图， 即为所求. 13 （3）已知为坐标轴上的一点，若 的 面积为3，求点 的坐标. 14 分情况讨论：①当点在 轴上时，因为 的面积为3，，所以 . 所以 . 所以点的坐标为或 ； ②当点在轴上时，因为 的面积为3. 15 设，当 在负半轴上时， , 整理得 ,即 ，解 得 ； 当 在正半轴上时， ，解得 . 所以点的坐标为或 . 综上，点的坐标为或或 或 . 返回 思想1 方程思想 10. 已知点的坐标为 ，下列说法正确的是 ( ) B A. 若点在轴上，则 B. 若点在第一、三象限的角平分线上，则 C. 若点到轴的距离是3，则 D. 若点在第四象限，则的值可以为 返回 18 思想2 数形结合思想 11.如图，，，点在轴上，且 ． （1）求点的坐标，并画出 ； 19 【解】点在点的右边时， ， 点在点的左边时， ， 所以点的坐标为或 . 如图所示： 20 （2）求 的面积； 的面积 . 21 （3）在轴上是否存在点，使以 ， ， 三点为顶点的三角形的面积为12？ 若存在，请直接写出点 的坐标；若不 存在，请说明理由． 存在，点的坐标为或 . 返回 22 思想3 分类讨论思想 12.定义：在平面直角坐标系中，已知点, , ，这三个点中任意两点间的距离的最小值称为点 , ,的“最佳间距”.例如：点,, 的“最佳 间距”是1. 23 （1）点,, 的“最佳间距”是___； 3 【点拨】连接,,.因为点， ， ，所以，， . 因为垂线段最短，所以 . 所以点，， 的“最佳间距”是3. 24 （2）当点,, 的“最佳间距”为1 时，点 的横坐标为 __________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ 或2或4 【点拨】连接, .因为 点，,，所以 ， ， .因为垂线段最短，所以 ，.又因为点，， 的“最佳间距”是1， 所以或.所以或 .当 时，，点，， 的“最佳间距”是1， 25 ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________ ____________________________________________________. 符合题意；当时，，点，， 的 “最佳间距”是1，符合题意；当时， ，点 ，，的“最佳间距”是1，符合题意；当 时，，点，， 的“最佳间距”是1，符合题意.综上， 当点,, 的“最佳间距”为1时， 点的横坐标为 或2或4. 返回 13.如图，在平面直角坐标系 中，四 边形 为正方形，其边长为4.有一动 点，自点 出发，以每秒2个单位长度 的速度沿 运动，则 点运动几秒时， ？请求出此 时点 的坐标. 27 【解】因为四边形 是正方形， 所以 ， . 设点运动的时间为 秒. 当点在上时，易知 ,不符合 题意，舍去； 当点在上时,因为，所以 ，所以 28 .所以.所以 ， 此时点的坐标为 . 当点在上时，因为 ，所以 .所以.所以 . 所以，此时点 的坐标为 . 综上所述，当点 运动的时间为3秒或7秒 时，，此时点 的坐标为 或 . 返回 $$第三章 位置与坐标 2 平面直角坐标系 第2课时 平面直角坐标系中点的坐标特征 1 1. 在平面直角坐标系中，点 一定在( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在平面直角坐标系中，已知点在 轴上， 则点 所在的象限为( ) A A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3.已知点在第四象限，坐标为，且点 到两 坐标轴的距离相等，则点 的坐标是__________. 返回 2 （第4题） 4. 数学家笛卡尔最早发明坐 标系，在《几何》一书中阐述了坐标几何 的思想，用代数方法研究几何图形.如图， 在平面直角坐标系中，正方形 的边长 为3，轴，点的坐标为 ，则 点 的坐标为________. 返回 3 （第5题） 5.如图，在平面直角坐标系中，以点 为圆心， 适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交 轴 正半轴于点，再分别以点， 为圆心，大于 的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点 ， 画射线，若，则 ___. 2 【点拨】由作图过程可知，为 的平分线，所以 ，所以易得，解得 . 返回 4 6.［2025平顶山期中］已知点 ，解答下列各题. （1）若点在轴上，求点 的坐标； 【解】因为在轴上，所以 ,所以 ，所以，所以点的坐标为 . 5 （2）若点的坐标为，直线轴，求点 的坐标； 因为，点的坐标为，直线 轴， 所以，所以，所以 ， 所以点的坐标为 . 6 （3）若点到轴、轴的距离相等，求点 的坐标. 因为到轴、 轴的距离相等，所以 ，所以或 ， 解得或 ， 当时，，，则 . 当时，，，则 . 综上所述，点的坐标为或 . 返回 7 7. 如果是任意实数，那么点 一定不在( ) D A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【点拨】因为，所以点 的横坐 标一定小于纵坐标.又因为在第一、二、三象限内总有点满足 横坐标小于纵坐标，但是在第四象限，所有点的横坐标一定 大于纵坐标，所以点 一定不在第四象限. 返回 8 8. 在平面直角坐标系中，已知点 ， ，在坐标轴上有一点，且点到点和到 点的距离相 等，则点 的坐标为( ) A A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 9 【点拨】若点在轴上，设,因为， ，所 以，.因为 ， 即，所以 ，所以 ，所以.若点在轴上，设，因为 ， 点，所以， . 因为，即 ，所以 ，所以 ，所以 .综上，点的坐标为或 ，故选A. 返回 10 9. 已知点， ， 在同一个坐标平面内，且所在的直线平行于 轴，所在的直线平行于轴，则 的算术平方根为____. 【点拨】由题意，得,，解得 , ,所以，所以的算术平方根为 . 返回 11 10.在平面直角坐标系中,点,,经过点 的直线 轴,若点为直线上的一个动点,则当线段 的长度最小 时,点 的坐标为_________. 【点拨】由垂线段最短，知当时，线段 的长度最小. 因为轴，所以当时，轴，所以点 的纵坐标 和点的纵坐标相同，即为.因为点和点都在直线 上， 所以点的横坐标和点的横坐标相同，即为，所以点 的 坐标为 . 返回 12 11.在平面直角坐标系中，有一点，实数，， 满足以下两个等式：， . （1）当时，点到 轴的距离为___； 6 【点拨】当时，，解得 . 把代入中，得 . 所以点的坐标为，所以点到 轴的距离为6. 13 （2）若点在第一、三象限的角平分线上，求点 的坐标； 【解】当点 在第一、三象限的角平分线上时，根据点的横、 纵坐标相等，可得 . 由，可得；由 ， 可得.则，解得 . 把分别代入， 中，得 ， 所以点的坐标为 . 14 （3），轴，求 的长. 由题意可知.因为轴， ,所 以，解得,所以，所以 . 返回 15 12. 阅读一段文字,再回答下列问题：已知在 平面内两点的坐标为, ,则该两点间距离公 式为 ,同时,当两点在同一坐 标轴上或所在直线平行于轴或平行于 轴时，两点间的距离 公式可化简成或 . （1）若已知两点,,则, 两点间的距离为_____; 16 （2）已知点,在平行于轴的直线上,点 的纵坐标为7,点 的纵坐标为,则, 两点间的距离为___; 9 【点拨】因为点，在平行于轴的直线上，点 的纵坐标 为7，点的纵坐标为，所以.即， 两点间的距离是9. 17 （3）已知一个三角形各顶点的坐标为， ， ，请求出该图形的面积. 【解】因为一个三角形各顶点的坐标为, , , 所以 ， 18 , . 所以 ， 所以是直角三角形，且 . 所以 . 返回 13.［2025武汉江汉区期中］平面直角坐标系中，点 ， ，为等腰直角三角形， ， ，交轴负半轴于点 . 20 （1）如图①，， 满足关系式 ，直接写出点 ，， 的坐标； ,, . 【点拨】因为 ， 所以，，所以， . 因为，，所以,.所以 , . 21 如图①，过点作轴交轴于点 ， 所以 . 因为 ，所以 ， 所以 ， 22 因为， ， 所以 ， 所以， ， 所以 ， 所以 . 23 （2）如图②，点是轴正半轴上的动点，过点作 交于点，且.试说明：点是 的中点； 24 【解】如图②，过点作轴交 轴于点 ，过点作轴交轴于点 . 因为 ，所以 . 因为， ， 所以，所以 . 易证,所以，所以 . 25 因为 ， ， 所以 , 所以，所以点是 的中点. （3）在（2） 的条件下， 的值是否为定值？ 若是，请 计算出定值； 若不是，请用含有， 的代数式表示. 27 是定值，为，理由如下：因为 , ,所以, . 由（2）知， ， ，, ,所以 ，， . 设，所以 , 28 所以 ， ， 所以 . 返回 $$