精品解析：广东省中山市火炬开发区部分学校2024-2025学年下学期期中测试八年级数学试卷

2024-2025学年第二学期期中数学学科素养调研 八年级数学学科试卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 7，24，25 4. 如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 的整数部分为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 5 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 正方形的四个角都是直角 D. 菱形的四条边相等 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 如图，在中，，分别是边，的中点，若的长是6，则的长是______． 12. 已知，，则的值为______ 13. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 14. 如图，数轴上点A表示的数是，点B在原点处，，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于原点右侧的点P处，则点P表示的数是______． 15. 如图，正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点，连接，平分，分别交、于点、，连接、.则下列结论中：；；若，则；．其中正确的结论有______ 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，满分21分） 16. 计算： 17. 如图，某校有一块四边形劳动基地，现计划在劳动基地种植绿植，测得，米，米，米，米，若每平方米所种绿植需要100元，问需要投入多少钱． 18. 如图，，，且，求证：四边形是平行四边形． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，满分27分） 19. 高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． （1）求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； （2）已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 20. 如图，中，对角线、交于点，在上截取． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：平分． 21. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿翻折至，延长交边于点G，连接、． （1）求证：； （2）求证：点G是的中点． 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，满分27分） 22. 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：______；______；______； （2）化简：； （3）已知，，求的值． 23. 如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） （2）点在上，时，求的值． （3）当直线平分平行四边形的面积时，求的值． （4）若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年第二学期期中数学学科素养调研 八年级数学学科试卷 一、选择题：（本题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 若有意义，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义，根据被开方数为非负数，进行作答即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∴， 故选：A 2. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，可得答案．本题考查了最简二次根式，被开方数不含分母，被开方数不含开得尽方的因数或因式． 【详解】解：A、被开方数含分母，故A不符合题意； B、被开方数是小数，故B不符合题意； C、被开方数不含分母，被开方数不含开的尽方的因数或因式，故C符合题意； D、，被开方数含开得尽方的因数，故D不符合题意； 故选C． 3. 下列各组数中，不是勾股数的是（ ） A. 5，12，13 B. 0.3，0.4，0.5 C. 6，8，10 D. 7，24，25 【答案】B 【解析】 【分析】判断是否为勾股数，须满足勾股数必须为正整数，且两小边的平方和等于最长边的平方． 【详解】选项A：，是勾股数，不符合题意，故错误； 选项B：，但不是整数，因此不是勾股数，符合题意，故正确； 选项C：，是勾股数，不符合题意，故错误； 选项D：，是勾股数，不符合题意，故错误； 故选B． 【点睛】本题考查了勾股数：满足的三个正整数，称为勾股数，熟练掌握知识点是解题的关键． 4. 如图，四边形中，对角线相交于点O，下列条件能判定这个四边形是平行四边形的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定定理即可进行解答． 【详解】解：A、两组邻角相等，不能判定这个四边形是平行四边形，故A不符合题意； B、对角线互相平分的四边形是平行四边形，故B符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判定这个四边形是平行四边形，故C不符合题意； D、两组邻边相等，不能判定这个四边形是平行四边形，故D不符合题意； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的判定定理：两组对边相等的四边形是平行四边形；两组对边平行的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；两组对角相等的四边形是平行四边形． 5. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次根式的加法，减法，乘法，除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据二次根式的运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，原式计算错误，故不符合题意； B、，原式计算错误，故不符合题意； C、，原式计算错误，故不符合题意； D、，原式计算正确，故符合题意． 故选：D． 6. 的整数部分为（ ） A. 2 B. 6 C. 3 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的整数部分，先根据，得，则的整数部分为3，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即的整数部分为3， 故选：C． 7. 下列命题的逆命题是假命题的是（ ） A. 两直线平行，同位角相等 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 正方形的四个角都是直角 D. 菱形的四条边相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是命题的真假判断、逆命题的概念，分别写出各个命题的逆命题，根据平行线的判定定理、正方形的判定定理、菱形的判定定理、平行四边形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等的逆命题是同位角相等，两直线平行，是真命题，不符合题意； B、平行四边形的对角线互相平分的逆命题是对角线互相平分的四边形是平行四边形，是真命题，不符合题意； C、正方形的四个角都是直角的逆命题是四个角都是直角的四边形是正方形，是假命题，符合题意； D、菱形的四条边相等的逆命题是四条边相等的四边形是菱形，是真命题，不符合题意； 故选：C． 8. 我国是最早了解勾股定理的国家之一，据《周髀算经》记载，勾股定理的证明是在商代由商高发现的，故又称之为“商高定理”；三国时代的赵爽对周髀算经内的勾股定理作出了详细注释，又给出了另外一个证明，古代印度、希腊、阿拉伯等许多国家也都很重视对勾股定理的研究和应用．下面四幅图中，不能证明勾股定理的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明方法，掌握利用两种不同的方法计算同一个图形的面积来验证勾股定理是解题的关键．分别利用两种不同的方法计算各选项中的大正方形或梯形的面积，即可解答． 【详解】解：A、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项A能证明勾股定理； B、大正方形的面积为，也可以看作2个小长方形和2个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，故选项B不能证明勾股定理； C、大正方形的面积为，也可以看作4个直角三角形和一个小正方形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项C能证明勾股定理； D、梯形的面积为，也可以看作3个直角三角形的面积之和， 则其面积为， ∴，即，故选项D能证明勾股定理． 故选：B． 9. 如图，在矩形纸片中，，点在边上，将沿直线折叠，点恰好落在对角线上的点处，若，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由矩形的性质得到，由折叠得，，由得到，推出，根据勾股定理求出即可得到答案． 【详解】解：矩形纸片， ， 由折叠得，， ， ， ， ， ， 故答案为：A． 10. 如图，在矩形中，，，点P满足，则点P到A，B两点距离之和的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先由，得出动点在与平行且与的距离是2的直线上，作点A关于直线l的对称点E，连结，，则的长就是所求的最短距离，然后勾股定理求得的长，即得答案． 【详解】设边上的高是h， ， ， ， 动点P在与平行且与的距离是2的直线l上， 如图，作点A关于直线l的对称点E，连结，， 则的长就是所求的最短距离， 在中， ，， ， 即的最小值为． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路线问题，轴对称的性质，矩形的性质，勾股定理，两点之间线段最短的性质，作点A关于直线l的对称点E，并得到的长就是所求的最短距离是解题的关键． 二、填空题：（本题共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 如图，在中，，分别是边，的中点，若的长是6，则的长是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三中线的中位线定理：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半，掌握三角形中位线定理是解本题的关键．根据三角形中位线定理回答即可． 【详解】解：，分别是边，的中点，， ， 故答案为：3． 12. 已知，，则的值为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，二次根式的计算，代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 将因式分解得到，将，代入计算即可得到答案． 【详解】解：，， ， 故答案为：． 13. 已知菱形的两条对角线的长分别是6和8，则菱形的面积为______． 【答案】24 【解析】 【分析】直接利用菱形的面积等于对角线乘积的一半求解． 【详解】解：菱形的两条对角线长分别是6和8， 菱形的面积为：． 14. 如图，数轴上点A表示的数是，点B在原点处，，且，以点A为圆心，长为半径画弧，交数轴于原点右侧的点P处，则点P表示的数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是勾股定理、实数与数轴的关系等知识点，正确运用勾股定理求出的长以及理解数轴上的点与实数的对应关系是解答本题的关键．先根据勾股定理求得，再由即可确定点所表示的数． 【详解】解：由题意可得， ， ， 点所表示的数是． 故答案为：． 15. 如图，正方形中，点在边上，过点作交的延长线于点，连接，平分，分别交、于点、，连接、.则下列结论中：；；若，则；．其中正确的结论有______ 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，即可判断；通过证明，得出，进而得出，结合，即可判断；当时，设，，则，，在中，根据勾股定理求出，则，，即可判断；根据全等的性质得出，，则，证明，进而得出，即可判断． 【详解】解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ，故正确； 平分， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ，故正确； 当时，设，，则，， 在中，由勾股定理得， ， 解得：， ，， ，故正确； ， ， ， ， 是的垂直平分线，则， ， ，故错误； 正确的有， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 三、解答题（一）（本大题共3小题，每题7分，满分21分） 16. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，原式先化简二次根式，再计算乘除法，最后合并同类二次根式即可得到答案． 【详解】解： ． 17. 如图，某校有一块四边形劳动基地，现计划在劳动基地种植绿植，测得，米，米，米，米，若每平方米所种绿植需要100元，问需要投入多少钱． 【答案】需要投入1850元 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理及其逆定理，熟练掌握勾股定理及其逆定理是解题的关键；连接，由勾股定理可得米，然后根据勾股定理逆定理可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵米，米，， ∴米， ∵米，米， ∴， ∴， ∴平方米， ∴（元）， 答：需要投入1850元． 18. 如图，，，且，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定和性质得出，进而利用平行四边形的判定解答即可． 【详解】略 【点睛】此题考查平行四边形的判定，关键是根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形解答． 四、解答题（二）（本大题共3小题，每题9分，满分27分） 19. 高空抛物极其危险，据研究，静止的物体从高空抛物下落的时间（单位：）和高度（单位：）近似满足公式，其中为重力加速度，米/平方秒． （1）求一个物体从45米的高空坠落到落地时间； （2）已知高空坠物动能（单位：J）物体质量（单位：kg）高度（单位：m），经过查阅资料可知伤害无防护人体只需要64J的动能，一个0.2千克的物品坠落到地面产生了100J的动能，请推算该物品坠落到地面大约用了几秒？ 【答案】（1）一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒 （2）该物品坠落到地面大约用了3秒 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意； （1）由题意可得，然后问题可求解； （2）由题意可得，然后把代入进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得： ， 解得：（负根舍去）， 答：一个物体从45米的高空坠落到落地时间为3秒． 【小问2详解】 解：由题意得：， 解得：， ∴， 解得：（负根舍去）； 答：该物品坠落到地面大约用了3秒． 20. 如图，中，对角线、交于点，在上截取． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，求证：平分． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形，； ∴四边形是矩形； （2） 证明：∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形， ∴， 又∵四边形是平行四边形， ∴四边形是菱形， ∴平分． 【解析】 【分析】（1）先根据平行四边形的性质得到，进而证明，由此即可证明四边形是矩形； （2）先证明四边形是正方形，得到，即可证明四边形是菱形，则由菱形的性质可得平分． 【小问1详解】 证明：略； 【小问2详解】 证明：略． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，矩形的判定，菱形的性质与判定，平行四边形的性质，熟知特殊平行四边形的判定定理是解题的关键． 21. 如图，正方形中，，点E在边上，且．将沿翻折至，延长交边于点G，连接、． （1）求证：； （2）求证：点G是的中点． 【答案】（1） 证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵沿对折至， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， 设，则， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点G是的中点． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的运用． （1）由折叠得，进而得出，，得出，，根据就可以判断． （2）由条件可以求出ED的值，设，则，，，由勾股定理可以求出x的值，从而可以求出和的值，得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 五、解答题（三）（本大题共2小题，其中22题13分，23题14分，满分27分） 22. 阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： ； ； ； 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． （1）化简：______；______；______； （2）化简：； （3）已知，，求的值． 【答案】（1），，； （2）； （3）． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解决本题的关键是读懂阅读材料中的解题思路，仿照材料中提供的思路进行解答． 仿照材料中提供的解题思路进行分母有理化即可； 仿照材料中提供的解题思路把每一个二次根式分别进行分母有理化，再合并同类二次根式即可； 首先把，分别进行分母有理化，再把分母有理化后的值代入代数式中计算求值即可． 【小问1详解】 解：； ； ； 故答案为：，，； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解：，， ， ， ， ． 23. 如图，在平行四边形中，为锐角，，．动点从点出发，以每秒2个单位的速度沿运动．同时，动点从点出发，以每秒3个单位的速度沿运动．当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点的运动时间为秒． （1）点在上运动时，______；点在上运动时，______．（用含的代数式表示） （2）点在上，时，求的值． （3）当直线平分平行四边形的面积时，求的值． （4）若点的运动速度改变为每秒个单位．当，平行四边形的某两个顶点与、所围成的四边形为菱形时，直接写出的值． 【答案】（1）， （2） （3）或 （4）或 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定，菱形的判定，解题的关键是弄清运动过程，找出符合条件的点的位置． （1）根据题意：当点在上运动时，，点在上运动时，； （2）点在上，时，，即可求得； （3）根据题意求得，然后根据点和点在各边上的情况分类讨论即可求得的值； （4）当时，则为菱形或菱形，据此可求得的值． 【小问1详解】 解：当点P在上时， ∵， ∴， 当点P在上时， ， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：当点在上，时，点在上，且， ， ， 解得：， 的值为：9； 【小问3详解】 解：当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 当点依次在、、、上时，的取值范围依次为：、、、， 由于当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动． ； 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 当，点在上，点在上时，直线平分平行四边形的面积， ，即， 解得：， 综上所述：当直线平分平行四边形的面积时，的取值为：或； 【小问4详解】 解：， ， 点P在上，点Q在上， ①当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ②当四边形为菱形时， 此时， ∴， ∴， ∴， 综上所述：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $