精品解析：天津市天津市河北区2024-2025学年八年级下学期4月期中数学试题

河北区2024—2025学年度第二学期八年级期中样卷 数学 本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 2. 估算的值是在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（ ）． A 8 B. 10 C. 12 D. 18 4. 若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 6. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，于点，于点，并且点是中点，的周长是，则的长是（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，在中，，，，平分，交于点，于点，则的长为（　　） A. 6 B. C. 7 D. 8 11. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 12. 如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算的结果等于______． 14. 边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则的度数为____． 15. 已知菱形的周长为20cm，两邻角的比为2︰1，则较短的对角线长为___________cm． 16. 如图所示“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是________． 17. 已知，则的值为______． 18. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 计算下列各题 （1）； （2）． 20. 校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求花卉区的面积． 21. 求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）________的解法是错误的； （2）求代数式值，其中． 22. 如图所示，四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，于点E，求的度数． 23. 如图，已知的中线、相交于点O，M、N分别为、的中点． （1）求证：和互相平分； （2）若，，，求的面积． 24. 如图，矩形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点，重合，过点作射线交轴于点，交轴于点，使得． （1）如图①，若为等腰直角三角形，求点的坐标． （2）如图②，过点作交轴于点，连接，．若四边形是平行四边形，求的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 河北区2024—2025学年度第二学期八年级期中样卷 数学 本试卷满分100分，考试时间90分钟． 一、选择题：本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 若代数式有意义，则x应满足的条件为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解， 本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是：熟练掌握二次根式有意义的条件． 【详解】解：由题意得：， ∴， 故选：B． 2. 估算的值是在（ ） A. 3和4之间 B. 4和5之间 C. 5和6之间 D. 6和7之间 【答案】B 【解析】 【详解】分析：先找出19介于哪两个整数的平方之间，依据被开放数越大对应的算术平方根越大进行比较即可． 详解：∵16＜19＜25， ∴4＜＜5． 故选B． 点睛：本题主要考查的是估算无理数的大小，夹逼法的应用是解题的关键． 3. 设直角三角形的两条直角边长分别为a和b，斜边长为c．已知，，则b为（ ）． A. 8 B. 10 C. 12 D. 18 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，根据题意，已知直角三角形的一条直角边和斜边长，求另一直角边时直接利用勾股定理求斜边长即可． 【详解】解：由勾股定理可得：， 故选：C． 4. 若三角形的三条中位线长分别为，，，则原三角形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，熟知三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半是解答的关键．根据三角形的中位线定理求出三角形的三条边长，即可求解． 【详解】解：三角形的三条中位线长分别为，，， 三角形的三条边长分别为，，， 原三角形的周长为， 故选：C． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 平行四边形的对角线互相垂直 B. 对角线互相垂直的四边形是菱形 C. 菱形的对角线相等 D. 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】A.平行四边形的对角线不一定互相垂直，故A错误； B.对角线互相垂直的平行四边形是菱形，故B错误； C.菱形的对角线互相垂直，故C错误； D.对角线互相平分的四边形是平行四边形，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了平行线四边形的判定和性质，菱形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定和性质，是解题的关键． 6. 如图，在中，以A为圆心，任意长为半径画弧，分别交于点E，F，分别以E，F为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G．作射线交于点H，若．则（　　） A. 4 B. 4.5 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，尺规作图，等腰三角形的判定．根据尺规作图可得平分，再由平行四边形的性质，可得，从而得到，继而得到，即可求解． 【详解】解：由作图得：平分， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 7. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE⊥AC于点E，∠AOD＝110°，则∠CDE的大小是（　　） A. 55° B. 40° C. 35° D. 20° 【答案】C 【解析】 【分析】由矩形的性质得出OC=OD，得出∠ODC=∠OCD=55°，由直角三角形的性质求出∠ODE=20°，即可得出答案． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠ADC=90°，AC=BD，OA=OC，OB=OD， ∴OC=OD， ∴∠ODC=∠OCD， ∵∠AOD=110°， ∴∠DOE=70°，∠ODC=∠OCD=（180°-70°）=55°， ∵DE⊥AC， ∴∠ODE=90°-∠DOE=20°， ∴∠CDE=∠ODC-∠ODE=55°-20°=35°； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 8. 如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在坐标轴上，若点的坐标为，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，等边三角形的判定和性质，含角直角三角形，勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．连接，作轴于点，可证明是等边三角形，得到，得出，求出，根据勾股定理求出，得到点的坐标为，即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，作轴于点， 菱形，， ，， 是等边三角形， ， ， ， 点的坐标为， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点的坐标为， 故选：A． 9. 如图，在中，，，于点，于点，并且点是的中点，的周长是，则的长是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，三线合一定理，先由三线合一定理得到，再由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到，，据此根据三角形周长公式推出，再利用勾股定理即可求出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴，， ∵的周长是， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图，在中，，，，平分，交于点，于点，则的长为（　　） A. 6 B. C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理，掌握等腰三角形的性质是解题的关键．由等腰三角形的性质可得，由勾股定理即可求出的长度，最后用面积法求得的长． 【详解】解：，， ，为等腰三角形， 又平分， ，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 11. 如图，F是的边上的点，Q是中点，连接并延长交于点E，连接与相交于点P，若，，则阴影部分的面积为（　　）． A. 24 B. 17 C. 18 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】连接，证明四边形是平行四边形，求出，再得出即可求出阴影部分的面积． 【详解】解：连接， ∵F是的边上的点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴ ∵， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，解题关键是熟练运用平行四边形的性质与判定进行证明与计算． 12. 如图，在正方形中，点是上一点，点是延长线上一点，连接，，．点是的中点，连接，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，先证明得到，进而可得，利用等腰三角形性质和直角三角形斜边上的中线性质证得，证明，得，，利用三角形的内角和定理可求得，利用三线合一得到，进而得到即可求解． 【详解】解：如图，连接， 四边形为正方形， ，，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 即， 为中点， ， ，为中点， ， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ，，为中点， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的内角和定理等知识，熟练掌握相关性质的联系与运用是解答的关键． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 13. 计算的结果等于______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据平方差公式和二次根式的性质进行计算，再算减法即可． 【详解】原式 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解此题的关键． 14. 边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放，则的度数为____． 【答案】15° 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质、等边三角形的性质，以及三角形内角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由正方形的性质、等边三角形的性质，得，再结合三角形内角性质进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵依题意，边长为4的一个正方形和一个等边三角形如图摆放 ∴ ∴ 在中， 故答案为：15° 15. 已知菱形的周长为20cm，两邻角的比为2︰1，则较短的对角线长为___________cm． 【答案】5 【解析】 【分析】作出草图，先求出菱形的边长，再根据邻角互补求出较小的内角，从而判定出△ABC是等边三角形，根据等边三角形的三条边都相等解答即可． 【详解】解：如图， ∵菱形的周长是20cm， ∴AB=20÷4=5cm， ∵两邻角的比是1：2， ∴∠B=×180°=60°， ∵菱形的边AB=BC， ∴△ABC是等边三角形， ∴较短的对角线AC=AB=5cm． 故答案为5. 【点睛】本题考查了菱形的四条边都相等，邻角互补的性质，等边三角形的判定与性质，熟记性质是解题的关键，作出图形更形象直观． 16. 如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的大正方形，若图中的直角三角形的长直角边是12，大正方形的面积是169，则小正方形的面积是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的证明，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据题意和题目中的数据，可以计算出小正方形的边长，即可得到小正方形的面积． 【详解】解：由题意可得：大正方形的边长为， 小正方形的边长， 小正方形的面积为， 故答案为： 17. 已知，则值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，正确的计算是解题的关键．根据完全平方公式计算和变形即可求解． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 18. 如图，在正方形中，，E，F分别为边的中点，连接，点G，H分别为的中点，连接，则的长为_______ 【答案】 【解析】 【分析】连接并延长交于点P，连接，由正方形的性质，即可证得，可得，再由勾股定可理可求得的长，根据三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：连接并延长交于点P，连接，如图所示， 四边形是正方形， ， ， E、F分别为边的中点， ． G为的中点， ， 在和中， ， ． ． G为的中点， H为的中点， 是的中位线． ． 在中， ， ． ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，正确作出辅助线是解决本题的关键． 三、解答题：本大题共6小题，共46分，解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程． 19. 计算下列各题 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，涉及分母有理化、平方差公式、二次根式的化简，同类二次根式，掌握相关知识是解题关键． （1）将每个二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）利用平方差公式去括号即可求得答案． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 原式 ． 20. 校园规划了一片劳动基地（四边形）用来种植蔬菜和花卉．如图，花卉区和蔬菜区之间用一条长的小路隔开（小路的宽度忽略不计）．经测量，花卉区的边长，边长，蔬菜区的边长，． （1）求蔬菜区边的长； （2）求花卉区的面积． 【答案】（1）蔬菜区边的长为 （2）花卉区的面积为 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）在中，运用勾股定理即可求解； （2）先通过勾股定理逆定理证明，即可求解面积． 小问1详解】 解：∵，，， ∴ ； 答：蔬菜区边的长为； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴花卉区的面积， 答：花卉区的面积为． 21. 求代数式的值，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． （1）________的解法是错误的； （2）求代数式的值，其中． 【答案】（1）小亮的解法是错误的 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，解题的关键是掌握二次根式的性质． （1）由知，据此可得，从而做出判断； （2）利用二次根式的性质化简、代入求值即可得． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴小亮的解法是错误的，原因是未能正确运用二次根式的性质（或当时，，当时，）． 【小问2详解】 解：由条件可知， 原式 ， 当时，原式． 22. 如图所示，在四边形中，对角线，相交于点O，，，且，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，于点E，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，利用勾股定理逆定理，得到，即可得证； （2）求出的度数，根据三角形的内角和，求出，然后根据，得到，即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵在四边形中，对角线，相交于点O，，， ∴四边形是平行四边形，， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 ∵四边形是矩形 ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，能灵活运用定理进行推理是解题的关键．注意：矩形的对角线相等，有一个角是直角的平行四边形是矩形． 23. 如图，已知的中线、相交于点O，M、N分别为、的中点． （1）求证：和互相平分； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接、，根据三角形中位线定理可得，，进而得到四边形是平行四边形，再根据平行四边形的性质可得和互相平分； （2）根据勾股定理得出，根据，利用完全平方公式，求出，从而得出，证明，根据求出结果即可． 【小问1详解】 证明：连接、，如图所示： ∵、是的中线， ∴E、D是、中点， ∴，， ∵M、N分别为、的中点， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴和互相平分； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 根据解析（1）可知，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形中位线性质，三角形面积的计算，勾股定理，平行四边形的判定和性质，完全平方公式的变形计算，解题的关键是作出辅助线，证明四边形是平行四边形． 24. 如图，矩形放置在平面直角坐标系中，为坐标原点，点在轴上，点在轴上，，，过点的直线交矩形的边于点，且点不与点，重合，过点作射线交轴于点，交轴于点，使得． （1）如图①，若为等腰直角三角形，求点坐标． （2）如图②，过点作交轴于点，连接，．若四边形是平行四边形，求坐标． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由若为等腰直角三角形，结合直线可得，再由已知的边长即可求，则； （2）过点P作轴，交于点M，根据已知条件可先证明，能得到，再由给出的点的坐标可求出的坐标． 【小问1详解】 解：为等腰直角三角形， ， 为矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 如图，过点P作轴，交于点M， ， ， ， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了坐标与图形，矩形的性质，平行四边形性质，等腰三角形性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质是解答本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$