精品解析：甘肃省临潭县第一中学2023-2024学年高二下学期期末考试数学试题

临潭县第一中学2023-2024学年度第二学期期末考试 高二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出函数的导数，利用导数的几何意义求出切线方程. 【详解】函数的导数为， 则曲线在点处的切线的斜率为， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故选：B. 2. 某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温 17 13 8 2 月患病（人） 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（ ） A. 38 B. 40 C. 46 D. 58 【答案】C 【解析】 【分析】由表格数据求样本中心，根据线性回归方程过样本中心点，将点代入方程求参数，写出回归方程，进而估计下个月老年人与儿童患病人数. 【详解】由表格得为，由回归方程中的， ∴，解得，即， 当时，. 故选：C. 3. 一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员.2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为x，则x的数学期望是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意可知x的可能取值为0，1，2，然后求出各自对应的概率，从而可求出数期望 【详解】由题意可知x的可能取值为0，1，2，则 , , , 所以， 故选：D 4. 若1和2是函数的两个极值点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】求得，根据1和2是函数的两个极值点，得到，求得实数的值，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】由函数，可得， 因为1和2是函数的两个极值点， 所以，解得， 所以. 故选: D. 5. 若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】由题分布列的性质，求得，再结合期望的公式，即可求解. 【详解】由题分布列的性质，可得且，解得， 又由， 所以的最大值为. 故选：B. 6. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据全概率公式直接计算可得结果. 【详解】设“任意取出一个零件是第台机床生产的”，；“任意取出一个零件是合格品”， . 故选：C. 7. 已知半径为2的球O有一内接正四面体，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，在正四面体中，作底面于，则为的中心，由，可得球心O在底面的射影也是，可得A，O，三点共线，设正四面体的棱长为a，求得a的值，即棱长，再根据向量数量积的定义及运算律即可得出答案. 【详解】解：如图，在正四面体中，作底面于，则为的中心. 因为，所以球心O在底面的射影也是， 于是A，O，三点共线，设正四面体的棱长为a， 则，，， 所以， 又， 由此解得，故正四面体的棱长为. ， 因为，，， 则. 故选：C. 8. 已知定义在上的可导函数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得，令，根据奇偶性的定义，可得为偶函数，利用导数可得的单调性，将题干条件化简可得，即，根据的单调性和奇偶性即可求解. 【详解】由，得， 记，则有，即为偶函数， 又当时，恒成立， 所以在上单调递增， 所以由，得， 即，所以， 所以，即，解得：， 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分． 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 相关变量，的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性归直线方程：，相关系数为．则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【分析】根据相关系数的意义：其绝对值越接近1，说明两个变量越具有线性相关，以及负相关的意义作判断即可. 【详解】由散点图可知这两个变量为负相关，所以，． 因为剔除点后，剩下点的数据更具有线性相关性，更接近1， 所以． 故选：CD． 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量x服从两点分布，，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 若随机变量ζ服从二项分布，则 D. 若随机变量η服从正态分布，，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两点分布的期望公式，方差公式，二项分布概率公式，正态分布的对称性，判断选项. 【详解】由条件可知，，，故A正确； ，故B错误； 若随机变量ζ服从二项分布，则，故C错误； 根据对称性可知，正态分布曲线关于对称，所以，故D正确. 故选：AD 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理及基底的基本概念，判断每个选项即可. 【详解】解：对于选项A，由，也可能是或，故错误； 对于选项B，因为对空间中任意一点，， 则， 整理得. 由空间向量基本定理可知点，，，四点共面，故正确； 对于选项C，由是空间中的一组基底，则，向量，，不共面， 可得向量，，也不共面，所以也是空间的一组基底，故正确； 对于选项D，若空间四个点，，，，， 可得，即，则，，三点共线，故正确. 故选：BCD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为___________.（参考数据：，） 【答案】 【解析】 【分析】根据独立性检验的方法即可求解. 【详解】因为，， 所以认为选修文科与性别有关系出错的概率约为. 故答案为：. 13. 先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是、、、、、），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件为“、中有偶数且”，则概率____. 【答案】 【解析】 【分析】求出、，利用条件概率公式可得结果. 【详解】若为偶数，则、全为奇数或全为偶数，所以，， 事件为“为偶数且、中有偶数，”，则、为两个不等的偶数， 所以，， 因此，. 故答案为：. 14. 如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________. 【答案】 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，设，求出，由求得，连接并延长交于，在中，作于，由余弦定理求得，再由三角形知识求得即可求解. 【详解】 如图，以为原点，所在直线为轴建立空间直角坐标系，则， 设，又，则， 则，又，则，解得， 则，连接并延长交于，由得为中点，同理可得连接并延长也交于点， ，画出的平面图，作于， 由余弦定理得，则，， 又，则直线EF与直线的距离为. 故答案为：. 【点睛】本题关键点在于先建立空间直角坐标系，利用空间向量共线的坐标运算求得，进而在中，由余弦定理及平方关系求得，再由三角形知识求解即可. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码（） 1 2 3 4 5 新建社区养老机构（） 12 15 20 25 28 （1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程； （2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？ 参考公式：线性回归方程，，. 参考数据：， 【答案】（1）；（2）人． 【解析】 【分析】（1）利用条件及回归直线方程公式即求； （2）由题可求，结合条件即求. 【详解】（1）由题意知， ， ， ， 所以， ， 故所求经验回归方程为； （2）由题可知， 该地参与社区养老的老人有（人） 该地参与社区养老的老人约有人. 16. 如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，E为PD的中点. （1）证明； （2）求直线到平面的距离. 【答案】（1）设AD的中点为O，连接OB，OP. ∵△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形， ∴OP⊥AD. ∵BC＝AD＝OD且BC∥OD， ∴四边形BCDO为平行四边形，则CD∥OB，又CD⊥AD， ∴OB⊥AD，又OP∩OB＝O，则AD⊥平面OPB. 由PB面OPB，则AD⊥PB. （2）. 【解析】 【分析】（1）设AD的中点为O，连接OB，OP，易知OP⊥AD且四边形BCDO为平行四边形，根据平行四边形的性质易得OB⊥AD，最后由线面垂直的判定及性质即可证结论. （2）过O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M，构建O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴的空间直角坐标系，设P(x,0,z)(z>0)，利用空间两点的距离公式求P坐标，并确定其它相关点坐标，求、面的法向量，若M时PA的中点，连接EF、FB，易得面，进而应用空间点面距离的向量求法求到面的距离即为到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过O在平面POB内作OB的垂线OM，交PB于M， 以O为原点，OB所在直线为x轴，OD所在直线为y轴，OM所在直线为z轴，建立空间直角坐标系，如图. 则有A(0,－1,0)，B(1,0,0)，C(1,1,0)，D(0,1,0).设P(x,0,z)(z>0)， 由PC＝2，OP＝1，则得：x＝－，z＝，即P， 而E为PD的中点， ∴E，则， ∴，，若为面的一个法向量， 则，令，则， 若M时PA的中点，连接EF、FB，则， 由（1）易知：为平行四边形，即， 又面，面，则面 ∴直线到平面的距离等于到平面的距离. 17. 已知函数． （1）若在处取得极大值27，求函数的极小值； （2）若，，且对，不等式都成立，求实数的值范围． 【答案】（1） （2）． 【解析】 【分析】（1）根据的极大值，列出方程组求出，再求极小值； （2）将问题转化为恒成立，只需求的最大值即可. 【小问1详解】 ， 依题有，即， 解得，所以， ， 由，有或，列表如下： 27 由上表知当时取得大值27，故满足条件. 所以函数的极小值为. 【小问2详解】 ， 所以不等式可化为，即， 令，则， 则， 令，解得：，令，解得：， 故在上单调递增，在递减， 故当时，取得最大值，所以. 18. 为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表. 竞赛成绩 人数 6 12 18 34 16 8 6 （1）从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率； （2）若该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 ， 【解析】 【分析】（1）由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，70人没有获奖，再结合古典概型的概率公式可求得结果， （2）由可得，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为，所以随机变量，的所有取值为0，1，2，3，4，分别求出对应的概率，即可得的分布列，从而可求出期望 【小问1详解】 由样本频率分布表可知，样本中获一等奖的6人，获二等奖的8人，获三等奖的16人，共30人，则70人没有获奖， 所以从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，这2名学生恰有一名学生获奖的概率为 【小问2详解】 因为该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布， 所以， 所以，即从所有参赛学生中随机抽取1名学生，该生成绩在64分以上的概率为， 所以随机变量， 所以， 所以，， ，， ， 所以的分布列为 0 1 2 3 4 所以 19. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）存在； 【解析】 【分析】（1）利用面面垂直的性质得到平面，再结合线面垂直的性质得到，进而建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用线面角的向量求法求解正弦值即可. （2）先设，并求出，再求出关键平面的法向量，利用面面夹角的向量求法建立方程，求解参数即可. 【小问1详解】 因为，，所以， 又因为平面平面，平面平面， 所以平面，又因为面，所以，同理， 如图，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 得到，，，，，， 则，，， 设平面的法向量为， 所以，令，解得， ，所以， 设与平面所成角为， 则， 故与平面所成角正弦值为. 【小问2详解】 设点，， 得到， 可得，故，则，， 设平面的法向量为，则， 令，解得，，故， 因为平面的法向量为， 所以， 即，即， 即，解得或（舍）， 则在线段上存在一点，满足题意，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 临潭县第一中学2023-2024学年度第二学期期末考试 高二数学 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 曲线在点处的切线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 某社区医院为了了解社区老人与儿童每月患感冒的人数（人）与月平均气温（）之间的关系，随机统计了某4个月的患病（感冒）人数与当月平均气温，其数据如下表： 月平均气温 17 13 8 2 月患病（人） 24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程中的，气象部门预测下个月的平均气温约为，据此估计该社区下个月老年人与儿童患病人数约为（ ） A. 38 B. 40 C. 46 D. 58 3. 一个课外兴趣小组共有5名成员，其中3名女性成员.2名男性成员，现从中随机选取2名成员进行学习汇报，记选出女性成员的人数为x，则x的数学期望是（ ） A. B. C. D. 4. 若1和2是函数的两个极值点，则（ ） A. B. C. 2 D. 3 5. 若p为非负实数，随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 则的最大值为（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的概率为，第二台出现废品的概率为，加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取出一个零件是合格品的概率是（ ） A. B. C. D. 7. 已知半径为2的球O有一内接正四面体，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的可导函数，对任意的实数，都有，且当时，恒成立，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分， 共18分． 在每小题给出的选项中有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分． 9. 相关变量，的散点图如图所示，现对这两个变量进行线性相关分析．方案一：根据图中所有数据，得到线性回归方程，相关系数为；方案二：剔除点，根据剩下数据得到线性归直线方程：，相关系数为．则（ ） A. B. C. D. 10. 下列结论正确的是（ ） A. 若随机变量x服从两点分布，，则 B. 若随机变量Y的方差，则 C. 若随机变量ζ服从二项分布，则 D. 若随机变量η服从正态分布，，则 11. 关于空间向量，以下说法正确的是（ ） A. 向量，，若，则 B. 若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 C. 设是空间中的一组基底，则也是空间的一组基底 D. 若空间四个点，，，，，则，，三点共线 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 为了判断某高中学生是否选修文科与性别的关系，现随机抽取50名学生，得到列联表： 理科 文科 男 13 10 女 7 20 根据表中数据，得到，则认为选修文科与性别有关系出错的概率约为___________.（参考数据：，） 13. 先后掷两次骰子（骰子的六个面上的点数分别是、、、、、），落在水平桌面后，记正面朝上的点数分别为、，记事件为“为偶数”，事件为“、中有偶数且”，则概率____. 14. 如图所示，长方体的底面是边长为1的正方形，长方体的高为2，E､F分别在､AC上，且，则直线EF与直线的距离为___________. 四、解答题：本大题共5小题，共77分． 解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 某地政府为解除空巢老年人缺少日常护理和社会照料的困境，大力培育和发展养老护理服务市场.从2016年开始新建社区养老机构，下表是该地近五年新建社区养老机构数量对照表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码（） 1 2 3 4 5 新建社区养老机构（） 12 15 20 25 28 （1）根据上表数据可知，与之间存在线性相关关系，用最小二乘法求关于的经验回归方程； （2）若该地参与社区养老的老人，他们的年龄近似服从正态分布，其中年龄的有人，试估计该地参与社区养老的老人有多少人？ 参考公式：线性回归方程，，. 参考数据：， 16. 如图，已知四棱锥P－ABCD，△PAD是以AD为斜边的等腰直角三角形，BC∥AD，CD⊥AD，PC＝AD＝2DC＝2CB＝2，E为PD的中点. （1）证明； （2）求直线到平面的距离. 17. 已知函数． （1）若在处取得极大值27，求函数的极小值； （2）若，，且对，不等式都成立，求实数的值范围． 18. 为普及传染病防治知识，增强学生的疾病防范意识，提高自身保护能力，校委会在全校学生范围内，组织了一次传染病及个人卫生相关知识有奖竞赛（满分100分），竞赛奖励规则如下：得分在内的学生获三等奖，得分在内的学生获二等奖，得分在内的学生获一等奖，其它学生不得奖.教务处为了解学生对相关知识的掌握情况，随机抽取了100名学生的竞赛成绩，并以此为样本绘制了如图所示的频率分布表. 竞赛成绩 人数 6 12 18 34 16 8 6 （1）从该样本中随机抽取2名学生的竞赛成绩，求这2名学生恰有一名学生获奖的概率； （2）若该校所有参赛学生的成绩X近似地服从正态分布，若从所有参赛学生中（参赛学生人数大于10000）随机抽取4名学生进行座谈，设其中竞赛成绩在64分以上的学生人数为，求随机变量的分布列和数学期望. 19. 如图所示，正方形所在平面与梯形所在平面垂直，，，，． （1）求直线与平面所成角的正弦值； （2）在线段上是否存在一点，使得平面与平面的夹角的余弦值为，若存在求出的值，若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $