江苏省海安高级中学2024-2025学年高二下学期5月检测数学试题

第 1 页 共 6 页 一、单选题 2025 高二数学检测 ： 1.   1 2 1 2n na a a b b b       展开后，共有项数 为 （ ） A . 2n B. 2 1n  C. n2 D. 2 1n  2. 函数   2 1f x x  在 1x  处的导数为（ ） A. 12 B. 2 C. 2 2 D. 2 3. 设函数 ( )f x 的定义域为 R， 0 0( 0)x x  是 ( )f x 的极大值点，则（ ） A. 0x 是 ( )f x 的极小值点 B. 0x 是 ( )f x 的极大值点 C. 0x 是 ( )f x  的极小值点 D. 0x 是 ( )f x 的极大值点 4. 从 4名男生和 2名女生中任选 3人参加演讲比赛，则所选 3人中至少有 1名女生的概率 是（ ） A. 1 5 B. 25 C. 3 5 D. 4 5 5. 对一排 7个相邻的格子进行染色，每个格子均可从红、蓝两种颜色中选择一种，要求不 能有相邻的格子都染红色，则满足要求的染色的方法共有（ ） A. 35种 B. 34种 C. 33种 D. 32种 6. 已知随机变量  X B n p ， ，且   3E X  ，   32D X  ，则  4P X  （ ） A. 12 B. 1 16 C. 15 16 D. 15 64 第 2 页 共 6 页 7. 小明等 5名同学准备分别从竹海风景区、善卷洞、云湖这 3个景点随机选择一个游玩， 设事件 A  “每个景点都有人去”，事件 B  “小明独自去了一个景点”，则  P A B （ ） A. 12 B. 5 8 C. 3 4 D. 7 8 8. 已知函数    e lnxf x x m   ，若   0f x  恒成立，则正整数 m的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、多选题： 9. 已知随机变量 X 服从两点分布，且  1P X p  ，则下列说法正确的是（ ） A.  E X p B.    2 1D X p p  C.  2 1 2 1E X p   D.    2 1 4 1D X p p   10. 已知函数    2 3f x x x  ，则下列说法正确的是（ ） A.  f x 在 1x  处取得极大值 B.  f x 在  1 ， 上单调递增 C.  2 2x  ， 时，    2 2f x   ， D.  3 2x  ， 时，    1 2f x f x   11. 已知口袋中有  * 2a a aN ， ≥ 个黑球和  * 2b b bN ， ≥ 个白球，这 a b 个球除颜色外 完全相同，每次不放回地随机摸出一个球，连续摸两次．记事件A表示“第一次摸得黑 球”，记事件 B表示“第二次摸得黑球”．则下列说法正确的是（ ） A.    P A P B B.     1 P AB P A B P A   C. 存在 a，b，使得事件 A与 B独立 D. 存在 a b， ，使得    P AB P AB 第 3 页 共 6 页 三、填空题： 12. 若随机变量 2~ (1 )X N ， ， 2 ( 0) ( 2)P X P X m  ≤ ，则m  . 13. 已知函数  f x 满足    sin c4π osf x x f x  ，则  0f  ________． 14. 甲和乙两个箱子中各装有 10个球，其中甲箱中有 5个红球，5个白球，乙箱中有 8个红 球，2个白球．掷一枚质地均匀的骰子，如果点数为 1或 2，则从甲箱子中随机摸出 1 个球观察后放回；如果点数为 3，4，5，6，则从乙箱子中随机摸出一个球观察后放回．如 此重复操作三次，其中恰有一次摸出红球的概率为________． 四、解答题： 15. 设   2 30 1 2 31 2 n n nx a a x a x a x a x       ， xR ， *nN ． （1）若 1 2 48a a  ，求 3a 的值； （2）求  31 22 3 12 2 2 2 n n n a aa a       的值； （3）求 1 2 32 3 na a a na    的值． 第 4 页 共 6 页 16. 某种产品可以采用甲、乙两种工艺来生产，为了研究产品的质量与所采用的生产工艺的 关联性，现对该种产品进行随机抽查，得到的结果如下表所示． 工艺甲 工艺乙 合计 合格 60 40 100 不合格 20 30 50 合计 80 70 150 （1）依据小概率值α＝0.05的独立性检验，分析产品的质量是否与采用的工艺有关； （2）在不合格的 50件样本产品中任选 3件，求在这 3件样本产品中至少有 1件是采用 工艺甲生产的条件下，这 3件样本产品中恰有一件是采用工艺乙生产的概率． 参考公式及数据：           2 2 n ad bc a b c d a c b d        ，其中 n＝a＋b＋c＋d. α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 17．近年来，随着人工智能技术的不断发展，各种 AI应用也不断普及，ChatGPT就是一款 具有人类沟通能力的智能 AI工具．随着人工智能的加入，各类传媒、影视、游戏行业迎来 了高速的发展，AI技术降低了这些行业的人力成本，提高了效率．某公司 2016年—2023 年的年投入资金 x（万元）与年收益 y（百万元）的数据如下表所示： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 2021 2022 2023 x 1 2 3 4 5 6 7 8 y 1.95 2.92 4.38 6.58 9.87 15.00 22.50 33.70 （1）用 ebxy a （a，b均为常数）拟合年收益 y与年投入资金 x的关系，求出经验回 第 5 页 共 6 页 归方程； （2）为了促进公司发展，该公司决定在甲、乙两个部门之间进行一次信息化技术比赛， 比赛规则如下：两个部门进行三轮答题比赛，每轮只出 1道题目，比赛时两部门同时回答这 道题，若一部门答对且另一部门答错，则答对的部门得 10分，答错的部门得 10 分，若两 部门都答对或都答错，则两部门均得 0分，累计得分为正者将获得奖品，且两部门答对与否 互不影响，每次答题的结果也互不影响，甲部门答对每道题的概率为 2 3 ，乙部门答对每道题 的概率为 1 2 ． （ⅰ）记每一轮比赛中甲部门的得分为 X ，求 X 的分布列和数学期望； （ⅱ）求三轮比赛后甲部门获得奖品的概率． 参考数据： 12.1y  ， 2.1z  ， 8 1 92.4i i i x z   ，其中 lni iz y ， 8 1 1 8 ii z z    ． 参考公式：对于一组数据  1 1,u v ， 2 2,u v ，…， ,n nu v ，其经验回归方程 ˆˆv u   的斜率 和截距的最小二乘估计分别为      1 2 1 ˆ n i i i n i i u u v v u u          ， ˆˆ v u   ． 第 6 页 共 6 页 18. 已知函数   2 2 ln 1f x x a x   , aR . （1）当 1a   时，设曲线  y f x 在 1x  处的切线为 l，求 l与曲线  y f x 的公共点个数； （2）当 0a  时，若  1 2 1 ex x ， ， ，     21 2 e 1f x f x   恒成立，求实数 a的取值范围.