精品解析：湖南省郴州市部分学校2024-2025学年度七年级下期期中考试数学

2025年上期期中考试七年级数学试卷 时长：120分钟，分值：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 实数：，，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 若，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 某同学解不等式组在数轴上表示解集的过程中，画的数轴除不完整外没有其他问题，他画的数轴如下图所示，他解的不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（ ） A. 或 B. C. D. 6. 下列说法，正确的是（ ） A. 所有的实数都可以用数轴上的点来表示 B. 的平方根是 C. 的绝对值是 D. 无限小数都是无理数 7. 一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 下列能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 10. 若，，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则的值为________． 12. 简便运算：___________． 13. 一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是_________． 14. 若，，则________． 15. 关于的不等式的解集是，那么的取值范围是________． 16. 比较大小：________（填、或） 17. 若，，，则________（用、、来表示） 18. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题6分，第20、21、22、23、24题各8分，第25、26题各10分．共66分） 19. 计算： 20. 求满足多项式的值不超过5的的负整数． 21. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 22. 先化简，再求值．其中的值是不等式的最小整数解 23. 2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． （1）求每个足球、篮球的价格是多少元？ （2）如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 24. 已知关于、的方程组的解满足，，求的取值范围 25. 阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 26. 我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“郴永宜方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“郴永宜方程”． （1）在方程①，②；③中，不等式组的“郴永宜方程”是________；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组，的“郴永宜方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年上期期中考试七年级数学试卷 时长：120分钟，分值：120分 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1. 实数：，，，，，中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查无理数的定义，立方根与算术平方根． 无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数． 【详解】解：实数：，，，，，中，和是无理数，共2个，其他数都是有理数， 故选：B． 2. 若，则下列变形错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质，不等式的基本性质为：不等式两边同时加或减去同一个整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个大于0的整式，不等号方向不变；不等式两边同时乘以（或除以）同一个小于0的整式，不等号方向改变，根据不等式的性质逐项分析即可得解，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键． 【详解】解：A、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； B、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； C、∵，∴，故原选项正确，不符合题意； D、∵，∴当时，，当时，，故原选项错误，符合题意； 故选：D． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法根据合并同类项法则、积的乘方、完全平方公式、同底数幂的乘法法则逐一判断即可． 【详解】A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项正确，符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：B． 4. 某同学解不等式组在数轴上表示解集的过程中，画的数轴除不完整外没有其他问题，他画的数轴如下图所示，他解的不等式组可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解不等式组求解集，解集的数轴表示，熟练掌握以上知识点是解题的关键．分别解不等式组写出解集，即可得出答案． 【详解】解：A、，解①得，解②得，无解，故不符合题意； B、，解①得，解②得，那么，故符合题意； C、，解①得，解②得，那么，故不符合题意； D、，解①得，解②得，无解，故不符合题意； 故选：B． 5. 已知关于的代数式“”是完全平方式，则应该是（ ） A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，根据完全平方公式即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴或， 故答案为：A． 6. 下列说法，正确的是（ ） A. 所有的实数都可以用数轴上的点来表示 B. 的平方根是 C. 的绝对值是 D. 无限小数都是无理数 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了算术平方根、平方根，绝对值，无理数的概念，实数与数轴的关系，根据算术平方根，平方根，绝对值，无理数的定义，实数与数轴的对应关系即可判断． 【详解】解：A、所有的实数都可以用数轴上的点来表示，正确，故此选项符合题意； B、的平方根是，原说法错误，故此选项不符合题意； C、的绝对值是，原说法错误，故此选项不符合题意； D、无限不循环小数都是无理数，原说法错误，故此选项不符合题意； 故选：A． 7. 一块矩形的田地被分割成了四个小矩形播种不同的农作物，它们的边长如图所示，则大矩形的面积表示错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的面积，整式的乘法运算，根据大矩形的面积的求法即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】、利用“长宽”，即可求出大矩形的面积为：，原选项不符合题意； 、根据大正方形面积两个矩形面积之和：，原选项不符合题意； 、不能表示大矩形的面积，原选项符合题意； 、根据大正方形面积四个矩形面积之和：，原选项不符合题意； 故选：． 8. 如果关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，首先计算出两个不等式的解集，再根据不等式组的解集得，即可求解；理解不等式组的解集是解题的关键. 【详解】解：不等式组化为， 解集是， ， 解得：， 故选：D． 9. 下列能用平方差公式计算的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式：，其特点是：①两个二项式相乘，②有一项相同，另一项互为相反数，③a和b既可以代表单项式，也可以代表多项式．根据公式逐项分析即可． 【详解】解：A．无相同的项，故不能用平方差公式计算； B．故能用平方差公式计算； C．无相反的项，故不能用平方差公式计算； D．无相同的项，故不能用平方差公式计算； 故选B． 10. 若，，则的值是（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的除法，多项式乘以多项式，根据题意得出，，将代入第一个式子得出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 故选：A． 二、填空题（本题共8个小题，每小题3分，共24分） 11. 若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的乘方的逆运算，幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，先求出，再把所求式子变形为，进一步变形为，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ， 故答案为：． 12. 简便运算：___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平方差公式，有理数的乘方运算，熟练运用平方差公式是解决此题的关键．先变形，然后再计算即可得解． 【详解】解： ， 故答案为： ． 13. 一个正数的两个平方根分别是a-1和5-2a，则这个正数是_________． 【答案】9 【解析】 【分析】利用一个正数的两个不同平方根a-1和5-2a互为相反数可求解． 【详解】解：∵一个正数的两个不同平方根是a-1和5-2a， ∴a-1+5-2a=0， ∴a=4， ∴这个数为． 故答案为：9． 【点睛】本题利用了平方根的性质，关键是求完a后再求这个数． 14. 若，，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的应用，由得，然后把的左边因式分解即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴ ∴ ∴． 故答案为：3． 15. 关于的不等式的解集是，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据不等式的解集，求参数的范围，根据不等式的解集，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴； 故答案为：． 16. 比较大小：________（填、或） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了实数的比较大小，根据实数大小比较的法则进行比较即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：． 17. 若，，，则________（用、、来表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根的性质，根据被开方数的小数点每向左平移3位，立方根的小数点向左平移1位，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：． 18. 甲、乙两人共同计算一道整式乘法题：，由于甲抄错了的符号，得到的结果是，乙漏抄了第二个多项式中的系数，得到的结果是．则的值为________． 【答案】0 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式，二元一次方程组的应用，掌握运算法则是解题的关键．先根据题意得出，，建立关于的方程组求解出的值，再代入求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴； ∵， ∴； ∴， 解得：， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，第19题6分，第20、21、22、23、24题各8分，第25、26题各10分．共66分） 19. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，先算乘方、开方、绝对值，再算加减即可． 【详解】解：原式 =． 20. 求满足多项式的值不超过5的的负整数． 【答案】、、、 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握掌握去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为1，是解决本题的关键． 先由题意列不等式，再去分母，去括号，移项，合并同类项，将未知数系数化为1即可求解不等式的解集，再求出符合题意的整数解即可． 【详解】解：依题意得： ， ， ， ， 所以符合题意的负整数解是、、、． 21. 解不等式组，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】， 这两个不等式的解集在数轴上表示为： 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集，解答本题的关键是明确解一元一次不等式组的方法．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集． 【详解】解：解不等式（1）得： 解不等式（2）得： ∴这个不等式组的解集是 22. 先化简，再求值．其中的值是不等式的最小整数解 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算与化简求值，求不等式的整数解问题，先根据乘法公式以及单项式乘以多项式进行化简，然后求得不等式的最小整数解，代入化简结果求值，即可求解． 【详解】解：原式 解不等式得： ∴它的最小整数解是 当时，原式的值 23. 2025年上期，郴州市某学校为落实国家教育“双减”政策，增加学生的体育活动，决定购买一批体育用品．若购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元． （1）求每个足球、篮球的价格是多少元？ （2）如果需要购买足球、篮球共40个，且足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元，请问有几种购买这两种体育用品的方案？ 【答案】（1）每个足球和篮球的价格分别是20元、50元 （2）共有三种购买方案，他们分别是：方案一：购买32个足球和8个篮球；方案二：购买33个足球和7个篮球；方案三：购买34个足球和6个篮球． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设每个足球和篮球的价格分别是元、元，根据“购买100个足球和40个篮球需要4000元，购买50个足球和90个篮球需要5500元”列出方程组，进一步求解即可得出答案； （2）设其中购买足球个，则购买足球个，根据“足球的个数不少于32个，总费用达到或超过980元”列不等式组求出的范围，结合为正整数可得答案． 【小问1详解】 解：设每个足球和篮球的价格分别是元、元，依题意得： ， 解得：， ∴每个足球和篮球的价格分别是20元、50元． 【小问2详解】 解：设其中购买足球个，则购买足球个， 根据题意得：， 解得：， 由题意得：取整数， ∴的值为32、33或34， ∴共有三种购买方案，他们分别是： 方案一：购买32个足球和8个篮球； 方案二：购买33个足球和7个篮球； 方案三：购买34个足球和6个篮球． 24. 已知关于、的方程组的解满足，，求的取值范围 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解二元一次方程组、解一元一次不等式，解答本题的关键是明确题意，利用方程和不等式的性质解答． 先求出方程组的解为，再根据，即可求得的取值范围． 【详解】解：解方程组，得 这个方程组的解满足，， 于是有： 解得： 25. 阅读理解：若满足，求的值， 解：设，，则有： ，， 所以 请仿照上例解决下面的问题： 问题发现：（1）若满足，求的值； 类比探究：（2）若满足，求的值； 拓展延伸：（3）若，求的值 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式变形应用； （1）设，由完全平方公式将化为，即可求解； （2）设，，将化为，即可求解； （3）设，，可求出，，将化为，即可求解； 掌握、、、、之间的关系，并能熟练利用其进行运算是解题的关键． 【详解】解：（1）设，则： ，， ； （2）设，，则有： ，， ， ； （3）设，， ， ，， ，， ， ， ． 26. 我们定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“郴永宜方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“郴永宜方程”． （1）在方程①，②；③中，不等式组的“郴永宜方程”是________；（填序号） （2）若关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”，求的取值范围； （3）若关于的方程是关于的不等式组，的“郴永宜方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，熟练掌握解不等式组是关键． （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“郴永宜方程”的定义列出关于的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“郴永宜方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【小问1详解】 解：，解得：； ，解得：； 解得：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 的解集为：， 在范围内， ∴不等式组 的“郴永宜方程”是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：解方程得：， 解不等式组，得， ∵关于的方程是不等式组，的“郴永宜方程”， ∴， 解得； 【小问3详解】 解：解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“郴永宜方程”， ∴在范围内， ∴， 解得， 综上所述，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $