第二章 实数复习巩固习题课件 2025-2026学年北师大版数学八年级上册

第二章 实数 1 认识实数 第1课时 无限不循环小数 1 1. 是一个( ) D A. 有限小数 B. 循环小数 C. 无限循环小数 D. 无限不循环小数 2. 某中学实践教育基地有一块正方形菜地，该菜地的面积是 ，现决定把此正方形菜地的边长增加 ，则新的正方 形菜地的边长范围是( ) B A. 与之间 B. 与 之间 C. 与之间 D. 与 之间 返回 2 3. 若，根据下表估计 的值为_____ （精确到0. 1）. 28.4 28.5 28.6 28.7 806.56 812.25 817.96 823.69 28.6 4. 教材P25思考·交流 面积为 的圆，它的半径 的 整数部分是___，十分位是___，百分位是___，千分位是___. 4 1 2 3 返回 3 5.［2025温州期中］如图，每个小正方形的边 长均为1，可以得到每个小正方形的面积为1. （1）图中阴影部分的面积是多少？ 【解】 . （2）估计阴影部分正方形的边长的值在哪两个整数之间. 因为 ,所以边长的值在3与4之间. 返回 4 6. 若正方体的体积为9，则棱长 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 7. ［2025成都青羊区期中］ 如图所示，数轴上的点 所表 示的数为，则数 为( ) B A. 有理数 B. 不循环小数 C. D. 不存在 返回 5 8. 为了培养学生的爱国主义情怀，激发青少 年报效祖国、奉献社会、服务人民的责任心和使命感，某校 举办了“小小贺卡，军民情深”祝福活动.小芳制作了一张面积 为 的正方形贺卡.现有一个长方形信封，长、宽之比 为，面积为 ，小芳能将这张贺卡不折叠就放入此 信封吗？请通过计算说明你的判断. 6 【解】因为正方形贺卡的面积为 ， 所以正方形贺卡的边长为 . 设长方形信封的长为，宽为 . 因为长方形信封的面积为 ， 所以.所以 . 所以.所以 .所以小芳能将这张贺卡不 折叠就放入此信封. 返回 7 $$第二章 实数 专题5 比较二次根式大小的方法 1 方法1 移动因式法 1.［2025宜宾月考］比较大小（填“ ”“ ”或“”）： ___，___ . 返回 2 方法2 平方法 2.比较与 的大小. 【解】因为 , ， 所以 . 又因为, , 所以 . 返回 3 方法3 作商法 3.比较与 的大小. 【解】 . 易知,，所以 . 已知,,若,则;若,则 ; 若,则 . 返回 4 方法4 分子有理化法 4.（1）比较与 的大小； 【解】因为 ， ，且 , 所以，即 . 5 （2）比较与 的大小. 因为 ， ，且 ，所以 ，即 . 返回 6 方法5 分母有理化法 5.比较与 的大小. 【解】因为， ， ，所以 . 返回 7 方法6 作差法 6.比较和 的大小. 【解】因为 ， 且，所以 . 利用作差法比较两个式子的大小时，若 ， 则;若，则;若,则 . 返回 8 方法7 倒数法 7.已知，，试比较， 的大小. 【解】 ， . 因为 , 所以.所以 . 返回 9 方法8 设参比较法 8.比较与 的大小. 【解】设,则 , . 因为,所以 . 返回 10 方法9 特殊值法 9.若，请用“ ”号连接，，， ：__________ ______. 【点拨】取特殊值,则，, .所以 . 返回 11 $$第二章 实数 2 平方根与立方根 第1课时 算术平方根 1 1. “3的算术平方根”可用数学式子表示为( ) A A. B. 3 C. D. 2. 如果没有算术平方根，那么 可以是( ) A A. B. C. D. 3. 的算术平方根是( ) D A. B. C. D. 0.64 返回 2 4. 下列说法中不正确的有( ) ①任何数都有算术平方根； ②一个数的算术平方根一定是正数； 的算术平方根是 ； 的算术平方根是 ； ⑤算术平方根不可能是负数. C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 返回 3 5. 教材P32随堂练习 （1） 的算术平方根是______； （2） 的算术平方根是__； （3） 的算术平方根是____. 0.9 6.当____时，代数式 有最小值____. 返回 4 7. 电流通过导线时会产生热量，电流 （单位：A）,导线电阻（单位：）,通电时间（单位： ） 与产生的热量（单位：）满足.若导线电阻为 ， 通电时间为，导线产生的热量为，则电流 的值是多少？ 【解】把 ，，代入 得， ，所以，所以 . 所以电流的值为 . 返回 5 8. 若是整数，则满足条件的自然数 共有( ) D A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 5个 9. 若的算术平方根是5，则 的算术平方根是 ( ) D A. B. C. D. 2 返回 6 10. 已知的三边长分别为，， ， 且满足，则 的值为( ) D A. 3 B. 4 C. 5 D. 或5 【点拨】因为 ，所以 ，所以 ，所 以，，所以，.当， 为直角边时，；当 为斜边时， .综上可知，的值为 或 5. 返回 7 11. 直田七亩半，忘了长和短.记得立契时，长 阔争一半.今问俊明公，此法如何算.意思是：有一块面积为7 亩半的长方形田，忘了长与宽各是多少.只记得在立契约的时 候说过，宽是长的一半.现在请你帮他算出它的长为____步. （一亩 平方步） 60 返回 8 12.［2025杭州上城区期中］我们知道，平方数的开平方运算 可以直接求得，如：.有些数则不能直接求得，如： ， 但可以通过计算器求得.还有一种方法可以通过一组数的内在 联系，运用规律求得.请你观察下表： … 0.04 4 400 40 000 … … 2 … 9 （1）表格中的三个值分别为：____；____； _____； （2）用公式表示这一规律：当为整数 时， ________. 0.2 20 200 返回 10 13. 实数， 在数轴上对应点的位置 如图所示，已知，化简 . 11 【解】由数轴可知， ， 所以， . 所以 . 返回 12 14. 小明每次回家进入电梯时，总能看见物 业在电梯内张贴的提示“高空抛物，害人害己，严禁高空抛 物”，为进一步研究高空抛物的危害，小明请教了物理老师， 得知高空抛物下落的时间（单位：）和下落高度 （单位：）近似满足公式，其中 为重力加速 13 度，.物体落地时产生的动能物体质量 单位： 重力加速度单位： 高度 （单位：），动能的单位名称为焦耳.例如：一个 重 的花盆从 高空坠落到地面产生的动能约为 . （1）一个物体从 的高空坠落到地面大约需要几秒？ 【解】把代入，得 ， 解得 （负值已舍去）. 答：一个物品从的高空坠落到地面大约需要 . 15 （2）一个的物体坠落到地面产生了 的动能，请推 算该物体坠落到地面用了几秒. 由题意得，解得 . 把代入，得 ， 解得 （负值已舍去）. 答：该物品坠落到地面约用了 . 返回 16 15.一个数值转换器的工作原理如图所示： （1）当输入的为25时，输出的 值是____； （2）若输入有效的值后，始终输不出 值，请写出所有满 足要求的 值，并说明你的理由； 【解】0，1.理由：因为0和1的算术平方根是它们本身，0和1 是有理数，所以当或1时，始终输不出 值. 17 （3）若输出的是，请写出两个满足要求的 值：_______ ______________. 25，5（答案不唯一） 返回 18 16. 我们知道，负数没有算术平方根，但对于 三个互不相等的负整数，若两两乘积的算术平方根都是整数， 则称这三个数为“完美组合数”.例如：，， 这三个 数，， ， ，其结果6，3，2都是整数，所以 ， ， 这三个数称为“完美组合数”. 19 （1），， 这三个数是“完美组合数”吗？请说明理由. 【解】，， 这三个数是“完美组合数”.理由如下： ， ， ，所以，， 这三个数是“完美组 合数”. 20 （2）若三个数，， 是“完美组合数”，其中有两个数 乘积的算术平方根为12，求 的值. 因为 ，所以分两种情况讨论： ①当时，，所以 ； ②当时，，所以 （不符合题意，舍去）. 综上所述，的值是 . 返回 21 $$第二章 实数 3 二次根式 第3课时 二次根式的混合运算 1 1. 计算 的结果为( ) A A. B. C. D. 2. 从“，， ， ”中选择一种运算符号，填入算式“ ”中的“ ”内，使其运算结果为有理数，则应选 择的运算符号是( ) B A. B. - C. × D. 返回 2 3. 已知，，则与 的关系 是( ) A A. 互为相反数 B. 相等 C. 互为倒数 D. 互为负倒数 4.［2025郑州二七区月考］如图，长方形内 有两个相邻的正方形，其面积分别为2和8， 则图中阴影部分的面积为___. 2 5.计算： _______. 返回 3 6.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 4 （3） . 原式 . 返回 5 7.先化简，再求值： ，其中 ， . 【解】原式 . 因为， ， 所以原式 . 返回 6 8. 如图，点，，， 在数轴上，则可以近似表示 的运算结果的点是( ) C A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 7 【点拨】.因为 ，所以 ，所以可以近似表示 的运 算结果的点是点 . 返回 8 9. 已知， ， ，那么，， 的大小关系是( ) A A. B. C. D. 返回 9 10. 小康和小英玩摸卡片游戏：如图，有三张 大小、形状、纸质和背面完全相同的卡片A，B，C，卡片正 面分别写有一个算式，现将背面朝上，小康从中随机抽取两 张，若小康所抽取的两张卡片上式子的结果都是无理数，则 它们的和为( ) A A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 10 【点拨】易知卡片A，C上式子的结果是无理数，卡片B上式 子的结果是有理数，所以 . 返回 11 11.若，为实数，且 ，则 的值为_____. 【点拨】由题意得，,,则, ,所以原式 . 返回 12 12.已知，， ， ，则 ____． 11 【点拨】因为 ，所以 ，所以 ， 所以，所以 .因为 ，所以，所以 . 返回 13 13.某市去年口袋公园建设成效显著，推动完 善了“推窗见绿，出门进园”的绿化空间，提升 了绿化感受度和获得感.在打造口袋公园的过 程中，筛选出一块形状为长方形的空闲地块， 如图，地块的长为米，宽为 米，现要在地块中间 修建两块大小相同的长方形绿地（阴影部分），每块小长方 形绿地的长为米，宽为 米. 14 （1）求长方形空闲地块的周长. 【解】由题意可得，长方形空闲地块的周长为 （米）. 15 （2）除绿地部分，其他部分都要铺上地砖， 已知铺地砖的费用为50元/平方米，铺地砖的 费用为多少？ 铺地砖的面积为 （平方米），所以铺地砖的费用为 （元）. 返回 16 14.已知,，求 的值. 17 （1）请用两种方法解决上题； 【解】 方法一：因为, ， 所以 . 方法二：因为, ，所以 ， ， 所以 . （2）变式探究： ①若, ，则代数式 的值为___； 4 【点拨】 . 19 ②已知, ，求 的值. 因为, ， 所以 ， 所以 . 返回 20 15.［2025上海实验学校月考］材料一：由 可以看出，两个含有 二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个 代数式互为有理化因式，在进行二次根式计算时，利用有理 化因式，有时可以化去分母中的根号，例如： ； 21 材料二：根式化简： ； . 根据以上材料，请回答下列问题： （1） _______； 22 （2） __； 【点拨】 . 23 （3）计算： . 24 【解】 25 . 返回 $$第二章 实数 第二章综合素质评价 1 ［时间：60分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. ［2024烟台］下列实数中的无理数是( ) C A. B. 3.14 C. D. 返回 2 2. 如图，这是嘉嘉的一次作业，若每道题25分，则该次作业 嘉嘉的得分为( ) 成绩：____ ； ； ； . C A. 25分 B. 50分 C. 75分 D. 100分 返回 3 3. 已知，则 的值为 ( ) A. B. C. 2 026 D. 2 027 B 返回 4. 如图，数轴上的点可以近似地表示 的值的是( ) B A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 5. 在数轴上有，两点分别表示实数和，且有 与 互为相反数，则 的平方根为( ) A A. B. C. 7 D. 返回 5 6. 按如图所示的程序计算，若开始输入的 值为 ，则最后输出的结果是( ) C A. 14 B. 16 C. D. 返回 6 7. 若，是实数，且 ，则 等于( ) A A. B. C. 0 D. 返回 7 8. ［2025青岛月考］已知， ，且 ，则正整数 的值为( ) D A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 8 【点拨】因为 ， ，所以 .因为 ， 9 ，所以 ，即 ，所以 ，所以或（与 为正整数不符，舍 去），故选D. 返回 二、填空题（每题5分，共20分） 9. 若是最简二次根式，则 的值为 _________________.（写出一个即可） 10.的倒数是__，_______， 的相反数是 _______. 11.如图，每个小正方形的边长为1，可通过“剪一剪”“拼一拼” 将其拼成一个正方形，则这个正方形的边长是____. 3（答案不唯一） 返回 11 12. 定义：如图①，在中，点在 边 上，连接，若的长恰好为整数，则称点为 边上的 “整点”.如图②，已知等腰三角形的腰长为 ，底边长为6， 则底边上的“整点”个数为___；如图③，在 中， ，，且边上有6个“整点”，则 的长 为___. 5 9 12 【点拨】如图①，过点作于.因为 ，所 以，所以 ，所 以为边上的一个“整点”.因为大于1小于 的整数有2，3， 所以上还有两个“整点”（不包括）， 上也还有两个 “整点”（不包括），所以 上一共有5个“整点”； 13 如图②，过点作于.因为小于 的最大整数为4， 小于的最大整数为5，所以左侧的“整点”比 右侧的“整 点”少一个.因为边上有6个“整点”，所以 左侧的“整点”到 的距离分别为4，3，右侧的“整点”到 的距离分别为5，4， 3，且，所以 ， ，所以 . 返回 三、解答题（共48分） 13.（6分）计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 16 14.（8分） （1）若，求 的平方根； 【解】因为 , 所以,, , 所以,, , 所以 , 所以的平方根为 . 17 （2）先化简，再求值： ，其中， . 原式 . 当， 时， 原式 . 返回 18 15.（10分）已知, . （1）求 的值； 【解】因为 ， ， 所以 . 19 （2）若的小数部分是,的小数部分是 ，求 的值. 因为，所以，即 ， 所以， . 由（1）可知，， ， 所以， . 20 因为的小数部分是,的小数部分是 ， 所以， . 所以 . 返回 16.（12分） 现有两块同样大小的长方形木 板①，②，甲木工采用如图①所示的方式，在长方形木板① 上截出三个面积分别为，和 的正方形木板 ，， . 22 （1）木板①中截出的正方形木板的边长为___， 的边 长为_____，的边长为_____ ； 2 23 （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； 24 【解】因为正方形木板的边长为，正方形木板 的边 长为，正方形木板的边长为 ， 所以长方形木板①的长为，宽为 ， 所以剩余部分（阴影部分）的面积为 25 （3）乙木工想采用如图②所示的方式，在长方形木板②上 截出两个面积均为 的正方形木板，请你判断能否截出， 并说明理由. 26 不能截出. 理由：因为， ， 所以两个正方形木板放在一起的宽为，长为 . 由（2）可得长方形木板的长为，宽为 . 因为，但 ，所以不能截出. 返回 27 17.（12分） 观察下列一组等式，然后解答 问题：， ， ，， . （1）利用上面的规律，计算： ； 28 【解】原式 . 29 （2）请利用上面的规律，比较与 的大小. ， .因为 ， 所以 . 返回 30 $$第二章 实数 2 平方根与立方根 第2课时 平方根 1 1. 16的平方根是( ) D A. 2 B. C. 4 D. 返回 2 2. 下列关于平方根的说法： ①正数的平方根是正数； 的平方根是 ； 的平方根是 ； ④非负数 的平方根是非负数； 是 的一个平方根； 的平方根是 . 其中正确的有( ) A A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 3 3. 教材P33例4 下列各式中，正确的是( ) B A. B. C. D. 4.若，则 ____. 5.下列各数：0，，，，， ， ，，，， ，其中一定有平方 根的数有___个. 6 返回 4 6.已知，则 的平方根是_____. 7.化简： ___. 2 返回 5 8. 教材P38习题 求下列各式中 的值： （1） ； 【解】因为，所以 . 所以.所以或 . 6 （2） . 因为,所以 . 所以 . 所以或 . 返回 9. 已知和都是非负数 的平方根， 求 的值. 佳佳的解题过程如下： 解：因为和都是非负数 的平方根， 所以，解得 ， 所以，所以 的值为9. 请问佳佳的解题过程正确吗？如果不正确，请说明理由. 8 【解】佳佳的解题过程不正确，理由如下： 因为和是非负数 的平方根， 所以当时，解得 ， 所以，所以 的值为9; 当时，解得，所以 , 所以 的值为1. 综上所述， 的值为1或9. 返回 9 10. 若与 的和是单项式，则 的平方根为( ) D A. 4 B. 8 C. D. 11.若的平方根是它本身，则 的值是___. 返回 10 12. 我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三 角形的三边长求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦 提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，， ， 记，则其面积 ，这个 公式也被称为海伦—秦九韶公式.若一个三角形的，，， 为四个连续正整数，则此三角形的面积为___. 6 返回 11 13.若实数，， 满足条件 ，则 _____. 120 【点拨】因为实数，， 满足条件 ，所以 ，所以 , 12 所以 ，所以 ，,所以 ， ，，所以，， ， 所以，,所以 . 返回 14. 若 ，其中 ，均为整数，则 _________. 4或2或0 14 【点拨】因为,其中, 均为整数， 且, ,所以可分为以下三种情况： ,,解得 , ;， ,解得 或，; , ,解得或， . 综上所述， 或2或0. 返回 15.已知与 互为相反数，求 的 平方根. 【解】由题意得 . 因为， ， 所以, ， 解得, ， 所以 ， 所以其平方根为 . 返回 16 16. “保护环境，节约资源”一直是现代社会 所提倡的，墨墨参加了学校组织的“节约资源，废物利用”比 赛，他想将一个废旧易拉罐的侧面制成一个正方体 （有底有盖）储存盒，他测得该废旧易拉罐的高是 ， 底面直径是 ，废旧易拉罐的侧面刚好用完，正方体储 存盒的接头部分忽略不计，求墨墨所做的正方体储存盒的棱 长 取3 17 【解】设墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 . 由题意，得 , 解得 （负值已舍去）. 答：墨墨所做的正方体储存盒的棱长为 . 返回 18 17. 归纳与探究： （1）计算：___，__， ___， __，___， . 2 3 0 19 （2）猜想：对于任意有理数,一定等于 吗？利用（1） 中的计算，你发现 的值等于多少呢？ 【解】 对于任意有理数，不一定等于 .由（1）中各式 的计算结果可以发现：对于任意有理数 ，有 20 （3）应用：有理数,,在数轴上所对应的点如图所示， 是 4的平方根.计算： . 由数轴可知,,， ， 所以原式 . 因为是4的平方根，且，所以，所以原式 . 返回 21 18. 喜欢探索数学知识的小明遇到一个新的 定义：对于三个正整数，若其中任意两个数乘积的算术平方 根都是整数，则称这三个数为“和谐组合”，其结果中最小的 整数称为“最小算术平方根”，最大的整数称为“最大算术平方 根”，例：1，4，9这三个数，， ， ，其结果分别为2，3，6，都是整数，所以1，4， 9三个数称为“和谐组合”，其中“最小算术平方根”是2，“最大 算术平方根”是6. 22 （1）3，12，16______“和谐组合”.（填“是”或“不是”） 不是 （2）请说明2，8，18这三个数是“和谐组合”，并求出“最小 算术平方根”和“最大算术平方根”； 【解】因为，， ，且6， 4，12都是整数，所以2,8,18这三个数是“和谐组合”，其中“最 小算术平方根”是4，“最大算术平方根”是12. 23 （3）已知4， ，25三个数是“和谐组合”，且“最大算术平方 根”是“最小算术平方根”的5倍，求 的值. 分三种情况：①当时，,解得 （舍去）； ②当时，，解得 ; ③当时，，解得 . 综上所述， 的值为1或100. 返回 24 $$第二章 实数 2 平方根与立方根 第3课时 立方根 1 1. 的立方根是( ) B A. 2 B. C. 2或 D. 4 2. 下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 返回 2 3. ［2025晋城期中］如图，该几何体由8个形状大小完全相 同的小正方体组成.已知该几何体的体积约为 （方块之间的缝隙忽略不计），则每个小正方体的棱长为 ( ) A A. B. C. D. 返回 3 4. 下列说法：①立方根是它本身的数只有3个； 的立方 根是与； 无立方根；④互为相反数的两个数的立 方根也互为相反数；⑤一个数的立方根不是正数就是负数； ⑥如果一个数的算术平方根与立方根相同，那么这个数是0. 其中正确的是( ) C A. ①②⑤ B. ③⑥ C. ①④ D. ②④ 5.比较大小（填“ ”“ ”或“”）：___；___ . 返回 4 6. 教材P35例6 求下列各式的值： （1） ； 【解】 . （2） . . 返回 5 7.求下列各式中的 （1） ； 【解】因为，所以 . 所以.所以 . （2） . 因为，所以 . 所以.所以 . 返回 6 8. 在做物理实验时，小明用一根细线将一个 实心铁球拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量 筒量得铁球排出的水的体积为 .小明又将铁球从水中 提起，量得烧杯中的水位下降了 .请问烧杯内部的底面 半径和铁球的半径各是多少？（球的体积公式为 ， 为球的半径） 7 【解】设烧杯的底面半径为,铁球的半径为 ,根据题 意得 ， ,解得 ， . 故烧杯内部的底面半径是,铁球的半径是 . 返回 8 9. ［2025菏泽牡丹区月考］已知， 满足 ，则 的立方根是( ) C A. B. C. D. 10. 如果，，那么 ( ) B A. B. C. D. 返回 9 11. 有一个数值转换器，流程如图所示，当输入 的值为64时， 输出 的值是( ) C A. 2 B. C. D. 返回 10 12. 一般地，如果 为正整数,且 ,那么叫作的次方根.例如:因为, , 所以16的四次方根是 .则下列结论: 是81的四次方根; ②任何实数都有唯一的奇次方根； 11 ，为自然数,则的三次方根是 ; ④当时,整数 的所有 可能的二次方根有4 050个. 其中正确的有( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 C 【点拨】①因为 ，所以3是81的四次方根，故①正确； ②任何实数都有唯一的奇次方根，②正确；③因为 ， 13 所以的三次方根是 ，故③正确；④由已知，得 ，即数轴上数到数 和数2 025的距离和为4 048.又由 ， 故整数,, ,,0,1, ,,则整数 的所 有可能的二次方根有0，1，，，， ， ， ，共4 051个，故④不正确，故正确的是①②③，有 3个. 返回 13.已知是的整数部分，是 的小数部分，则 _________. 14.已知，则 的值为__________. 或1或0 返回 15 15.一个正方形的边长变为原来的8倍后，面积变为原来的 倍； 一个正方体的体积变为原来的27倍后，棱长变为原来的 倍， 则的立方根与 的平方根的和为_______. 1或 【点拨】一个正方形的边长变为原来的8倍后，面积变为原 来的64倍，即 ，一个正方体的体积变为原来的27倍， 则棱长变为原来的3倍，即.所以， ， 所以的立方根为，的平方根为 .因为 ，,所以的立方根与 的平方 根的和为1或 . 返回 16 16.已知，， ． （1）求 的值； 【解】因为，所以或 ，所 以或 . （2）若，求 的值； 因为，所以或，所以 或 .因为，所以， ，所以 . 17 （3）若，求 的值． 因为，所以 . 又因为，所以，即， 异号， 所以，，或， ． 当， 时， ； 当， 时， . 综上可知，的值为 或25. 返回 18 17.我国著名数学家华罗庚在杂志上看到这样的问题：求 59 319的立方根.他脱口而出：39.他是怎样快速准确算出来 的呢？ 19 （1）【知识储备】开立方与立方互为逆运算，如：因为 ,所以；因为,所以 ,因此， 我们需要熟悉一些数及其立方.请补全表格： 整数 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 100 整数的立方 1 8 27 216 729 64; 125; 343; 512 （2）【思路探究】尝试求出19 683的立方根是哪个整数： ①确定立方根的位数：由, ,确 定 是____位数； ②确定个位的数字：根据（1）中各整数的立方的个位数字， 确定 的个位上的数字是___； ③确定十位的数字：由, ,且 ,确定 的十位上的数字是___； ④确定立方根的值：由①~③可得 的值为____. 两 7 2 27 21 （3）【尝试应用】某商场拟建一个容积为373 248的正方体 玻璃柜放置东莞迎恩门城楼模型，请问这个正方体玻璃柜的 棱长是多少？直接写出答案. 【解】这个正方体玻璃柜的棱长是72. 返回 22 $$第二章 实数 2 平方根与立方根 第4课时 估算 1 1. 用计算器求 的近似值，其按键顺序正确的是 ( ) A A. B. C. D. 返回 2 2. 如图，数轴上的点，，，分别表示数 ，1，2，3， 表示数的点 应落在线段( ) C A. 上 B. 上 C. 上 D. 上 返回 3 3. 在量子物理的研究中，科学家需要精确 计算微观粒子的能量.已知某微观粒子的能量 可以用公式 表示，当，时，该微观粒子的能量 的值在( ) B A. 3和4之间 B. 5和6之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 4. 写出一个比大且比 小的整数： __________________. 2（答案不唯一） 返回 4 5.［2025上海闵行区期中］已知， 均为正整数，如果 ，我们称是的“主要值”，那么 的主要 值是___. 8 返回 5 6.用计算器计算.（结果精确到 ） （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 6 7.通过估算，比较下面各组数的大小： （1）和 ； 【解】因为，所以,即 , 所以 . 7 （2）和 . 因为,所以要比较和的大小，只需比较 和 的大小. 因为， ,所以 ,所以 . 返回 8 8. ［2025杭州余杭区月考］若 取到最小值，则整 数 的值是( ) C A. 4 B. C. 3 D. 返回 9 9. 如图，某同学利用计算器中的 三个按键 设置计算程序，以下是这三个按键的功能. ① ：将屏幕上显示的数变成它的算术平方根； ② ：将屏幕上显示的数变成它的倒数； ③ ：将屏幕上显示的数变成它的平方. 小明输入一个数据后，程序将依次按照从第一步到第三步的顺序循环计算. 若一开始输入的数据为10，那么第2 026步之后，显示的结果是( ) D A. 10 B. 100 C. 0.1 D. 0.01 10 【点拨】由题意可知,第一步的结果为 ，第二步的结果为 ，第三步的结果为 ，第四步的结果为 ，第五步的结果为 ，第六步的结果为 ，第七步的结果 为, ,所以运算结果是以100，，， ， 100，10这六个数为一组周期循环的.因为 ，所以第2 026步之后显示的结果为 0.01. 返回 11 10.求一个正数的算术平方根，有些数可以直接求得，如 ， 有些数则不能直接求得，如 ，但可以通过计算器求得，还 有一种方法，即通过一组数的内在联系，运用规律求得，请 同学们观察下表： 0.16 16 1 600 160 000 … 0.04 0.4 4 40 400 … 12 （1）根据表中所给的信息，能发现规律：被开方数的小数 点每向左或向右移动2位，则它的算术平方根的小数点就向 ________移动___位； 左或右 1 （2）若， ，运用你发现的规律， 探究下列问题： ① ______； 604.2 【点拨】由（1）可知，被开方数的小数点向右移动4位，它 的算术平方根的小数点就向右移动2位.因为 ， 所以 . 14 ②已知，则 _________. 【点拨】由（1）可知，被开方数的小数点向左移动4位，它 的算术平方根的小数点就向左移动2位.因为 ， ，且一个正数的平方根有两个，所以 . 返回 15 11.［2024河北］已知，， 均为正整数. （1）若，则 ___； 3 【点拨】因为，所以 .因为 ，为正整数，所以 . 16 （2）若，，则满足条件的 的个数总比 的个数少___个. 2 【点拨】因为，所以 ，所 以的取值范围为 . 因为，所以，所以 的取值 范围为 .因为 ，所以满足条件的的个数总比 的 个数少2个. 返回 17 12.某地气象资料表明：当地雷雨持续的时间（单位： ）可 以用公式来估计，其中（单位： ）是雷雨区域的 直径. 18 （1）如果某场雷雨区域的直径是 ，那么这场雷雨大约 能持续多长时间？（结果保留根号） 【解】把代入，得 . 所以 . 所以这场雷雨大约能持续 . （2）如果这场雷雨持续了 ，那么这场雷雨区域的直 径大约是多少？（结果精确到 ） . 把代入，得 . 所以 . 所以这场雷雨区域的直径大约是 . 返回 20 13. 某数学兴趣小组准备探究无理数. （1）到底有多大？下面是探索 的近似值的过程，请补 充完整； 如图甲所示，我们知道面积是2的正方形边长是 ，且 .设 . 21 由图甲可得， . 因为值很小，所以更小，略去，得方程， 解得 ______（保留到 ）， 即 ______； 1.414 22 （2）数学兴趣小组依据上面的方法接着探究 的近似值， 如图乙所示，面积是3的正方形边长是，且 .设 ， ，请把图乙和剩余的过程补充完整 （结果保留到 ）； 2.89; ; 由题图乙可得， . 因为值很小，所以更小，略去 ， 得方程，解得，即 . 23 （3）怎样画出和 ，请一起参与探索画的过程.该兴趣小 组的做法是：设新正方形的边长为 .依题意，割补前 后图形的面积相等，有，解得 .把2个边长为1的 正方形，如图①所示进行分割，然后在图②中用实线画出拼 接成的新正方形.如图③所示，现有5个边长为1的正方形，请 参考上面的做法，把它们分割后拼接成一个新的正方形.要求： 在图③中画出分割线，并在图④中用实线画出拼接成的新正 方形，直接画出图形即可. 24 【解】如图①②所示. 返回 25 $$第二章 实数 测素质 实数、平方根及立方根 1 ［时间：45分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. ［2024烟台］下列实数中的无理数是( ) C A. B. 3.14 C. D. 2. 已知 是实数，下列各式的立方根一定是正数的是( ) C A. B. C. D. 返回 2 3. 在做浮力实验时，小华用一根细线将一 个正方体铁块拴住，完全浸没在盛满水的圆柱形烧杯中.若用 一量筒量得被铁块排出的水的体积为 ，则该正方体铁 块的棱长为( ) A A. B. C. D. 返回 3 4. ［2024重庆］已知，则实数 的范围是 ( ) B A. B. C. D. 返回 4 5. 实数 在数轴上的对应点的位置如图所示，则 的化简结果是( ) B A. 1 B. 2 C. D. 返回 5 6. 对于实数，,定义, 的含义为：当 时，,,当时，, .例如： ，.已知，,， ， 且和为两个连续正整数，则 的算术平方根为 ( ) D A. 16 B. 8 C. 4 D. 2 返回 6 7. 已知，，，若 为整 数且，则 的值为( ) C A. 21 B. 22 C. 23 D. 24 8. 已知按照一定规律排成的一列实数： ，，，，，，，，，， ， 据此可推得这一列数中的第2 025个数应是( ) A A. B. C. 45 D. 2 025 返回 7 二、填空题（每题4分，共20分） 9.利用计算器计算： _____（精确到0.01）. 10.下列计算中，错误的是____.（填序号） ① ； ② ； ③ ； ④ . 0.86 ① 返回 8 11.若，则 的值为____. 19 12. 如图，，， 均为正 方形，若的面积为10，的面积为1，则 的边长可以是_________________. （写出一个答案即可） 2（答案不唯一） 13.已知的立方根是3，的算术平方根是3， 是 的整数部分，则 ____. 10 返回 9 三、解答题（共48分） 14.（8分）把下列各数填入相应的集合内： ，0，，，，，，，， , , （相邻两个2之间1的个数逐次加 1）. 整数集合：｛________________…｝; 0，，, 10 分数集合：｛_____________________________…｝; 有理数集合：｛______________________________________ __________…｝; 无理数集合：｛ _____________________________________ ________________________________ …｝. ，，,，, ，0，，，，，，， ，，， （相邻两个2之间1的个数逐次加1）, 返回 11 15.（8分）计算： . 【解】原式 . 返回 12 16.（8分）已知实数,互为相反数，,互为倒数， 的绝对 值为，求式子 的值. 【解】因为,互为相反数，,互为倒数，的绝对值为 ， 所以,, . 当时，原式 ； 当时，原式 . 返回 13 17.（12分） 先化简，再求值： ，其中 .下面是小亮和小芳的解答 过程. 解：原式 . 解：原式 . 小亮 小芳 14 （1）______的解法是错误的； 小亮 【点拨】当 时，原式 .因为 ，所以原式 ，所以小 亮的解法是错误的. 15 （2）错误的原因在于未能正确地运用性质：_____________ ____； （3）先化简，再求值： ，其中 . 【解】当 时，原式 .因为 ，所以原式 . 返回 16 18.（12分）阅读下面的文字，解答问题：大家知道 是无 理数，而无理数是无限不循环小数，因此 的小数部分我们 不可能全部写出来.将这个数减去其整数部分，差就是小数部 分，因为的整数部分是1，所以用来表示 的小数 部分. 例如：因为,即,所以 的整数部分 是2，小数部分为 . 17 （1） 的整数部分是___，小数部分是_________. 4 （2）点 表示的数为无理数，在数轴上的位置如图所示，若 其整数部分为，小数部分为，则下列对于, 的说法正确 的是______.（填序号） ,均为有理数；; ; . ②④ 18 【点拨】设点所表示的无理数为,由题意可知， , 所以点所表示的无理数的整数部分 ，小数部分 ,因此, 均为有理数，不正确；②由于 ,即,因此②正确；③因为 ,而 ,所以 ,因此③不正 确；④因为,而 ,所以 ,因此④正确.综上所述，正确的是②④. 19 （3）若,分别是 的整数部分和小数部分，求 的值. 【解】因为,即 ,所以 ,所以,所以 的整数部分 ,小数部分 ,所以 . 返回 20 $$第二章 实数 专题3 算术平方根的非负性的应用 1 应用1 中 的应用 1. 若式子在实数范围内有意义，则 的取值范围是 ( ) D A. B. C. D. 2. 若，则 等于( ) A A. 1 B. 5 C. D. 返回 2 3. 已知是实数，且 ，则 的值为( ) C A. 13 B. 7 C. 3 D. 31或7或3 返回 3 4. 已知， 为一个等腰三角形的两边长，且满足等式 ，求此等腰三角形的周长. 【解】根据题意，得，，解得 ， 所以，所以 ，易知等腰三角形的腰长为6，底 边长为3， 所以等腰三角形的周长为 . 返回 4 5.已知满足 . （1）已知有意义，则 的取值范围是___________ _____； 【解】 （2）根据（1）的分析，求 的值. 因为，所以 ， 所以 ， 所以 ， 所以，所以 . 返回 5 应用2 的应用 6. ［2025衡阳月考］已知，则 的平方 根是( ) A A. B. C. D. 2 返回 6 7.已知与互为相反数，解关于 的方程 . 【解】由题意得，所以 ， ，解得， ，则原方程变形为 ，解得 . 返回 7 8.已知,, 在数轴上对应点的位置如图所示,化简： . 【解】由题意可知 , 所以,, . 所以原式 . 返回 8 9. 已知，， 都是实数，且满足 ，且 ， 求代数式 的值. 9 【解】因为，， ，且 ，所以 ， ，.所以，， . 又因为，所以 . 所以 所以 . 返回 10 10.已知数轴上从左到右依次有,,三点，,, 三点表示的 数分别为，，，其中 为整数，且满足 ，求 的值. 11 【解】由题意可得 . 因为，所以 . 又因为为整数，所以 或3. 所以.所以 . 所以或 . 所以 的值为5或6. 返回 11.学习了算术平方根后，我们知道： （1）是非负数，那么 有最小值吗？如果有，此 时 为多少？最小值又是多少？ 【解】有最小值，当 时，最小值是0. （2）当取什么值时， 的值最小？请求出这个最 小值. 因为，所以当时， 有最小值，最 小值是0.则 的最小值是1. 13 （3）小王认为：当时， 有最大值，且最大 值为，你知道， 的值分别为多少吗？ 当，即时， 有最大值，且最大值为 3，所以， . 返回 14 应用3 且 的应用 12.若，则 的算 术平方根为___. 4 【点拨】由题意得,，所以 ， 解得，所以 . 所以 . 因为16的算术平方根为4，所以 的算术平方根为4. 返回 15 13.已知,为实数，且 ,求 的值. 【解】因为 , 所以 . 因为,,所以, , 解得, , 所以 . 返回 16 14.已知 . （1）求 的值； 【解】由题意得, , 所以 . 17 （2）求 的立方根. 因为,所以 . 因为, , 所以,,解得, . 所以 . 所以 的立方根是2. 返回 18 $$第二章 实数 专题4 二次根式的化简求值 1 类型1 运用二次根式的非负性求值 1. 若，则化简 的结果是 ( ) C A. B. C. 5 D. 返回 2 2.已知的三边长,, 满足关系式 ，试求 的周长. 3 【解】因为 ，所以 . 所以 . 所以，， . 所以，， . 所以的周长为 . 返回 类型2 运用数形结合法化简 3. 已知实数， 在数轴上对应点的位置如图 所示. （1）化简：____， ______； 5 （2）化简： . 【解】根据题图可知， ， 所以， . 所以 . 返回 6 类型3 运用乘法公式求值 4.［2025西安雁塔区期中］已知， . （1）求 的值； 【解】因为， ， 所以 ， ， 所以 . 7 （2）求 的值. 因为， ， 所以 . 因为 ， 所以 . 返回 8 类型4 运用分母有理化求值 5.已知是正整数，， ， ，则 的值为_____. 505 9 【点拨】因为 ， ，所以 ，.又因为 ，所以 ，解得 . 返回 10 类型5 运用整体代入法化简求值 6.［2025上海黄浦区月考］已知，，且 ， 求 的值. 11 【解】因为，所以 . 因为，所以 . 又因为,所以 . 所以 . 返回 12 类型6 运用配方法化简双重二次根式 7. 数学教育家波利亚曾说：“对一个数学问 题，改变它的形式，变换它的结构，直到发现有价值的东西， 这是数学解题的一个重要原则”.阅读下面的材料解答问题： 平方运算和开平方运算是互逆运算.如 ，那么 . 13 如何将双重二次根式化简.我们可以把 转化 为 完全平方的形式，因此 双重二次根式 得以化简. （1）化简： _________； （2）已知 ，化简 的结果为____. 15 【点拨】因为，所以 ，所以 ，所以 所以 . 返回 16 $$第二章 实数 全章热门考点整合应用 1 考点1 实数的相关概念及分类 1. 在中， ，，，则 的长 度是( ) B A. 分数 B. 无理数 C. 有限小数 D. 整数 返回 2 2. 下列说法： ①实数和数轴上的点是一一对应的； ②负数没有立方根； 的平方根是，用式子表示是 ； ④若一个数的绝对值、相反数、算术平方根都是它本身，则 这个数是0. 其中错误的有( ) C A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 返回 3 3. 定义：不超过实数的最大整数称为 的整 数部分，记作.例如， .按此规定， ____. 【点拨】因为，所以 .所以 .所以 .所以 . 返回 4 4. 教材P49复习题 将下列各数填在相应的集合里. , ,,, （每两个3之 间依次多1个0）,0,,,, . 有理数集合：{___________________________________…}; 无理数集合：{_______________________________________ ______________…}; ,,,0,,, , （每两个3之间依次多1个0）,,, 5 正实数集合：{_______________________________________ ___________________________________________ …}; 整数集合：{________________…}. , , ,, （每两个3之间依次多1个0）,,,, , 【解】有理数集合：,,,0, , ,… . 无理数集合：{ , （每两个3之间依次多1 个0）,, ,…}. 正实数集合：, ,, （每两个3之间依次多1个0）,,,,,… . 整数集合： . 返回 7 考点2 算术平方根、平方根、立方根 5. 下列说法正确的是( ) D A. 负数的平方根是负数 B. 100的平方根是10 C. 的平方根是 D. 0的算术平方根是0 6. 若，则 的值为( ) A A. 15 B. 5 C. D. 返回 8 7. 下列运算正确的是( ) A. B. C. D. C 返回 8.［2025深圳实验学校期末］一个正数 的两个不同的平方 根分别为和，则 的值为____. 9.根据下面表格中的数据求得 的平方根是_______. 81 … 15 15.1 15.2 15.3 … … 225 228.01 231.04 234.09 … 返回 10 考点3 二次根式的相关概念及性质 10. 下列式子一定是二次根式的是( ) B A. B. C. D. 11. 下列各式化成最简二次根式正确的是( ) C A. B. C. D. 返回 11 12.［2024烟台］若代数式在实数范围内有意义，则 的 取值范围为______. 13.［2025上海徐汇区月考］已知，则 的取值范围是______. 返回 12 考点4 二次根式的运算 14. 下列计算中，正确的是( ) D A. B. C. D. 15. 估计 的值在( ) C A. 4和5之间 B. 5和6之间 C. 6和7之间 D. 7和8之间 返回 13 16.如图是添加了便签的台历示意图，正方形 为日历区， 正方形为备忘录区，长方形 为便签区，已知日历 区的面积为,备忘录区的面积为 ,则便签区的面 积为____________ . 返回 14 17.计算： （1） ； 【解】 . （2） ； . 15 （3） . . 返回 16 18.已知， . 【解】 ， . （1）求 的值； . 17 （2）求 的值. 因为 ， 所以 . 返回 18 思想1 数形结合思想 19.若实数 在数轴上对应点的位置如图所示，则化简 的结果是___. 1 返回 19 思想2 方程思想 20.若，为有理数，，则 ___， __. 3 返回 20 思想3 分类讨论思想 21.用字母表示一个实数，则， 一定是非负数，也就是 它们的值为正数或0，所以有最小值0，而 一定是非正 数，即它的值为负数或0，所以 有最大值0，根据这个结 论完成下列问题： （1） 有最____（填“大”或“小”）值___； （2） 有最____（填“大”或“小”）值___； 小 3 大 5 21 （3）若正整数，满足，求 的平方根. 【解】因为正整数，满足 ， 所以正整数,可能为，或， . 当，时，，所以的平方根为 ； 当，时，，所以的平方根为 . 综上，的平方根为或 . 返回 22 思想4 整体思想 22.已知,，求 的值. 【解】因为， ， 所以， ， 所以原式 . 当，时，原式 . 返回 23 $$第二章 实数 测素质 二次根式及其运算 1 ［时间：45分钟 分值：100分］ 一、选择题（每题4分，共32分） 1. 下列各式是二次根式的是( ) B A. B. C. D. 2. 如果 有意义，那么代数式 的值为( ) B A. B. 8 C. D. 无法确定 返回 2 3. 下列二次根式中，是最简二次根式的是( ) B A. B. C. D. 4. 小明的作业本上有以下四题： ； ； ； .做错的题是( ) D A. ① B. ② C. ③ D. ④ 返回 3 5. 如果最简二次根式和 可以合并，那么 ， 的值为( ) D A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 的整数部分是，小数部分是，则 的值是 ( ) A A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 返回 4 7. 小明做数学题时，发现 ； ；； ；….按此 规律，若，为正整数，则 ( ) D A. 64 B. 72 C. 65 D. 73 返回 5 8. 如图，方格纸中小正方形的边长为1， 的三个顶点都在小正方形的格点上，某 同学在观察探究时发现： 的形状是等 腰三角形；的周长是 ；③ B A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ①②③ 点到边的距离是 .你认为该同学观察的结论正确的 序号是( ) 6 【点拨】因为方格纸中小正方形的边长为1， 的三个顶点都在小正方形的格点上，所 以 ， .所以 .所以 是等腰三角形，故①的结论正确；因为 ，所以 的周长为 ，故②的 7 结论错误；因为 ， 所以点到边的距离为 ，故③的结 论正确. 返回 二、填空题（每题6分，共24分） 9. 实数，， 在数轴上的对应点如图所示， 化简 的结果是______. 返回 9 10. 古希腊几何学家海伦和我国南宋数学 家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦- 秦九韶公式.如果一个三角形的三边长分别是，， ，记 ，那么这个三角形的面积为 .若，， ，其面 积的整数部分为，则 的值为____. 11. 已知 ,求代数式 的值为___. 返回 10 12. 对于任意两个和为正数的实数， ，定义 运算“”如下：，例如 .那么 ______. 返回 11 三、解答题（共44分） 13.（12分） 教材P49复习题 计算： （1） ； 【解】原式 12 （2） ; 原式 . （3） . 原式 . 返回 13 14.（8分）若2，5， 为三角形的三边长，化简 . 【解】由三角形三边关系可知,所以 , ,所以 . 返回 14 15.（12分）如图①，两张面积分别为和 的正方 形纸片无重叠地放在一张长方形纸片 中. （1）图①中阴影部分图形的长为_____ ，宽为__________ . 15 （2）求图①中阴影部分图形的周长和面积. 16 【解】阴影部分图形的周长 .阴影部分图形的面积 . 17 （3）小康将图①中的面积分别 为和 的正方形纸片 重新按照如图②所示的方式摆放 在另一张长方形纸片中，其中长方形 中未被这两 张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示.若 ，求图② 中空白部分的面积. 18 由题图②可知， .因为 长方形的长为 ， 宽为，所以 . 返回 19 16.（12分） 如图， 将边长分别为1，，， 的正方形的面积记为，，， . 20 （1）计算：，， . 【解】 . ， . （2）把边长为的正方形的面积记作，其中 是正整数，从（1）中的计算结果，你能猜出 等于 多少吗？你的猜想是否正确，请说明理由. 22 .理由如下： . 23 （3）若将正方形的边长变为，， ， ， 时， 的值是多少？ 24 . 返回 25 $$第二章 实数 3 二次根式 第2课时 二次根式的加减 1 1. 下列各式：，，，， ， 中，最简二次根式有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. ［2025上海嘉定区月考］将 根号外的因式移 到根号内，结果为( ) B A. B. C. D. 返回 2 3. 教材P44随堂练习 下列算式中，正确的是( ) C A. B. C. D. 4. 若 ，则下列结论正确的是( ) B A. ， B. ， C. ， D. ， 返回 3 5. 小华和小刚两人分别拿一张卡片，小华在 卡片上写二次根式，小刚在卡片上写二次根式 ，使得 ，请你写出一对满足条件的， 的值：__________ ________________. ,（答案不唯一） 返回 4 6.已知，则 的值是_______. 或1 7.（1）已知长方形的宽为，长为 ，则长方形 的面积为______ ； （2）一个长方形的周长为，它的一边长为 ，则另 一边长为_____. 返回 5 8.计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 返回 6 9. 已知,，则 等于( ) D A. B. C. D. 【点拨】.因为 , ,所以原式 . 返回 7 10. ［2025邯郸模拟］若，则表示实数 的点 会落在如图所示的数轴的( ) B A. 段①上 B. 段②上 C. 段③上 D. 段④上 8 【点拨】因为 ，所以 .因为 ，所 以，即，所以表示实数 的点会落在题 图中数轴的段②上. 返回 9 11.已知最简二次根式与 可以合并，则 的值为___. 2 【点拨】由题意得， ，解得 ，，则 . 返回 10 12.在进行实数的化简时，我们可以用“ ” .如 .利用这种方式可以化简 被开方数较大的二次根式. （1）已知为正整数，若是整数，则 的最小值为 ____； 21 【点拨】因为， 为正整 数，是整数，所以 的最小值为21. 11 （2）设为正整数，若，是大于1的整数，则 的 最大值与 的最小值的差为___. 8 【点拨】因为，为正整数， 是大于1的整 数，所以当时，.因为当增大时， 减小，所以当时，.所以 的最大值 与的最小值的差为 . 返回 12 13. 小进准备完成题目“ ”时，发现“ ”处的数印刷不 清楚. 13 （1）他把“ ”处的数猜成6，请你计算 的结果; 【解】原式 . （2）他妈妈说：“你猜错了，我看到该题的答案是 .”请你 通过计算说明原题中“ ”处的数是多少. 设原题中“ ”处的数是 , 则 ， 即 . 15 所以.所以 . 所以,解得 . 所以原题中“ ”处的数是 . 返回 16 14. 已知，都是实数， 为整数，若 ，则称与是关于 的一组“平衡数”. （1） 与_______是关于1的“平衡数”； （2） 与_______是关于3的“平衡数”； 17 （3）若，，判断与 是不是关于某 数的一组“平衡数”. 【解】因为， ，所以 ，所以 与 是关于19的一组“平衡数”. 返回 18 15. 数学阅读是学生根据已有的知识经验， 通过阅读数学材料建构数学意义和方法的学习活动，是学生 主动获取信息，汲取知识，发展数学思维，学习数学语言的 途径之一.请你先阅读下面的材料，然后再根据要求解答提出 的问题： 19 【问题情境】设,都是有理数，且满足 ， 求 的值. 解：由题意得 . 因为, 都是有理数， 所以， 也是有理数. 20 因为 是无理数， 所以， ， 所以， ， 所以 . 【解决问题】设, 都是有理数，且满足 ，求 的值. 21 【解】因为 ， 所以 . 因为， 都是有理数， 所以， 也是有理数. 因为是无理数，所以， ， 解得， . 当，时， ； 22 当，时， . 所以 的值是8或0. 返回 $$第二章 实数 1 认识实数 第2课时 实数的概念及分类 1 1. 教材P27例 下列五个数：， （相邻两个3之间0的个数依次加1）， ，， ，其 中无理数有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 2 2. 下列说法：①实数包括有理数、无理数和0；②无限不循 环小数叫作无理数；③正实数和负实数统称为实数；④实数 既是有理数又是无理数；⑤实数与数轴上的点一一对应．其 中正确的个数有( ) B A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 返回 3 3. 若， 为实数，则下列判断中正确的是( ) D A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则， 互为倒数 返回 4 4. 如图是由16个边长为1的小正方形组成 的，连接这些小正方形的若干个顶点，得 到5条线段，，，， ，其中 长度是无理数的有( ) C A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条 5. 若是无理数，且，则 的值可 以是_________________. （答案不唯一） 返回 5 6.把下列各数的序号填在相应的集合里： ；；；；；；； （相邻两个“3”之间依次多一个“0”）； . 整数集合：______ ； 负分数集合：________ ； 无理数集合：______ . ①④ ②⑥⑦ ③⑧ 返回 6 7. 实数， 在数轴上对应点的位置如图所示，下列结论正确 的是( ) （第7题） D A. B. C. D. 返回 7 （第8题） 8. 如图是棱长为1的正方体，有一只聪明的蚂 蚁从点爬到点 去吃糖，它走的是最短路线， 则最短路线的长度是( ) A A. 无理数 B. 分数 C. 可能是有理数,也可能是无理数 D. 整数 返回 8 9.在下列七个数：28，，0，，， ， （每两个2之间逐次增加一个0）中，无理 数的个数为，整数的个数为，非负数的个数为 ，则 ___. 9 返回 9 10.［2025德州月考］如图，四个实数，，， 在数轴上 对应的点分别为，，，，若，则，， ， 四个数中，绝对值最大的是___. （第10题） 返回 10 11.如图，将一枚直径为 的硬币放在数轴上，硬币上一 点与数轴的原点重合，将硬币沿数轴滚动一圈后，点 落在 数轴上的处，已知数轴的单位长度为,则点 表示的数 为______________. 或 （第11题） 返回 11 12.如图①是第七届国际数学教育大会的会徽，会徽的主体图 案是由如图②的一连串直角三角形演化而成的，其中 .如果把图②中的直角 三角形继续作下去，那么，，， ， 这些 线段中，有____条线段的长度为无理数. 20 12 【点拨】由题意可得，, , , , , ,所以线段长度为有理数的是 ,,,,,所以, , , ,这些线段中,长度为无理数的线段有 （条）. 返回 13 13.乐乐同学对方格纸中的数学问题很感兴趣，请你一起来探 究吧. （1）图中每个小正方形方格的边长为1，请你在方格纸上按照 以下要求设计直角三角形，直角三角形的三个顶点都在格点上. 14 ①使它的三边中有一边的边长不是有理数； 【解】如图①.（答案不唯一） 15 ②使它的三边中有两边边长不是有理数； 如图②.（答案不唯一） 16 ③使它的三边边长都不是有理数. 如图③.（答案不唯一） 17 （2）乐乐认为要计算图④中梯形 的面积可以利用分割或补形的方法，请你 任选一种方法计算. 18 梯形的面积 . 返回 19 14.【阅读与思考】 请认真阅读，并完成相应任务. 我们知道，有理数包括整数、有限小数和无限循环小数.事 实上，所有的有理数都可以化为分数形式（整数可以看作 分母为1的分数），那么无限循环小数如何表示为分数的形 式呢？请看以下示例.例：将 化成分数，解决方法如下： 20 设，即 ， 将方程两边都乘10， 得 ，即 . 又因为 ，所以，所以 ，所 以 ， 所以 . 续表 21 【任务】 （1）把 化成分数为________； 【解】 （2）把 化成分数，请写出推理过程； 设，则，即 ，解得 ，即 . 22 （3）把 化成分数为___. 【点拨】设，则， ，那么 ,，解得，即 . 返回 23 $$第二章 实数 3 二次根式 第1课时 二次根式的乘除 1 1. ［2025周口期中］在式子， ， ，，3，， 中，二 次根式有( ) C A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 2. 若式子有意义，则 的取值范围是( ) C A. B. C. D. 返回 2 3. 等式“( ) ”中，括号内应填入( ) A A. 6 B. 3 C. D. 4. ［2025重庆万州区期末］估计 的值应在 ( ) A A. 0和1之间 B. 1和2之间 C. 2和3之间 D. 3和4之间 5. 若一个无理数与 的积是一个有理数， 写出 的一个值是__________________. （答案不唯一） 返回 3 6. 庐山云雾茶历史悠久，是中国 名茶系列之一.如图是庐山云雾茶的一种包装铁 盒，若其内部底面半径为，深 ， 则其容积为________（结果保留根号和 ）. 返回 4 7. 教材P42例2 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） ； 原式 . 5 （3） ； 原式 . （4） . 原式 . 返回 7 8. 如果是整数，那么整数 是( ) C A. 6或3 B. 3或1 C. 2或18 D. 18 返回 8 9. 如图，数轴上有，，，， 五个点， 根据图中各点所表示的数，则表示数 的点会落 在( ) B A. 点和点之间 B. 点和点 之间 C. 点和点之间 D. 点和点 之间 返回 9 10.问题探究：因为 ，所以 .因为 ，所以 .请你根据以上规律，结合你的经验化简 _______. 11. 已知一个长方体木块放在水平的桌面上， 木块的长、宽、高分别是，， ，若 木块对桌面的最大压强为，最小压强为，则 的值等于 _ ___. 返回 10 12. 幻方是一种中国传统游戏，它是将从1到若 干个数的自然数排成纵、横各为若干个数的正方形，使在同一 行、同一列和同一对角线上的几个数的和都相等.类比幻方， 我们给出如图所示的方格，要使方格中横向、纵向及对角线方 向上的实数相乘的结果都相等，则，，， 之积为____. 5 10 20 11 【点拨】对角线方向上的实数相乘的结果为 .根据方格中横向、纵向及对角线方 向上的实数相乘的结果都相等，得 ，解 得；，解得 ； ，解得； ， 解得，所以，，， 之积为 . 返回 12 13.请判断是否存在整数 ，使它同时满足以下三个条件： ①二次根式和 均有意义； 的值仍为整数； ③若，则 也是整数. 如果存在，请求出 的值. 13 【解】存在.因为二次根式和 均有意义，所以 ，，解得 . 因为为整数，所以 . 当时，，则 ，满足条件， 所以 的值为16. 返回 14 14.如图，将长和宽分别是， 的长方形纸片的四个角都剪去 一个边长为 的正方形. （1）用含，， 的代数式表示纸片剩余部分的面积； 【解】纸片剩余部分的面积为 . 15 （2）当 ， ， 时，求剩余 部分的面积. 把，，代入,得 .所以剩余部分的面积为384. 返回 16 15. 阅读下面的材料，解答问题： 两个含有二次根式的代数式相乘，如果它们的积不含二次根 式，那么我们就说这两个代数式互为有理化因式.例如： 与，与 .这样，化简一个分母含有二次根式的 式子时，采用分子、分母同乘分母的有理化因式的方法就可 以了.例如： , . 17 （1）请你写出 的有理化因式：__________________ _____； （答案不唯一） （2）请仿照上面给出的方法化简且 ; 【解】原式 . 18 （3）已知,,求 的值. , . 把, 的值代入,得 . 返回 19 $$