第四章三角形期末复习检测卷　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

第 1页，共 7页 2025 年新课标北师大七年级下册数学第四章三角形期末复习检测卷 一、选择题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面各组线段中，能组成三角形的是( ) A. 5，11，6 B. 8，8，16 C. 10，5，4 D. 6，9，14 2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是( ) A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不能确定 3.如图，在△ ���中，��是高，��是角平分线，��是中线，则下列说法中错误的是( ) A. �� = �� B. ∠� + ∠��� = 90° C. ∠��� = ∠��� D. �△��� = 2�△��� 4.如图，�，�，�分别为��，��，��的中点，若▵���的面积为 6，则▵���的面积等于( )． A. 36 B. 18 C. 48 D. 24 5.如图，已知∠���，用直尺、圆规作∠���的角平分线，作法如下： ①以点�为圆心，适当长为半径画弧，交��于点�，交��于点�； ②分别以点�，�为圆心，大于12��的长为半径画弧，两弧在∠���内部交于点�． ③画射线��，��即为所求． 以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是( ) A.两点确定一条直线 B. ��� C. ��� D.全等三角形对应角相等 6.如图，在△ ���中，�� = ��，�，�，�分别是��，��，��上的点，且�� = ��，�� = ��，若∠��� = 44°， 则∠�的度数为(    )． A. 44° B. 66° C. 88° D. 92° 7.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： ①在河流的一条岸边�点，选对岸正对的一棵树�； ②沿河岸直走 20�有一树�，继续前行 20�到达�处； 第 4 题图第 3 题图 第 5 题图 第 2页，共 7页 ③从�处沿河岸垂直的方向行走，当到达�树正好被�树遮挡住的�处停止行走； ④测得��的长为 12�． 那么，河的宽度是( ) A. 8� B. 10� C. 12� D. 15� 8.如图，△ ���≌△ ���，点�和点�是对应顶点，∠�  = ∠� = 90°，记∠���  = �，∠��� = �，当��//�� 时，�与�之间的数量关系为( ) A. � + 2� = 180° B. 2� + � = 180° C. � = � D. � = 2� 9.如图，在周长为 9 的等边三角形���的内部有一点�，过点�作�� // ��，�� // ��，�� // ��，分别交 三边于点�，�，�，则�� + �� + ��等于( ) A. 9 B. 8 C. 4 D. 3 10.如图，在▵���中，�� = �� = 10，�� = 8，点�为��的中点，如果点�在线段��上以每秒 3 个单位长 度由�点向�点运动，同时点�在线段��上由�点向�点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运 动．在某一时刻，▵���与▵���全等，此时点�的运动速度为每秒(    )个单位长度． A. 3 B. 43 C. 3 或 3.75 D. 2 或 3 二、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。 11.一棵树被风刮歪了，小明用三根木棒撑住这棵树，他运用的数学知识是三角形具有 性． 12.一个三角形的三边长分别为 2，5，�，另一个三角形的三边长分别为�，2，6，若这两个三角形全等， 则� + �的值为 ． 第 9 题图第 8 题图第 7 题图第 6 题图 第 15题图第 14题图第 13题图第 11题图第 10题图 第 3页，共 7页 13.如图，在△ ���中，若∠��� = 80°，�为三个内角的平分线的交点，则∠��� = °. 14.如图，在�� △ ���中，∠��� = 90°，�� = ��，�为��上一点，连接��.过点�作�� ⊥ ��于点�，过点 �作�� ⊥ ��交��的延长线于点�.若�� = 4，�� = 1，则��的长度为 ． 15.如图，�是等边三角形���外一点，�� = 3，�� = 2，则��的最大值是 ． 三、解答题：本题共 8 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.(本小题 9 分)综合与实践：利用三角形全等测距离． 任务 1 目测出操场上与你距离相等的两个点 方案 第一步：在点�处面向点�的方向站好，调整帽子，使视线从点�通过帽檐正好落在点�； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从点�通过帽檐正好落在点�． 操作 示意图： 原理： 因为�� ⊥ ��，�� ⊥ ��，所以 ∠��� =__________= 90∘， 又因为�� = ��，∠��� = ∠���， 所以△ ��� ≌△ ���(__________)， 所以�� =__________． 任务 2 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧�，�处各立有一根电线杆， 但利用皮尺无法直接量出�，�间的距离，请你设计一个方案，测出�，�间的距离，并作 出示意图． 方案 第一步：__________________； 第二步：__________________； 第三步：__________________． (可适当添加步骤) 示意图：请按方案补充完整 17.(本小题 9 分)如图，��为▵���的中线，点�在��上，��交��于点�，�� = ��，试说明：�� = ��． 第 4页，共 7页 18.(本小题 9 分)小明在学习中遇到这样一个问题：如图 1，在▵���中，∠� > ∠�，��平分∠���，�� ⊥ �� 于�.猜想∠�、∠�、∠���的数量关系． (1)小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入∠�、∠�的值求∠���度数，得到下面几 组对应值： ∠�/度 10 30 30 20 20 ∠�/度 70 70 60 60 80 ∠���/度 30 � 15 20 30 上表中� = ，于是得到∠�、∠�、∠���的数量关系为 ． (2)小明继续探究，在线段��上任取一点�，过点�作�� ⊥ ��于点�，请尝试写出∠�、∠�、∠���之间的数 量关系，并说明理由． (3)小明突发奇想，交换�、�两个字母位置，如图 3，过��的延长线上的一点�作�� ⊥ ��交��的延长线于�， 当∠��� = 80∘，∠� = 24∘时，∠�度数为 ∘． 19.(本小题 9 分)如图①，△ ���和△���都是等腰三角形，且�� = ��，�� = ��，∠��� = 80°，∠��� = 100°，以�为顶点作一个 50°的角，角的两边分别交边��，��于点�，�，连接��． (1)探究��，��，��之间的数量关系，并说明理由； (2)若点�，�分别在��，��的延长线上，其他条件不变，如图②所示，则��，��，��之间存在什么样的数 量关系？并说明理由． 第 5页，共 7页 20.(本小题 9 分)【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图 1，▵���中，若�� = 6， �� = 4，求��边上的中线��的取值范围.小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图 2，延长 ��到点�，使�� = ��，连接��，可证▵��� ≌ ▵���，从而把��，��，2��集中在▵���中，利用三 角形三边的关系即可判断中线��的取值范围． 【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线(或与中点有关的线 段)构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中.我们把这种添加辅助线称为“倍长中 线法”． 【问题解决】(1)直接写出图 1 中��的取值范围： (2)猜想图 2 中��与��的数量关系和位置关系，并加以证明． (3)如图 3，��是▵���的中线，�� = ��，�� = ��，∠��� = ∠��� = 90 ∘，判断线段��和线段��的数量 关系，并加以证明． 21.(本小题 9 分)已知�为线段��上一点，分别以��，��为边在线段��同侧作△ ���和△���，且 �� = ��．�� = ��，∠��� = ∠���，直线��与��交于点�． (1)如图①，可得△ ���≌ ；若∠��� = 60°，则∠���的度数为 ． (2)如图②，若∠��� = �，则∠���的度数为 (用含�的式子表示)； (3)设∠��� = �，将图②中的△ ���绕点�顺时针旋转任意角度(交点�至少在��，��中的一条线段上)，如 图③.试探究∠���与�的数量关系，并予以说明． 第 6页，共 7页 22.(本小题 10 分)【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆 放一副三角板(在▵���中，∠��� = 90∘，�� = ��；在▵���中，∠��� = 90∘，∠��� = 30∘)，并提出了 相应的问题． (1)【发现】如图 1，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点�摆放在线段��上时，过点�作�� ⊥ ��， 垂足为�，过点�作�� ⊥ ��，垂足为�． ①请在图 1 找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论： ∵ ∠��� = 90∘，∴ ∠��� + ∠��� = 90∘． ∵ �� ⊥ ��，�� ⊥ ��， ∴ ∠��� = 90∘，∠��� = 90∘， ∴ ∠��� + ∠��� = 90∘，∴ ∠��� = ∠���． ∵ ∠��� = ∠��� = 90∘, ∠��� = ∠���, �� = ��, ∴___________________； ②若�� = 2，�� = 7，则�� =________． (2)【类比】如图 2，将两个三角板叠放在一起，当顶点�在线段��上且顶点�在线段��上时，过点�作�� ⊥ ��， 垂足为�，猜想��，��，��之间的数量关系，并说明理由． (3) 【拓展】如图 3，将两个三角板叠放在一起，当顶点�在线段��上且顶点�在线段��上时，若�� = 5， �� = 1，��2 = 26，连接��，求▵���的面积． 第 7页，共 7页 23.(本小题 10 分)阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图①，在等边△ ���中，�是��边上一点(不含端点�，�)，�是△ ���的外角∠���的平分线上一 点，且�� = ��.求证：∠��� = 60°． 点拨：如图②，作∠��� = 60°，��与��的延长线相交于点�，得等边△���，连接��.易证： △ ���≌△ ���(���)，可得�� = ��，∠1 = ∠2；又�� = ��，则�� = ��，可得∠3 = ∠4；由∠3 + ∠1 = ∠4 + ∠5 = 60°，进一步可得∠1 = ∠2 = ∠5，又因为∠2 + ∠6 = 120°，所以∠5 + ∠6 = 120°，即：∠��� = 60°． 问题：如图③，在正方形�1�1�1�1中，�1是�1�1边上一点(不含端点�1，�1)，�1是正方形�1�1�1�1的外 角∠�1�1�1的平分线上一点，且�1�1 = �1�1.求证：∠�1�1�1 = 90°． 参考答案 1.【答案】  2.【答案】  3.【答案】  4.【答案】  5.【答案】  6.【答案】  7.【答案】  8.【答案】  9.【答案】  10.【答案】  11.【答案】稳定  12.【答案】  13.【答案】  14.【答案】  15.【答案】  16.【答案】解：任务：    任务：在池塘外取一点，使得能用皮尺量出，的长度 在的延长线上截取，使得，在的延长线上截取，使得，连接 测量的长即可得出间的距离 示意图补充如图：   17.【答案】解：延长到点，使，连接．为的中线，在和中，．，． ，．．，．．．   18.【答案】【小题】    【小题】 过点作于，，，，，内角和为，，平分，，又，，  【小题】   19.【答案】【小题】 解：理由如下： 因为，，所以． 因为，，所以， 所以． 如图，延长至点，使得，连接所以． 在和中， 因为，，， 所以≌， 所以，． 因为，，所以． 所以． 在和中，因为，，， 所以≌， 所以． 【小题】 理由如下： 如图，在上截取，连接． 因为是等腰三角形，，， 所以． 因为，，所以， 所以，所以． 在和中， 因为，，， 所以≌，所以，． 因为，所以． 因为，所以， 所以． 在和中， 因为，，， 所以≌， 所以．   20.【答案】【小题】 【小题】 解：，；由得：，，，； 【小题】 解：；延长使得，连接，如图， 由得：，，，，由得：，，，，，，，，，，，   21.【答案】【小题】   【小题】 【小题】 当交点在线段上时，如图． 因为，  所以，即  在和中，  所以≌，所以  因为，  所以，  所以；  当交点在线段，上时，如图  同理可得； 当交点在线段上时，如图  因为，  所以，  即  在和中，  所以≌，所以  因为，所以  综上所述，或．   22.【答案】【小题】   【小题】 解：理由如下：，．，，．，， ，，．， ． 【小题】 如图，作，交的延长线于． 由得：，．，，，， ，，．   23.【答案】【详解】解：延长至，使，连接、，如图所示： 则，，是等腰直角三角形，，是正方形的外角的平分线上一点，，，、、三点共线，在和中，≌，，，，，，，，，，，．   第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年新课标北师大七年级下册数学第四章三角形期末复习检测卷 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.下面各组线段中，能组成三角形的是(    ) A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 2.如果一个三角形的三条高的交点恰好是这个三角形的一个顶点，那么这个三角形是(    ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 3.如图，在中，是高，是角平分线，是中线，则下列说法中错误的是(    ) A. B. C. D. 第4题图 第3题图 第5题图 4.如图，，，分别为，，的中点，若的面积为，则的面积等于    ． A. B. C. D. 5.如图，已知，用直尺、圆规作的角平分线，作法如下： 以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点； 分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内部交于点． 画射线，即为所求． 以上作图过程及结论证明中没有体现的数学道理是(    ) A. 两点确定一条直线 B. C. D. 全等三角形对应角相等 6.如图，在中，，，，分别是，，上的点，且，，若，则的度数为． A. B. C. D. 7.某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的： 在河流的一条岸边点，选对岸正对的一棵树； 沿河岸直走有一树，继续前行到达处； 从处沿河岸垂直的方向行走，当到达树正好被树遮挡住的处停止行走； 测得的长为． 那么，河的宽度是(    ) A. B. C. D. 第9题图 第8题图 第7题图 第6题图 8.如图，≌，点和点是对应顶点，，记，，当时，与之间的数量关系为(    ) A. B. C. D. 9.如图，在周长为的等边三角形的内部有一点，过点作，，，分别交三边于点，，，则等于(    ) A. B. C. D. 10.如图，在中，，，点为的中点，如果点在线段上以每秒个单位长度由点向点运动，同时点在线段上由点向点运动，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止运动．在某一时刻，与全等，此时点的运动速度为每秒个单位长度． A. B. C. 或 D. 或 第15题图 第14题图 第13题图 第11题图 第10题图 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。 11.一棵树被风刮歪了，小明用三根木棒撑住这棵树，他运用的数学知识是三角形具有          性． 12.一个三角形的三边长分别为，，，另一个三角形的三边长分别为，，，若这两个三角形全等，则的值为          ． 13.如图，在中，若，为三个内角的平分线的交点，则           14.如图，在中，，，为上一点，连接过点作于点，过点作交的延长线于点若，，则的长度为          ． 15.如图，是等边三角形外一点，，，则的最大值是          ． 三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分综合与实践：利用三角形全等测距离． 任务 目测出操场上与你距离相等的两个点 方案 第一步：在点处面向点的方向站好，调整帽子，使视线从点通过帽檐正好落在点； 第二步：转过一个角度，保持刚才的姿态，视线从点通过帽檐正好落在点． 操作 示意图： 原理： 因为，，所以__________， 又因为，， 所以__________， 所以__________． 任务 测量输电线路长度 任务简介：如图，一条输电线路需跨越一个池塘，池塘两侧，处各立有一根电线杆，但利用皮尺无法直接量出，间的距离，请你设计一个方案，测出，间的距离，并作出示意图． 方案 第一步：__________________； 第二步：__________________； 第三步：__________________． 可适当添加步骤 示意图：请按方案补充完整 17.本小题分如图，为的中线，点在上，交于点，，试说明：． 18.本小题分小明在学习中遇到这样一个问题：如图，在中，，平分，于猜想、、的数量关系． 小明阅读题目后，没有发现数量关系与解题思路，于是尝试代入、的值求度数，得到下面几组对应值： 度 度 度 上表中           ，于是得到、、的数量关系为          ． 小明继续探究，在线段上任取一点，过点作于点，请尝试写出、、之间的数量关系，并说明理由． 小明突发奇想，交换、两个字母位置，如图，过的延长线上的一点作交的延长线于，当，时，度数为          ． 19.本小题分如图，和都是等腰三角形，且，，，，以为顶点作一个的角，角的两边分别交边，于点，，连接． 探究，，之间的数量关系，并说明理由； 若点，分别在，的延长线上，其他条件不变，如图所示，则，，之间存在什么样的数量关系？并说明理由． 20.本小题分【阅读理解】课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图，中，若，，求边上的中线的取值范围小丽在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图，延长到点，使，连接，可证，从而把，，集中在中，利用三角形三边的关系即可判断中线的取值范围．     【方法总结】解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，有时需要考虑倍长中线或与中点有关的线段构造全等三角形，把分散的已知条件和所求集中到同一个三角形中我们把这种添加辅助线称为“倍长中线法”． 【问题解决】直接写出图中的取值范围：           猜想图中与的数量关系和位置关系，并加以证明． 如图，是的中线，，，，判断线段和线段的数量关系，并加以证明． 21.本小题分已知为线段上一点，分别以，为边在线段同侧作和，且．，，直线与交于点． 如图，可得≌          ；若，则的度数为          ． 如图，若，则的度数为          用含的式子表示； 设，将图中的绕点顺时针旋转任意角度交点至少在，中的一条线段上，如图试探究与的数量关系，并予以说明． 22.本小题分【材料阅读】小明在学习完全等三角形后，为了进一步探究，他尝试用三种不同方式摆放一副三角板在中，，；在中，，，并提出了相应的问题． 【发现】如图，将两个三角板互不重叠地摆放在一起，当顶点摆放在线段上时，过点作，垂足为，过点作，垂足为． 请在图找出一对全等三角形，在横线上填出推理所得结论： ，． ，， ，， ，． ___________________； 若，，则________． 【类比】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，过点作，垂足为，猜想，，之间的数量关系，并说明理由． 【拓展】如图，将两个三角板叠放在一起，当顶点在线段上且顶点在线段上时，若，，，连接，求的面积． 23.本小题分阅读下面的例题及点拨，并解决问题：     例题：如图，在等边中，是边上一点不含端点，，是的外角的平分线上一点，且求证：． 点拨：如图，作，与的延长线相交于点，得等边，连接易证：≌，可得，；又，则，可得；由，进一步可得，又因为，所以，即：． 问题：如图，在正方形中，是边上一点不含端点，，是正方形的外角的平分线上一点，且求证：． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$