解答题专项练(十) 二次函数综合题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

解答题专项练（十） 二次函数综合题 1.(2024湖南改编)已知二次函数y=一x2十9， OC右侧作平行四边形OCFD.如图2，当点F 点P(,y),Q(x2,y2)是此二次函数图象上 落在抛物线上时，求点F的坐标 的两个动点.如图，点P在第二象限，x2= 一2x1,若点M在直线PQ上，且横坐标为 x1一1，过点M作MN⊥x轴于点N,求线段 MN长度的最大值. 3(224广安)如图，抛物线y=一号2+b征十c 第 与x轴交于A,B两点，与y轴交于点C,点A 部 的坐标为（一1,0），点B的坐标为(3,0). 分 (1)求此抛物线的函数解析式； 解 (2)点P是直线BC上方抛物线上一个动点， 过点P作x轴的垂线交直线BC于点D,过 题 专 点P作y轴的垂线，垂足为点E,请探究 项 2PD十PE是否有最大值？若有最大值，求出 练 最大值及此时P点的坐标；若没有最大值，请 说明理由 2.(2024甘肃)如图1，抛物线y=a(x一h)2+k交 x轴于O,A(4,0)两点，顶点为B(2,2√3)，点 C为OB的中点： 图1 图2 (1)求抛物线y=a(x一h)2十k的表达式； (2)点D为线段OA上一动点(O点除外)，在 题型突破 77 4.(2024苏州)如图，二次函数y=x2十bx十c的 5.(2024凉山)如图，抛物线y=一x2十bx十c与 图象C1与开口向下的二次函数图象C2均过 直线y=x十2相交于A(-2,0),B(3,m)两 点A(-1,0),B(3,0). 点，与x轴相交于另一点C (1)求图象C1对应的函数表达式； (1)求抛物线的解析式； (2)若图象C2过点C(0,6),点P位于第一象 (2)抛物线上是否存在点M使△ABM的面 限，且在图象C2上，直线l过点P且与x轴 积等于△ABC面积的一半？若存在，请直接 平行，与图象C2的另一个交点为Q(Q在P 写出点M的坐标：若不存在，请说明理由。 的左侧)，直线l与图象C1的交点为M,N(N 在M的左侧).当PQ=MP+QN时，求点P 的坐标 第二部分解答题专项练 78 指，点中考数学 6.(2024成都)如图，在平面直角坐标系xOy中， 7.(2024秦安如图，抛物线C:y=ax2+号x-4 抛物线L:y=ax2一2ax-3a(a>0)与x轴交 于A,B两点（点A在点B的左侧），其顶点为 的图象经过点D(1,一1)，与x轴交于点A, C,D是抛物线第四象限上一点， 点B. 备用图 备用图 (1)求线段AB的长； (1)求抛物线C1的表达式： (2)当a=1时，若△ACD的面积与△ABD (2)将抛物线C向右平移1个单位，再向上 的面积相等，求tan∠ABD的值， 平移3个单位得到抛物线C2,求抛物线C2的 表达式，并判断点D是否在抛物线C2上； (3)在x轴上方的抛物线C:上，是否存在点 P,使△PBD是等腰直角三角形.若存在，请 求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 第 二部分解答题专项练 题型突破 79 8.(2024重庆A)如图，在平面直角坐标系中，抛 9.(2024绥化)综合与探究 物线y=ax2十bx十4(a≠0)经过点(-1,6)， 如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线y 与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点(A 一x2+bx+c与直线相交于A,B两点，其中点 在B的左侧)，连接AC,BC,tan∠CBA=4. A(3,4),B(0,1) (1)求抛物线的表达式； (2)点P是射线CA上方抛物线上的一动点， 过点P作PE⊥x轴，垂足为E,交AC于点 D.将该抛物线沿射线CA方向平移，使得新 -21012345 抛物线经过线段PD的长度取得最大值时的 点D,且与直线AC相交于另一点K.点Q为 备用图 新抛物线上的一个动点，当∠QDK=∠ACB (1)求该抛物线的函数解析式； 时，直接写出所有符合条件的点Q的坐标. (2)过点B作BC∥x轴交抛物线于点C.连接 AC,在抛物线上是否存在点P使tan∠BCP= 合tan☑ACB.若存在，请求出满足条件的所 有点P的坐标：若不存在，请说明理由.（提 示：依题意补全图形，并解答) (3)将该抛物线向左平移2个单位长度得到 第二部分解答题专项练 h=a1x2十bx十(a1≠0)，平移后的抛物线 与原抛物线相交于点D,点E为原抛物线对 称轴上的一点，F是平面直角坐标系内的一 点，当以点B,D,E,F为顶点的四边形是菱 形时，请直接写出点F的坐标 80 指，点中考数学(3)在△ADE中，DE=25,A1E=AE=2, AB=AC, ∴.AD随着∠DEA1的增大而增大 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.CE=BD. .CB+CD=BD,..CA+CD=CE (2)6一√3或6+23.解法提示：过E作EH∥ ,∠DEA,=∠NEA,-∠NED=∠NEA- AB,则△EHC为等边三角形 ∠NED=∠NEA-(∠AED-∠NEA)= ①当点D在H左侧时，如图1， 2∠NEA-∠AED, 由题意得ED=EF,∠DEH= .当∠NEA最大时，∠DEA,有最大值， ∠FEC,EH=EC, A,D有最大值，此时，点N与点D重合， ∴.△EDH≌△EFC(SAS), 过点A,作AG⊥AD于点G,作AP⊥AB ∴.∠ECF=∠EHD=120°， 图1 于点P 此时△CEF不可能为直角三 :∠A=90°，∴.四边形AGAP是矩形， 角形。 ..AG=AP=AE+EP. ②当点D在H右侧，且在 当AD取得最大值时，∠AEN=∠A,EN也 线段CH上时，如图2，同 是最大值 理可得△EDH≌△EFC :∠AEP=180°-∠AEN-∠AEN= (SAS), 180°-2∠AEN,∴∠AEP有最小值， ∴.∠FCE=∠EHD=60°， 图2 .在Rt△A1EP中，EP=A1E·cos∠A1EP ∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°， 有最大值， 此时只有∠CFE有可能为90°， 即AG=AP=AE+EP有最大值，∴.当AD 当∠CFE=90时，∠EDH=90°， 取得最大值时，点A,到AD的距离达到最大 .ED⊥CH 7.解：(1)①CE十CD=CA.理由如下： CH-CE-2/3.:.CD-7CH-3. ,'△ABC和△ADE是等边三角形， ∴.AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC= 又.'AB=6,∴.BD=6-√3. ∠DAE=60°， ③当点D在H右侧， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 且在HC的延长线上 即∠BAD=∠CAE. 时，如图3，此时只有 AB=AC. ∠CEF=90°. 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, ∠DEF=60, 图3 AD-AE, ∴.∠CED=30. ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.CE=BD ∠ECH=60°，.∠EDC=∠CED=30°， .BD+CD=BC,..CE+CD=CA. ∴.CD=CE=23,∴.BD=6+23. ②CA+CD=CE.理由如下： 综上，BD的长为6-√3或6+23. ,'△ABC和△ADE是等边三角形， 解答题专项练（十） ∴.AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC= 1.解：由题意得点P,Q的坐标分别为(，一+ ∠DAE=60°， 9),(-22,-4+9), ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 由点P,Q的坐标得，直线PQ的解析式为 即∠BAD=∠CAE. y=xx1-2x1+9, ·116 则MN==(x1-1)x1-2.x2+9=-（x1+ 将点C(0,6)代入得，a=一2. .C2对应的函数表达式为y=一2(x十1)· }+7< (x一3)，其对称轴为直线x=1. 故MN的最大值为平。 又·图象C的对称轴也为直线x=1,∴.作 直线x=1,交直线l于点H(如图) 2.解：(1)由题意得y=a(x-2)2+25, 由二次函数的对称性得， 将点A的坐标代入上式得0=a×(4-2)2+ QH=PH,PM-NQ. 2√3，解得a= 又：PQ=MP+QN, 2, ∴.PH=PM. .抛物线y=a(x一h)2十k的表达式为y= 设PH=t(0<t<2),则点P 9+2a 的横坐标为t十1，点M的横 坐标为2t十1， (2)由(1)知，y=一 5(r-2)2+23 将x=t十1代人y=一2(x+1)(x-3), 得yp=-2(1十2)(t-2). 由中点坐标公式得点C(1,W3), 将x=21+1代人y=(x十1)(x-3), 当y=√3时，y= 得yM=(21+2)(21-2). 2 (x-2)2+23=3, ,yp=yM,∴.-2(t+2)(t-2)=(21+2)· 解得x=2十√2（不合题意的值已舍去）， (21-2), 即点F(2+√2,3). 即6=12，解得t1=√2，t2=一√2（舍去）. 3.解：(1)y= 号+0=号r+号+ ∴.点P的坐标为（√2+1,4）. （②)当=0时y=一号r+号x+2=2, 5.解：(1)把B(3,m)代入y=x+2, 得m=3+2=5,∴.B(3,5). .C(0,2) 把A(-2,0),B(3,5)代入y=-x2+bx+c 设直线BC的解析式为y=kx十2，∴.3k十2=0， -4-2b+c=0, b=2, 解得6=一子。 得 解得 -9+3b+c=5, c=8, ∴.抛物线的解析式为y=一x2十2x十8. :直线C的解析式为y=一号十2 (2)抛物线上存在点M,使△ABM的面积等 设Px,-号r++2Dx-子x+2, 于△ABC面积的一半.理由如下： 过M作MK∥y轴交直线 ∴2PD+PE=2-号+x+2+号-2 AB于点K,如图. 在y=-x2+2x十8中，令 y=0得0=-x2+2x十8， 当x时，有最大值亮此时P停》 解得x=-2或x=4, .A(-2,0),C(4,0), 4.解：(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=x2+b十 ∴.AC=6. 得}计0解得仁—子调G对 :B3,5)∴Sr=号×6X5=15, 应的函数表达式为y=x2-2x一3. 设M(m,一m2+2m十8)，则K(,m十2)， (2)设C2对应的函数表达式为y=a(x十1)· ∴.MK=|-+2m+8-(m+2)=|-m2+ (x-3)(a<0), m+6, ·117· 2MK·-a=-m十 ∴.BM=3- 33,DM=20 .tan∠ABD= m十61X5= -m+m+61 20 DM 9 =10 ,△ABM的面积等于△ABC面积的一半， BM 23 3 ∴2引-m+m+61=×15. 7.解：(1)将点D的坐标代入抛物线表达式得 ∴.|-m2+m+6=3,∴.-m2+m+6=3或 -1=a+ -m2+m十6=-3， -4，解得a=号，则抛物线的表达 解得m=1±)或m=1±，y37,点M的 2 坐标为(，+)或(， (2)由题意得C:y= x-10+号x-1D 或+，)厘， 4+3= 2 2 12. 当=1时y=号×1-》°-=-1故点 15 6.解：(1)在y=a.x2-2a.x-3a中，令y=0得 D在抛物线C2上. 0=a.x2-2a.x-3a, (3)存在，理由： .a(x-3)(x十1)=0. 当∠BDP为直角时，如图1，过点D作DP⊥ a>0,∴.x=3或x=-1, BD且DP=BD,△BDE为等腰直角三角 .A(-1,0),B(3,0),.AB=4 形，过点D作平行于x轴的直线，并作BG⊥ (2)当a=1时，过D作DM∥y轴交x轴于 DG交直线于点G,PH⊥DH交直线于 点M,DN∥x轴交AC于点N,如图， 点H y=x2-2x-3=(x 1)2-4,∴.C(1,-4), 由A(-1,0),C(1,-4)得 直线AC的解析式为y= -2x-2. 设D(,n2-2n-3)(0< 3), 图1 图2 令-2x-2=n2-2m-3得x=二m士2n十1 :∠BDG+∠PDH=90°，∠PDH+∠DPH= 2 90°，∴.∠BDG=∠DPH. Nt21㎡-2m-3 ,∠DGB=∠PHD=90°， ∴DN=-二+2+1=-1 .△DGB≌△PHD(AAS), 2 2， 则DH=BG=1,PH=GD=1+2=3,则点 5m=2DN·1⅓-e=3×2X P(2,2) 4=n2-1. 当=2时y=号×（一引-=号× ,△ACD的面积与△ABD的面积相等， 而SuD=2AB·|D=2×4X(-+ (2-)-吕2，即点P在驰物线C上，符合 2n十3)=-2m2+4n+6, 题意 ∴2-1=-22+4n十6，解得n=-1(舍去) 当∠DBP为直角时，如图2，同理可得△BGP≌ 或n=子D(39》: △DHB(AAS), 则DH=3=BG,BH=1=GP,则点P(-1,3), ·118· 当x=-1时y=号×(-)- ∴.∠QDK=∠BCA, 由点B,C的坐标易得直线BC的表达式为 x(1--=3 y=-4x+4..DQ∥BC 即点P在抛物线C2上，符合题意 ∴.直线DQ的表达式为y=-4x-6, 当∠BPD为直角时，如图3， 联立得-4x-6=-x2-7.x-8, 设点P(x,y),同理可得 解得x1=-1,x2=一2.当x=-1时， △PHB≌△DGP(AAS), y=-2,.Q(-1,-2) 则PH=x+2=GD=y十1， 作DQ关于直线AC的对称线DQ2交抛物 且BH=y=GP=1-x, 线y于点Q2, 解得x=0且y=1, ∴.∠QDK=∠QDK=∠BCA, 即点P(0,1), 设DQ交x轴于点G,点G是点G关于直线 图3 当x=0时y=号×(--碧=× AC的对称点，则DG=DG 过点D作DR∥x轴，作DH⊥x轴于点H, o-》-8181. 作GH⊥DR于点H', 即点P不在抛物线C2上，不符合题意. 综上，点P的坐标为(2,2)或（一1,3）. 8.解：(1)由抛物线的表达式知，OC=4, ,tan∠CBA=4,则OB=1,即点B(1,0),由 题意科十8解利仁—港物安 的表达式为y=一x2-3.x+4. （2)(-1,一2)或(-只，餐.解法提示： 当y=0时，0=一4x-6,解得x=- 2 由抛物线的表达式知，点A,B,C的坐标分别 G(-号0.A-4.0.C0,40 为(-4,0)，(1,0)，(0,4)，由点A,C的坐标得， 直线AC的表达式为y=x十4. .OA=OC,∴∠OAC=∠OCA=45° 设点P(x,-x2-3x十4)，则点D(x,x十4)， DR∥x轴，∴∠RDA=∠DAH=∠ADH=45 则PD=一x2-3.x十4-x一4=一x2一4x, ∴.∠GDH'=∠GDH. 当x=一2时，PD取得最大值，则点E(一2， ∠G'H'D=∠GHD=90°，DG=DG, .△G'DH'≌△GDH(AAS), 0),D(-2,2), 将该抛物线沿射线CA方向平移，当向左平 GH'-GH-2-3-.DH'-DH-2. 移m个单位长度时，则向下也平移了m个单 位长度， ∴G(-4,).由点D,G的坐标易得直线 则新抛物线的表达式为y=一(x十m)2一3(x十 DQ2的表达式为y=一十2， 13 m)+4-1m, 将点D(一2,2)的坐标代入上式得2=一（一2+ 联立得-x2一7x-8=一 13 4x十21 m)2一3(-2十m)+4一m,解得m=2(负值 舍去)， 解得.x=一2或r=一19 4 则新抛物线的表达式为y=一x2一7x一8. 过点D作DQ∥BC交抛物线y'于点Q1, 当=时y=×(-)+-号 ·119· @(-9. P(侵)P(-) 综上，点Q的坐标为(-1，一2)或（一，） 19,43 综上所述，满足条件的点P的坐标为（号，） 9.解：(1)，抛物线y=-x2+bx十c过点A(3, 或--). 4),B(0,1), -9+3b+c=4, (3)点F的坐标为（一1,3）或(1，一2)或(3， 解得 c=1, 6=4:该抛物线 lc=1. 4一√6)或(3,4+√6). 的函数解析式为y=一x2十4x十1. 第三部分 题型组合练 (2)存在.理由如下： ,BC∥x轴，且B(0,1),∴.点C的纵坐标为 选择填空题组合练（一） 1,.1=-x2+4x+1, 、选择题 解得=0（舍去），x2=4,.C(4,1). 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 过点A作AQ⊥BC于点Q,设直线CP交y轴 答案B BAA C B 于点M,如图. 二、填空题 11.2(答案不唯一，x的值满足x≠一3即可) 12.(3,-4)13.6514.6 15.(1)4 3 (2)2或5-1 选择填空题组合练（二） 在Rt△ACQ中，A(3,4),∴.Q(3,1) 、选择题 ”tan∠BCP=Gan∠ACB,ian∠BCP= 题号 1 2 3 9 10 答案 D B B B 合×8-日×号 二、填空题 C=4∠CBM=90,=m∠P 11.(m+2)(m-2) 12.313. 14.110 15.5 2BM=2BC-2X4=2. 选择填空题组合练（三） .yw-1=2,yw=3或-1， 、选择题 .M1(0,3),M2(0,-1), 题号 2 10 ·直线CM的解析式为y= 2x+3, 答案AC B D 二、填空题 直线CM的解析式为y=2x一1， 11.a(a+3)(a-3)12.55°13.114.6 1 由 2x+3, 2' 得 2=4, 或 (舍去)： 15(3-引 y=-x2+4x十1，y= 11 32=1 4 选择填空题组合练（四） 1 一、选择题 2x1, = 2, 得 4=4, 或 题号 2 3 5 8 10 +4+1,w= 6 4 答案A D A D A B CC B C ·120