解答题专项练(九) 几何综合题-【指点中考】2025年湖北中考数学题型突破

解答题专项练（九） 几何综合题 1.如图，在△ABC和△DEC中，∠ACB=∠DCE= 【实践探究】 90°，∠BAC=∠EDC=30°，连接BE并延长 (1)将△A'DC纸片沿AC方向平移，连接BD 交AD于点F,连接CF (BD与AC相交于点O),AD,BC,得到图3 (1)如图1，求证：∠CBE=∠CAD: 所示的图形.若BD⊥AC,解答下列问题： (2)如图2，若CE∥AD,求证：DE=CF; ①求证：AB=BC: (3)如图3，若AF=1,CF=3,求BF的长 ②求出平移的距离AA'. 【拓展延伸】 (2)如图4，先将△A'DC纸片沿AC方向平 移一定距离，然后将△A'DC纸片绕点A'顺 时针旋转，使A'C∥AB,若此时CD恰好经 过点C,求出平移的距离AA'. A(4 第 图1 图2 解答 专 练 图3 图4 2.(2024宁波模拟【问题情境】 在“综合与实践”活动课上，老师给出了如图1 所示的一张矩形纸片ABCD,其中AB=8, BC=6.如图2，将矩形纸片ABCD沿对角线 AC剪开，得到纸片△ABC与△A'DC' 题型突破 73 3.(2024临夏)如图1，在矩形ABCD中，点E为 4.(2024信阳模拟)综合与实践 AD边上不与端点重合的一动点，点F是对 [问题背景] 角线BD上一点，连接BE,AF交于点O,且 如图，在正方形ABCD中， ∠ABE=∠DAF AB=4,点E为边CD上一 【模型建立】(1)求证：AF⊥BE; 点，将△ADE沿直线AE折 【模型应用I(2)若AB=2,AD=3,DF=BE, 叠，使点D的对应点F恰好 落在对角线AC上. 求DE的长； [问题解决] 【模型迁移】(3)如图2，若矩形ABCD是正方 (1)填空：EC的长为 形，DF-号球，求5的值 (2)展开后，将△AEF沿线段AC平移，使点 F的对应点与点C重合，得到△A'CE',A'E 与CD交于点M,求线段EM的长； [拓展探究] (3)将△AEF沿射线AC平移得到△A'E'F, 图 图2 当CD在△A'E'F区域内的线段MN的长为 1时，直接写出△AEF平移的距离。 第二部分解答题专项练 74 指，点中考数学 5.(2024山东)一副三角板分别记作△ABC和 6.(2024德阳改编)一次折纸实践活动中，小王同 △DEF,其中∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC= 学准备了一张边长为4的正方形纸片ABCD, 45°，∠EDF=30°，AC=DE,作BM⊥AC于 他在边AB和AD上分别取点E和点M,使 点M,EN⊥DF于点N,如图1 AE=BE,AM=1,又在线段MD上任取一点 (D N(点N可与端点重合)，再将△EAN沿NE 所在直线折叠得到△EAN,随后连接DA. (1)当点N在线段MD上运动时，线段A,E 的长是否为定值？若是，请求出定值：若不 图2 是，请说明理由 (2)求DA1的最小值；并求出当DA1达到最 小值时，MN的值， (3)求A,到直线AD的距离何时达到最大？ C(E) 图3 备用图 (1)求证：BM=EN; (2)在同一平面内，将图1中的两个三角形按 如图2所示的方式放置，点C与点E重合记 为C,点A与点D重合，将图2中的△DCF 绕C按顺时针方向旋转α后，延长BM交直 线DF于点P. ①当a=30°时，如图3，求证：四边形CNPM 为正方形： ②当30°<a<60时，写出线段MP,DP,CD 第二部分解答题专项练 的数量关系，并证明：当60°<a<120时，直 接写出线段MP,DP,CD的数量关系. 题型突破 75 7.(2024新疆【探究】 【运用】 (1)已知△ABC和△ADE都是等边三角形 (2)如图3，等边三角形ABC中，AB=6,点E ①如图1，当点D在BC上时，连接CE.请探究 在AC上，CE=2√3.点D是直线BC上的动 CA,CE和CD之间的数量关系，并说明理由； 点，连接DE,以DE为边在DE的右侧作等 边三角形DEF,连接CF.当△CEF为直角三 角形时，请直接写出BD的长， 图1 图3 备用图 第二部 ②如图2，当点D在线段BC的延长线上时， 连接CE.请再次探究CA,CE和CD之间的 数量关系，并说明理由 分解答题专项练 图2 76 指，点中考数学根据题意得10000-8000 x+100 解得x=400, ∴a×202+12×20=0,解得a=- 5 经检验，.x=400为原方程的解，∴.x十100=500. (2)."x=3t,∴.t= 答：一件A型丝绸的进价为500元，一件B 3 型丝绸的进价为400元. ∴.y= 3+12: m≤50-m, (2)①根据题意得 m≥16， 解得16≤m≤25， ∴.m的取值范围为16≤m≤25且m为整数. 152+4x ②设销售这批丝绸的利润为y元， 由抛物线的对称性可知，当x=60÷2=30 根据题意得y=(800一500)十(600一400)· 时，y最大， (50-m)=100m+10000. 最大值为一号×30+4×30=60. 100>0,∴.y随m的增大而增大， ∴.当m=25时，ymx=12500. 答：y关于x的函数关系式为y=一r十 答：销售这批丝绸的最大利润为12500元. 4x,飞行高度y的最大值为60m. 4.解：(1)设y与x的函数解析式为y=kx十b,将 (3)当MN最小时，由题意知，AM=60m. 20k+b=400, (20,400)和(30,300)代入，得 当h=4时，该航模飞机飞行的高度y'(m)与 30k+b=300, 飞行的水平距离x(m)之间的函数关系式为 k=-10. 解得 b=600, y=- .y与x的函数解析式为y=-10x+600. (2)由题意得心=(x-20)y=(x-20)· 令y=0,即一+4红+4=0. (-10x+600)=-10.x2+800.x-12000= 解得m=30+8√/15，x2=30-8√15（舍去）， -10(x-40)2+4000. .AN=(30+8√/15)m, 一10<0，.当x=40时，有最大值，最大 .MN的最小值为30+8√5-60=(8√/5 值为4000， 30)m ∴.该水果每天获得的利润心的最大值为 解答题专项练（九） 4000元. 1.(1)证明：·∠ACB=∠DCE=90°，∠BAC= (3)由题意得=(x一m)(一10x十600)= ∠EDC=30°， -10x2+(600+10m)x-600m. 一10<0，.抛物线开口向下，对称轴为直 ∴∠BCE=∠ACD,80瓷-3， 线x=30+罗 .△BCE∽△ACD,.∠CBE=∠CAD. ,在实际销售过程中，发现该商品每天获得 (2)证明：，CE∥AD, 的利润随x的增大而增大，且25≤≤41， ∴.∠CDF=180°-∠DCE=90°. 由(I)得∠CBE=∠CAD. ∴30+罗>≥41，解得m≥2， ,∠BAC+∠ABF+∠CBF=90, ∴.m的最小值为22. ∴.∠BAC+∠ABF+∠CAF=90°， 5.解：(1)对于x=3t,当x=60时，t=20, ∴.∠DFE=90°.又，∠ECD=90°， ∴.当t=20时，y=0, .四边形CDFE是矩形，∴.DE=CF ·113· (3)解：如图，过点C作CG⊥CF交BF于 .∠BAD=90 点G. ∠ABE=∠DAF,∴.∠AOE=∠BAF+ ∠ABE=∠BAF+∠DAF=∠BAD=90°， ∴AF⊥BE (2)解：如图1，延长AF交CD于点G, ,GD∥AB,∴.△GDFn△ABF. ∴.∠BCG+∠GCA=∠ACF+∠GCA=90°， DF=吉球，AB=2AD=80E ∴.∠BCG=∠ACF.又，∠CBG=∠CAF, 2GD-2AB=2×2=1. △0n△AC下架=-号 3 '∠BAE=∠ADG=90°，∠ABE=∠DAG, AF=1.CF-=3BG-号，CG=3, 能-m∠ABE=nDAG-D ∴.FG=√CG+CF2=2√3， AE=号AB=X2=号， ·BF=BG+FG=73 3 DE=AD-AE=3-2-7 33 2.(1)①证明：，四边形ABCD是矩形， ∴.AB∥CD,AB=CD. 由平移得C'D∥AB,C'D=AB, .四边形ABCD是平行四边形. 又BD⊥AC,∴.□ABCD是菱形， 图1 图2 .'.AB=BC. (3)解：如图2，延长AF交CD于点H, ②解：.AB=8,BC=6,∴.在Rt△ABC中， ,四边形ABCD是正方形 AC=√WAB2+BC=10. ∴.AB=AD,∠ADH=90°. 设AB=AD=2m, :BDLAC,SAe=2AB·BC=2AC· HD∥AB,∴.△HDF∽△ABF 0B,即2×8×6=2×10×0B,0B=4.8, DF-IBF..HF-HD_DE1 AF AB BF 2' .在Rt△ABO中，OA=√AB2-OB=6.4, ∴.在菱形ABCD中，AC=2OA=12.8. HD-号AB=号×2m=m, A'C=AC=10,∴.A'=AC-A'C'=2.8. ∴.AH=√AD+HD=√(2m)2+m=√5m, (2)解：A'C'∥AB,∴∠CA'C'=∠A. :∠A=∠C,∴∠CAC'=∠C,∴.CA=CC AF-号AH-号X5m-2g5m 3n, 设CA'=CC=x,则CD=C'D-C'C=8-x 25 :在Rt△A'CD中，A'D2+CD=A'C2,即 ·AF ·AD 3 m 2m 6十(8-=产，解得x-空， 3花的值为漫 4.解：(1)8-42. AC-草AM=AC-AC=10-空-界 (2)如图，由折叠可知，∠DAE=∠FAE= 3.(1)证明：四边形ABCD是矩形， 3∠DAC=2.5 ·114 由平移得到，∠FA'E'=∠FAE=22.5°， ∠A'CE=∠AFE=90°，∴∠A'EC=67.5. .∠ACD=45°，∴.∠CME=∠FA'E'+ 图1 图2 ∠ACD=67.5°，∠CME=∠A'E'C=67.5, 当60°<a<120°时，线段MP,DP,CD的数 ..CM=CE'=EF=DE=CD-CE=4- (8-4V2)=4√2-4， 量关系为DDP-源解法提示。 如图2，当60°<a<120时，连接CP, ∴.EM=CE-CM=8-4√2-(4√2-4)= 由(1)可得CM=CN,∠PMC-∠PNC=90°. 12-82. ,'CP=CP,∴.Rt△PMC≌Rt△PNC(HL) (3)△AEF平移的距离为1或3√2-1. ∴.PM=PN,∴.DN=PN-DP=MP-DP. 5.(1)证明：设AC=DE=a, :∠ABC=∠DEF=90°，∠BAC=45°， CDF-3,.cs/CDF-DN-MP DP CD CD ∴.∠A=∠C=45°，∴.AB=BC cos303:MP-DP_/3 2CD BMLAC..BM-AM-CM-AC-74. 6.解：(1)线段AE的长是定值.理由如下： ∠EDF=30°，EN⊥DF,∴.EN=DE= ,正方形纸片ABCD的边长为4，AE=BE, ,.BM-EN. 1 ∴AE=BE=2AB=2, 由折叠的性质可知，AE=AE=2, (2)①证明：，∠CDN=30°，CN⊥DF, .当点N在线段MD上运动时，点A,在以 ∴.∠CND=90°，∠DCN=90°-30°=60°. E为圆心的圆弧上运动，且AE=2为定值. a=∠ACD=30°，∴∠ACV=90°. (2)连接DE, BM⊥AC.∴.∠PMC=∠BMC=90°， ,在正方形ABCD中， .四边形CNPM为矩形 ∠A=90°，AD=4,AE=2, 由(1)知BM=EN, ∴.在Rt△ADE中，DE= 即BM=CN,且BM=CM. √AD+AE=√4+2=2/5. ∴.CM=CN,∴.四边形CNPM为正方形 DA1+AE≥DE,.DA1≥DE-AE= ②解：当30°<a<60°时，线段MP,DP,CD 25-2,∴.DA的最小值为25-2. 的数量关系为PP-受 21 如图，DA达到最小值时，点 理由如下： A在线段DE上，由折叠可 如图1，当30°<a<60时，连接CP, 得∠NAE=∠A=90°， 由(1)可得CM=CN,∠PMC=∠PNC=90°. .∠DAN=90°， ,CP=CP,∴.Rt△PMC≌Rt△PNC(HL), ∴∠DAN=∠A. .PM=PN,..MP+DP=PN+DP=DN. ∠ADN=∠ADE,.△A DNO△ADE, ∠D=30io∠D-0>-DnM CD 品器脚2 4 2V5 cos30°-5..DP+MP_ ∴.DN=5-√5，∴.MN=AD-DN-AM= 2 CD 2 4-(5-5)-1=√5-2. ·115· (3)在△ADE中，DE=25,A1E=AE=2, AB=AC, ∴.AD随着∠DEA1的增大而增大 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, AD-AE, ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.CE=BD. .CB+CD=BD,..CA+CD=CE (2)6一√3或6+23.解法提示：过E作EH∥ ,∠DEA,=∠NEA,-∠NED=∠NEA- AB,则△EHC为等边三角形 ∠NED=∠NEA-(∠AED-∠NEA)= ①当点D在H左侧时，如图1， 2∠NEA-∠AED, 由题意得ED=EF,∠DEH= .当∠NEA最大时，∠DEA,有最大值， ∠FEC,EH=EC, A,D有最大值，此时，点N与点D重合， ∴.△EDH≌△EFC(SAS), 过点A,作AG⊥AD于点G,作AP⊥AB ∴.∠ECF=∠EHD=120°， 图1 于点P 此时△CEF不可能为直角三 :∠A=90°，∴.四边形AGAP是矩形， 角形。 ..AG=AP=AE+EP. ②当点D在H右侧，且在 当AD取得最大值时，∠AEN=∠A,EN也 线段CH上时，如图2，同 是最大值 理可得△EDH≌△EFC :∠AEP=180°-∠AEN-∠AEN= (SAS), 180°-2∠AEN,∴∠AEP有最小值， ∴.∠FCE=∠EHD=60°， 图2 .在Rt△A1EP中，EP=A1E·cos∠A1EP ∠FEC=∠DEH<∠HEC=60°， 有最大值， 此时只有∠CFE有可能为90°， 即AG=AP=AE+EP有最大值，∴.当AD 当∠CFE=90时，∠EDH=90°， 取得最大值时，点A,到AD的距离达到最大 .ED⊥CH 7.解：(1)①CE十CD=CA.理由如下： CH-CE-2/3.:.CD-7CH-3. ,'△ABC和△ADE是等边三角形， ∴.AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC= 又.'AB=6,∴.BD=6-√3. ∠DAE=60°， ③当点D在H右侧， ∴.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, 且在HC的延长线上 即∠BAD=∠CAE. 时，如图3，此时只有 AB=AC. ∠CEF=90°. 在△ABD和△ACE中，∠BAD=∠CAE, ∠DEF=60, 图3 AD-AE, ∴.∠CED=30. ∴.△ABD≌△ACE(SAS),∴.CE=BD ∠ECH=60°，.∠EDC=∠CED=30°， .BD+CD=BC,..CE+CD=CA. ∴.CD=CE=23,∴.BD=6+23. ②CA+CD=CE.理由如下： 综上，BD的长为6-√3或6+23. ,'△ABC和△ADE是等边三角形， 解答题专项练（十） ∴.AB=AC=BC,AD=AE=DE,∠BAC= 1.解：由题意得点P,Q的坐标分别为(，一+ ∠DAE=60°， 9),(-22,-4+9), ∴.∠BAC+∠DAC=∠DAE+∠DAC, 由点P,Q的坐标得，直线PQ的解析式为 即∠BAD=∠CAE. y=xx1-2x1+9, ·116