微课(10) 圆中常见辅助线的作法-【指点中考】2025年湖北中考数学分层特训

微课（十） 圆中常见辅助线的作法 5.(2024广安)如图，△ABC内接于⊙O,圆的半 A素养筑基 径为7，∠BAC=60°，则弦BC的长度为 1.如图，AB是⊙O的直径，弦CD交AB于点 P,AP=2,BP=6,∠APC=30°，则CD的 长为 () 0 A.15 B.2√5 C.2/15 D.8 6.(2024南充)如图，AB是⊙O的直径，位于AB 两侧的点C,D均在⊙O上，∠BOC=30°，则 ∠ADC= 度 第1题图 第2题图 2.如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切 线，A为切点，PO交⊙0于点B,∠P=30°， 第 OB=3,则线段BP的长为 () ⑧素养提升 A.3 B.33 部 C.6 D.9 7.(2024广西改编)如图，已知⊙O是△ABC的 分 3.(2024山西)如图，已知△ABC,以AB为直径的 外接圆，AB=AC.点D,E分别是BC,AC的 图 ⊙O交BC于点D,与AC相切于点A,连接 中点，连接DE并延长至点F,使DE=EF, 与 OD.若∠AOD=80°，则∠C的度数为() 连接AF. 何 (1)求证：四边形ABDF是平行四边形： (2)求证：AF与⊙O相切. A.30° B.40° C.45 D.50° 4.如图，点O是△ABC外接圆的圆心，点I是 △ABC的内心，连接OB,IA.若∠CAI 35°，则∠OBC的度数为 () A.15° B.17.5°C.20° D.25 分层特训 87 8.如图，点A在第一象限内，⊙A与x轴相切于 10.(2024成都)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， 点B,与y轴相交于点C,D,连接AB,过点A D为斜边AB上一点，以BD为直径作⊙O, 作AH⊥CD于点H. 交AC于E,F两点，连接BE,BF,DF (1)求证：四边形ABOH是矩形： (I)求证：BC·DF=BF·CE: (2)已知⊙A的半径为4，OB=√7，求弦CD (2)若∠A=∠CBF,tan∠BFC=√5，AF 的长 4、5,求CF的长和⊙O的直径. 第 部 分 9.(2024湖北联考)如图，在Rt△ABC中，∠B= 图 90°，AE平分∠BAC,交BC于点E,圆心O 与 在AC上，经过点A,E的⊙O分别交AB,AC 于点D,F 何 (1)求证：BC是⊙O的切线： (2)若BD=3,CF=6,求劣弧EF的长L. 88 指点中考数学:. ODA-ODF=OAD-OAF 'BOC是等边三角形,.'.OC=BC=3. 120×3-2rt. ..FDA-FAD..AF=DF .AC的长为 180 (2)①证明::AB是⊙O的直径,DM-DG ..ADB-90”, 12.(1)证明:连接OC. .AC/OD. ..AD垂直平分GM...AM=AG. ./CAO-BOE. .. MAD=CAD.":AD=CD, .ABD=CAD,.MAD=ABD. .CE平分BCD. .OAM=BAD+MAD= BAD十 ABD-90。. .OA是O的半径,目AMOA...AM是 O的切线. . BCD= BOD= /OAC. ②解:: FDG+ FDA=90{*},FGD+$$$ :OA=OC=OB.ACO=CAO FAD=90*,且FDA= FAD, OCB-OBC. . FDG= $FGD,'$GF=DF=AF=5$$ “.AB是⊙O的直径,ACB-90。 ..AG-2AF=10.·.DG-6. ' ACB=ACO十OCB=CAO+ *AD-AG$-DG-10-6-$ $ OBC-90*, ·. AID= ADG-90*, A . BCD十OCB=90*..OC ]DC. -cos DAG. :OC是半径..'.CD是⊙O的切线. .A1-4D*8232 (2)解::AC/OD. AG10= .' ACB=OFB-90{。 .DI-、AD-AF-一8-一({)#-24. .CE=DE-2... ECD=D .CE平分BCD. .. BCE=ECD=D. .Or^+A-OA,.(oA-24){}+(32)} ' BCE-ECD= D=30*, . OEC-BOE-60*, .△OCE为等边三角形. ..CE=OE=OB-2. 第24讲 与圆有关的计算 OFB-90{},.OFB=CFE=90*$$$ .△OFB△EFC. ..S阴影部分-S形OBE一 360 13.A 11.(1)证明:.AB是半圆O的直径. 微课(十) .ACB-90”,'CAB十ABC=90* 圆中常见辅助线的作法 “:D=ABC.D+CAB=90*, 1.C 2.A 3.D 4.C 5.73 6.75 ..ABD=90{}.·.AB是半圆O的直径, 7.证明:(1):点D,E分别是BC,AC的中点 ..BD是半圆O的切线. ..BD=DC,AE=EC,在△EDC和△EFA中 (2)解:连接OC. EC-EA. :ABC-60”, DEC=FEA...△EDC△EFA(SAS). .AOC-2ABC= DE-FE. E 120·OC-OB. :.DC=AF,/EDC=/F .69. :.BC//AF,BD=AF, 90{..C=90”,.BFD=C. ·.四边形ABDF是平行四边形 .BF=BF.. BEC= BDF. (2)连接AD,如图, '△BCE△BFD.:. BCCE. .BFDF' AB-AC,BD=DC...AD BC...AD垂直平分BC,..AD *.BC·DF=BF·CE 经过圆心O. (2)解:连接DE,过E作EH BD于H,如图 由(1)知AF/BC...DA|AF.·:OA为O 的半径,..AF与⊙O相切 8.(D)证明::A与x轴相切于点B..'ABl x轴..AH CD,HO OB. 'AHO= HOB=OBA=90$,$ '四边形ABOH是矩形, (2)解:如图,连接AC. ..BC-5CF..A=CBF. ··四边形ABOH是矩形, '90{}-A=90{*-CBF,即 ABC= .AH-OB-/7. BFC,'.tan ABC=tan BFC-5. 在Rt△AHC中, CH*-AC*-AH, '.CH-4-(V7)-3. 5CF.·AC-CF-AF=4v5. .点A为圆心,AHICD,*.CD=2CH=6 ·5CF-CF=4v5...CF-5. 9.(1)证明:如图,连接OE .$BC-/5CF-5,AC=5CF=5/5 “:OA-OE...OAE=OEA. *AB=BC+AC-5+(5 )=5 6 ·.AE平分BAC,:BAE=OAE .BAE-OEA. 由(1)知△BCEo△BFD '$AB/OE.:OEC=B-90 .CBE=DBF. .CBE一 FBE= DBF- FBE, ..OEBC. 即 CBF=EBA.:A-CBF, 又.OE是O的半径,..BC是⊙O的切线 .A- EBA..'AE-BE, (2)解:如图,连接DF交OE 于点M,作FN IBC于点N 2· ·.AF是⊙O的直径. “BEH=90{*- EBA=90{*-CBF= ..ADF-90”. BFC. '.四边形BDFN和四边形BDME 都是矩 形。..FN=ME=BD-3,DF//B$C '.tan BEH=tan /BFC-. ' OMF= OEC=90*,AFD=C. 5#6 FN31. “.BD是⊙O的直径,.BED-90。, .AFD-C-30. . EDH-90*}- DEH- BEH, ..tan EDH-tan BEH-5 6×60πt2π. 'OM=ME=3.OE-6...= 30 180 H. 2 10.(1)证明:'BD是O的直径,..BFD .70· O的直径为36. .△OAE的面积为AO·FE-93 微课(十一)与圆有关的阴影部分面积的求法 120t32_3 1.B 2.D 3.C 4.B 5.C .扇形OAE的面积为 360 9③ ) .阴影部分的面积为3x 4。 9.解:(1)直线BC与圆O相切,理由如下: 11.(1)证明:如图,连接OD 连接OB(图略),'.OA=OB..A=OBA “DECB.. E-90”。 “CP=CB..CPB= CBP 又APO=CPB,.CBP=AP$O ..BD平分ABE “:OAOC,. A+APO-90*, .. ABD- DBE. . OBA十CBP=90{,即OBC=90*, .:OD-OB. ..OB BC,.直线BC与圆O相切. ODB=ABD,.ODB-DBE, (2):OAOC,A=30{*,OP=1..OA *.OD/BE.. ODE=180{*-E-90 OP .OD是⊙O的半径,..DE是。O的切线 (2)解:如图,连接OC,过点O作OF BC,垂 .CP一CB,..△PCB为等边三角形, 足为点F, .P[CB=60.OBC=90*'BOD=30} “.ABC-60*,OB-OC *.BC=OB·tan30{-1,..Sm=Soc- ..△OBC是等边三角形, ×3×1-30r×3)*31. 360 10.(1)证明:如图,连接OC.·:CD为O的切线 在Rt△OBF中,OF=OB·sin60*-3$ 点C在O上. 333 .. OCD=90”, DCA十OCA=90”。 # 2 .AB为直径.../ACB-90*。 *.S图中阴影部分-S形BC-S△C= 60rX3^{} :. B+OAC=90}·:OC=OA. 360 :OAC= OCA..B=DCA. ·:AC-CE.. /B=CAE. # 2 2 .CAE-DCA...DC//AE (2)解:如图,连接OE. BE,··EF垂直平分 第六单元综合测试 OB...OE-BE. 1.D 2. B 3.A 4.B 5.B 6. C 7.C .OE-OB.../OEB 8.D 9.A 10.B 11.32{* 12.相交 13.4 为等边三角形. BOE=60{}:AOE=180{*-60= 14.26 15.27+1 120{.:OA-OE. 16.解:如图,连接AC,BC. ..OAE=OEA-30。 当点C在优狐AB上时 ·DC/AE,.D=OAE=30 “.PA,PB分别与⊙O “ OCD=90*,.'.OD=2OC=OA+AD 相切于A,B两点 .OA=OC...OC-AD=3. ' PAO-PBO-90 ·71·