微课(9) 与圆的切线有关的常见模型-【指点中考】2025年湖北中考数学分层特训

11.(1)证明：连接OD, OA,作OH⊥AB于 2mB88-g.0D=30B=5 H,如图. ..BC=OB+OC=8. :△ABC为等腰三 在R△ACB中，sinB=S=是 AB5 角形，O是底边BC的中点，∴AOLBC,AO 平分∠BAC. ∴.设AC=3.x,AB=5.x, ,AC与半圆O相切于点D,∴.OD⊥AC,而 ∴.BC=√AB-AC=4x=8,.x=2, OH⊥AB,.OH=OD, .AC=3.x=6 .AB与半圆O相切. 3.(1)证明：如图，连接 (2)解：由(1)知OD⊥AC,在Rt△OCD中， OC, CD=4,OC=OF+CF=OD+2,OD+ ,点C是BE的中 CD=OC,..OD2+42=(OD+2)2, 点，CE=CB. 00=30C-5osC-60- ∴.∠CAE=∠CAB. .OA=OC, 在R△0CA中，cosC-C=4 ∴.∠CAB=∠ACO, AC5 ∴.∠CAE=∠ACO,.AD∥OC. .sin∠OAC= AC=5: AD⊥DC,∴.OC⊥DC 微课（九）与圆的切线有关的常见模型 ,OC是⊙O的半径，.DC是⊙O的切线。 1.(1)∠BOC=120° (2)解：①如图，连接 (2)证明：如图，连接OD BE. AB是⊙O的直径， AB是直径， .∠ACB=90°. ∴.∠AEB=90°， .AE=AO,AO=OB, .BE⊥AD..'AD⊥ ∴.AE+AO=AO+ DF,.BE∥DF, OB,即EO=AB. ∴.∠AFD=∠ABE 由(1)知AC=AO,∴.AC=DO sn∠AFD-g∠ABE福-号 EO=BA, AE=2,∴AB=6,∴⊙O的半径为3. 在△EDO和△BCA中，DO=CA, DE=CB, ②由(1)可知，OCLDF,.sin∠AFD= OC OF ∴.△EDO≌△BCA(SSS), ∴.∠ODE=∠ACB=90. 子：0C=3,OF=OB+BF=3+BF, ,OD是⊙O的半径，∴.DE是⊙O的切线. 3+BF号BF=6,∴AF=AB+BF= 3 2.解：(1)直线AB与⊙O相切，理由：连接OD (图略). 6+6-12.ADLDF.sinAFD-AB- .OC=OD,∴.∠OCD=∠ODC, ∴.∠DOB=∠OCD+∠ODC=2∠BCD, 2名AD=4:AE=2DE=AD 12-1 ∴∠BCD-2∠BOD.:∠BCD-2∠A, AE=4-2=2. ∴.∠BOD=∠A.∠ACB=90°， 4.(1)证明：连接BO并延长交 ∴.∠A+∠B=90°，∴∠BOD+∠B=90°， AD于H点，如图， ∴.∠BDO=90°. .AB=BD.OA=OD. ,OD是⊙O的半径，.直线AB与⊙O相切. ∴.BO垂直平分AD, ·67· ,∴.∠BHD=90°.BE为⊙O的切线， .OB垂直平分CD,∴.∠AFD=90 ∴.OB⊥BE,∴∠OBE=90°.：AC为⊙O的 ∠ADC=∠AEB,∴.CD∥BE, 直径，.∠ADC=90°，∴.四边形BEDH为矩 ∴.∠ABE=∠AFD=90°，.AB⊥BE. 形，∴∠E=90°，.BE⊥DE. AB是⊙O的直径，.BE是⊙O的切线 (2)解：如图，连接OD.,BO垂直平分AD, (2)解：：⊙O的半径为2，∴.AB=2×2=4. AH-DH-7AD. AB是⊙O的直径， ∠ACB=90°.BC=3, ,四边形BEDH为矩形 ∴.DH=BE=5,在Rt△BDH中，BD= ∴.AC=√AB-BC=√4-32=√7， AB=5√6，DH=5, m∠ABC瓷-：MC=AC .BH=√(56)2-52=5√5. ∴.∠ADC=∠ABC, 设⊙O的半径为r,则OH=55-r,OD=r, ·∠AEB=∠ADC,∴∠AEB=∠ABC, 在Rt△ODH中，(5√5-r)2+5=2, tan∠AEB=tan∠ABC= 解得r=35,即⊙O的半径为3√5. 3 5.(1)证明：连接AC交OD于H, 7.(1)∠DCE(或∠AEO). AB是⊙O的直径，∴.AC⊥ (2)证明：连接OC,PC BC.:OD平分∠AOC, 与半圆相切于点C, .∠AOD=∠COD, ∴.∠OCD=90°， ∴AD=CD,.OD⊥AC, ∴.∠DCE+∠ACO=90°.，'OA=OC, .OD∥BC. ∴.∠A=∠ACO.:∠DCE=∠DEC=∠AEO, (2)解：OE∥BC,.△OEF∽△BCF, ∴∠A+∠AEO=90°， 器器 ∴.∠AOE=90°，.OD⊥AB. (3)解：OA=2OE,∴.设OE=x,AO=2x, 设OE=5x,BC=6.x,.AO=OB,OH∥BC, ..EF=OF-OE=,..DE=DC=x+2, ∴AH=CH,0H=2BC=3x.PB是O0 OD=2x+2.,OC+CD2=OD,.(2.x)2+ 的切线，∴.∠OBP=90°，∴∠PBO=∠AHO (x十2)2=(2x十2)2，.x=4或x=0(不合题 :∠BOP=∠AOH,∴.△AOH∽△POB, 意舍去)，.OD=10,OC=OB=8,CD=6. 88器即出-器 ,∠DOP=∠OCD=90°，.∠D+∠DOC= 5x 3x ∠DOC+∠COP=90°，∴∠D=∠COP, ∴x= 或x=0(不合题意合去). △c0△coP,80-畏品-g 0B=号⊙0半径的长为号 0p-9∴PB=Op-OB=9 31 6.(1)证明：连接BD,OC,OD,设AB与CD交 8.(1)证明：连接AD,设OD交 于点F AC于点L.OD=OA, .BC=BD, ∠ODA=∠OAD.:点D是 ∴.BC=BD. AC的中点，∴.OD⊥AC于点L. .OC=OD, DN⊥AB于点E, 点O,B在CD ∴∠OED=∠OIA=90°， 的垂直平分线上， ∴.∠ODF=∠OAF=90°-∠AOD, ·68· ∴.∠ODA-∠ODF=∠OAD-∠OAF, .△BOC是等边三角形，∴.OC=BC=3, ∴∠FDA=∠FAD,∴.AF=DF (2)①证明：.AB是⊙O的直径，DM=DG, 0的长为空3-2红 .∠ADB=90°， 12.(1)证明：连接O℃， ∴.AD垂直平分GM,.AM=AG, .AC∥OD, ∠MAD=∠CAD.,AD=CD, ∴.∠CAO=∠BOE. ∴·∠ABD=∠CAD,∴∠MAD=∠ABD, ,CE平分∠BCD, ∴.∠OAM=∠BAD+∠MAD=∠BAD+ ∠BCE=∠ECD=2∠BCD, ∠ABD=90. OA是⊙O的半径，且AM⊥OA,.AM是 :BE=BE,∴∠BCE=2∠BOD, ⊙O的切线. ②解：：∠FDG十∠FDA=90°，∠FGD+ ∴.∠BCD=∠BOD=∠OAC. .OA=OC=OB,.∠ACO=∠CAO, ∠FAD=90°，且∠FDA=∠FAD, ∴.∠FDG=∠FGD,∴.GF=DF=AF=5, ∠OCB=∠OBC .AG=2AF=10.DG=6, ,AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90° .'∠ACB=∠ACO+∠OCB=∠CAO+ ∴.AD=√AG-DG=102-6=8. ∠OBC=90°， ∠AID=∠ADG=90°， ∴.∠BCD+∠OCB=90°，∴.OC⊥DC 0 =cos∠DAG, OC是半径，∴.CD是⊙O的切线. ∴A1=AD=8232 (2)解：AC∥OD, AG105 ∴.∠ACB=∠OFB=90°. DI=ADA√8-T- .CE=DE=2,∴.∠ECD=∠D, 5 ,CE平分∠BCD, :∠01A=90°，OI=OD-￥ ∴.∠BCE=∠ECD=∠D ∴OP+AP=OA,(OA- )+( ∴.∠BCE=∠ECD=∠D=30°， ∴.∠OEC=∠BOE=60°， 0A,解得0A=9⊙0的半径长为号 ∴.△OCE为等边三角形， ..CE=OE=OB=2. 第24讲与圆有关的计算 ,∠OFB=90°，∴.∠OFB=∠CFE=90°， 1.c2.c3.c4c4x6.3x .△OFB≌△EFC, 7.20x859A10.至-日 ∴.S阴影部分=S扇形0E 60XπX4_2π 360 3 11.(1)证明：，AB是半圆O的直径， 13.A ∴.∠ACB=90°，∴.∠CAB+∠ABC=90°. 微课（十） 圆中常见辅助线的作法 ∠D=∠ABC,∴∠D十∠CAB=90°， 1.C2.A3.D4.C5.736.75 ∴.∠ABD=90°..AB是半圆O的直径， 7.证明：(1)，点D,E分别是BC,AC的中点， ∴.BD是半圆O的切线 ∴.BD=DC,AE=EC,在△EDC和△EFA中， (2)解：连接OC, EC=EA. :∠ABC=60°， ∠DEC=∠FEA,∴.△EDC≌△EFA(SAS), ∴.∠A(OC=2∠ABC= DE=FE. 120°.，OC=OB, ∴.DC=AF,∠EDC=∠F, 69·微课（九） 与圆的切线有关的常见模型 3.如图，AB是⊙O的直径，点E,C在⊙O上， ④素养筑基 点C是BE的中点，AE垂直于过C点的直线 1.如图，AB是⊙O的直径，C,D是⊙O上位于 DC,垂足为D,AB的延长线交直线DC于 AB异侧的两点，点E在BA的延长线上， 点F AE=AO,CE是⊙O的切线，DE=BC,连接 (1)求证：DC是⊙O的切线： AC,OC. (2)若AE=2,sin∠AFD= 31 (1)求∠BOC的度数： (2)求证：DE是⊙O的切线. ①求⊙O的半径： ②求线段DE的长. 第二部分 2.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，点D是AB 图 上-点，且∠BCD=2∠A,点O在BC上，以 4.(2024深刿)如图，在△ABD中，AB=BD,⊙O 为△ABD的外接圆，BE为⊙O的切线，AC 与 点O为圆心的圆经过C,D两点 为⊙O的直径，连接DC并延长交BE于点E (1)试判断直线AB与⊙O的位置关系，并说 何 (1)求证：DE⊥BE: 明理由： (2)若AB=5√6，BE=5,求⊙O的半径. (2)若血B-多.O0的半径为3，求AC的长。 分层特训 83 5.(2024北京)如图，AB是⊙O的直径，点C,D 在⊙O上，OD平分∠AOC. ⑧素养提升 (1)求证：OD∥BC: 7.(2024贵州)如图，AB为半圆O的直径，点F (2)延长DO交⊙O于点E,连接CE交OB 在半圆上，点P在AB的延长线上，PC与半 于点F,过点B作⊙O的切线交DE的延长 圆相切于点C,与OF的延长线相交于点D, 线于点卫.若8邵-名，PE=1求O0半径 AC与OF相交于点E,DC=DE (1)写出图中一个与∠DEC相等的角 的长. (2)求证：OD⊥AB: (3)若OA=2OE,DF=2,求PB的长. 第 8.(2024遂宁)如图，AB是⊙O的直径，AC是一 条弦，点D是AC的中点，DN⊥AB于点E, 分 6.(2024廿肃)如图，AB是⊙O的直径，BC= 交AC于点F,连接DB交AC于点G. 图 BD,点E在AD的延长线上，且∠ADC= (1)求证：AF=DF: 与 ∠AEB. (2)延长GD至点M,使DM=DG,连接AM. (1)求证：BE是⊙O的切线： ①求证：AM是⊙O的切线； 何 (2)当⊙O的半径为2，BC=3时，求tan∠AEB ②若DG=6,DF=5,求⊙O的半径. 的值 84 指点中考数学