微课(7) 解直角三角形的常见模型-【指点中考】2025年湖北中考数学分层特训

∴.AB=2x≈1201(m). ,∴.AC=CD·tan∠CDA=54×tan6°≈54X 答：“彭城风华”观演场地与“水族展览馆”之 0.1=5.4. 间的距离约是1201m. ,∴.AB=AC+BC=5.4+54≈59. 10.解：(1)GH⊥CE,EF的长为4米， 答：桥塔AB的高度约为59m ∠CFG=60.3°， 微课（七）解直角三角形的常见模型 ∴.tan∠CFE=tan60.3° EF≈1.75， C 1.B2.173.74 4.解：过P作PC⊥AB于C, ∴CE=7米 ∠BFG=45°，.BE=EF=4米， ∴.CB=CE-BE=3(米). (2)过点A作AM⊥GH于点M,如图所示： 在Rt△APC中，∠A=37°，AP=100海里， ,∴.PC=AP·sinA=100×sin37°≈100× G 0.6=60(海里)， ,∠AFG=21.8°， AC=AP·cos37°≈100×0.8=80（海里）. tan∠APG=im2L.8-0040 在Rt△PBC中，：∠B=45°，∴BC=PC= 60(海里)， AM=BE=4米， ∴.AB=AC+BC=80+60=140(海里). 答：B处距离A处有140海里. .MF=10米， 5.解：(1)，斜坡CF的坡比为1：3，DG=30米， ∴.AB=ME=10一4=6（米），.底座的底面 ABCD的面积为3×6=18（平方米）. -3cC=30G=0米 11.解：(1)设CD=x,由DE=36, 在Rt△DCC中，CD=√DG+GC=√W30+90= 得CE=CD+DE=x+36. 30√10（米）. EC LAB,垂足为C .两位市民甲、乙之间的距离CD为30√10米 ∴.∠BCE=∠ACD=90°. (2)过点D作DH⊥AB,垂足为H, 在Rt△BCD中， tan∠CDB CD∠CDB=45, B ∴.BC=CD·tan∠CDB=x·tan45°=x. 在Rt△BCE中， 则DG=BH=30米，DH=BG. 设BC=x米， tan∠CEB CE∠CEB=31°， B 在Rt△ABC中，∠ACB=45°， ∴.BC=CE·tan∠CEB=(x+36)·tan31° .AB=BC·tan45°=x米. .x=(x+36)·tan31°， ∴.AH=AB-BH=(x-30)米. 得x-36X1am≈36X0.6-54. 在Rt△ADH中，∠ADH=30°， 1-tan31°≈1-0.6 am30=船--308 DH+90 3 答：线段CD的长约为54m. (2)在Rt△ACD中， .x=603+90. AC 经检验，x=60√3十90是上述方程的根， ta∠CDA-S,∠CDA=6, ∴，此时飞机的高度AB为(603十90)米， ·59· 6.解：(1)在Rt△ABC中，∠A=45°， 设GF=x,则EF=14.5+x. ∴.∠B=45°，∴.BC=AC=20cm. 在Rt△AFE中， (2)由题可知ON=EC=号AC=10cm, AF=EF·tan37°≈0.75(x+14.5), 在Rt△AFG中，AF=FG·tan45°=x, ∴.NB=ON=10cm. ∴.0.75(x+14.5)=x,∴.x=43.5, 又，∠DON=32°， .AF=43.5, .DN=ON·tan∠DON=l0×tan32°≈ ∴.AB=AF+BF=43.5+1.6≈45. 10×0.62=6.2(cm), 答：乾元塔的高度AB约为45米. .BD=BN-DN=10-6.2=3.8(cm). 9.(1)证明：如图，连接BM. 7.解：(1)如图，过点A'作AB⊥OA,垂足为点B. 地面 设秋千绳索的长度为x尺 则∠AMB=∠APB. 由题可知，OA=OA'=x,AB=4,A'B=10, '∠AMB>∠ADB,∴.∠APB>∠ADB. ..OB=OA-AB=-4. (2)解：在Rt△AHP中，∠APH=60°，PH=6. 在Rt△OAB中， iam∠APH-滑 由勾股定理得A'B2+OB=OA'2, .102+(x-4)2=x2,解得x=14.5. ∴.AH=PH·tan60°=6X√3=63. 答：秋千绳索OA的长度为14.5尺. ∠APB=30°， (2)能.由题可知，∠OPA'=∠OQA”=90°， ∴.∠BPH=∠APH-∠APB=60°-30°=30°. OA'=OA"=OA. 在R1△BHP中，am∠BPH-路， BH=PH.tan30=6×号-2wa ∴.AB=AH-BH=6W3-23=4V3≈4X 1.73≈6.9(m). 在Rt△OA'P中，OP=OA'·cosa=OA·cos&, 答：塑像AB的高约为6.9m. 同理，OQ=OA”·cosB=OA·cosB. 10.解：(1)由题意可得PQ⊥AE,PQ=2.6m, ,OQ-OP=h,∴.OA·cosB-OA·cosa=h. AB=CD=EQ=1.6 m, AE=BQ=4 m,AC=BD=3 m, ∴.OA= h cos B-cos a' ∴.CE=4-3=1(m),PE=2.6-1.6=1m), 8.解：设CE平移后得到DG,延长EG交AB于 ∠CEP=90°，∴.CE=PE, 点F, B=∠PCE=45°， m&-a∠PAEE-是 37 (2):CE=PE=1m,∠CEP=90°， 4E D C ∴.CP=√12+1平=√2(m). 则CE=DG=BF=1.6,EF⊥AB,EG=14.5. 如图，过C作CH⊥AP于H, ·60 (2)BE为AD边上的中线， 户 ∴.S△D 又：5m-7·BDAC-号×12X6=36, iana=tan∠PAE-H- SAED= ×36=18 AH4 19.解：如图所示，设AD与BC交于点E, 设CH=xm,则AH=4xm, +=AC=9,解得=3（负 值舍去)， ∴CH=317 17 m, ,两条侧翼AB,AC的长为60cm,夹角为100°， AD平分∠BAC, 317 .AB=AC=60cm,∠AEB=90°， ∴sin∠APC= CH 17=334 CP 34· BE-CE-7BC, 第四单元综合测试 1.C2.B3.D4.B5.B6.B7.C ∠BAE-∠CAE-2∠BAC-50 8.B9.D10.B11.一3（答案不唯一） 在R△ABE中，”∠BAE-器 12.713号 14.1215.34° ∴.BE=sin50°×AB≈0.77×60=46.2(cm), 16.解：-22+2cos60°+(-3)°-3tan45 ∴.BC=2BE=92.4cm. =-4+2×6+1-3×1 答：B,C两点间的距离为92.4cm. 20.(1)证明：·∠BCE=∠ACD, =-4+1+1-3 ∴.∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE, =-5. ∴.∠ACB=∠DCE. 17.(1)证明：，BE⊥CD,∴.∠BEC=∠AED=90°， ,∠B=∠CED,∴.△ABC∽△DEC. 在R△BCE和R△DAE中，AD=BC, (AE=CE, (2)解：由(1)得，△ABC∽△DEC, S△AC=4 BC\2 9 EC). ∴.Rt△BCE≌Rt△DAE(HL),∴.BE=DE. BC=12,∴.EC=18. (2)解：，Rt△BCE≌Rt△DAE,'.∠B=∠D, 21.解：(1)依题意得AC=200米，AB=600米， ∠BEC=90°，∴.∠B+∠C=90°， BF⊥CD于点F, ..∠D+∠C=90°..∠CFD=180°-∠C ∠D=90°. 18.解：(1)AC⊥BD, 60 ∴.∠ACB=∠ACD=90. 4 在R△ABC中，cOS∠ABC=BS AB' ∴.BF=AC=200米. AB=8=10,AC=√10-8=6. ∠FBD=45°，∴.FD=BF=200米， 4 5 ∴.BD=√2BF≈200×1.414≈283（米）. ·61·微课（七） 解直角三角形的常见模型 处测得瞭望台正对岸A处的俯角为50°，测得 A素养筑基 瞭望台顶端C处的俯角为63.6°，已知瞭望台 1.(2024日照)潮汐塔是万平口区域内的标志性 BC高12米（图中点A,B,C,P在同一平面 建筑，在其塔顶可俯视景区全貌.某数学兴趣 内)，那么大汶河此河段的宽AB约为 小组用无人机测量潮汐塔AB的高度，测量 米（参考数据：m40≈号sm6品.6≈品 方案如图所示：无人机在距水平地面119m 的点M处测得潮汐塔顶端A的俯角为22°， tam50≈g,tam63.6e2）. 再将无人机沿水平方向飞行74m到达点N, 50) 63.6 测得潮汐塔底端B的俯角为45°（点M,N, A,B在同一平面内)，则潮汐塔AB的高度为 (结果精确到1m,参考数据：sin22°≈0.37， cos22°≈0.93，tan22°≈0.40) ( B 4.(2024甘救)如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏 东37°方向，距离灯塔100海里的A处，它沿 正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P 第 777777 的南偏东45°方向上的B处.这时，B处距离 A.41m B.42m A处有多远？（参考数据：sin37°≈0.60， 部 C.48m D.51m cos37°≈0.80，tan37°≈0.75) 分 2.(2024盐城)如图，小明用无人机测量教学楼的 图 高度，将无人机垂直上升到距地面30m的点 P处，测得教学楼底端点A的俯角为37°，再 与几 何 将无人机沿教学楼方向水平飞行26.6m至 点Q处，测得教学楼顶端点B的俯角为45°， 则教学楼AB的高度约为 m(精确到 1m,参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80， tan37°≈0.75). Q 737 45 3.(2024泰安)在综合实践课上，数学兴趣小组用 所学数学知识测量大汶河某河段的宽度，他 们在河岸一侧的瞭望台上放飞一架无人机， 如图，无人机在河上方距水面高60米的点P 分层特训 61 5.如图，市民甲在C处看见飞机A的仰角为 【测量数据】 45°，同时另一市民乙在斜坡CF上的D处看 如图，点A,B,C,D,E,F,O,N,N'在同一平 见飞机A的仰角为30°.若斜坡CF的坡比为 面内，测得AC=20cm,∠A=45°，折射角 1：3,铅垂高度DG=30米（点E,G,C,B在 ∠DON=32 同一水平线上).求： (1)两位市民甲、乙之间的距离CD: 45 (2)此时飞机的高度AB(结果保留根号). 空气 F、D30 人45 【问题解决】 根据以上实验操作和测量的数据，解答下列 问题： (1)求BC的长； (2)求B,D之间的距离（结果精确到0.1cm). (参考数据：sin32°≈0.52，cos32°≈0.84， tan32°≈0.62) 第二部分图形与几何 ⑧素养提升 6. 邀科综合与实践：小星学习解直角三 角形知识后，结合光的折射规律进行了如下 综合性学习， 7. 跨语文学科我国明朝数学家程大位写过一本 2024乐山 【实验操作】 数学著作《直指算法统宗》，其中有一道与荡 第一步：将长方体空水槽放置在水平桌面上， 秋千有关的数学问题是使用《西江月》词牌 一束光线从水槽边沿A处投射到底部B处， 写的： 入射光线与水槽内壁AC的夹角为∠A; 平地秋千未起，踏板一尺离地。 第二步：向水槽注水，水面上升到AC的中点 送行二步与人齐，五尺人高曾记 E处时，停止注水.（直线NN'为法线，AO为 仕女佳人争蹴，终朝笑语欢嬉. 入射光线，OD为折射光线) 良工高士素好奇，算出索长有几？ 62 指点中考数学 词写得很优美，翻译成现代汉语的大意是：有 8.(2024临夏)乾元塔（图1）位于临夏州临夏市的 一架秋千，当它静止时，踏板离地1尺，将它 北山公园内，共九级，为砼框架式结构，造型 往前推进10尺（⑤尺为一步），秋千的踏板就 独特别致，远可跳太子山露骨风月，近可收临 和某人一样高，这个人的身高为5尺.（假设 夏市城建全貌，巍巍峨峨，傲立苍穹.某校数 秋千的绳索拉的很直) 学兴趣小组在学习了“解直角三角形”之后， 开展了测量乾元塔高度AB的实践活动.A 为乾元塔的顶端，AB⊥BC,点C,D在点B 的正东方向，在C点用高度为1.6米的测角 10 仪（即CE=1.6米）测得A点仰角为37°，向 地面 图1 西平移14.5米至点D,测得A点仰角为45°， 0 请根据测量数据，求乾元塔的高度AB.(结果 保留整数，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈ 0.80,tan370.75) 地而 图2 (1)如图1，请你根据词意计算秋千绳索OA 的长度； (2)如图2，将秋千从与竖直方向夹角为α的 图2 位置OA'释放，秋千摆动到另一侧与竖直方 向夹角为3的地方OA”,两次位置的高度差 PQ=h.根据上述条件能否求出秋千绳索OA 的长度？如果能，请用含a,3和h的式子表 第二部分图形与几何 示；如果不能，请说明理由 分层特训 63 10.(2024河北)中国的探月工程激发了同学们对 ©拓展创新 太空的兴趣.某晚，淇淇在家透过窗户的最 9.(2024河南)如图1，塑像AB在底座BC上，点 高点P恰好看到一颗星星，此时淇淇距窗户 D是人眼所在的位置.当点B高于人的水平 的水平距离BQ=4m,仰角为a:淇淇向前 视线DE时，由远及近看塑像，会在某处感觉 走了3m后到达点D,透过点P恰好看到月 看到的塑像最大，此时视角最大.数学家研究 亮，仰角为B,如图是示意图.已知，淇淇的眼 发现：当经过A,B两点的圆与水平视线DE 睛与水平地面BQ的距离AB=CD=1.6m, 相切时（如图2），在切点P处感觉看到的塑 点P到BQ的距离PQ=2.6m,AC的延长 像最大，此时∠APB为最大视角 线交PQ于点E.(注：图中所有点均在同一 平面) 视角 伊窗户 -10---- E D O (1)请仅就图2的情形证明∠APB>∠ADB; (l)求3的大小及tana的值； (2)经测量，最大视角∠APB为30°，在点P 第 (2)求CP的长及sin∠APC的值， 处看塑像顶部点A的仰角∠APE为60°，点 二部 P到塑像的水平距离PH为6m.求塑像AB的 高.（结果精确到0.1m,参考数据3≈1.73） 图形与几何 64 指，点中考数学