微课(5) 中点问题中的常见模型-【指点中考】2025年湖北中考数学分层特训

易证△ADG≌△FDH,得AD=DF, ∠GAD=∠DFB=80. 可得∠FDC=∠C=40°， ∠BDF=∠DFB=80°， ∴DF=FC,BD=BF, ∴.BC=BF+FC=AD+BD. ,EF⊥AB,AC⊥AB, ∴.ME∥AC,∴.∠CGE=∠ACG ,CH是∠ACE的平分线， ∴.∠ACG=∠ECG,∴.∠CGE=∠ECG, H下 ∴.EG=EC.,'△CBD≌△CEF, 方法三：在BC上截取BM=BA,BN=BD, .BD=EF,CB=CE, 连接DM,DN.解法略. .EG=CB.又.BC=AB+BD, ∴.EG=AB+BD=AC+EF, 即FG+EF=AC+EF,∴.AC=FG B 又AC∥FG,则∠HAC=∠HFG, M N 方法四：在BA延长线上取点H和点E,使 ∴.△AHC≌△FHG(ASA),∴.AH=FH. BH=BC,BE=BD,连接DE,DH.解法略. 微课（五）中点问题中的常见模型 1.B2.A3.C4B5.66.227.6y3 5 9.2 10.A 11.(1)证明：连接CD, 10.(1)解：，∠A=90°，AB=AC, ∴.BC=√2AB,BC=AB+BD, ∴.2AB=AB+BD. 即（√2-1）AB=BD. D A (2)证明：如图所示， 由题意得BC=BD,∠CBD=180°-2a, ∴.∠BDC=∠BCD, .∠BDC+∠BCD+∠CBD=180°， ÷∠BDC=180°-0,80-2a）=a, P ∠A=90°，AB=AC,∠ABC=45° .∠BDC=∠A,∴.CA=CD ,BD⊥AB,.∠DBC=45 .DE⊥AN,∴.∠1+∠A=∠2+∠BDC=90, ,CE=BC,∠1=∠2，CF=DC, .∠1=∠2，.CD=CE, ∴.△CBD≌△CEF,∴.∠E=∠DBC=45°， ∴.CA=CE,∴点C是AE的中点. ∴.EF∥BD,.EF⊥AB. (2)解：EF=2AC.证明如下：在射线AM上 (3)证明：如图所示，延长BA,EF交于点M, 取点H,使得BH=BA,取EF的中点G,连 延长CH交ME于点G, 接DG,DH. ·56 ∴.∠ADB=∠AED. ∠FEC=∠AED,∴.∠ADO=∠FEC, 在矩形ABCD中，OA=OD=2BD, BH=BA,∠BAH=∠BHA=a, :EF=-CF=号BD, ∴.∠ABH=180°-2a=∠CBD, ∴.OA=OD=EF=CF, ∴.∠ABC=∠HBD. ∴.∠ADO=∠OAD,∠FEC=∠FCE. 又，BC=BD,.△ABC≌△HBD. ,∠ADO=∠FEC, ∴.AC=DH,∠BHD=∠A=a, ∴.∠ADO=∠OAD=∠FEC=∠FCE, ∴.∠FHD=∠BHA+∠BHD=2a. ∠ODA=∠FEC ,DF∥AN,.∠EFD=∠A=a, 在△ODA和△FEC中，∠OAD=∠FCE, ∠EDF=∠3=90°. OD=FE, G是EF的中点，'.GF=GD,EF=2GD, ∴.△ODA≌△FEC(AAS),∴.CE=AD ∴.∠GFD=∠GDF=a,∴∠HGD=2a, 10.(1)证明：·AB=AC,∠B=∠C, ∴∠HGD=∠FHD,.DG=DH. ,DE⊥BC,.∠BEF=∠CED=90°， ,AC=DH,∴，DG=AC,.EF=2AC. ∴.∠F=90°-∠B,∠CDE=90°-∠C,且 第18讲相似三角形 ∠CDE=∠ADF, ∴∠F=∠ADF,∴.AD=AF. 1.D2D3B41:25号 2解：⑩当识言时8-号： 6.g 7.①③⑤ &网 当0-时- 9.证明：(1)在矩形ABCD中，∠BAD=90°， ∠ADE=90°，AB=DC. 总结规律得距是提的2倍。 ∠ABD+∠ADB=90°..AE⊥BD, ∴.∠DAE+∠ADB=90°， 当提-时8-- ∴.∠ABD=∠DAE. :∠BAD=∠ADE=90°， ②当把-时，特想-， .△ADE∽△BAD, 证明：作AG⊥EF于点G, 器5即AD=DE·BA 'AB=DC,∴.AD'=DE·DC (2)连接AC交BD于点O,如图所示： DE⊥BC,.AG∥CE, .△AGDp△CED, .AD_m·GD_AD_m ·DC=nDE=DCn 由(1)知AD=AF,又AG⊥EF, 在矩形ABCD中，∠ADE=90°， ∴.DG=FG,即DF=2DG, 则∠DAE+∠AED=90° ,AE⊥BD,∴.∠DAE+∠ADB=90°， 號混0 n ·57·微课（五） 中点问题中的常见模型 5.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AC=6,点 ④素养筑基 D是BC的中点，点E在AB边上.若∠DEB= L.如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分 30°，则DE的长为 线，BD=5,则CD= A.10 B.5 C.4 D.3 ⑧素养提升 2.如图，在△ABC中，∠A=90°，D是AB的中 6.如图，△ABC中，AB=AC=4,以AC为斜边 点，过点D作BC的平行线交AC于点E,作 作Rt△ADC,使∠ADC=90°，∠CAD= BC的垂线交BC于点F.若AB=CE,且 ∠CAB=30°，E,F分别是BC,AC的中点，则 △DFE的面积为1，则BC的长为() ED- 第 A.2、5 B.5 C.4、5 D.10 分 3.如图，在△ABC中，∠B=50°，CD⊥AB于点 图 7.如图，△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D, D,∠BCD和∠BDC的角平分线相交于点 作DE⊥AC于点E,F是AB的中点，连接EF 几 E,F为边AC的中点，CD=CF,则∠ACD+ 交AD于点P.若AB=4,AE=3,则AP= 何 ∠CED= A.125 B.145 C.175 D.190 8.如图，在R1△ABC中，∠ACB=90°，BC=3, 4.如图，在△ABC中，∠C=30°，点 AC=4,AB的中垂线交BC的延长线于点 D是AC的中点，DE⊥AC交BC E,那么CE的长为 于E.点O在DE上，OA=OB, OD=1,OE=2,则BE的长为 A.3 B.4 C.5 D.6 分层特训 53 9.如图，在△ABC中，AB=AC,∠A=120°，BC= (2)如图2，当点D在∠MAN内部时，作 6cm,AB的垂直平分线交BC于点M,交AB DF∥AN,交射线AM于点F,用等式表示 于点E,AC的垂直平分线交BC于点V,交 线段EF与AC的数量关系，并证明. AC于点F,则MN的长为 cm. 倒2 ⊙拓展创新 10.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC 5,点D在AC上，且AD=2,点E是AB上 的动点，连接DE,点F,G分别是BC和DE 的中点，连接AG,FG.当AG=FG时，线段 第 DE的长为 部 分 形 A.13 B5 2 何 吗 D.4 11.(2024北京)已知∠MAN=a(0°<a<45),点 B,C分别在射线AN,AM上，将线段BC绕 点B顺时针旋转180°一2a得到线段BD,过 点D作AN的垂线交射线AM于点E. (1)如图1，当点D在射线AN上时，求证：C 是AE的中点： D 阁1 54 指，点中考数学