第17讲 等腰三角形和直角三角形-【指点中考】2025年湖北中考数学分层特训

即AE=CF,在△ADE和△CDF中， 由△PDE≌△CDF知，EP=CF=x, AD=DC. ..DE=GC=GF+FC=3+x cm, ∠DAE=∠DCF, 在Rt△PED中，PE+PD=DE, AE-CF. 即2+4=(3十，解得名， ∴.△ADE≌△CDF(SAS). (2)如图，连接BD交AC于点O,由菱形的性 -G+C-名+3+-9m. 质可知AC⊥BD,∠ADO=∠CDO, 碧 10.解：(1)SSS (2).OM=ON,CM=CN.OC=OC, ∴.△OCM≌△OCN(SSS), ∴.∠DOM=∠DON=90° ∴·∠AOC=∠BOC, 由(1)知△ADE≌△CDF, ∴.OC是∠AOB的平分线 ∴.∠ADE=∠CDF,DE=DF, (3)如图. ∴∠ADO-∠ADE=∠CDO-∠CDF, ∴.∠MDO=∠NDO, ∠MDO=∠NDO, 在△MDO和△NDO中，{DO=DO, ∠DOM=∠DON, 第17讲等腰三角形和直角三角形 ∴.△MDO≌△NDO(ASA). 1.D2.B3.B4.B5.B6.4 ∴.DM=DN,,∴.DE-DM=DF-DN. 7.3-√3 ∴.ME=NF 8.解：(1)当∠A为顶角时，∠B=50°， 8.(1)证明：，四边形ABCD是矩形， 当∠A为底角时，若∠B为顶角，则∠B=20°， .AB=CD,∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°， 若∠A为底角且∠B为底角，则∠B=80°， 由折叠知，AB=PD,∠A=∠P, .∠B=50或20或80°. ∠B=∠PDF=90°，∴.PD=CD, (2)分两种情况： ∠P=∠C,∠PDF=∠ADC, ①当90≤x<180时，∠A只能为顶角， ∴.∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF, ∴∠B的度数只有一个 .∠PDE=∠CDF,在△PDE和△CDF中， ②当0<x<90时，若∠A为顶角， ∠P=∠C, 则∠B=180-x)° PD-CD. ∴.△PDE≌△CDF(ASA). 2 ∠PDE=∠CDF, 若∠A为底角，则∠B=x°或∠B=(180 (2)解：如图，过点E作EG⊥BC于点G, 2八，当1802≠180-2x且1802≠x且 180一2x≠x,即x≠60时，∠B有三个不同的 度数. 综上，当0<x<90且x≠60时，∠B有三个 B 不同的度数。 ,四边形ABCD是矩形， 9.解：图②的结论是BP+NC+BM·NC= .'.AB=CD=EG=4 cm. MN. 又.'EF=5cm,∴.GF=√/EF-EG=3(cm). 证明：，AB=AC,∠BAC=60°， 设AE=xcm,∴.EP=xcm, ∴.△ABC是等边三角形， ·54 ∠ABC=∠ACB=60°， 又，∠CAN+∠BAM=60°， 以点B为顶点在△ABC外作∠ABK=60°， ∴.∠BAM+∠QAB=60°， 在BK上截取BQ=CN,连接QA,QM, 即∠QAM=∠MAN 过点Q作QH⊥BC,交BC的反向延长线于 又.'AM=AM,.∴.△AQM≌△ANM, 点H, ..QM-MN. 在Rt△BQH中， ∠QBH=60°，∠BQH=30°， Q HB M N ∴BH=号BQ,QH-Y9BQ. 'AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ, ∴.△ACN≌△ABQ,∴.AN=AQ, HM-BM-BH-BM-7BQ. ∠CAN=∠QAB. 在Rt△QHM中，可得Q+HM=Qf, 又.∠CAN+∠BAM=30°， (BQ)+(BM-7BQ)'-QVF. ∴.∠BAM+∠QAB=30°， 即∠QAM=∠MAN. 整理得BMP+BQ-BM·BQ=Qf, 又.'AM=AM, ∴.BP+NC-BM·NC=MNP. ∴.△AQM≌△ANM,∴.MN=QM. 微课（四）角平分线的常见模型 :∠ABQ=60°，∠ABC=60°， 1.D2.C3.A4.110 ∴∠QBH=60°，∴.∠BQH=30°， 526A7.8 8.2√5+4 BH=号B0.QH-9BQ. 9.证明：方法一：在BC上截取BF=BA,连接 ∴.HM=BM+BH=BM+,BQ. DF,在BD的延长线上截取DE=DA,连接 CE.:AB=AC,∠A=100°， 在Rt△QHM中，QH+HP=QM, ∴.∠ABC=∠ACB=40°. 即(SEQ)+(BM+2BQ)°=QM, :BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD=20°， 易证△ABD≌△FBD,得AD=DF, 整理得BMP+BQ+BM·BQ=QF, ∠A=∠BFD=100°，.∠DFC=80°， ∴.BF+NC+BM·NC=MN. 图③的结论是：BMr+NC-BM·NC= MN. 证明：以点B为顶点在△ABC外作∠ABK= 30°，在BK上截取BQ=CV,连接QA,QM,过 点Q作QH⊥BC,垂足为H, ∴.∠FDC=60°， ∴.∠ADB=∠EDC=∠FDC=60. 又DF=DE=AD,易证△DFC≌△DEC, ∴.CE=CF,∠DFC=∠E=80°， ∠BCE=2∠ACB=80°，所以BC=BE, ∴.BC=BE=DE+BD=AD+BD ,'AB=AC,∠C=∠ABQ,CN=BQ, 方法二：过点D作DG⊥BA交BA的延长线 .△ACN≌△ABQ, 于点G,作DH⊥BC于点H, ∴.AN=AQ,∠CAN=∠QAB. 在HC上截取HF=GA, ·55·第17讲 等腰三角形和直角三角形 A.10-② B6-2 素养筑基 C.2/2-2 D.2v2-6 1.如图,直线n/n.△ABC是等边三角形,顶 5.(2024牲升江)小明同学手中有一张矩形纸片 点B在直线n上,直线m交AB于点E,交 ABCD,AD=12 cm,CD=10 cm,他进行了 AC于点F,若 /2-100{,则 1的度数是 如下操作: ( ) 第一步,如图1,将矩形纸片对折,使AD与 A.80。 B.100d C.120* D. 140* BC重合,得到折痕MN,将纸片展平, 第二步,如图2,再一次折叠纸片,把△ADN 沿AN折叠得到\ADN,AD交折痕MN ( 于点E,则线段EN的长为 第1题图 第2题图 2.四边形ABCD的边长如图所示,对角线AC 的长度随四边形形状的改变而变化,当 图1 图2 169 AABC为等腰三角形时,对角线AC的长为 A.8cm B. 24 cm ( ) C67. A.2 B.3 C.4 D.5 cm D. 8)cm 3.(2024呼伦贝尔)如图,在△ABC中,C 90{}, B-30{*},以点A为圆心,适当长为半径 素养提升 画孤分别交AB,AC于点M和点N,再分别 6.(2024浙江)如图,D,E分别是△ABC边AB. 以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画 AC的中点,连接BE,DE.若 AED= BEC 狐,两孤交于点P,连接AP并延长交BC于 DE-2,则BE的长为 点D.若△ACD的面积为8,则△ABD的面 ( 积是 ) 7.如图,△ABC是边长为6的等边三角形,点D E在边BC上,若 DAE=30{*},tan EAC A.8 C.12 B.16 D.24 4.(2024安微)如图,在Rt△ABC中,AC=BC 2.点D在AB的延长线上,且CD一AB,则 BD的长是 ( ) 分层特训 49 8.数学课上,张老师举了下面的例题 [例1]等腰三角形ABC中, A-110^{},求 B的度数. [例2]等腰三角形ABC中,A-40{},求 B 图① 图② 的度数. 张老师启发同学们进行变式,小敏编了如下 一题: [变式]等腰三角形ABC中,A一80*,求 图③ /B的度数. (1)如图①,当 BAC一90*时,探究如下:由 (1)请你解答以上的变式题 /BAC-90*,AB-AC可知,将ACN绕点 (2)解(1)后,小敏发现,A的度数不同,得 A顺时针旋转90{*},得到△ABP,则CN=BF 到 B的度数的个数也可能不同,如果在等 且 PBM-90{*,连接PM,易证△AMP 腰三角形ABC中,设/A一x*,当 /B有三个 △AMN,可得MP=MN,在Rt△PBM中. 不同的度数时,请你探索x的取值范围 $M$+BP*}-MP*,则有BM+NC{-MN}; (2)当 /BAC=60*时,如图②,当/BAC 120*时,如图③,分别写出线段BM.NC,MN 1-写宫 之间的数量关系,并选择图②或图③进行 证明. 拓展创新 9.(2024大兴安冷)已知△ABC是等腰三角形 AB-AC,MAN- BAC的内部,点M,N在BC上,点M在点 N的左侧,探究线段BM,NC,MN之间的数 量关系. 50 指点中考数学