第六章 计数原理期末学案-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第六章 计数原理

一、学习目标整合

二、思维导图回顾知识

三、单元重难知识易混易错

重难知识：

1.排列与排列数

（1）排列：从n个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n个

不同元素中取出m个元素的一个排列.

（2）排列数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，记作.

2.组合与组合数 

（1）组合：从n个不同元素中取出个元素组成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

（2）组合数：从n个不同元素中取出个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，记作.

3.二项式定理

公式叫做二项式定理.公式中右边的多项式叫做的二项展开式，其中各项的系数叫做二项式系数，式中的叫做二项展开式的通项，用表示，即通项为展开式的第项.

4.二项展开式形式上的特点

（1）项数为.

（2）各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n.

（3）字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到0，字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n.

（4）二项式系数为.

6.二项式系数的性质

（1）对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等，即.

（2）增减性与最大值：对于二项式系数，当时，二项式系数是递增的；当时，二项式系数是递减的.当n是偶数时，二项展开式的中间一项（第项）的二项式系数最大，即最大的二项式系数为.当n是奇数时，二项展开式的中间两项（第项和第项）的二项式系数相等且最大，即最大的二项式系数为和.

（3）二项式系数的和：的展开式的各个二项式系数的和等于，即

.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即.

典型例题

1.两家夫妇各带一个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园，为安全起见，首尾一定要排两位爸爸，另外两个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序排法种数为(   )

A.48种 B.36种 C.24种 D.12种

2.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体验，每校分配1名医生和2名护士。不同的分配方法共有________种(   )

A.90 B.180 C.270 D.540

3.二项式的展开式中的系数为(   )

A. B. C.40 D.80

4.某商场举办购物抽奖活动，其中将抽到的各位数字之和为8的四位数称为“幸运数”（如2024是“幸运数”），并获得一定的奖品，则首位数字为2的“幸运数”共有(   )

A.32个 B.28个 C.27个 D.24个

5.已知袋中装有红色、黄色、绿色的小球各5个，小球除了颜色外完全相同，现从中随机取出5个小球，则不同的取法种数为(   )

A.15 B.19 C.21 D.23

6.某电视台连续播放7个不同的广告，其中4个不同的商业广告和3个不同的公益广告，要求所有的公益广告必须连续播放，则不同的播放方式的种数为________________.

答案以及解析

1.答案：C

解析：(捆绑法)爸爸排法 种，两个小孩排在一起看成一体，有种排法，妈妈和孩子共有种排法，排法种数共有 (种)方法.故选：C.

2.答案：D

解析：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有： 种.故选：D.