河南省新乡市第一中学2024-2025学年高一下学期期中考试数学试卷

新乡市一中2024~2025学年下期高一期中考试 数 学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟。 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑：非选择题请用直径0.5老米黑色是水签字笔在答题卡上各题的答 题区城内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效。 3.本卷命题范围：人教A版必修第三册第六幸~第八章。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知复数x满足(1十)=|1一i川，i为虚数单位，则x= A.i a竖- c+2 n竖+ 2.已知向量a=(1,2),b=(1,一1)，c=(4,5).若a与b十c平行，则实数入的值为 A员 B-品 C.1 D.-1 3.下列说法正确的是 A各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体 B.球的直径是连接球面上两点并且经过球心的线段 C,以直角三角形的一边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥 D.用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台 4.已知m,n为不同的直线，a,B为不同的平面，下列命题为假命题的是 Am⊥a,m⊥=a∥p B.m⊥a,mC→a⊥β C.m∥n,nCa→m∥a D.m⊥a,n⊥a→m∥n 5.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形A'B'C'D',已知A'B'=4,CD'=2, 则下列说法正确的是 A.AB=2 B.A'D'=2② O(A) C.四边形ABCD的周长为4+2√2+2√3 D.四边形ABCD的面积为6√2 6.已知向量a在向量b上的投影向量为2b,且la=b1=1,则a一bl(∈R)的值为 C.1 D.5 【高一期中考试·数学卷第1页（共4页）】 5408A 7.圆柱的底面周长为6cm,AC是底面圆的直径，高BC=6cm,点P是母线BC上一点，且 PC=号BC一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱体的表面爬行到点P的最短距离是 A.7 cm B.35 cm C.5 cm D.(4+5)cm 8.克罗狄斯·托勒密是希腊数学家，他博学多才，既是天文学权威，也是地理学大师，托勒密定 理是平面几何中非常著名的定理，它揭示了圆内接四边形的对角线与边长的内在联系，该定 理的内容为圆的内接四边形中，两对角线长的乘积等于两组对边长乘积之和.已知四边形 ABCD是圆O的内接四边形，且AC=√3BD,∠ADC=2∠BAD.若AB·CD+BC·AD= 4√3，则圆O的半径为 A.4 B.2 C.3 D.23 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9下面是关于复数：=一子为虚数单位)的命题，其中真命题为 A之在复平面内对应的点位于第四象限 B.若复数1=1+i,则|z一1=2√2 C.z的共轭复数为1十i D.z的虚部为一1 10.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,则如下判断正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若sin2A=sin2B,则△ABC为等腰三角形或直角三角形 C.若sin2A十sinB>sinC,则△ABC是锐角三角形 D.若a=10,b=9,B=60°，则符合条件的△ABC有两个 11.如图，正方体ABCD一A1B1CD1的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段CC,上的动点，过 点A,P,Q的平面截该正方体所得截面记为S,则下列命题正确的是 A直线AP与直线C,D所成角的正切值为2 B当CQ=时，S为等腰梯形 C当CQ=时，S与CD,交于点R,则CR=号 D.当<CQ<1时，S为四边形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.复数x=5(1十i)一a为纯虚数，则实数a的值为 13.已知平行四边形ABCD中，AB=4,AD=2,AB·AD=4,点P在线段CD上（不包含端 点)，则PA·PB的取值范围是 1M.在三校锥P-ABC中，AB=2,AC⊥BC,若该三棱锥的体积为号，则其外接球表面积的最 小值为 【高一期中考试·数学卷第2页（共4页）】 5408A 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.(本小题满分13分) 已知平面向量a=(1,2),b=(-3,-2). (1)若c⊥(2a+b),且Icl=5,求c的坐标； (2)若a与a十b的夹角为锐角，求实数入的取值范围， 16.(本小题满分15分) 如图所示，正四棱台ABCD-AB1C,D,两底面的边长分别为4和8. (1)若其侧棱所在直线与上、下底面中心连线的夹角为30°，求该四棱台的表面积： (2)若其侧面积等于两底面面积之和，求该四棱台的体积. 17.(本小题满分15分) 如图所示，四棱锥P-ABCD的底面ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°，E是CD的 中点，PA⊥底面ABCD,PA=2 (1)证明：平面PBE⊥平面PAB; (2)求点D到平面PBE的距离， 【高一期中考试·数学卷第3页（共4页）】 5408A 18.(本小题满分17分) 在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,bc,且a,bc满足+c=血A+m, ac sin C sin Avc=12. (1)求B; (2)若D为线段BC上一点，且满足AD=BD,AC=√I89,求CD的长： (3)若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的范围. 19.(本小题满分17分) 如图，在直三棱柱ABC-A,B,C中，侧棱BB,=1,∠ABC=牙，且M,N分别为BB1,AC 的中点。 (1)证明：MN∥平面ABC: (2)若BA=BC=2. (i)求BN和NC的长； (ii)求二面角A一BC一B的大小. 【高一期中考试·数学卷第4页（共4页）】 5408A新乡市一中2024~2025学年下期高一期中考试·数学 参考答案、提示及评分细则 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 题号 1 3 5 7 8 答案 B D B C D A C B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求。全部选对的 得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 题号 9 10 11 答案 BD ABD ABC 1.B 由题意可知：1-=个中（一可-区由1+0=1-=反，可得：-温92）-号 故选B 2.D因为b=(1,-1),c=(4,5),所以b+c=(1,-1)+(4,5)=(4以+1,5x-1), 又a1,2且a与b+c平行，所以餐号-弓，解得X=-1.故选D 3.B对于A,虽然各侧面都是正方形，但底面不一定是正方形，所以该四棱柱不一定是正方体，故A错误： 对于B,球的直径的定义即为“连接球面上两点并且经过球心的线段”，故B正确： 对于C,以直角三角形的直角边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥，以直角三角形的斜边所在直线 为轴旋转一周所得的旋转体是两个共底面的圆锥组成的几何体，故C错误： 对于D,用一个平行于底面的平面截圆锥，得到一个圆锥和圆台，故D错误.故选B 4.C 5.D如图1，过D作D'E⊥OB',由等腰梯形A'B'C'D可得：△A'D'E是等腰直角三角形，即A'D'=√2A'E =立×(4-2)×，2=2，故B错误：还原平面图如图2，则AB=4=2CD,AD=2,2,故A错误：过C作CF⊥ AB,由勾股定理得CB=23,故四边形ABCD的周长为：4十2十22+23=6十2V2十2√3，故C错误：四边 形ABCD的面积为：号×(4+2)X22=6V②，故D正确.故选D D (XA) C 图1 图2 图2 第5题图 第7题图 2 6A由题意可得6·合=专6，又a=b1=1,放a·b=合，则1a-专b1=a一2b) √a-a6+-√-名+子-号故选A 7.C 侧面展开图如图所示：圆柱的底面周长为6mAC-3m:PC-号BC.∴PC=号×6=4om 在Rt△ACP中，AP=AC+CP=√3+4=5.故选C 8.B由托勒密定理，得AC·BD=AB·CD+BC·AD=4V3. 因为AC-BBD,所以BD-2设圆O的半径为R,由正弦定理，得m2%Cm即D2R又AC BD V3BD,所以sin∠ADC-√3sin∠BAD 【高一期中考试·数学卷参考答案第1页（共5页）】 5408A 因为∠ADC=2∠BAD,所以2sin∠BADcos∠BAD=√3sin∠BAD. 因为0K∠BADK,所以sin∠BAD>0,所以os∠BAD=Y号 所以sin∠B4D=个-BAD--2则2R=m2D,故R=2 BD 2 2(-1-i) .D1-1+-22-1 2 x在复平面内对应的点为（一1，一1），位于第三象限，A错误： 因为=1十i,所以一刘=（一1一i)-(1+i)=一2-2i,所以这一=2v2,B正确： x的共轭复数为一1+i,C错误： g=一1一i的虚部为一1，D正确.故选BD. 10.ABD对于A:由A>B,则当A∈(0，乏]时，sinA>sinB,当A∈（交，x时，由A+B<元可知B<x-A< 交，所以sinB<sin(x-A)=sinA,A正确： 对于B:由sin2A=sin2B,A∈(0，π)，B∈(0，π)，A+B∈(0，x)得：2A=2B或2A+2B=π， 即A=B或A十B=乏，所以△ABC为等腰三角形或直角三角形，B正确： 对于C:由正弦定理可将sinA十sinB>sinC转化为a2十>c2, 则cosC-+兰>0，所以C<受，但无法判断A,B的范围.C错误， 2ab 对于D,由a=10.6=9,B=60.根据正弦定理品品B得：mA=B-5>号∴吾<A<彩 9 x一B,且A≠受，所以满足条件的三角形有两个，D正确：故选ABD, .AC由AB/CD/GD知直线AP与直线CD所成角为∠BAP,则am∠BAP-器-号，放A正确， 如图L,当C专时，即Q为CC中点，此时可得PQ/AD,AP=QD-√P+(安产-号，故可得截面 APQD,为等腰梯形，故B正确： 当CQ子时，如图2，延长DD至N,使DN=号，连接AN交AD于E,连接NQ交CD于R,连接 FR,可证AN∥PQ,由△NRD∽△QR,C,可得CR:DR=CQ:DN=1:2,故可得CR=3,故 C正确： 由C可知当<CQ<1时，只需点Q上移即可，此时的截面形状仍然如图3所示的APQR,M,显然为五边 形，故D错误.故选ABC D D 图1 图2 图3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.一1由题可得，=一1一a十i为纯虚数，则a=一1. 13.[-1,8)AB=4.AD=2,AB.AD=4,.ABAD1cosA=4. 即cOsA=号，即A=号，以A为原点，以AB所在的直线为x轴，以AB的垂线为y轴，建立如图所示的坐 标系，.A(0,0),B(4,0),D(1W3),C(5,√3)， 设P(x3)(1<x<5),∴PA=(-x,-3),PB=(4-x,-3) .PA·PB=x(x-4)+3=x-4x+3=(x-2)2-1, 【高一期中考试·数学卷参考答案第2页（共5页）】 5408A 设f(x)=(x一2)2一1，∴.f(.x)在(1,2)上单湖递减，在[2,5)上单 调递增， ∴.f(x)mm=f(2)=-1,f(x)<f(5)=8,则PA·PB的取值范围 是[-1,8). 14.25rAB=2,AC1BC,故底面三角形外接圆半径为r=1, 4 5ar=号CA,CB≤(CN+CB)=1.CACB≤2. 当CA=CB=√2时等号成立， 由V=号Sm·h=号×CA.CB.=号 4 h=cA·CB≥2， 当P离平面ABC最远时，外接球表面积最小，此时，P在平面ABC的投影为AB中点O, 设球心为O,半径为R,则O在PO上，R=(h-R)+1,化简得到R=女+ 221 注意到函数y一受十在[2，十∞)上单调递增，故R=号，所以S=4R-空 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤。 15.解：(1)由a=(1.2),b=(-3,-2), 所以2a十b=(2,4)十（一3，一2）=（一1,2），… …1分 设c=(x,y), 因为c⊥(2a十b), 所以C·(2a十b)=一x十2y=0,…2分 因为c=5,所以√x+y=√5， …3分 解得二子或子 y=1' 5分 所以C的坐标为（一2，一1）或(2,1)，…6分 (2)由a=(1,2),b=(-3,-2), 所以0十b=(1,2)十（一3队，一2以）=(1一3以，2-2以)，…7分 因为a与a十b的夹角为锐角， 所以a·(a十汕)>0且a与a十h不同向，…9分 11-3λ+2(2-2λ)>0 |2(1-3A)≠2-21 …1分 解得号且X0、…12分 的取值范围为(-00,0)U(0,号.… 16.解：(1)如图，连接AC,BD,AC,BD,设AC与BD交于点O,AC与BD,交于点O,过点C作CE⊥ AC交AC于点E,过，点E作EF⊥BC交BC于点F,连接CF,…2分 由题意知∠C1CO=60°，CE=C0-E0=CO-CO=4V2-2√2=22.在 0 Rt△CCE中，CE=V3CE=2W6,又EF=CE·sin45°=2，∴.CF= √C,E+EF=√24十4=2W7, 444…t44444…4…5分 则S=4×号×(4+8)×2厅=487，故该四棱台的表面积S=4+8+ 487=80十487.…8分 (2)设该正四棱台的斜高为，：S=4华+8=80.∴S=4×号×4十8)× 广=80，解得'=1 3 …10分 又EF=2该正四棱台的高=√号)一-2=号 44412分 故该四棱台的体积V=号×号×(16+64+V6X0)-8g, 9 …15分 17.(1)证明：连接BD,由四边形ABCD是边长为1的菱形，∠BCD=60°， 可知△BCD是正三角形.因为E是CD的中点，所以BE⊥CD, 又AB∥CD,所以ABLBE.…3分 因为PA⊥底面ABCD,BEC平面ABCD,所以PA⊥BE. 【高一期中考试·数学卷参考答案第3页（共5页）】 5408A 又ABC平面PAB,PAC平面PAB,AB∩PA=A,所以BE⊥平面PAB,…5分 又BEC平面PBE,所以平面PBE⊥平面PAB.…6分 (2)解：因为PA⊥底面ABCD,ABC平面ABCD,所以PA⊥AB. 又PA=2,AB=1,所以PB=5. 因为正三角形BCD中，BC=1,E是CD的中点，所以BE马】 2 因为BE⊥平面PAB,PBC平面PAB,所以BE⊥PB. 所以5m=号PB·E=专×，5×号-厘 4· *……12分 因为VD-E=Vp-E,PA⊥底面ABCD, 设点D到平面PBE的距离为d,所以SaE·d=5aaE·PA 而S△E= DEBE=×号×- 28 所以d=SmE·P48X2 S△E …15分 15 ,即点D到平面PBE的距离为 5 4 18.解：由题可得+ac=4+二=a2+2一a, …2分 ac sB=t立=合B=景 2ac …4分 (2)D为线段EBC上一点，且满足AD=BD,B=号， “△ABD为等边三角形，∠ADC= 3 …5分 设CD=r,在△ADC中，AC=AD+CD-2AD·CDeos∠ADC, 即189=2+12-2x·12×(-号）： …7分 整理得：.x2+12x一45=0，解得x=3或x=-1(舍)，即CD=3. …9分 ③)在△ABC中，AB=2由正孩定理品-得。 BC=12sin A 12sm(g-d12(停sc+smC sin C sin C sin C =12(+ tan C …1分 于是得S=宁·BA,C·血B=6,(侵+受·过) …12分 因为△ABC是锐角三角形，则0<C<受，且0<答-C<吾， 于是有<0<号：则m心0c<,号+受 2 tan C<2, …15分 从而得183<SA<723, 所以△ABC面积的取值范围是(183,723).…17分 19.(1)证明：如图，取CC的中点为H,连接MH,NH. B ,M为BB,的中点，且侧面BCCB,为矩形， ∴.MH∥B,C. :BCC平面ABC,MH中平面ABC, ∴.MH∥平面ABC. 3分 又，N为AC的中点， ∴.NH是△ACC的中位线 .NH∥AC. ,AC,C平面AB,C,NH过平面AB,C· NH∥平面ABC,… …6分 ,MH∩NH=H,且MH,VHC平面MNH. .平面MNH∥平面ABC. .MNC平面MNH, ,MN∥平面ABC.… …8分 【高一期中考试·数学卷参考答案第4页（共5页）】 5408A (2)解：AB=BC=2,且∠ABC=。 ∴∠ACB=∠BAC=A,且BN⊥AC 故BN=号BC=1,AN=NC=5.…10分 (i)如图，过点N作NE⊥BC于E,过E作EF⊥MH于点F,连接FN, 由(I)知平面MNH∥平面AB,C, .二面角A一BC一B的大小即为二面角N一MH一B的大小 :在直三棱柱ABC一ABC中，侧面BCCB⊥底面ABC,且侧面BCCB∩底面ABC=BC, 又NEC平面ABC,且NEBC .VEL平面BCCB. ,MHC平面BCCB,EFC平面BCCB, ..NEI MH.NE LEF. 又，MH⊥EF,且EF∩NE=E,EF,NEC平面NEF, B .MH⊥平面NEF ,VFC平面NEF, ..NFMH. ∠EFV为二面角N一MH一B的平面角.…14分 NE-BN:NC_1X/3_3 BC 2 2 EF=B=×1= ③ 六在R△NEF中，有an∠EFV=NS= F 1 =3,∴∠EFN= 3 2 所以二面角A一BG一B的大小为5 …17分 【高一期中考试·数学卷参考答案第5页（共5页）】 5408A