山东省青岛五十八中高新学校2025届高三二模数学试题

6 18 15 12 13 14 1 5.（1 3分） 2025年青岛五十八中高新学校二模数学答题卡 1 6.（1 5分） 1 7.（1 5分） 1 8.（1 7分） 19 .（1 7分） 2025年青岛五十八中高新学校二模数学答题卡 空白区域，请勿答题 试卷第 1页，共 3页 青岛五十八中高新学校高考二模 数学试题 2025年 4月 命题：高三数学 李梓毅 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无 效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单选题（每题 5分，共 40分） 1．已知集合   24 2 { 6 0M x x N x x x       ， ，则M N = A． { 4 3x x   B． { 4 2x x   C． { 2 2x x   D． { 2 3x x  2．设D为 ABC 所在平面内一点，若 3BC CD    ，则下列关系中正确的是 A． 1 4 3 3 AD AB AC      B． 1 4 3 3 AD AB AC     C． 4 1 3 3 AD AB AC     D． 4 1 3 3 AD AB AC   3．设复数 z满足 =1iz  ，z在复平面内对应的点为(x，y)，则 A． 2 2+1 1( )x y  B． 2 2( 1) 1x y   C． 22 ( 1) 1yx    D． 22 ( +1) 1yx   4． 62 1(1 )(1 )x x   展开式中 2x 的系数为 A．15 B． 20 C．30 D． 35 5．函数 ( )f x = cos( )x  的部分图像如图所示，则 ( )f x 的单调递减区间为 A． 1 3( , ), 4 4 k k k Z    B． 1 3(2 ,2 ), 4 4 k k k Z    C． 1 3( , ), 4 4 k k k Z   D． 1 3(2 ,2 ), 4 4 k k k Z   6．已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方体所得截面面 积的最大值为 A． 3 3 4 B． 2 3 3 C． 3 2 4 D． 3 2 7．已知双曲线的中心在原点且一个焦点为 ( 7,0)F ，直线 1y x  与其相交于M ，N两点，若MN中 点的横坐标为 2 3  ，则此双曲线的方程是 A． 2 2 1 3 4 x y   B． 2 2 1 4 3 x y   C． 2 2 1 5 2 x y   D． 2 2 1 2 5 x y   8．设△AnBnCn的三边长分别为 an,bn,cn，△AnBnCn的面积为 Sn，n=1,2,3,… 若 b1＞c1，b1＋c1＝2a1，an＋1＝an，bn＋1＝ 2 n nc a ，cn＋1＝ 2 n nb a ，则 A．{Sn}为递减数列 B．{Sn}为递增数列 C．{S2n－1}为递增数列，{S2n}为递减数列 D．{S2n－1}为递减数列，{S2n}为递增数列 试卷第 2页，共 3页 二、多选题（每题 6分，共 18分） 9．已知函数 2 2 9, 1, ( ) 4 , 1, x ax x f x x a x x          若 ( )f x 的最小值为 (1)f ，则（ ） A．函数 ( )f x 在 ( ,1) 上单调递减 B．函数 ( )f x 在 (1, ) 上单调递增 C． 2a  D．函数 ( )f x 的最小值为10 2a 10．已知函数   sin cos sin cosf x x x x x    ，则（ ） A．  f x 的图象关于点  π,0 对称 B．  f x 的最小正周期为 2π C．  f x 的最小值为 2 D．   3f x  在 0,2π 上有四个不同的实数解 11．“杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，在中国南宋数学家杨辉 1261年所著的《详 解九章算法》一书中就有出现.在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是 1外，其余每个数都是其“肩上” 的两个数之和，例如第 4行的 6为第 3行中两个 3的和，则下列命题中正确的是（ ） A．在“杨辉三角”中，第 n行的所有的数字之和为 2n B．在“杨辉三角”第2n行的数中，从左到右第 n个数最大 C．在“杨辉三角”中，从第 3行开始，取每行的第 4个数得到一数列，则该数列前 10项之和为 413C D．记“杨辉三角”第 n行的第 i个数为 ia ，则 1 2 1 i i n i na a      的值恰好是第 2n行的中间一项的数字 三、填空题（每题 5分，共 15分） 12．已知数列 na 的前 n项和 nS 满足 2 2 nS n ，则 na 的通项公式为 . 13．已知函数   2sin sin 2f x x x  ，则  f x 的最小值是 ． 14．如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC的中心为 O.D，E，F 为圆 O上的点，△DBC，△ECA，△FAB分别是以 BC，CA，AB为底边的等腰三角形．沿虚线剪开 后，分别以 BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得 D，E，F重合，得到三棱锥．当 △ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最大值为 ． 四、解答题 15．（13分）如图，三棱锥 P ABC 的底面是边长为 2的正三角形 ABC，且 PA PB ，平面 ABC  平面 .PAC (1)证明：PC 平面 ;ABC (2)若 BC与平面 PAB所成角的正弦值为 30 8 ，求平面 PAB与平面PAC夹角的余弦值. 试卷第 3页，共 3页 16．（15分）已知函数    2e 2 ex xf x a a x    （1）讨论  f x 的单调性； （2）若  f x 有两个零点，求 a的取值范围. 17．（15分）如图， ABCV 内一点 P满足 , 2PB PC AC BP   . (1)若 6, 2AB PC  ，求 sin ACP 的值； (2)若 15,sin 10 AB ACP  ，求 AP的长. 18．（17分）已知点  1,1P 在椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     上，椭圆 C的左右焦点分别为 1F ， 2F ， 1 2PFF 的面积为 6 2 . (1)求椭圆 C的方程； (2)设点 A，B在椭圆 C上，直线 PA，PB均与圆  2 2 2: 0 1O x y r r    相切，记直线 PA，PB的斜 率分别为 1k ， 2k . （i）证明： 1 2 1k k  ； （ii）证明：直线 AB过定点. 19．（17分）为了治疗某种疾病，研制了甲、乙两种新药，希望知道哪种新药更有效，为此进行动 物试验．试验方案如下：每一轮选取两只白鼠对药效进行对比试验．对于两只白鼠，随机选一只施 以甲药，另一只施以乙药．一轮的治疗结果得出后，再安排下一轮试验．当其中一种药治愈的白鼠 比另一种药治愈的白鼠多 4只时，就停止试验，并认为治愈只数多的药更有效．为了方便描述问题， 约定：对于每轮试验，若施以甲药的白鼠治愈且施以乙药的白鼠未治愈则甲药得 1分，乙药得 1 分； 若施以乙药的白鼠治愈且施以甲药的白鼠未治愈则乙药得 1分，甲药得 1 分；若都治愈或都未治愈 则两种药均得 0分．甲、乙两种药的治愈率分别记为α和β，一轮试验中甲药的得分记为 X． （1）求 X 的分布列； （2）若甲药、乙药在试验开始时都赋予 4分， ( 0,1, ,8)ip i   表示“甲药的累计得分为 i时，最终认 为甲药比乙药更有效”的概率，则 0 0p  ， 8 1p  ， 1 1i i i ip ap bp cp    ( 1, 2, ,7)i   ，其中 ( 1)a P X   ， ( 0)b P X  ， ( 1)c P X  ．假设 0.5  ， 0.8  ． (i)证明： 1{ }i ip p  ( 0,1, 2, ,7)i   为等比数列； (ii)求 4p ，并根据 4p 的值解释这种试验方案的合理性．