10.1—10.2 相交线 平行线的判定-2024-2025学年七年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（沪科版2024新教材）

10.1—10.2 相交线 平行线的判定 一、相交线 相交线是两条在同一平面内且有公共交点的直线。关于相交线，需要理解并掌握以下概念： 对顶角：两条直线相交形成的相对的两个角称为对顶角。对顶角相等是相交线的一个重要性质。 邻补角：两条直线相交形成的相邻的两个角称为邻补角。邻补角互补，即它们的角度和为180度。 二、平行线的判定 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线用符号“∥”表示，如直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”。 2.平行线的基本事实：经过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行。 3.平行线的判定方法： （1）同位角相等，两直线平行。当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。同样地，当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线平行。 （3）同旁内角互补，两直线平行。当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（即它们的角度和为180度），则这两条直线平行。 4.平行线的性质： （1）平行线间的距离处处相等。 （2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。这是平行线的一个传递性质。 5.平行线的画法：通常使用三角尺和直尺来画平行线。具体步骤包括一落（把三角尺的一边落在已知直线上）、二靠（紧靠三角尺的另一边放一直尺）、三移（把三角尺沿着直尺移动，使其经过已知点）、四画（沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线）。 巩固课内例1:对顶角 1．如图所示，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，直线，相交于点，则图中的对顶角有 ．    3．如图，直线、相交于点，是的平分线． (1)的对顶角是___； (2)若，求的度数． 巩固课内例2:垂线 1．如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，过点O作，若，则的度数是 ． 3．如图，直线交于点，作平分，求的度数． 巩固课内例3:垂线段最短 1．如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 2．如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的 （填，或）点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是 ． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 巩固课内例4:同位角、内错角、同旁内角 1．如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 2．如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的同旁内角是 ；图中的同位角是 ． 3．如下图所示，回答下列问题： (1)指出和被所截形成的同位角； (2)指出与与是什么关系的角，并指出是哪两条直线被哪一条直线所截形成的． 巩固课内例5:平行公理 1．下列说法正确的是（    ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离 D．同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 2．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 3．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 类型一、相交线 1．下列说法中正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫平行线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．互相垂直的两条线段一定相交 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．下列语句表示的图形是（只填图序）： ①过点的三条直线与另一条直线分别相交于点三点： ． ②以直线上一点为顶点，在直线的同侧作和： ． ③过点的一条直线和以为端点的两条射线与另一条直线分别相交于点三点： ． 3．如图直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，FO⊥AB．若∠DOE＝3∠EOA，求∠DOF的度数． 类型二、对顶角相等 1．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是 ． 3．如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 类型三、同位角相等两直线平行 1．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，，若使，则可将直线绕点逆时针旋转 度． 3．如图，已知，直线分别与直线，相交．试说明：．请补充下面说明过程，并在括号内填上相应的理由．    解：（已知）， （__________________）， （__________________）， （__________________） 又（__________________）． （等量代换）． 类型四、内错角相等两直线平行 1．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 2．用符号表示下面的推理过程：因为和相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行． 3．如图，已知，，平分，与平行吗？请说明理由． 类型五、同旁内角互补两直线平行 1．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 2．如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 3．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 类型一、画垂线 1．过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 2．如图，过直线l外一点A，作直线l的垂线，可以作 条. 3．（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 类型二、画平行线 1．如图所示是丁丁利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其直接理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行 2．如图，画平行线的操作中，依据是 ． 3．如图，点P为内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作射线的垂线，垂足为点D； (2)过点P作射线的平行线，交射线于点E； (3)比较线段和的大小，并说明理由． 类型三、点到直线的距离 1．如图，点在直线外，点，在直线上，若，，则点到直线的距离可能为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 2．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号) 3．如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 类型一、数学依据 1．如果，那么．这个结论的依据是（   ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 2．如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是 ． 3．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： ，，，与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： （已知）， _____（_____）， 即_____ 又（_____）， 且， _____=_____（_____）， （_____）． 类型二、相交线的规律 1．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 2．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 3．观察图形，寻找对顶角（不含平角）． （1）两条直线相交于一点，如图①，共有__________对对顶角； （2）三条直线相交于一点，如图②，共有__________对对顶角； （3）四条直线相交于一点，如图③，共有__________对对顶角； （4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系； （5）根据探究结果，试求2018条直线相交于一点时，所构成对顶角的对数． 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直线相交于点O，，垂足为，，的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，下列推理中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 4．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若， 则 ． 5．如图，在一条新修公路旁有一个超市，现计划在这条公路旁的四点处选择一点修建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，则汽车站应建在点 处． 6．为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 7．如图，直线相交于点O，若，． (1)试说明：射线平分； (2)求的度数． 8．如图，直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 9．如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，．证明：． 10．胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知． (1)请说明的理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 10.1—10.2 相交线 平行线的判定 一、相交线 相交线是两条在同一平面内且有公共交点的直线。关于相交线，需要理解并掌握以下概念： 对顶角：两条直线相交形成的相对的两个角称为对顶角。对顶角相等是相交线的一个重要性质。 邻补角：两条直线相交形成的相邻的两个角称为邻补角。邻补角互补，即它们的角度和为180度。 二、平行线的判定 1.平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线称为平行线。平行线用符号“∥”表示，如直线AB与CD平行，记作“AB∥CD”。 2.平行线的基本事实：经过直线外一点，有且仅有一条直线与这条直线平行。 3.平行线的判定方法： （1）同位角相等，两直线平行。当两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，则这两条直线平行。 （2）内错角相等，两直线平行。同样地，当两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，则这两条直线平行。 （3）同旁内角互补，两直线平行。当两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（即它们的角度和为180度），则这两条直线平行。 4.平行线的性质： （1）平行线间的距离处处相等。 （2）如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。这是平行线的一个传递性质。 5.平行线的画法：通常使用三角尺和直尺来画平行线。具体步骤包括一落（把三角尺的一边落在已知直线上）、二靠（紧靠三角尺的另一边放一直尺）、三移（把三角尺沿着直尺移动，使其经过已知点）、四画（沿该边画直线，此直线即为已知直线的平行线）。 巩固课内例1:对顶角 1．如图所示，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角的定义，由定义：角的两边分别互为反向延长线的两个角叫做对顶角，进行逐一判断，即可求解．理解定义是解题的关键． 【详解】A.是邻补角，不是对顶角，此项错误，故不符合题意； B.不共顶点，其中有一条边不是互为反向延长线，故不符合题意；； C.其中有一条边不是互为反向延长线，故不符合题意； D.符合定义，故此项正确； 故选：D． 2．如图，直线，相交于点，则图中的对顶角有 ．    【答案】与，与． 【分析】根据对顶角的定义即可求得答案． 【详解】根据对顶角的定义可知，图中的对顶角有与，与． 故答案为：与，与． 【点睛】本题主要考查对顶角，牢记对顶角的定义（两角有公共顶点，且一个角的两边是另外一个角两边的反向延长线，具有这种位置关系的角，互为对顶角）是解题的关键． 3．如图，直线、相交于点，是的平分线． (1)的对顶角是___； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中的角度计算、角平分线的定义、对顶角的定义、邻补角的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据对顶角的定义即可解答； （2）根据角平分线的定义得到，再根据邻补角的性质得到，即可求解． 【详解】（1）解：的对顶角是． 故答案为：． （2）解：是的平分线， ， ， ． 巩固课内例2:垂线 1．如图，已知直线与交于点，，平分．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直的定义、角的和差、角平分线的定义、对顶角的性质等知识点．由垂直的定义可得，易得，再根据角平分线的定义可得，然后运用角的和差可得，最后根据对顶角相等即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，直线相交于点O，过点O作，若，则的度数是 ． 【答案】/132度 【分析】本题考查几何图形中求角度．正确的识图，理清角度之间和差关系，是解题的关键． 垂直的定义，得到，利用对顶角相等得出，即可求解． 【详解】解：因为， 所以． 因为， 所以， 故答案为：． 3．如图，直线交于点，作平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，找出角度之间的数量关系是解题关键．根据垂直的定义可得，进而求得，根据角平分线的定义可得，最后根据对顶角相等，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴． 巩固课内例3:垂线段最短 1．如图是一跳远运动员跳落沙坑时留下的痕迹，则表示该运动员成绩的是（　　） A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】B 【分析】本题考查了垂线段：从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质：垂线段最短． 【详解】解：根据垂线段的性质，则表示该运动员成绩的是线段的长度， 故选B． 2．如图，小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的 （填，或）点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是 ． 【答案】 B 垂线段最短 【分析】本题主要考查了点到直线的线段中，垂线段最短，解题的关键是理解垂线段最短． 根据题意，由垂线段最短即可求解． 【详解】解：小明在长方形的篮球场上沿直线进行折返跑训练，他从场地一边的点处出发，选择到对面的B点处折返一次回到点时，跑过的路程最短，理由是垂线段最短， 故答案为：B；垂线段最短． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．点、点、点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中按下述要求画图． (1)画直线； (2)画线段； (3)过点画直线的垂线，垂足为； (4)在线段中，最短的线段为___________，依据为___________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)，点到直线的距离垂线段最短 【分析】本题考查了作图知识及把几何语言转化为几何图形的能力，熟练掌握直线、射线、线段和垂直的定义是解答本题的关键． （1）根据直线的特征画图即可； （2）根据线段的特征画图即可； （3）结合网格，过点作垂线画图即可． （4）根据垂线段最短，并结合题干信息即可求解 【详解】（1）解：连接点、点并延长，如图： （2）解：连接点、点和点、点，且不要延长出点，如图： （3）解：过点画直线的垂线，垂足为，如图： （4）解：∵垂线段最短， ∴最短的线段为， 故答案为：，垂线段最短 巩固课内例4:同位角、内错角、同旁内角 1．如图，已知与，其中与相交，下列结论中错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是对顶角 C．与是同位角 D．与是内错角 【答案】C 【分析】本题考查了同旁内角、对顶角、同位角、内错角，熟练掌握各类角的概念是解题的关键．根据同旁内角、对顶角、同位角、内错角的定义和所在位置关系，即可判断各个角之间的关系． 【详解】A、同旁内角：在截线同侧，在两条被截线之间，那么与是同旁内角，故A正确，不符合题意； B、对顶角：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角，那么与是对顶角，故B正确，不符合题意； C、同位角：在截线同侧，在两条被截线同一方，那么与不是同位角，故C错误，符合题意； D、内错角：在截线两侧，在两条被截线之间，那么与是内错角，故D正确，不符合题意． 故选：C． 2．如图，直线与被直线所截得的内错角是 ；直线与被直线所截得的同旁内角是 ；图中的同位角是 ． 【答案】 和 和 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，根据同位角、内错角、同旁内角的定义判断求解即可． 【详解】解：直线与被直线所截得的内错角是和； 直线与被直线所截得的同旁内角是和； 图中的同位角是． 故答案为：和；和；． 3．如下图所示，回答下列问题： (1)指出和被所截形成的同位角； (2)指出与与是什么关系的角，并指出是哪两条直线被哪一条直线所截形成的． 【答案】(1)和 (2)与是内错角，是直线和直线被直线所截形成的； 与是同旁内角，是直线和直线被直线所截形成的． 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，解答此类题确定三线八角是关键，可直接从截线入手．对平面几何中概念的理解，一定要紧扣概念中的关键词语，要做到对它们正确理解，对不同的几何语言的表达要注意理解它们所包含的意义． （1）根据同位角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角，可得答案； （2）根据同旁内角就是：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线中间的位置的角，根据内错角就是：两个角都在截线的两侧，又分别处在被截的两条直线中间位置的位置的角，可得答案． 【详解】（1）解：由同位角定义可得：和被所截得的同位角和； （2）解：与是内错角，是直线和直线被直线所截形成的； 与是同旁内角，是直线和直线被直线所截形成的． 巩固课内例5:平行公理 1．下列说法正确的是（    ） A．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 B．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 C．直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这个点到直线的距离 D．同一平面内不相交的两条直线叫做平行线 【答案】D 【分析】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解平行公理、点到直线的距离、平行线的定义等知识，难度不大． 利用平行公理、点到直线的距离、平行线的定义分别对四个选项进行判断后即可确定正确的选项． 【详解】解：A、平面内经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故选项错误； B、同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，故选项错误； C、直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故选项错误； D、同一平面内，不相交的两条直线是平行线，正确； 故选：D． 2．如图，，，则点M，C，N在同一条直线上，理由是 . 【答案】过直线外点有且只有条直线与这条直线平行 【分析】本题考查的是平行公理．根据平行公理可得． 【详解】解：∵，，且、经过点C， ∴过外一点C的直线和都平行于直线， ∵经过已知直线外一点，有且只有一条直线和已知直线平行， ∴点M，C，N在一条直线上， 故答案为：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行． 3．把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据： 如图，已知直线a，b，c，d，e，且 ，，试说明：． 解：因为， 所以　　　 　　　　　　　（       ） 又因为， 所以　　　　　　　　　　　 （        ） 所以（   　　　 ） 【答案】；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 【分析】本题考查平行线的判定和性质以及平行公理．根据平行线的性质得出，，即可推出答案． 【详解】解：∵， ∴ (内错角相等，两直线平行)， ∵， ∴ (同旁内角互补，两直线平行)， ∴ (如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行)， 故答案为：；内错角相等，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． 类型一、相交线 1．下列说法中正确的是（   ） A．不相交的两条直线叫平行线 B．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做这点到这条直线的距离 C．互相垂直的两条线段一定相交 D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理、点到直线的距离的概念、平面内两直线的位置关系等是解题的关键．根据平行线的判定、点到直线的距离、平面内两直线的位置关系等求解判断即可． 【详解】解：A．在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线，故A说法不符合题意； B．从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离，故B说法不符合题意； C．平面内，互相垂直的两条直线一定相交，而平面内，互相垂直的两条线段不一定相交，故C说法不符合题意； D．同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故D说法符合题意； 故选：D． 2．下列语句表示的图形是（只填图序）： ①过点的三条直线与另一条直线分别相交于点三点： ． ②以直线上一点为顶点，在直线的同侧作和： ． ③过点的一条直线和以为端点的两条射线与另一条直线分别相交于点三点： ． 【答案】 图（3） 图（2） 图（1） 【分析】本题考查了直线、射线与线段的知识以及相交线的相关知识，注意掌握三者的特点，给出图形应该能判断出是哪一个． 【详解】解：观察图形，根据所给的信息可得： ①过点O的三条直线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（3）； ②以直线上一点O为顶点，在直线的同侧画和的图形为（2）； ③过O点的一条直线和以O为端点两条射线与另一条直线分别相交于点B、C、D三点的图形为（1）． 故答案为：图（3）；图（2）；图（1）． 3．如图直线AB、CD相交于点O，OA平分∠EOC，FO⊥AB．若∠DOE＝3∠EOA，求∠DOF的度数． 【答案】∠DOF＝54°． 【详解】设∠AOE＝x°，由角平分线及对顶角性质知∠BOD＝∠AOC＝∠AOE＝x°，由∠DOE＝3∠EOA＝3x°知x+3x+x＝180，解之求得x的值即可得∠BOD度数，根据FO⊥AB知∠BOF＝90°，由∠DOF＝∠BOF﹣∠BOD可得答案． 解：设∠AOE＝x°， ∵OA平分∠EOC， ∴∠AOC＝∠AOE＝x°， ∵∠DOE＝3∠EOA， ∴∠DOE＝3x°， ∵∠BOD＝∠AOC＝x°， ∴由∠AOE+∠DOE+∠BOD＝180°可得x+3x+x＝180， 解得：x＝36， ∴∠BOD＝36°， ∵FO⊥AB， ∴∠BOF＝90°， ∴∠DOF＝∠BOF﹣∠BOD＝54°． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，掌握垂线、对顶角以及邻补角的定义是解题的关键． 类型二、对顶角相等 1．光线从空气斜射向水中时会发生折射现象，矩形为盛满水的水槽、一束光线从点射向水面上的点，折射后照到水槽底部的点．测得，，若、、三点在同一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查对顶角，根据“对顶角相等”得，代入数据求解即可．． 【详解】解：根据题意得：， ∵，， ∴， 故选：D． 2．如图，有一个破损的扇形零件，利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是 ． 【答案】对顶角相等 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，根据对等角相等的性质即可求解，掌握对顶角的性质对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：利用图中的量角器可以量出这个零件的圆心角的度数，依据是对顶角相等， 故答案为：对顶角相等． 3．如图，直线、相交于点O，，且平分． (1)【探究发现】若时，则的度数是 ； (2)【类比延伸】若时，求的度数 ； (3)【联想拓展】从（1）（2）的结果中可以猜想出和有何关系，并给予证明． 【答案】(1) (2) (3)，证明见解析 【分析】本题考查与角平分线有关的角的计算，垂直的定义，对顶角性质，熟练掌握角平分线定义和角之间的和、差、倍、分关系是解题的关键． （1）先根据垂直定义，求得，根据从而可求得，，继而求得，然后根据角平分线定义与对顶角性质求出，即可由求解； （2）设，由，根据角平分线定义与对顶角性质求得，根据，即，求解即可； （3）设，则，根据角平分线定义与对顶角性质求得，再根据 ，得出，解得，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 又∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ 即， 解之得：， 即． （3）解：猜想： 理由：设 ∵ ∴ ∵ ∴   又∵平分， ∴， ∴ ∴ ， 则， 解之得， 即． 类型三、同位角相等两直线平行 1．如图所示，点E在的延长线上，下列条件中不能判断的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定定理即可直接作出判断． 【详解】解：A．∵， ∴，故A不符合题意； B．，不能判断，故B符合题意； C．∵， ∴，故C不符合题意； D．∵， ∴，故D不符合题意； 故选：B． 2．如图，，若使，则可将直线绕点逆时针旋转 度． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定，根据邻补角，求出旋转前的度数，再根据时，，求出旋转的角度即可． 【详解】解：∵， ∴， 当时，， ， ∴将直线绕点逆时针旋转度，可以得到； 故答案为：17． 3．如图，已知，直线分别与直线，相交．试说明：．请补充下面说明过程，并在括号内填上相应的理由．    解：（已知）， （__________________）， （__________________）， （__________________） 又（__________________）． （等量代换）． 【答案】垂线的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的性质；根据垂线的定义，以及平行线的性质，对顶角相等完成填空即可求解． 【详解】解：（已知）， （垂线的定义）， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补） 又（对顶角相等）． （等量代换）． 故答案为：垂线的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；对顶角相等． 类型四、内错角相等两直线平行 1．下列图形中，由，能得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线判定定理逐项判断即可解题． 【详解】解：A、不能判定，故本选项不符合题意； B、可以得到，故本选项不符合题意； C、不能判定，故本选项不符合题意； D、能判定，故本选项符合题意； 故选：D． 2．用符号表示下面的推理过程：因为和相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行． 【答案】∵，∴（内错角相等，两直线平行） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的性质的几何表述成为解题的关键．． 根据平行线的判定运用几何语言表达即可解答． 【详解】解：∵因为和相等，根据“内错角相等，两直线平行”，所以AB和EF平行． ∴几何表述为：∵，∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：∵，∴（内错角相等，两直线平行）． 3．如图，已知，，平分，与平行吗？请说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：平行，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 类型五、同旁内角互补两直线平行 1．如图，，要使直线，则的度数为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的判定，根据同旁内角互补，两直线平行可得要使直线，则，据此求解即可． 【详解】解：∵要使直线， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 2．如图，已知交于点，交于点，平分，交于点，．当 时，． 【答案】65 【分析】本题考查平行线的判定，对顶角的性质，分线的定义，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键． 先由对顶角的性质求得，再根据平行线的判定定理和角平分线的定义求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：65． 3．如图，平分，平分，． 求证：． 完成下面的解答过程，并填写理由或数学式： 证明：∵平分，（已知） ______，（理由：______） ∵平分， ______（理由：______） ，（等量代换） ，（已知） ______， ．（理由：______） 【答案】；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，角平分线定义，根据角平分线的定义以及同旁内角互补，两直线平行，进行作答即可． 【详解】证明：∵平分，（已知） ，（理由：角平分线的定义） ∵平分， （理由：角平分线的定义_） ，（等量代换） ，（已知） ， ．（理由：同旁内角互补两直线平行） 故答案为：；角平分线的定义；；角平分线的定义；；；；同旁内角互补两直线平行． 类型一、画垂线 1．过直线外一点P画的垂线，下列各图中，三角尺操作正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由直线外一点向直线作垂线的方法，掌握垂线的定义是解题的关键．根据直线外一点向已知直线作垂线的方法作图即可求解． 【详解】解：过直线外一点画的垂线， 只有B选项符合题意， 故选：B ． 2．如图，过直线l外一点A，作直线l的垂线，可以作 条. 【答案】1 【详解】试题解析：过直线l外一点A，作直线l的垂线，可以作1条. 故答案为1. 点睛：平面内,过一点有且只有一条直线与已知直线垂直. 3．（1）如图，过点画直线的垂线，并注明垂足为；过点画直线的垂线，交于点． （2）线段___________的长度是点到直线的距离． （3）线段、的大小关系为___________．（用符号，，，，表示）理由是___________． 【答案】（1）图见解析；（2）；（3），垂线段最短 【分析】本题考查了作垂线、点到直线的距离、以及垂线段最短，熟练掌握各知识点是解题的关键． （1）利用三角板的两条直角边画图：“一落”、“二移”、“三画”即可得； （2）根据点到直线的距离的定义解答即可得； （3）根据垂线段最短解答即可得． 【详解】解：（1）过点画直线的垂线，垂足为；过点画直线的垂线，交于点，如图所示： （2）∵是的垂线， ∴线段的长度是点到直线的距离． 故答案为：． （3）线段、的大小关系为．理由是垂线段最短． 故答案为：，垂线段最短． 类型二、画平行线 1．如图所示是丁丁利用直尺和三角尺过直线外一点作已知直线的平行线的方法，其直接理由是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．垂直于同一直线的两条直线平行 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定定理，掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平移可知，根据同位角相等，两直线平行，即可求解． 【详解】解：如图， （同位角相等，两直线平行） 故选：A． 2．如图，画平行线的操作中，依据是 ． 【答案】同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查利用直尺和三角板画平行线，根据作图可知，根据同位角相等，两直线平行，即可得到； 【详解】解：由作图可知，， ∴（同位角相等，两直线平行）； 故答案为：同位角相等，两直线平行． 3．如图，点P为内一点，按要求完成下列问题： (1)过点P作射线的垂线，垂足为点D； (2)过点P作射线的平行线，交射线于点E； (3)比较线段和的大小，并说明理由． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)，理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短 【分析】本题考查画垂线和平行线，垂线段最短，熟练掌握相关知识，能利用直尺与三角板准确作图是解题的关键； （1）借助三角板画垂线即可； （2）利用直尺和三角板画平行线即可； （3）根据垂线段最短，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）如图，直线即为所求； （3），理由：直线外一点到该直线的所有线段中，垂线段最短． 类型三、点到直线的距离 1．如图，点在直线外，点，在直线上，若，，则点到直线的距离可能为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据垂线段最短判断即可． 【详解】解：∵点在直线外，， ∴点到直线的距离小于且大于 故选：D． 2．如图，是直线外一点，三点均在直线上，且于点，．有下列结论：①线段是点到直线的距离；②线段的长度是点到直线的距离；③三条线段中，最短；④线段的长是点到直线的距离．其中正确的结论有 (写出所有正确结论的序号) 【答案】②③/③② 【分析】本题主要查了点到直线的距离，垂线段最短．根据点到直线的距离的定义，垂线段最短，逐项判断，即可求解． 【详解】解：①线段的长度是点到直线的距离，原说法错误； ②线段的长度是点到直线的距离，正确； ③三条线段中，最短，正确； ④线段的长是点到直线的距离，原说法错误． 故答案为：②③ 3．如图，点在直线上，． (1)若，求的度数． (2)①点到的距离为 ； ②在线段中，哪条更长？请判断并说明理由． 【答案】(1) (2)①8；②线段更长，理由见解析 【分析】本题考查了角的和差，点到直线的距离，垂线段最短，数形结合是解答本题的关键． （1）根据角的和差计算即可； （2）①根据点到直线的距离解答即可； ②根据垂线段最短解答即可． 【详解】（1）解： ， . ， ； （2）解：①∵，， ∴点到的距离为， 故答案为：8； ②线段更长， 理由：， ∴， ， ∴， ∴， 在线段中，线段更长． 类型一、数学依据 1．如果，那么．这个结论的依据是（   ） A．等量代换 B．平行线的定义 C．经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线和第三条直线平行，那么这两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理及推论，由，利用“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”，即可得出． 【详解】解：∵（已知）， ∴（如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）． 故选：D． 2．如图，小明在地图上量得，由此判断幸福大街与平安大街互相平行，他判断的依据是 ． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题主要考查了平行线的判定，由，即可得出福大街与平安大街互相平行，即内错角相等，两直线平行． 【详解】解：∵， ∴幸福大街与平安大街互相平行， 判断的依据是：内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 3．请完成下面的推理过程并在括号里填写推理依据： ，，，与平行吗？为什么？ 解：，理由如下： （已知）， _____（_____）， 即_____ 又（_____）， 且， _____=_____（_____）， （_____）． 【答案】、垂直定义、、已知、、、等角的余角相等、同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定，涉及垂直定义、互余及同位角相等两直线平行等知识，先由垂直定义得到，由互余定义得到、，再由即可得到，最后由同位角相等，两直线平行即可得证．熟记平行线的判定定理是解决问题的关键． 【详解】解：，理由如下： （已知）， （垂直定义）， 即， 又（已知）， 且， （等角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：、垂直定义、、已知、、、等角的余角相等、同位角相等，两直线平行． 类型二、相交线的规律 1．如图，已知，点P为a与b之间一点，过点P作9条不同的直线均与直线a相交，探究图中相交线形成的所有角中，互为邻补角的对数是（　　） A． B．180 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线，相交线和邻补角，根据两条直线相交有对邻补角，即可解决问题． 【详解】解：∵两条直线相交有对邻补角， ∴过点作9条直线，从条直线中选条的组合数为，则邻补角对数为； 9条不同的直线分别与直线、、相交，确定邻补角对数是， ∴总共对， 故选：D． 2．观察如图图形，并阅读图形下面的相关文字．像这样的十条直线相交最多的交点个数有 ． 【答案】45 【分析】根据直线两两相交且不交于同一点，可得答案． 【详解】解：每条直线都与其他九条直线有一个交点，即9个交点，十条直线一共有9×10 =90个交点，因为每个交点都重复了一次，所以十条直线相交最多的交点个数有90÷2=45， 故答案为：45． 【点睛】本题考查了相交线，n条直线与其它每条直线都有一个交点，可有（n−1）个交点，n条直线有n（n−1）个交点，每个交点都重复了一次，n条直线最多有 个交点． 3．观察图形，寻找对顶角（不含平角）． （1）两条直线相交于一点，如图①，共有__________对对顶角； （2）三条直线相交于一点，如图②，共有__________对对顶角； （3）四条直线相交于一点，如图③，共有__________对对顶角； （4）根据填空结果探究：当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数与直线条数之间的关系； （5）根据探究结果，试求2018条直线相交于一点时，所构成对顶角的对数． 【答案】（1）2；（2）6；（3）12；（4）（n-1）×n；（5）4070306（对）． 【分析】由图示可得， （1）两条直线相交于一点，形成2对对顶角； （2）三条直线相交于一点，形成6对对顶角， （3）4条直线相交于一点，形成12对对顶角； 依次可找出规律： （4）若有n条直线相交于一点，则可形成（n−1）n对对顶角； （5）将n=2018代入（n−1）n，可得2018条直线相交于一点可形成的对顶角的对数． 【详解】解：（1）如图①，图中共有1×2=2对对顶角， 故答案为2； （2）如图②，图中共有2×3=6对对顶角， 故答案为6； （3）如图③，图中共有3×4=12对对顶角， 故答案为12； （4）根据计算结果，可以发现：2=1×2，6=2×3，12=3×4，…， 即对顶角的对数与直线条数的对应关系是：对顶角的对数=（直线条数−1）×直线条数， 因此，当n条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是（n−1）×n． （5）2018条直线相交于一点时，所构成的对顶角的对数是（2018−1）×2018=2017×2018=4070306（对）． 【点睛】本题主要考查了多条直线相交于一点，所形成的对顶角的个数的计算规律．即若有n条直线相交于一点，则可形成（n−1）n对对顶角． 1．下面四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了对顶角，如果两个角有公共顶点，且角的两边互为反向延长线，那么这两个角互为对顶角，据此求解即可． 【详解】解：A、选项中与不是对顶角，不符合题意； B、选项中与不是对顶角，不符合题意； C、选项中与是对顶角，符合题意； D、选项中与不是对顶角，不符合题意． 故选：C． 2．如图，直线相交于点O，，垂足为，，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查几何图形中角度的计算，垂直，得到，利用平角的定义进行求解即可．找准角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴； 故选B． 3．如图，下列推理中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键； 根据平行线的判定定理逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、由只能推出，故错误，不符合题意； B、由，只能推出，故错误，不符合题意； C、，根据同旁内角互补，两直线平行，可以推出，故正确； D、由，只能推出，故错误，不符合题意． 故选：C． 4．小华在学习完相交线后，发现生活中有许多相交线．如图是一把剪刀的示意图，我们可想象成一个相交线模型，若， 则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了对顶角，根据对顶角的定义即可解答，熟练掌握对顶角相等是解题的关键． 【详解】解：由图可得和为对顶角， ， 故答案为：． 5．如图，在一条新修公路旁有一个超市，现计划在这条公路旁的四点处选择一点修建一个汽车站，为了使超市距离车站最近，则汽车站应建在点 处． 【答案】C 【分析】本题主要考查了垂线段最短，直线外一点到该直线上所有点的连线中，垂线段最短，据此可得答案． 【详解】解：由垂线段最短可知，为了使超市距离车站最近，则汽车站应建在点C， 故答案为：C． 6．为响应国家新能源建设，某公交站亭装上了太阳能电池板．当地某一季节的太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为．如图，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直，此时电池板与水平线夹角为，要使，需将电池板至少转动 度． 【答案】20 【分析】本题考查垂直的定义，以及平行线判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识．根据垂直的定义得到电池板与水平线夹角，再结合平行线判定求解，即可解题． 【详解】解：太阳光（平行光线）与水平线最大夹角为，电池板与最大夹角时刻的太阳光线相垂直， 电池板与水平线夹角为， 电池板与水平线夹角为， 要使， 电池板至少转动， 故答案为：20． 7．如图，直线相交于点O，若，． (1)试说明：射线平分； (2)求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了角的和差计算，对顶角的性质、平角的意义以及角平分线的定义，熟练掌握知识点并灵活运用是解题的关键． （1）利用平角的定义求出，即可证明； （2）由对顶角相等即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∴射线平分； （2）解：∵，， ∴． 8．如图，直线相交于点． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，垂线的定义，对顶角相等，熟知垂线的定义是解题的关键． （1）由垂线的定义得到，再由对顶角相等得到，据此可得答案； （2）设，则，根据垂线的定义可得，解方程求出，则． 【详解】（1）解；∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 9．如图，是直角三角形，，于点D，是的角平分线，．证明：． 【答案】见解析 【分析】本题与角平分线有关的计算，平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法，是解题的关键：根据角平分线的定义，得到，等角的余角相等，得到，对顶角相等，得到，进而得到，即可得证． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 10．胡同文化是京津冀地区的一大特色，承载着丰富的历史和文化内涵．如图为某胡同的平面示意图，其中直线被所截，直线相交形成了“十字路口”点G和“丁字路口”点F，经过测量已知． (1)请说明的理由； (2)写出的同位角、内错角和同旁内角，并求出它们的度数． 【答案】(1)见解析 (2)的同位角，内错角，同旁内角 【分析】本题考查了垂直的定义，邻补角的定义，同位角、内错角、同旁内角的定义，以及对顶角和邻补角的性质的计算，是基础知识，比较简单． （1）根据垂线的定义，结合平角与，可以得到，由此确定与的位置关系； （2）根据可得，结合三线八角的同位角，内错角以及同旁内角的定义，可以确定的同位角，内错角以及同旁内角，由此可以解答本题． 【详解】（1）解：∵是直线， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴的同位角，内错角，同旁内角． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$