专题02 相交线与平行线（考题猜想，高频重难点16大题型）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题02 相交线与平行线（考题猜想，16大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 对顶角相等 · 题型二 垂线的定义理解 · 题型三 点到直线的距离（高频） · 题型四 同位角、内错角、同旁内角 · 题型五 同位角相等两直线平行（重点） · 题型六 内错角相等两直线平行（重点） · 题型七 同旁内角互补两直线平行（重点） · 题型八 两直线平行同位角相等（重点） · 题型九 两直线平行内错角相等（重点） · 题型十 两直线平行同旁内角互补（重点） · 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系（高频） · 题型十二 根据平行线的性质求角的度数（高频） · 题型十三 根据平行线判定与性质求角度（高频） · 题型十四 判断是否是命题 · 题型十五 判断命题真假（高频） · 题型十六 写出命题的逆命题 题型一 对顶角相等 1．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，相交于点，，垂足为，与的关系是 ；图中互余的角共有 对，互补的角共有 对．    2．（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图，直线、相交于点O．已知，把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，当时，则α的度数是 °． 3.（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF的度数 题型二 垂线的定义理解 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则 度． 5.（23-24六年级下·上海闵行·期末）在直线上任取一点O，过点O作射线、，使得，如果，那么的度数为 ． 题型三 点到直线的距离 6.（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 7.（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC，AD⊥BC，垂足为点D，那么点B到直线AD的距离是线段 的长度． 8.（23-24七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 题型四 同位角、内错角、同旁内角 9.（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 10.（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是 角，与是 角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 题型五 同位角相等两直线平行 11.（22-23七年级下·上海虹口·期末）下列各图中，已知，则可以得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   12.（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 题型六 内错角相等两直线平行 13．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如图，下列推论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 14．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，能推断的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4+∠5 D．∠3＝∠1+∠2 15．（21-22七年级下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么 ∥ ，判断依据是 ． 16．（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知于点，于点，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（ ）． 同理． 所以（ ）． 即． 因为（已知）， 所以（ ）． 所以（ ）． 题型七 同旁内角互补两直线平行 17.（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，在下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 18.（21-22七年级下·上海普陀·期末）如图所示，下列说法中正确的编号是 ． ①若∠2=∠4，则ADBC； ②若∠1=∠3，则ADBC； ③若∠3+∠ABC=180°，则ABCD； ④若∠2=∠4，则ABCD； ⑤若∠4+∠ABC=180°，则ABCD； ⑥若∠1=∠3，则ABCD． 19.（21-22七年级下·上海·阶段练习）如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？ 解：∵∠1＝∠3（　　），∠1＝120°（已知） ∴∠3＝　　（　　） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（　　） ∴　　∥　　（　　） 题型八 两直线平行同位角相等 20．（21-22七年级下·上海·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．连接直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条 21.（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于 度． 22．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知，，垂足分别为点、，，试说明的理由． 解：因为，（已知）， 所以，（    ）， 所以（等量代换）， 所以（    ）， 所以（    ）， 因为（已知）， 所以（    ）， 所以（    ）． 题型九 两直线平行内错角相等 23.（20-21六年级下·上海浦东新·期末）点A在点B的北偏东50°方向，则点B在点A的（    ） A．北偏东40°方向 B．北偏西50°方向 C．南偏东40°方向 D．南偏西50°方向 24.（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是 ．    题型十 两直线平行同旁内角互补 25.（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，直线被直线所截，，已知，则 ．    26.（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知，，，求的度数．（请写出过程依据） 37.（21-22七年级下·上海·期末）如图所示，、之间是一座山，一条高速公路要通过、两点，在地测得公路走向是北偏西如果、两地同时开工，那么在地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？ 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系 38.（20-21七年级下·上海普陀·期末）如图，已知，下列条件中不能判断直线的是（    ）． A． B． C． D． 39.（24-25七年级下·上海浦东新·期中）同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么 40．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，则∠B、∠C、∠D的关系是 ．    题型十二 根据平行线的性质求角的度数 41.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 42.（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行与原三角形的一边，若旋转角小于，则 ．    43.（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、相交于点，根据下列语句画图并解答： (1)过点画出，交于点； (2)过点画出，垂足为点； (3)如果，那么 ．（直接写出结果） 题型十三 根据平行线判定与性质求角度 44.（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么 ．    45.（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，，，，求∠4的度数． 题型十四 判断是否是命题 46.（22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（   ） A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？ C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数. 47．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 48.（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 题型十五 判断命题真假 49.（24-25八年级上·上海奉贤·期末）下列命题是真命题的个数为（   ） ①互为补角的两个角都是锐角 ②能够被2整除的数叫做偶数 ③相等的角是对顶角 ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等 A．2 B．3 C．4 D．5 50．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．“把两个图形叠合”是命题； B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 51．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题中，真命题的有（    ）个． 到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； 以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； 反比例函数，随着的增大而增大； 过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A． B． C． D． 题型十六 写出命题的逆命题 52.（21-22八年级上·上海静安·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．若，则 C．对顶角相等 D．若，，则 53.（24-25八年级上·上海黄浦·期末）勾股定理的逆命题是（写成“如果…那么”的形式） ． 54．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． $$专题02 相交线与平行线（考题猜想，16大题型） 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 · 题型一 对顶角相等 · 题型二 垂线的定义理解 · 题型三 点到直线的距离（高频） · 题型四 同位角、内错角、同旁内角 · 题型五 同位角相等两直线平行（重点） · 题型六 内错角相等两直线平行（重点） · 题型七 同旁内角互补两直线平行（重点） · 题型八 两直线平行同位角相等（重点） · 题型九 两直线平行内错角相等（重点） · 题型十 两直线平行同旁内角互补（重点） · 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系（高频） · 题型十二 根据平行线的性质求角的度数（高频） · 题型十三 根据平行线判定与性质求角度（高频） · 题型十四 判断是否是命题 · 题型十五 判断命题真假（高频） · 题型十六 写出命题的逆命题 题型一 对顶角相等 1．（2024七年级下·上海·专题练习）如图，直线，相交于点，，垂足为，与的关系是 ；图中互余的角共有 对，互补的角共有 对．    【答案】 互余 2 5 【知识点】与余角、补角有关的计算、对顶角相等 【分析】本题考查了对顶角，余角和补角，熟练掌握这些知识是解题的关键．根据互余的角和互补的角的定义，对顶角的性质即可判断． 【详解】解：， ， ， ， ， 与互余， 图中互余的角有和，和，共2对， 图中互补的角有和，和，和，和，和，共5对， 故答案为：互余，2，5． 2．（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图，直线、相交于点O．已知，把分成两个角，且，将射线绕点O逆时针旋转到，当时，则α的度数是 °． 【答案】/度 【知识点】几何图形中角度计算问题、对顶角相等 【分析】先利用对顶角相等得到，再计算出，然后根据和，得到和都在的同侧，最后计算即可得到答案． 【详解】解：， ， ， ， ， 即射线绕点O逆时针旋转到， 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，对顶角相等，解题关键是掌握对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等． 3.（21-22七年级下·上海静安·期中）如图，直线AB与CD交于点O，OE平分∠BOD，∠EOF=90°，∠AOC=36°，求∠BOF的度数 【答案】72° 【知识点】与余角、补角有关的计算、几何图形中角度计算问题、角平分线的有关计算、对顶角相等 【分析】根据对顶角相等可得∠BOD＝∠AOC，再根据角平分线的定义求出∠DOE，然后根据∠BOF＝∠EOF－∠BOE代入数据计算即可得解． 【详解】解：因为∠AOC=36°（已知） 所以∠BOD=∠AOC=36°（对顶角相等） 因为OE平分∠BOD（已知） 所以∠BOE=∠BOD=（角平分线定义） 因为∠EOF=90°（已知） 所以∠BOF=∠EOF==72°（余角性质） 【点睛】本题考查了对顶角、余角、角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握这些定义． 题型二 垂线的定义理解 4．（24-25七年级下·上海松江·期中）如图，若，垂足为O，则 度． 【答案】 【知识点】垂线的定义理解、对顶角相等、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了垂直的定义，对顶角，角的和差计算，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 根据垂直得到，再由对顶角相等得到，然后由即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 5.（23-24六年级下·上海闵行·期末）在直线上任取一点O，过点O作射线、，使得，如果，那么的度数为 ． 【答案】或 【知识点】几何图形中角度计算问题、垂线的定义理解、与余角、补角有关的计算 【分析】本题考查垂线的定义，几何图形中的角度计算．分类讨论，再画出图形是解题关键．分类讨论：①当C、D在直线的同侧时和②当C、D在直线的异侧时，分别求解即可． 【详解】解：分类讨论：①当C、D在直线的同侧时，如图①， ∵， ∴． ∵， ∴； ②当C、D在直线的异侧时，如图②， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故答案为：或． 题型三 点到直线的距离 6.（20-21七年级下·上海奉贤·期末）如图，在△ABC中，∠C＝90，D是边BC上一点，且∠ADC＝60，那么下列说法中错误的是（　　） A．直线AD与直线BC的夹角为60 B．直线AC与直线BC的夹角为90 C．线段CD的长是点D到直线AC的距离 D．线段AB的长是点B到直线AD的距离 【答案】D 【知识点】相交线、点到直线的距离 【分析】根据已知角即可判断A、B；根据点到直线的距离的定义即可判断C、D． 【详解】解：A、∵∠CDA＝60， ∴直线AD与直线BC的夹角是60，正确，故不符合题意； B、∵∠ACD＝90， ∴直线AC与直线BC的夹角是90，正确，故不符合题意； C、∵∠ACD＝90， ∴DC⊥AC， ∴线段CD的长是点D到直线AC的距离，正确，故不符合题意； D、∵BD和AD不垂直， ∴线段AB的长不是点B到直线AD的距离，错误，故本选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了点到直线的距离，以及直线与直线的夹角，注意：点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长． 7.（21-22七年级下·上海·期末）如图，在△ABC，AD⊥BC，垂足为点D，那么点B到直线AD的距离是线段 的长度． 【答案】BD/DB 【知识点】点到直线的距离 【分析】根据点到直线的距离的概念进行判断，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解：∵AD⊥BD于D， ∴点B到直线AD的距离是线段BD的长， 故答案为：BD． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，解题时注意：点到直线的距离是垂线段的长度，而不是垂线段． 8.（23-24七年级下·上海金山·期中）按下列要求画图并填空： 如图，直线和相交于点O，M是上的一点，    (1)过点M画出直线的垂线，交直线于点N； (2)过点M画出直线的垂线，垂足为点F； (3)点M到点N之间的距离是线段________的长； (4)点O到直线的距离是线段________的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) (4) 【知识点】画垂线、点到直线的距离 【分析】本题考查作图-复杂作图，垂线，到直线的距离，点到点的距离，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可； （3）根据点到点的距离的定义，判断即可． （4）根据点到直线的距离的定义，判断即可． 【详解】（1）解：如图所示：直线即为所求：    （2）解：如上图所示，直线即为所求： （3）解：点M到点N之间的距离是线段的长 故答案为：， （4）解：点O到直线的距离是线段的长， 故答案为： 题型四 同位角、内错角、同旁内角 9.（22-23七年级下·上海嘉定·期末）如图，以下说法正确的是（   ）    A．和是同位角 B．和是同位角 C．和是内错角 D．和是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角，内错角，同旁内角的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：、和不是同位角，不是内错角，也不是同旁内角，故A不符合题意； B、和是同位角，故B不符合题意； C、和是内错角，故C不符合题意； D、和是同旁内角，故D符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了同位角，内错角，同旁内角的识别，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键． 10.（24-25七年级下·上海·期中）如图，与是 角，与是 角．（填“同位角”、“内错角”或“同旁内角”） 【答案】 同位角 同旁内角 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角、内错角、同旁内角，熟记定义是解题的关键． 根据同位角、内错角、同旁内角的定义求解即可． 【详解】如图，与是同位角，与是同旁内角． 故答案为：同位角，同旁内角． 题型五 同位角相等两直线平行 11.（22-23七年级下·上海虹口·期末）下列各图中，已知，则可以得到的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】求一个角的余角、同位角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定条件逐一进行分析，即可得到答案． 【详解】解：A、，，， ， ，符合题意，选项正确； B、不能得到，不符合题意，选项错误； C、不能得到，不符合题意，选项错误； D、不能得到，不符合题意，选项错误， 故选A． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定条件是解题关键 12.（24-25七年级下·上海杨浦·期中）如图所示，已知，垂足为B，，垂足为D，．试说明直线与平行． 解，（已知）， ，（____________）， 即、 又（____________）， _____=____________， （____________）． 【答案】见解析 【知识点】垂线的定义理解、同位角相等两直线平行 【分析】本题考查的是平行线的判定，垂直的定义，根据题干信息的提示，逐步完善推理过程与推理依据即可. 【详解】解：，（已知）， ，（垂直的定义）， 即、， 又（已知）， （等角的余角相等） ∴（同位角相等，两直线平行） 题型六 内错角相等两直线平行 13．（22-23八年级上·上海奉贤·期中）如图，下列推论正确的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】利用平行线的判定方法判断即可得到结果． 【详解】解：A、， ∴（内错角相等，两直线平行），不符合题意； B、， ∴（同位角相等，两直线平行），不符合题意； C、由无法得到，不符合题意； D、， ∴（同位角相等，两直线平行），符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解本题的关键． 14．（2022七年级下·上海·专题练习）如图，能推断的是（　　） A．∠3＝∠4 B．∠2＝∠4 C．∠3＝∠4+∠5 D．∠3＝∠1+∠2 【答案】C 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】利用平行线的判定进行分析即可． 【详解】解：A、∠3＝∠4不能推断，故此选项错误； B、∠2＝∠4不能推断，故此选项错误； C、∠3＝∠4+∠5能推断，故此选项正确； D、∠3＝∠1+∠2不能推断，能推出，故此选项错误； 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平行线的判定，关键是掌握同位角相等，两直线平行．内错角相等，两直线平行．同旁内角互补，两直线平行． 15．（21-22七年级下·上海宝山·阶段练习）如图所示，已知∠1＝56°，∠2＝44°，∠3＝80°，那么 ∥ ，判断依据是 ． 【答案】 AB CD 内错角相等，两直线平行(答案不唯一) 【知识点】内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】∵∠1+∠3+∠ABD＝180°，∠1＝56°，∠3＝80°， ∴∠ABD＝180°﹣56°﹣80°＝44°， ∵∠2＝44°， ∴∠2＝∠ABD， ∴AB∥CD（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：AB；CD；内错角相等，两直线平行． 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“内错角相等，两直线平行”是解题的关键． 16．（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知于点，于点，，试说明． 解：因为（已知）， 所以（ ）． 同理． 所以（ ）． 即． 因为（已知）， 所以（ ）． 所以（ ）． 【答案】垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行 【知识点】垂线的定义理解、内错角相等两直线平行 【分析】根据垂直定义得出，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】解：因为（已知）， 所以（垂直的定义）， 同理． 所以（等量代换）， 即． 因为（已知）， 所以（等式的性质， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：垂直的定义；等量代换；等式的性质1；内错角相等，两直线平行 【点睛】本题考查了垂直定义和平行线的判定的应用，熟练掌握平行线的判定是解题关键． 题型七 同旁内角互补两直线平行 17.（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，在下列条件中，能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法逐一分析即可． 【详解】解：，根据内错角相等，两直线平行，能判定，故A符合题意； 不能判定，故B不符合题意； 不能判定，故C不符合题意； ，结合同旁内角互补，两直线平行，可得，故D不符合题意； 故选A 【点睛】此题考查了平行线的判定，熟记“同位角相等，两直线平行”、“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”是解题的关键 18.（21-22七年级下·上海普陀·期末）如图所示，下列说法中正确的编号是 ． ①若∠2=∠4，则ADBC； ②若∠1=∠3，则ADBC； ③若∠3+∠ABC=180°，则ABCD； ④若∠2=∠4，则ABCD； ⑤若∠4+∠ABC=180°，则ABCD； ⑥若∠1=∠3，则ABCD． 【答案】②④/④② 【知识点】同旁内角互补两直线平行、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行 【分析】根据平行线的判定方法逐一分析判断即可． 【详解】解：①若∠2=∠4，则ABCD，故①错误； ②若∠1=∠3，则ADBC，故②正确； ③若∠3+∠ABC=180°，不能判定ABCD，故③错误； ④若∠2=∠4，则ABCD，故④正确； ⑤若∠4+∠ABC=180°，不能判定ABCD，故⑤错误； ⑥若∠1=∠3，则ADBC，故⑥错误． 所以正确的说法是②④． 故答案为：②④． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练应用平行线的判定定理是解题的关键，平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系．应用平行线的判定和性质定理时，一定要弄清题设和结论，切莫混淆 19.（21-22七年级下·上海·阶段练习）如图：已知∠1＝120°，∠2＝60°，那么图中哪两条直线平行？为什么？ 解：∵∠1＝∠3（　　），∠1＝120°（已知） ∴∠3＝　　（　　） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（　　） ∴　　∥　　（　　） 【答案】对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行 【知识点】同旁内角互补两直线平行 【分析】根据等式的性质以及平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：∵∠1＝∠3（对顶角相等），∠1＝120°（已知）， ∴∠3＝120°（ 等量代换） ∵∠2＝60°（已知） ∴∠3+∠2＝180°（等式的性质） ∴AB∥DE（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：对顶角相等；120°；等量代换；等式的性质；AB；DE；同旁内角互补，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定方法，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 题型八 两直线平行同位角相等 20．（21-22七年级下·上海·期末）下列说法中，正确的是（　　） A．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 B．连接直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线最短 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条 【答案】D 【知识点】平行公理的应用、两直线平行同位角相等、垂线的定义理解、垂线段最短 【分析】根据平行线的性质、垂线段最短、平行公理、垂直性质逐项判断即可． 【详解】解：A、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故选项A错误，不符合题意； B、连接直线外一点到直线上各点的所有线段中，垂线段最短，故选项B错误，不符合题意； C、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，故选项C错误，不符合题意； D、在平面内经过直线上或直线外的一点作已知直线的垂线可以作一条，并且只可以作一条，故选项D正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查平行线的性质、垂线段最短、平行公理、垂直性质，熟练掌握相关知识是解答的关键． 21.（20-21七年级下·上海金山·期末）如图，已知DE∥BC，∠ABC＝70°，那么直线AB与直线DE的夹角等于 度． 【答案】70 【知识点】两直线平行同位角相等 【分析】先根据平行线的性质，求得∠AFE的度数，再根据邻补角的定义，即可得到∠AFD的度数． 【详解】解：如图，直线AB和DE相交于点F， ∵BC∥DE，∠ABC=70°， ∴∠AFE=∠ABC=70°，， ∴直线AB、DE的夹角是70°． 故答案为：70． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟记“两直线平行，同位角相等”是解题的关键 22．（20-21七年级下·上海嘉定·期末）如图，已知，，垂足分别为点、，，试说明的理由． 解：因为，（已知）， 所以，（    ）， 所以（等量代换）， 所以（    ）， 所以（    ）， 因为（已知）， 所以（    ）， 所以（    ）． 【答案】垂直的意义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行 【知识点】内错角相等两直线平行、两直线平行同位角相等、垂线的定义理解 【分析】根据两直线平行的判定与性质进行填写即可， 【详解】解：因为，（已知）， 所以，（垂直的意义）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等）， 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：垂直的意义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；等量代换；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了垂线，两直线平行的判定与性质．解题的关键在于熟练掌握平行线的判定与性质． 题型九 两直线平行内错角相等 23.（20-21六年级下·上海浦东新·期末）点A在点B的北偏东50°方向，则点B在点A的（    ） A．北偏东40°方向 B．北偏西50°方向 C．南偏东40°方向 D．南偏西50°方向 【答案】D 【知识点】方向角的表示、两直线平行内错角相等 【分析】根据方位角即可判定． 【详解】解：根据点A在点B的北偏东50°方向，可知点B在点A的南偏西50°方向， 故选：D． 【点睛】本题考查了方位角，平行线的性质，理解和掌握方位角的识别是解决本题的关键． 24.（22-23七年级下·上海徐汇·期末）如图，已知船在观测站的北偏东方向上，且在观测站的北偏西方向上，那么的度数是 ．    【答案】/度 【知识点】两直线平行内错角相等、与方向角有关的计算题 【分析】过点作，根据两直线平行，内错角相等，即可求出答案． 【详解】解：过点作，如图所示：   ， ， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键． 题型十 两直线平行同旁内角互补 25.（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，直线被直线所截，，已知，则 ．    【答案】 【知识点】对顶角相等、两直线平行同旁内角互补 【分析】数形结合，根据对顶角相等及平行线性质求解即可得到答案． 【详解】解：如图所示：   ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查利用平行线性质求角度，熟记两直线平行，同旁内角互补是解决问题的关键． 26.（22-23七年级下·上海松江·期中）如图，已知，，，求的度数．（请写出过程依据） 【答案】，过程依据见解析 【知识点】两直线平行同旁内角互补、几何问题(一元一次方程的应用)、对顶角相等 【分析】由平行线的性质可得，由对顶角相等得，等量代换得，把，代入求出的值可得出结论． 【详解】解：（已知）， （两直线平行，同旁内角互补）， （对顶角相等）， （等量代换）， 即， 解得：， ． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，对顶角相等，熟练掌握两直线平行，同旁内角互补是解答本题的关键． 37.（21-22七年级下·上海·期末）如图所示，、之间是一座山，一条高速公路要通过、两点，在地测得公路走向是北偏西如果、两地同时开工，那么在地按北偏东多少度施工，才能使公路在山腹中准确接通？为什么？ 【答案】在地按北偏东施工 【知识点】与方向角有关的计算题、两直线平行同旁内角互补 【分析】根据题意可得有平行线的性质，同旁内角互补即可得出解答． 【详解】解：在地按北偏东施工，就能使公路在山腹中准确接通． 指北方向相互平行，、两地公路走向形成一条直线， 这样就构成了一对同旁内角， ，两直线平行，同旁内角互补， 可得在地按北偏东施工． 【点睛】本题考查了平行线的性质和方向角，熟练地掌握同旁内角互补的知识点是解决此题的关键． 题型十一 根据平行线的性质探究角的关系 38.（20-21七年级下·上海普陀·期末）如图，已知，下列条件中不能判断直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、同旁内角互补两直线平行 【分析】选项A，通过同位角相等，可以判定，不符合题意． 选项B，通过内错角相等和同位角相等，可以判定，不符合题意． 选项C，通过同旁内角互补和同位角相等，可以判定，不符合题意． 选项D，，只能判定，不能判定，符合题意． 【详解】 ∵, ∴（内错角相等，两直线平行）． ∴（两直线平行，同位角相等）， ①∵， ∴． ∴（同位角相等，两直线平行） 则A可以判断直线，故A不符合题意； ②∵ ∴（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 则B可以判断直线，故B不符合题意； ③∵，， ∴ ∵， ∴ ∴（同位角相等，两直线平行） 则C可以判断直线，故C不符合题意； ④，， ∴恒成立 则D不可以判断直线，故D符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查的知识点为：内错角、同位角、同旁内角、对顶角的概念和通过内错角、同位角、同旁内角判定平行；准确掌握判定性质是解答此题的关键 39.（24-25七年级下·上海浦东新·期中）同一平面内，如果的两边与的两边分别平行，且比的3倍少，那么 【答案】或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质、角度的关系，由题意可得，根据的两边与的两边分别平行，得出或，分别求解即可． 【详解】解：∵比的3倍少， ∴， ∵的两边与的两边分别平行， ∴或， 当时，，解得， 当时，，解得， 综上所述，或， 故答案为：或． 40．（22-23七年级下·上海虹口·期末）如图，，则∠B、∠C、∠D的关系是 ．    【答案】 【知识点】平行公理的应用、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】如图，过作，证明，，，从而可得答案． 【详解】解：如图，过作，    ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 题型十二 根据平行线的性质求角的度数 41.（22-23七年级下·上海浦东新·期末）将一副三角板中的两块直角三角尺的直角顶点C按如图所示的方式叠放在一起，其中，，，当且点在直线的上方时，如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为（    ）．    A．30或60 B．60或120 C．45或60 D．30或120 【答案】D 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】分两种情况：当时；当时，然后分别利用平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：分两种情况： 当时，如图：    ∵， ， ， ； 当时，如图：    ∵， ； 综上所述：如果三角板的直角边与边平行，那么的度数为或， 故选：D． 【点睛】本题考查了平行线的性质，分两种情况讨论是解题的关键 42.（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，在中，，，绕点逆时针旋转的三角形的一边平行与原三角形的一边，若旋转角小于，则 ．    【答案】或 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据旋转的性质求解 【分析】本题考查了旋转的性质求解，根据平行线性质求角度，根据题意分两种情况：①当绕点逆时针旋转当时；②当绕点逆时针旋转当时，分别画出图进行求解即可． 【详解】解：如图，当绕点逆时针旋转当时，   ， ， ， ； 当绕点逆时针旋转当时，   ， ， 故答案为：或． 43.（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、相交于点，根据下列语句画图并解答： (1)过点画出，交于点； (2)过点画出，垂足为点； (3)如果，那么 ．（直接写出结果） 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)62 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、画垂线、用直尺、三角板画平行线 【分析】本题考查平行线、垂线的作法，平行线的性质： （1）根据平行线的定义作图； （2）根据垂线的定义作图； （3）根据平行线的性质求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：， ， ， ， 故答案为：62． 题型十三 根据平行线判定与性质求角度 44.（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，直线、分别与、相交，已知，，，那么 ．    【答案】100 【知识点】对顶角相等、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查平行线的判定和性质，由对顶角相等可得，根据可得，由平行线的性质可得． 【详解】解：如图，   ，， ， ， ， 故答案为：100． 45.（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，，，，求∠4的度数． 【答案】80° 【知识点】利用邻补角互补求角度、根据平行线判定与性质求角度 【分析】如图，由题意易得，则有，然后可得，进而可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 题型十四 判断是否是命题 46.（22-23八年级上·上海普陀·期中）下列语句中哪句话是定义（   ） A．联结A、B两点. B．等角的余角相等吗？ C．内错角相等，两直线平行. D．整数与分数统称为有理数. 【答案】D 【知识点】判断是否是命题 【分析】判断一件事情的语句，叫做命题．根据命题和定义的概念进行判断． 【详解】解：A、联结A、B两点，不是定义，不符合题意； B、等角的余角相等吗？不是定义，不符合题意； C、内错角相等，两直线平行，不是定义，不符合题意； D、整数与分数统称为有理数，是定义，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题主要考查了命题的定义：判断一件事情的语句是命题，一般有“是”，“不是”等判断词，比较简单． 47．（24-25七年级下·上海·阶段练习）下列是命题的是（    ） A．作两条相交直线 B．和相等吗？ C．对顶角相等 D．若，求a的值 【答案】C 【知识点】判断是否是命题 【分析】本题考查了命题与定理，根据命题的定义对各选项进行判断，熟知判断一件事情的语句，叫做命题是解题的关键． 【详解】解：A、“作两条相交直线”为描述性语言，它不是命题，所以A选项不符合题意； B、“和相等吗？”为疑问句，它不是命题，所以B选项不符合题意； C、对顶角相等，它是命题，所以C选项符合题意； D、“若，求的值”为描述性语言，它不是命题，所以D选项不符合题意． 故选：C． 48.（22-23八年级上·上海浦东新·期中）“若，则，” 命题（选填“是”或“不是”）． 【答案】是 【知识点】判断是否是命题 【分析】根据命题的定义判断即可． 【详解】若，则，是一个命题. 故答案为：是． 【点睛】本题主要考查了命题的判断，掌握定义是解题的关键．即是表示判断一件事情的句子是命题. 题型十五 判断命题真假 49.（24-25八年级上·上海奉贤·期末）下列命题是真命题的个数为（   ） ①互为补角的两个角都是锐角 ②能够被2整除的数叫做偶数 ③相等的角是对顶角 ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行 ⑤两条直线被第三条直线所截，内错角相等 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】判断命题真假、对顶角相等、平行公理的应用、两直线平行内错角相等 【分析】本题主要考查了命题的真假，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行判断求解． 根据补角，对顶角的性质，平行公理和平行线的性质逐一判断即可． 【详解】解：A、①互为补角的两个角不一定都是锐角，故此说法错误，是假命题； ②能够被2整除的数叫做偶数，故此说法正确，是真命题； ③相等的角不一定是对顶角，故此说法错误，是假命题； ④在同一平面内，平行于同一条直线的两条直线平行，故此说法正确，是真命题； ⑤两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等，故此说法错误，是假命题． 综上所述，是真命题的个数为2． 故选：A． 50．（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题中，真命题是（    ） A．“把两个图形叠合”是命题； B．每一个命题一定有逆命题 C．真命题的逆命题一定是真命题 D．每一个定理一定有逆定理 【答案】B 【知识点】判断是否是命题、判断命题真假 【分析】本题考查了命题，根据命题的定义及有关概念逐项判断即可求解，掌握命题的定义及有关概念是解题的关键． 【详解】解：、“把两个图形叠合”不是命题，不符合题意； 、每一个命题一定有逆命题，正确，符合题意； 、真命题的逆命题不一定是真命题，故错误，不符合题意； 、每一个定理一定有逆命题，但不一定是逆定理，故错误，不符合题意； 故选：． 51．（23-24八年级上·上海·期末）下列命题中，真命题的有（    ）个． 到角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的角平分线； 以为底边的等腰三角形顶点的轨迹是线段的垂直平分线； 反比例函数，随着的增大而增大； 过原点的一条直线一定是正比例函数的图象． A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】判断命题真假 【分析】此题考查了命题，根据命题的概念判断真假即可，解题的关键是熟练掌握掌握知识点的应用和正确理解命题． 【详解】在角的内部且到这个角的两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线（端点除外），故该命题是假命题； 底边为定长的等腰三角形的顶角顶点的轨迹是底边的垂直平分线，底边的中点除外，故该命题是假命题； 反比例函数，在每一象限内，随着的增大而增大，故该命题是假命题； 过原点的一条直线不一定是正比例函数的图象，经过原点的可能是或轴，故该命题是假命题； 所以真命题的有个， 故选：． 题型十六 写出命题的逆命题 52.（21-22八年级上·上海静安·期末）下列命题的逆命题是真命题的是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．若，则 C．对顶角相等 D．若，，则 【答案】A 【知识点】判断命题真假、写出命题的逆命题、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查的是命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．掌握判断命题的真假的方法是关键．先写出各个命题的逆命题，再判断即可． 【详解】解： A、同位角相等，两直线平行的逆命题是两直线平行，同位角相等，是真命题； B、若，则逆命题是若，则， ∵， ∴， ∴逆命题是假命题； C、对顶角相等的逆命题是相等的角是对顶角，逆命题是假命题； D、若，，则的逆命题是若，则，， ∵， ∴不一定大于0，且，也可以， ∴逆命题是假命题； 故选：A． 53.（24-25八年级上·上海黄浦·期末）勾股定理的逆命题是（写成“如果…那么”的形式） ． 【答案】如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查的是命题的概念，两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，而第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫做互逆命题．其中一个命题称为另一个命题的逆命题．交换原命题的题设和结论即可得到原命题的逆命题． 【详解】解：勾股定理的逆命题是：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 故答案为：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 54．（24-25八年级上·上海松江·期末）命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是 ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 【知识点】写出命题的逆命题 【分析】本题考查了命题与逆命题，正确理解原命题与逆命题的关系是解题关键． 根据把一个命题的条件和结论互换就得到它的逆命题解答即可． 【详解】解：命题“如果两个角是同一个角的补角，那么这两个角相等”的逆命题是如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角是同一个角的补角． $$