立体几何中的动态轨迹问题-2025届高三数学二轮复习

立体几何中的动态问题 轨迹 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 【学习目标】 2、能够根据平行和垂直关系确定动点在几何体中的轨迹； 1、会由定长度和定角度条件确定动点在几何体中的轨迹； 3、根据生成的轨迹解决立体几何中的一些长度和面积问题. 【学习重难点】： 1、灵活地运用空间中的平行和垂直关系准确转化动点的轨迹问题，化动为定 2、充分调动空间想象力和逻辑推理能力把复杂问题简单化. 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 一 动点保持定长求轨迹 线段AD的垂直平分面α （自主思考 归纳方法） 直线 线段 点 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 以A为球心，1为半径的球面 以A为圆心，1为半径的圆 四分之一圆弧 两个点 思考：若改为AP≤1 呢？ 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 线段B1D1 过C与平面A1BD平行的平面与上底面的交线 E 追问：若改为E在正方体表面上，求E的轨迹长度？ 二、动点保持平行关系求轨迹 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 （练习） C G 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 B G H 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 E G F 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 E 三、动点保持垂直关系求轨迹 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 过C与直线BD垂直的平面与上底面的交线 线段A1C1 E 追问：若E在正方体表面上时，求E的轨迹面积？ 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 P 线段B1C 练习： 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 例5.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2E是平面A1BD内的动点,设直线AE与平面A1BD所成的角为sin=,则点E的轨迹所围成的面积为_______. E .H （合作研学,以例感知） 四、动点保持定角求轨迹 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 【变式练习】如图所示，在棱长为3的正方体中，P是底面ABCD内(包括边界)的动点,满足:直线D1P与直线CC1所成角的大小为,则线段DP扫过的面积为_____. .P 追问：线段D1P扫过的面积为 . 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 课堂小结： 立体几何中的轨迹问题 平行 垂直 等角 转化为面面平行得轨迹 转化为线面垂直得轨迹 转化为定长得轨迹 轨迹的相关性质,综合应用 等长 转化为圆或球得轨迹 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 自主练习： G H C 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 E F M N 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 5、 在棱长为1正方体中，为棱的中点，动点在侧面及其边界上运动，总有，则动点的轨迹长度为________． M .P E F 高中部“问题驱动·深度思维·高度参与”高效课堂教学大赛 第1页 变式1、在例1的条件下，追加如下条件，试讨论： （1） 在平面 内，则 的轨迹是： . （2） 在四边形 内，则 的轨迹是： . （3） 在直线 上，则 的轨迹是： . 已知正方体 的棱长为2， 是空间中任意一点：（口答） 例1、若 ，则 的轨迹是： . 变式2、在例2 的条件下，追加如下条件，试讨论： （1） 在平面 内，则 的轨迹是： . （2） 在四边形 内，则 的轨迹是： . （3） 在直线 上，则 的轨迹是： . 已知正方体 的棱长为2， 是空间中任意一点：（口答） 例2、若 ，则 的轨迹是： . 例3：如图，点 是棱长为2的正方体的上底面上任意一点； 点 满足 ∥平面 , 则：点 的轨迹是： ； 轨迹生成特征： . 1．在三棱台A1B1C1﹣ABC中，点D在A1B1上，且AA1∥BD，点M是 内（含边界）的一个动点，且有平面BDM∥平面A1C，则动点M的轨迹是（    ）   A．平面 B．直线 C．线段，但只含1个端点 D．圆 2．如图，在三棱柱 中，M为A1C1的中点N为侧面 上的一点，且MN //平面 ，若点N的轨迹长度为2，则（    ）   A．AC1 = 4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6 3．已知棱长为 的正方体 ， 为棱 中点，现有一只蚂蚁从点 出发，在正方体 表面上行走一周后再回到点 ，这只蚂蚁在行走过程中与平面 的距离保持不变，则这只蚂蚁行走的轨迹所围成的图形的面积为 ． 的垂线 引例：（人教A版2019必修第二册P170复习参考题） 如下图一块正方体木料的上底面有一点 ,在上底面画一条直线与 垂直，则应该怎么画？ 例4:：如图，点 是棱长为2的正方体的上底面上任意一点； 点 满足 , 则：点 的轨迹是： ； 轨迹特征： . 在正方体 中，点P在侧面 及其边界上运动，并且总保持 ，则动点P的轨迹是　 $$