专题02 相交线与平行线（考点清单，3考点梳理+17题型解读）-2024-2025学年七年级数学下学期期末考点大串讲（沪教版2024）

专题02 相交线与平行线（考点清单，3考点梳理+17题型解读） 清单01 相交线 1.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 2.同位角（F型）：在截线的同旁, 又分别在直线的相同一侧的位置。 3.内错角（Z型）：在截线的两旁, 又分别在直线之间。 4.同旁内角（U型）：在截线的同旁, 又分别在直线之间。 5. 两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。 6.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 。 7.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线 。它们的交点叫垂足。 8.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。 9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 清单02 平行线 1.平行线概念：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如直线、是平行线，记作： 2.两条直线平行的判定 方法1 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 图形：如下左图； 符号： 方法2 文字：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 图形： 如上中图； 符号： 方法3 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 图形：如上右图； 符号： 3.平行线的性质 基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行的传递性：若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：若，则a//c. 平行线的性质1：两直线平行，同位角相等. 图形：如下左图； 符号： 平行线的性质2：两直线平行，内错角相等. 图形：如上中图； 符号： 平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。 图形：如上右图； 符号： 4.两平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。 清单03 命题与证明 1 命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 2 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 3 证明 1）.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2）.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【考点题型一】对顶角相等（） 【例1】（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图：直线相交于点O，且，直线与直线夹角的大小为 ． 【答案】71° 【分析】先求出，再根据对顶角相等即可求解． 【详解】解：， ， ，180°－109°=71°， ∴直线与直线夹角为或71°， 故答案为：71°． 【点睛】本题考查了对顶角相等的性质，角度的加减运算，互补关系，注意两直线的夹角可以是钝角也可以是锐角． 【变式1-1】（21-22七年级下·上海·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝150°，则∠BOC＝ 度． 【答案】150 【分析】根据对顶角相等可得答案． 【详解】解：因为直线AB与CD相交于点O， 所以∠AOD与∠BOC是对顶角， 所以∠AOD＝∠BOC， 因为∠AOD＝150， 所以∠BOC＝150， 故答案为：150． 【点睛】本题考查了对顶角．解题的关键是掌握对顶角的定义，对顶角的性质． 【变式1-2】（21-22七年级下·上海闵行·期中）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 【答案】∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【分析】利用已知条件，进行推理即可． 【详解】解：∵∠COB＝90°，∠COF＝58°（已知）， ∴∠BOF＝∠COB−∠COF＝32°（等式性质）， ∵∠AOE＝∠FOB（对顶角相等）， ∴∠AOE＝32°（等量代换）， ∵OA平分∠DOE（已知） ∴∠AOE＝∠AOD（角平分线的意义）， ∴∠DOE＝64°（等量代换）． 故答案为：∠BOF；对顶角相等；∠AOE＝32°；∠AOD；等量代换． 【点睛】本题考查的是证明的步骤和格式，解题的关键是熟练掌握对顶角相等、等量代换、角平分线的意义． 【变式1-3】（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了有关角平分线的计算，对顶角相等，明确题意，准确得到角与角之间的数量关系是解题的关键． （1）根据对顶角相等和垂线定义得出，，然后求出结果； （2）设，则，得出，根据角平分线的定义得出，，列出方程，求出x的值，然后再求出结果即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴， ， ∵， ∴， 解得：， ∴ ． 【考点题型二】垂线的定义理解（） 【例2】（22-23六年级下·上海黄浦·期末）下列方法中，不能用来检验平面与平面垂直的方法是（    ）． A．铅垂线 B．两把三角尺 C．合页型折纸 D．长方形纸片 【答案】D 【分析】由题意根据直线与水平面垂直，必须满足直线垂直于水平面内两条相交的直线，由此分析即可作出判断． 【详解】解：A、根据重力学原理，铅垂线垂直于水平面，不符合题意； B、将两块三角板的直角边重合，另外两条直角边相交，放在水平面上，可判断重合的直角边垂直于水平面，不符合题意； C、合页型折纸其折痕与纸被折断的一边垂直，即折痕与被折断的两线段垂直，把折断的两边放到水平面上，可判断折痕与水平面垂直，不符合题意； D、长方形纸片只能判断长与宽互相垂直，不能判断与水平面垂直，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查垂线的判定，解答此题的关键是明确线面垂直的判定方法 【变式2-1】（21-22六年级下·上海·期末）建筑工地上的工人检验墙角是否垂直于地面的常用方法是 ． 【答案】测量墙角与地面形成的角是否为90° 【分析】根据垂线的定义解决此题． 【详解】解：若墙角与地面形成的角是90度，则墙角垂直于地面． ∴常用方法是测量墙角与地面形成的角是否为90°． 故答案为：测量墙角与地面形成的角是否为90°． 【点睛】本题主要考查考查垂线，熟练掌握垂线的定义是解决本题的关键 【变式2-2】（22-23六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点是直线上的点，．    (1)图中与互补的角有_______________； (2)如果射线、分别表示从点出发的正东、正西两个方向，那么射线表示______________（请填方位角）； (3)如果，请画射线（不要求写画法）． 【答案】(1)和 (2)北偏西54°方向 (3)见解析 【分析】（1）根据补角的定义即可得到结论； （2）过点O作根据余角的性质即可得到结论； （3）根据题意作出图形即可． 【详解】（1）解：∵ ∴图中与互补的角有和 故答案为∶ （2）解：过点作 射线表示北偏西方向， 故答案为∶北偏西方向；    （3）解：如图1，射线为所求作射线，    【点睛】本题考查了补角的定义，方向角，角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． 【考点题型三】点到直线的距离（） 【例3】（20-21七年级下·上海静安·期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（　　） A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度 【答案】C 【分析】点到直线的距离、直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离． 【详解】解、A、CB的长度是点B到AC的距离，故不合题意． B、AC的长度是点A到BC的距离，故不合题意． C、CD的长度是点C到AB的距离，故符合题意． D、AB是点A到点B的距离，故不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了点到直线的距离，理解点到直线距离的定义是解答本题的关键. 【变式3-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【答案】A 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离是指该点到直线的垂线段的长度，即可得解． 【详解】解：由题意可得：表示点到直线的距离是线段的长度， 故选：A． 【变式3-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段 的长度表示点A到直线的距离． 【答案】/ 【分析】根据点到直线的距离的定义得出即可．本题考查了点到直线的距离的定义（垂线段的长度），能熟记点到直线的距离的定义的内容是解此题的关键． 【详解】解：结合图形，∵ ∴点A到的距离是线段的长度， 故答案为：． 【考点题型四】平行公理的应用（） 【例4】（2022七年级下·上海·专题练习）在平面内，下列四个说法中，正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条线段与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条线段与已知直线平行 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】依据垂线的性质以及平行公理，即可得出结论． 【详解】解：A．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，不是线段，故本选项错误； B．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，既要求经过直线外一点，要是直线，故本选项错误； C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项正确； D．经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故本选项错误； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质以及平行公理，在平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．正确区分垂线的性质和平行公理中对经过的点是否是直线外的一点是解题的关键． 【变式4-1】（21-22七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．点到直线的距离是指直线外的一点到这条直线的垂线段的长度 B．经过直线上或者直线外一点作已知直线的垂线只能做一条 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 【答案】A 【分析】依据相关的定义和性质对每个选项进行分析判断可得结论． 【详解】解：点到直线的距离是指直线外的一点到这条直线的垂线段的长度， A选项正确； 在同一平面内，经过直线上或者直线外一点作已知直线的垂线只能做一条， B选项不正确； 在同一平面内，经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行， C选项不正确； 如果两条平行线被第三条直线所截，那么同位角相等， D选项不正确． 综上，正确的选项是：A． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，垂线的性质，点到直线的距离，平行公理及推论，同位角的概念，准确应用上述定义和性质是解题的关键． 【考点题型五】同位角、内错角、同旁内角（） 【例5】（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同旁内角的定义判断即可．同旁内角在截线的同旁，在被截直线的内侧．熟练掌握同旁内角的特征是解题的关键． 【详解】解：A、与是同位角，故不符合题意； B、与既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，故不符合题意； C、与是同位角，故不符合题意； D、与同旁内角，故符合题意； 故选：D． 【变式5-1】（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，的同位角是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】在两条直线的同一侧，在截线的同一旁，所得的两个角是同位角，根据定义判断． 【详解】解：与不是同位角，故A不符合题意； 与不是同位角，故B不符合题意； 与是同位角，故C符合题意； 与不是同位角，故D不符合题意； 故选：C． 【点睛】此题考查了同位角的定义，正确理解定义及图形特征是解题的关键 【变式5-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 个． 【答案】3 【分析】本题考查同旁内角，关键是掌握同旁内角的定义．根据两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可得到答案． 【详解】解：能与构成同旁内角的角有、、，共3个． 故答案为：3． 【考点题型六】内错角相等两直线平行（） 【例6】（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，∆ABC的面积为3，则∆CAD的面积为 ． 【答案】6 【分析】首先根据内错角相等判定AD//BC，过点C作CM⊥AD，AN⊥BC，即可得出CM=AN，进而得出△ACD和△ABC的面积关系，即可得解． 【详解】∵∠1=∠2 ∴AD//BC， 过点C作CM⊥AD，AN⊥BC，如图所示： ∴CM=AN ∵ ， 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查平行线的判定与性质，熟练掌握，即可解题 【变式6-1】（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知，那么 ． 【答案】 /DA /CB 【分析】与是内错角，根据“内错角相等，两直线平行”可以得到． 【详解】解：∵（已知） ∴（内错角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练判断三线八角是解题关键． 【变式6-2】（20-21七年级下·上海·期中）如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4=∠7；②∠2=∠5；③∠2+∠3=180°；④∠2=∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是 【答案】①④ 【分析】根据平行线的判定和各个小题中的条件，可以判断是否可以使得a∥b，从而可以解答本题． 【详解】解：①当∠4=∠7时，同位角相等，两直线平行，则a∥b，故①说法正确，符合题意； ②当∠2=∠5时，无法证明a∥b，故②说法错误，不符合题意； ③当∠2+∠3=180°时，无法证明a∥b，故③说法错误，不符合题意； ④当∠2=∠7时，内错角相等，两直线平行，则a∥b，故④说法正确，符合题意； 故答案为：①④． 【点睛】本题考查了平行线的判定，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 【考点题型七】同旁内角互补两直线平行（） 【例7】（20-21七年级下·上海·期末）如图，下列条件不能判定ABCD的是（　　） A．∠CAD＝∠ACB B．∠BAC＝∠ACD C．∠B+∠BCD＝180° D．∠B＝∠DCE 【答案】A 【分析】利用平行线的判定方法一一判断即可． 【详解】解：A、∠CAD＝∠ACB，根据内错角相等，两直线平行，可得ADBC，故本选择项符合题意； B、∠BAC＝∠ACD，根据内错角相等，两直线平行，可得ABCD，故本选择项不符合题意； C、∠B+∠BCD＝180°，根据同旁内角互补，两直线平行，可得ABCD，故本选择项不符合题意； D、∠B＝∠DCE，根据同位角相等，两直线平行，可得ABCD，故本选择项不符合题意； 故选择：A． 【点睛】本题考查了平行线的判定定理，掌握判断同位角、内错角或同旁内角之间的关系来证明两直线平行是解题的关键 【变式7-1】（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与直线、分别交于点E、F，要使，需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据平行线的判定定理，即可进行解答． 【详解】解：要使，需添加一个条件，这个条件可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，解题的关键是掌握平行线的判定：同旁内角互补，两直线平行；同位角相等，两直线平行． 【变式7-2】（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【答案】③⑤/⑤③ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：∵， ∴，故①不符合题意； ∵， ∴，故②不符合题意； ∵， ∴，故③符合题意； ∵， ∴，故④不符合题意； ∵，， ∴， ∴，故⑤符合题意； 故答案为：③⑤． 【考点题型八】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行（） 【例8】（20-21七年级下·上海·期中）在同一平面内有两两不重合的直线、和，，，则直线、的位置关系是（    ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据平行的判定方法：垂直于同一条直线的两条直线平行可知． 【详解】解：∵， ∴（垂直于同一直线的两条线平行）． 故选：A． 【点睛】本题考查平行的判定方法，关键是掌握平行的判定方法：垂直于同一条直线的两条直线平行． 【变式8-1】（20-21七年级下·上海松江·期中）下列说法中不正确的是（　　） A．平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离、垂直的性质及平行线的判定等知识即可判断． 【详解】A、平面内，垂直于同一条直线的两直线平行，故说法正确； B.过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故说法错误； C.平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，此说法正确； D.直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离，这是点到直线的距离的定义，故此说法正确． 故选：B 【点睛】本题主要考查了垂直的性质、点到直线的距离、平行线的判定等知识，理解这些知识是关键．但要注意：平面内，垂直于同一条直线的两直线平行；平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；这两个性质的前提是平面内，否则不成立 【变式8-2】（20-21七年级下·上海浦东新·期中）下列语句正确的个数是（　　） （1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由题意直接根据平行公理及平行线的判定定理进行判断即可． 【详解】解：经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故（1）正确； 经过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）不正确； 平面内，平行具有传递性，故（3）正确； 同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，则同位角（内错角）相等，这两条直线互相平行，故（4）正确， ∴正确的有（1）、（3）、（4）， 故选：C． 【点睛】本题考查平行公理及平行线的判定定理，熟练掌握理解平行线公理及判定定理是解题的关键． 【考点题型九】两直线平行同位角相等（） 【例9】（20-21七年级下·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】C 【分析】利用平行线的判定定理和性质定理判断即可． 【详解】C项中应只有平行直线被第三条直线所载，同位角才相等，A、B、D项正确； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定定理和性质定理，熟练掌握定理是解答此题的关键． 【变式9-1】（20-21七年级下·上海宝山·期末）如图，五边形中，，，、分别是与、相邻的外角，则等于 度． 【答案】90 【分析】过点作，结合题意可知，从而求解． 【详解】如图，过点作, 故答案为：90． 【点睛】本题考查了平行线的性质，垂直的定义，做辅助线转化是解题的关键 【变式9-2】（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，已知，，那么//吗？为什么？ 解：//． 理由如下： 因为（______）， 又因为（已知）， 所以（等式性质）． 因为（已知）， 得（______）． 所以//（______）． 【答案】邻补角的意义，等量代换，同位角相等，两直线平行． 【分析】利用平行线的逆定理来解决． 【详解】. 理由如下： 因为（邻补角的定义）， 又因为（已知）， 所以（等式性质）. 因为（已知）， 得（等量代换）. 所以（同位角相等，两直线平行）. 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，邻补角、解题的关键掌握平行线的逆定理的使用． 【考点题型十】两直线平行内错角相等（） 【例10】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知船C在观测站A的北偏东35°方向上，且在观测站B的北偏西20°方向上，那么 度． 【答案】55 【分析】过点C作，根据两直线平行，内错角相等，即可解决问题． 【详解】解：过点C作，如图所示： ， ， ，， ． 故答案为：55． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握两直线平行内错角相等是解决问题的关键． 【变式10-1】（20-21七年级下·上海普陀·期末）如图，、分别是的一个内角的平分线与一个外角的平分线，过点作，分别交、于点E、F．如果四边形的周长是16，，那么 【答案】5 【分析】根据角平分线的性质可得，，由平行线的性质可得，，可推出，，等量代换可得，则答案可解． 【详解】∵、分别是内角和外角平分线， ∴，， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∵四边形周长是16， ∴， ， ， ， ∵， ∴， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，熟记性质定理是解题的关键 【变式10-2】（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，直线，的顶点B、C分别在直线，上，如果，，那么 °． 【答案】35 【分析】先根据∠1=25°得出∠4的度数，再由∠ABC=60°得出∠3的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图： ∵//， ∴ ∵， ∴ ∴ ∵// ∴，， 故答案为35． 【点睛】本题考查的是平行线的性质，用到的知识点为：两直线平行，内错角相等 【考点题型十一】两直线平行同旁内角互补（） 【例11】（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1=57°，则∠2的度数为 ． 【答案】33°/33度 【分析】由AB∥CD，∠1=57°，根据两直线平行，同旁内角互补，可求得∠BDC的度数，又由AD⊥BD，即可求得答案． 【详解】解：∵AB∥CD， ∴∠1+∠BDC=180°， ∵∠1=57°， ∴∠BDC=180°-∠1=123°， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB=90°， ∴∠2=∠BDC-∠ADB=33°． 故答案为：33°． 【点睛】此题考查了平行线的性质以及垂线的定义．注意掌握两直线平行，同旁内角互补的应用是解此题的关键． 【变式11-1】（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°． 【答案】见解析 【分析】首先过点E作EMAB，过点F作FNCD，由：∠E＝∠F，∠1＝∠2，易证得∠MEF＝∠NFE，由平行线的判定，可得EMFN，继而可得ABEMFNCD，然后由平行线的性质，即可证得：∠ABH＋∠CHB＝180°． 【详解】证明：过点E作EMAB，过点F作FNCD， ∴∠2＝∠BEM，∠1＝∠HFN， ∵∠BEF＝∠EFH，∠1＝∠2， ∴∠BEF﹣∠BEM＝∠EFH﹣∠HFN， ∴∠MEF＝∠NFE， ∴EMFN， ∴ABEMFNCD， ∴∠ABH+∠CHB＝180°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定与性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法是关键，注意数形结合思想的应用． 【考点题型十二】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例12】（21-22七年级下·上海·期中）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5 【答案】A 【分析】根据平行线的性质和对顶角的性质进行判断． 【详解】解：A、∵∠1与∠2是对顶角， ∴∠1＝∠2，本选项说法正确； B、∵AD与AB不平行， ∴∠2≠∠3，本选项说法错误； C、∵AD与CB不一定平行， ∴∠3≠∠4，本选项说法错误； D、∵CD与CB不平行， ∴∠1≠∠5，本选项说法错误； 故选：A． 【点睛】本题考查平行线的应用，熟练掌握平行线的性质和对顶角的意义与性质是解题关键 【变式12-1】（20-21七年级下·上海徐汇·期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，则下列四个结论中：①∠1＝∠2； ②∠2+∠4＝90°；③∠1+∠3＝90°；④∠4+∠5＝180°正确的序号是 ； 【答案】①②③④ 【分析】①两直线平行，同位角相等；②余角的性质即可判断；③对顶角和余角的性质即可判断；④两直线平行，同旁内角互补． 【详解】①根据两直线平行，同位角相等，故①正确； ②三角板的顶角是直角，所以∠2+∠4=90°，故②正确； ③∠3与∠1的对顶角互为余角，故③正确； ④根据两直线平行，同旁内角互补，故④正确． 故答案为：①②③④． 【点睛】本题主要考查平行线的性质、对顶角及余角的性质，熟练掌握角度之间的关系是解题的关键． 【变式12-2】（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【答案】两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；； 【分析】过点E作，根据平行公理推出，进而得出，则，即可求解． 【详解】解：过点E作， 得（两直线平行，同旁内角互补）， 因为（已知）， （所作）， 所以（平行于同一直线的两直线互相平行）． 得（两直线平行，同旁内角互补）． 所以（等式性质）． 即， 因为（已知）， 所以（等式性质）． 故答案为：两直线平行，同旁内角互补；已知；平行于同一直线的两直线互相平行；；两直线平行，同旁内角互补；；；． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线公理以及两直线平行，同旁内角互补． 【考点题型十三】根据平行线的性质求角的度数（） 【例13】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在一个长方形纸片的一边上，那么 度． 【答案】 【分析】根据得到，结合，解答即可． 本题考查了平行线的性质，邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵，， ∴． ∴． 故答案为：． 【变式13-1】（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知船在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上，那么 ． 【答案】/95度 【分析】本题考查平行线的性质、方位角，于D，由可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如图，作于D， 由题意知，，，， ，， ， 故答案为： 【变式13-2】（21-22七年级下·上海·期末）如图，∠A＝∠3＝55°，ABDE，求∠1、∠2的度数． 解：∵ABDE （已知） ∴∠1＝ ∠2＝ ∵∠A＝∠3＝55°（已知） ∴ ＝ ＝ °． 【答案】∠3，∠A，∠1，∠2，55 【分析】根据平行线的性质推出∠1＝∠3，∠2＝∠A把已知代入即可求出答案． 【详解】解：∵ABDE， ∴∠1＝∠3（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠A （两直线平行，同位角相等）， ∵∠A＝∠3＝55° （已知） ∴∠1＝∠2＝55°， 故答案为：∠3，∠A，∠1，∠2，55． 【点睛】本题考查了平行线的性质，能熟练地运用平行线的性质进行推理是解此题的关键 【考点题型十四】根据平行线判定与性质求角度（） 【例14】（20-21七年级下·上海·期末）小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是 ． 【答案】40° 【分析】过A作AH∥m，可以得到AH∥m∥n，从而得到∠HAE=∠AEG=20°，∠ADF=∠HAD，再根据∠CAB=60°求解即可. 【详解】解：过A作AH∥m， ∵m∥n， ∴AH∥m∥n， ∴∠HAE=∠AEG=20°，∠ADF=∠HAD， ∵三角形ABC时等边三角形， ∴∠CAB=60°， ∴∠HAC+∠HAD=60°， ∴∠ADF=∠HAD=40°， 故答案为：40°. 【点睛】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握平行线的性质. 【变式14-1】（21-22七年级下·上海·期末）阅读并填空：如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝57°，求∠4的度数． 解：因为∠1＝∠3（已知）， 所以_______（同位角相等，两直线平行）． 所以∠2______． 因为∠2＝57°（已知）， 所以______＝57°（等量代换）． 因为∠4+_____＝180°（邻补角的意义）， 所以∠4＝_____°（等式性质）． 【答案】a//b，＝∠5，∠5，∠5，123 【分析】根据同位角相等，推出a//b，根据平行线性质求出∠5，根据∠4+∠5＝180°即可得答案． 【详解】解：∵∠1＝∠3， ∴a//b， ∴∠2＝∠5， ∵∠2＝57°， ∴∠5＝57°， ∵∠4+∠5＝180°， ∴∠4＝123°， 故答案为：a//b，＝∠5，∠5，∠5，123． 【点睛】本题考查了平行线的性质和判定的应用，主要考查学生运用性质进行推理的能力． 【变式14-2】（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分，，求的度数． 解：∵（已知）， ∴（______）， ∴（______）． ∵（邻补角的定义）， ∴______°（等式性质）． ∵FG平分（已知）， ∴______（______）， ∴______°（等式性质）， ∴______°（等式性质）． 【答案】同位角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；100；，角平分线的定义；50；130 【分析】根据，可得，从而得到，再由邻补角的定义可得，然后根据角平分的定义可得，即可求解． 【详解】∵（已知）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（邻补角的定义）， ∴（等式性质）． ∵FG平分（已知）， ∴（角平分线的定义）， ∴（等式性质）， ∴（等式性质）． 【点睛】本题主要考查了平行的判定和性质，邻补角的性质，有关角平分线的计算，熟练掌握平行的判定和性质定理是解题的关键． 【考点题型十五】根据平行线判定与性质证明（） 【例15】（22-23七年级下·上海·期末）已知，如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定的综合应用，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系，平行线的性质是由平行关系来寻找角的数量关系． 由知，结合得，利用平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【变式15-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）对于如图给定的图形（不再添线），从①；②；③；④中选取两个作为已知条件，通过说理能得到． (1)你选择的两个条件是______（填序号）； (2)根据你选择的两个条件，说明的理由． 【答案】(1)②③ (2)见解析 【分析】（1）根据平行线的判定和性质，适当选择解答即可； （2）根据平行线的判定解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】（1）解：根据题意，选择②③， 故答案为：②③． （2）解：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． 【变式15-2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，请填写理由，说明． 解：因为（已知），（    ）， 所以（    ）． 所以（    ）． 所以______（    ）． 所以（已知）． 又因为______（等量代换）． 所以（    ）． 【答案】邻补角定义、等量代换、内错角相等，两直线平行、、两直线平行，同旁内角互补、、同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查平行线的判定与性质、涉及邻补角定义等知识，由邻补角定义及已知条件得到，再由平行线的判定与性质得到，再由等量代换即可得到，从而判断．熟记平行线的判定与性质是解决问题的关键． 【详解】解：因为（已知），（邻补角定义）， 所以（等量代换）． 所以（内错角相等，两直线平行）． 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为（已知）． 又因为（等量代换）． 所以（同旁内角互补，两直线平行）． 故答案为：邻补角定义、等量代换、内错角相等，两直线平行、、两直线平行，同旁内角互补、、同旁内角互补，两直线平行． 【考点题型十六】判断命题真假（） 【例16】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．关于某一条直线对称的两个三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】A 【分析】本题考查了逆命题，命题真假，熟练掌握判定是解题的关键． 【详解】A. 关于某一条直线对称的两个三角形全等的逆命题是两个全等的三角形关于某条直线对称，不正确，符合题意； B. 到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上逆命题是垂直平分线上的点到线段两端点距离相等，正确，不符合题意； C. 在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等的逆命题，在一个角的内部，到这个角两边的距离相等的点在角平分线上，正确，不符合题意； D. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方的逆命题是如果两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形，正确，不符合题意， 故选A． 【变式16-1】（22-23八年级下·上海·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据不等式的性质和二次根式的性质，逐项判断即可得到答案． 【详解】解：A．若，，则，故A选项不符合题意； B．若，，为负数，则，但，故B选项不符合题意； C．若，则，故C选项不符合题意； D．若，则，，故，故D选项符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了判断命题的真假，不等式的性质，二次根式的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【考点题型十七】写出命题的逆命题（） 【例17】（23-24八年级上·上海金山·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．对顶角相等； D．同位角相等，两直线平行． 【答案】C 【分析】本题主要考查逆命题和真假命题，能够写出命题的逆命题是解题的关键． 【详解】解：A. 逆命题为：如果，那么，是真命题，不符合题意； B. 逆命题为：如果，那么，真命题，不符合题意； C. 逆命题为：相等的角是对顶角，是假命题，符合题意； D. 两直线平行，同位角相等，是真命题，不符合题意； 故选C． 【变式17-1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】此题考查了真假命题和逆命题，不等式的性质等知识．写出逆命题，根据不等式的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； B. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； C. 原命题的逆命题是：若，则，是假命题； D. 原命题的逆命题是：若，则，是真命题； 故选：C 【变式17-2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列语句中真命题的个数是（   ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行公理、平行线的性质．根据对顶角相等、线段、平行公理、平行线的性质逐个判断即可得． 【详解】解：①两直线平行，同旁内角互补，原说法错误，不是真命题； ②锐角三角形的三条高交于三角形内一点，原说法错误，不是真命题； ③在同一平面内，若，，则，原说法错误，不是真命题； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，说法正确，是真命题； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是“相等的角是对顶角”不是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直，说法正确，是真命题； 综上，真命题的个数有2个， 故选：B． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 相交线与平行线（考点清单，3考点梳理+17题型解读） 清单01 相交线 1.对顶角（X型）：有一个公共顶点,且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线. 2.同位角（F型）：在截线的同旁, 又分别在直线的相同一侧的位置。 3.内错角（Z型）：在截线的两旁, 又分别在直线之间。 4.同旁内角（U型）：在截线的同旁, 又分别在直线之间。 5. 两条直线的夹角：两条直线相交形成四个小于平角的角，其中不大于直角的角叫做两条直线的夹角。 6.两条直线互相斜交：两条直线的夹角是锐角。 其中一条直线叫做另一条直线的斜线 。 7.两条直线互相垂直：两条直线的夹角是直角。其中一条直线叫做另一条直线的垂线 。它们的交点叫垂足。 8.垂线的性质 （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 （2）联结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。简单地说：垂线段最短。 9.点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。 清单02 平行线 1.平行线概念：同一平面内不相交的两条直线叫做平行线。如直线、是平行线，记作： 2.两条直线平行的判定 方法1 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行. 图形：如下左图； 符号： 方法2 文字：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行. 图形： 如上中图； 符号： 方法3 文字：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行. 图形：如上右图； 符号： 3.平行线的性质 基本性质（1）经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行. （2）平行的传递性：若两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行. 即：若，则a//c. 平行线的性质1：两直线平行，同位角相等. 图形：如下左图； 符号： 平行线的性质2：两直线平行，内错角相等. 图形：如上中图； 符号： 平行线的性质3：两直线平行，同旁内角互补。 图形：如上右图； 符号： 4.两平行线间的距离：两条平行线中，任意一条直线上的所有点到另一条直线的距离都是一个定值，这个定值叫做这两条平行线间的距离。 清单03 命题与证明 1 命题 用自然语言、符号或式子表达，且可以判断其真假的语句叫作命题.正确的命题叫作真命题，错误的命题叫作假命题. 数学命题通常由条件、结论两部分组成.命题常可以写成“如果……,那么……”的形式.其中，用“如果”开始的部分是条件，用“那么”开始的部分是结论. 2 互逆命题 在两个命题中，如果第一个命题的条件是第二个命题的结论，且第一个命题的结论又是第二个命题的条件，那么这两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个命题叫作原命题，那么另外一个命题就叫作它的逆命题. 原命题是真命题时，其逆命题不一定是真命题. 3 证明 1）.证明：除了公理之外，真命题需要经过证明才能确认. 证明一个命题为真，先明确“已知”“求证”,再“证明”.其中，“已知”是命题的条件，“求证”是命题的结论，“证明”是在“已知”和“求证”之间建立逻辑联系的完整推理过程.在初中平面几何中，通常遵循步骤： (1)根据题意画出示意图； (2)根据条件和结论，参照示意图，写出“已知”和“求证”; (3)写出由条件推出结论的完整过程. 2）.反例：要判定一个命题是假命题，有时只需举出一个符合命题的条件，但不满足命题的结论的例子.这样的例子通常称为反例. 【考点题型一】对顶角相等（） 【例1】（21-22七年级下·上海闵行·期中）如图：直线相交于点O，且，直线与直线夹角的大小为 ． 【变式1-1】（21-22七年级下·上海·期末）如图，直线AB与CD相交于点O，若∠AOD＝150°，则∠BOC＝ 度． 【变式1-2】（21-22七年级下·上海闵行·期中）小明同学做一道几何题时，不小心漏了一些内容，请你把空缺之处填完整： 题目如下：如图，直线交于O，平分，求的度数．小徐的解答如下：解： ∵，（已知） ∴________（等式性质） ∵（                 ） ∴__________________（等量代换） ∵平分（已知） ∴____________（角平分线的意义） ∴（                  ） 【变式1-3】（23-24七年级下·上海·阶段练习）如图，直线相交于点，，平分，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【考点题型二】垂线的定义理解（） 【例2】（22-23六年级下·上海黄浦·期末）下列方法中，不能用来检验平面与平面垂直的方法是（    ）． A．铅垂线 B．两把三角尺 C．合页型折纸 D．长方形纸片 【变式2-1】（21-22六年级下·上海·期末）建筑工地上的工人检验墙角是否垂直于地面的常用方法是 ． 【变式2-2】（22-23六年级下·上海宝山·期末）如图，已知点是直线上的点，．    (1)图中与互补的角有_______________； (2)如果射线、分别表示从点出发的正东、正西两个方向，那么射线表示______________（请填方位角）； (3)如果，请画射线（不要求写画法）． 【考点题型三】点到直线的距离（） 【例3】（20-21七年级下·上海静安·期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，那么点C到直线AB的距离是（　　） A．线段CB的长度 B．线段AC的长度 C．线段CD的长度 D．线段AB的长度 【变式3-1】（24-25七年级下·上海·期中）如图，在中，，是斜边上的高，那么表示点到直线的距离是（　　） A．线段的长度 B．线段的长度 C．线段的长度 D．线段的长度 【变式3-2】（23-24七年级下·上海浦东新·期中）如下图，直角三角形中，，于点D，图中线段 的长度表示点A到直线的距离． 【考点题型四】平行公理的应用（） 【例4】（2022七年级下·上海·专题练习）在平面内，下列四个说法中，正确的是（　　） A．经过一点有且只有一条线段与已知直线垂直 B．经过一点有且只有一条线段与已知直线平行 C．经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．经过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【变式4-1】（21-22七年级下·上海·期中）下列说法正确的是（　　） A．点到直线的距离是指直线外的一点到这条直线的垂线段的长度 B．经过直线上或者直线外一点作已知直线的垂线只能做一条 C．经过一点，有且只有一条直线与已知直线平行 D．如果两条直线被第三条直线所截，那么同位角相等 【考点题型五】同位角、内错角、同旁内角（） 【例5】（23-24七年级下·上海普陀·期末）如图，与位置关系为同旁内角的角是（    ）    A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23七年级下·上海普陀·期中）如图，的同位角是（     ）    A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25七年级上·上海徐汇·期末）如图：与构成同旁内角的角有 个． 【考点题型六】内错角相等两直线平行（） 【例6】（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知∠1=∠2，AD=2BC，∆ABC的面积为3，则∆CAD的面积为 ． 【变式6-1】（20-21七年级下·上海·期中）如图，已知，那么 ． 【变式6-2】（20-21七年级下·上海·期中）如图，直线a、b被直线c所截，现给出的下列四个条件：①∠4=∠7；②∠2=∠5；③∠2+∠3=180°；④∠2=∠7．其中能判定a∥b的条件的序号是 【考点题型七】同旁内角互补两直线平行（） 【例7】（20-21七年级下·上海·期末）如图，下列条件不能判定ABCD的是（　　） A．∠CAD＝∠ACB B．∠BAC＝∠ACD C．∠B+∠BCD＝180° D．∠B＝∠DCE 【变式7-1】（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，直线与直线、分别交于点E、F，要使，需添加一个条件，这个条件可以是 ．（只需写出一种情况） 【变式7-2】（22-23七年级下·上海青浦·期中）如图，以下条件能判定的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤． 【考点题型八】在同一平面内，垂直于同一直线的两直线平行（） 【例8】（20-21七年级下·上海·期中）在同一平面内有两两不重合的直线、和，，，则直线、的位置关系是（    ） A．互相平行 B．互相垂直 C．相交但不垂直 D．无法判断 【变式8-1】（20-21七年级下·上海松江·期中）下列说法中不正确的是（　　） A．平面内，垂直于同一条直线的两直线平行 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这个点到直线的距离 【变式8-2】（20-21七年级下·上海浦东新·期中）下列语句正确的个数是（　　） （1）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）经过平面内一点有且只有一条直线与已知直线平行； （3）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行； （4）在同一平面内，如果两条直线都与第三条直线垂直，那么这两条直线也互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【考点题型九】两直线平行同位角相等（） 【例9】（20-21七年级下·上海闵行·期末）下列说法错误的是（    ） A．经过直线外的一点，有且只有一条直线与已知直线平行 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．两条直线被第三条直线所截，截得的同位角相等 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【变式9-1】（20-21七年级下·上海宝山·期末）如图，五边形中，，，、分别是与、相邻的外角，则等于 度． 【变式9-2】（20-21七年级下·上海闵行·期末）如图，已知，，那么//吗？为什么？ 解：//． 理由如下： 因为（______）， 又因为（已知）， 所以（等式性质）． 因为（已知）， 得（______）． 所以//（______）． 【考点题型十】两直线平行内错角相等（） 【例10】（20-21七年级下·上海浦东新·期末）如图，已知船C在观测站A的北偏东35°方向上，且在观测站B的北偏西20°方向上，那么 度． 【变式10-1】（20-21七年级下·上海普陀·期末）如图，、分别是的一个内角的平分线与一个外角的平分线，过点作，分别交、于点E、F．如果四边形的周长是16，，那么 【变式10-2】（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，直线，的顶点B、C分别在直线，上，如果，，那么 °． 【考点题型十一】两直线平行同旁内角互补（） 【例11】（21-22七年级下·上海闵行·期末）如图，AB∥CD，AD⊥BD，∠1=57°，则∠2的度数为 ． 【变式11-1】（21-22七年级下·上海·期中）如图，已知：∠E＝∠F，∠1＝∠2，试说明：∠ABH+∠CHB＝180°． 【考点题型十二】根据平行线的性质探究角的关系（） 【例12】（21-22七年级下·上海·期中）如图，AB和CD相交于点O，则下列结论正确的是（    ） A．∠1＝∠2 B．∠2＝∠3 C．∠3＝∠4 D．∠1＝∠5 【变式12-1】（20-21七年级下·上海徐汇·期中）将一直角三角板与两边平行的纸条如图所示放置，则下列四个结论中：①∠1＝∠2； ②∠2+∠4＝90°；③∠1+∠3＝90°；④∠4+∠5＝180°正确的序号是 ； 【变式12-2】（22-23七年级下·上海浦东新·期中）如图，已知，，那么等于多少度？为什么？      解：过点E作， 得（____________）， 因为（____________）， （所作）， 所以（____________）． 得____________（____________）． 所以______°（等式性质）． 即______°， 因为（已知）， 所以______°（等式性质）． 【考点题型十三】根据平行线的性质求角的度数（） 【例13】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，将一块直角三角板的直角顶点放在一个长方形纸片的一边上，那么 度． 【变式13-1】（23-24七年级下·上海宝山·期末）如图，已知船在港口的北偏东方向上，且在港口的北偏西方向上，那么 ． 【变式13-2】（21-22七年级下·上海·期末）如图，∠A＝∠3＝55°，ABDE，求∠1、∠2的度数． 解：∵ABDE （已知） ∴∠1＝ ∠2＝ ∵∠A＝∠3＝55°（已知） ∴ ＝ ＝ °． 【考点题型十四】根据平行线判定与性质求角度（） 【例14】（20-21七年级下·上海·期末）小宋把一张等边三角形的纸片放在如图所示的两条平行线m、n上测得∠AEG＝20°，那么∠ADF的度数是 ． 【变式14-1】（21-22七年级下·上海·期末）阅读并填空：如图，已知∠1＝∠2＝∠3＝57°，求∠4的度数． 解：因为∠1＝∠3（已知）， 所以_______（同位角相等，两直线平行）． 所以∠2______． 因为∠2＝57°（已知）， 所以______＝57°（等量代换）． 因为∠4+_____＝180°（邻补角的意义）， 所以∠4＝_____°（等式性质）． 【变式14-2】（20-21七年级下·上海静安·期末）如图，已知直线AB、CD被直线EF所截，FG平分，，求的度数． 解：∵（已知）， ∴（______）， ∴（______）． ∵（邻补角的定义）， ∴______°（等式性质）． ∵FG平分（已知）， ∴______（______）， ∴______°（等式性质）， ∴______°（等式性质）． 【考点题型十五】根据平行线判定与性质证明（） 【例15】（22-23七年级下·上海·期末）已知，如图，，，求证：． 【变式15-1】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）对于如图给定的图形（不再添线），从①；②；③；④中选取两个作为已知条件，通过说理能得到． (1)你选择的两个条件是______（填序号）； (2)根据你选择的两个条件，说明的理由． 【变式15-2】（23-24七年级下·上海杨浦·期末）如图，已知，请填写理由，说明． 解：因为（已知），（    ）， 所以（    ）． 所以（    ）． 所以______（    ）． 所以（已知）． 又因为______（等量代换）． 所以（    ）． 【考点题型十六】判断命题真假（） 【例16】（23-24八年级上·上海浦东新·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（    ） A．关于某一条直线对称的两个三角形全等 B．到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上 C．在一个角的内部，在角平分线上的点到这个角两边的距离相等 D．直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【变式16-1】（22-23八年级下·上海·期末）下列命题中正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【考点题型十七】写出命题的逆命题（） 【例17】（23-24八年级上·上海金山·期末）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．如果，那么； B．如果，那么； C．对顶角相等； D．同位角相等，两直线平行． 【变式17-1】（24-25七年级下·上海杨浦·期中）下列命题的逆命题是假命题的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式17-2】（24-25七年级下·上海闵行·期中）下列语句中真命题的个数是（   ） ①两直线平行，同旁内角相等； ②三角形的三条高交于三角形内一点； ③若，，则； ④在同一平面内，经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； ⑤命题“对顶角相等”的逆命题是真命题； ⑥两条平行直线被第三条直线所截，一组同旁内角的平分线互相垂直； A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$