专题02 勾股定理（考题猜想，11种高频易错重难点92题）-2024-2025学年八年级数学下学期期末考点大串讲（人教版）

专题02 勾股定理（考题猜想，11种高频易错重难点92题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一：利用勾股定理求线段长（高频） 1．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，．点是的中点，点是线段上的动点，过点作交于点．连结，若．    (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2)4.5 【分析】本题考查的是勾股定理、等腰三角形的性质； （1）根据等腰三角形的性质得到，证明，根据垂直的定义即可得证； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ，， ， ， ， ； （2）解：，，点是的中点， ，， ， ， ， ， ， 又在中，， ， 解得：． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 【答案】钟摆的长度 【分析】本题主要考查了利勾股定理的应用，正确构造直角三角形利用勾股定理列方程是解题的关键． 先说明，设，则，再根据勾股定理可知列方程求解即可． 【详解】解：由题意可知：，， ∴， 设，则， ∵， ∴，即，解得：． 答：钟摆的长度． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 【答案】(1) (2)①；②或 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、勾股定理、等腰三角形的性质和平行线的性质，解题的关键是分类讨论和熟练全等三角形的相关知识． （1）结合已知条件，利用勾股定理即可求得； （2）①由勾股定理得，并利用证得，有，即可求得； ②分两种情况：当点在线段上时，由面积比得，求得，并得到和，可得，利用等角对等边即可求得；当在线段的延长线上时．由面积比得，可求得，同理，即可求得． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得：； （2）解：①在中，由勾股定理得：． ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； ②分两种情况： 如图，当点在线段上时． ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 当在线段的延长线上时． ∵， ∴， ∵， ∴， 同理可得： ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）【阅读与应用】如图1已知平面内两点、，过这两点分别做垂直于轴和轴的虚线相交于点，则间的距离为，则，同理间的距离为，则，由勾股定理得：，即：，则平面内任意两点间的距离公式为． (1)如图2，已知点、，试利用两点间的距离公式求、两点间的距离？ (2)课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，中，，，，试利用“海伦公式”，求的面积？ (3)如图4，在（2）的条件下．过点作，垂足为，求线段的长？ 【答案】(1)5 (2) (3) 【分析】本题考查了三角形的面积：三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即底高．也考查了阅读理解能力． （1）利用两点间距离公式计算即可． （2）利用阅读材料，先计算出的值，然后根据海伦秦九韶公式计算的面积； （3）利用面积法求的长． 【详解】（1）解：； （2），，， ， 的面积； （3）如图，的面积， ， ． 题型二：勾股定理与等腰三角形（高频） 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中、的垂直平分线分别交于点E，F．若是等边三角形，．则 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等边三角形的性质，三角形外角的性质，含的直角三角形的性质，勾股定理．根据垂直平分线的性质得到，再利用等边三角形的性质得到，从而可得，从而可得答案． 【详解】解：∵垂直平分， ∴，， ∴， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，点是边上一点，点是延长线上一点，，连接交于点，点是的中点，过点作交于点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了中垂线的性质、勾股定理．点是的中点且，根据中垂线上的点到线段两端点的距离相等可得，设，则可得、，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值即为的长度，从而可得． 【详解】解：如下图所示，连接， 点是的中点，过点作交于点， ， 设， ， ，， 又， ， 在中，， ， 解得：， ， ． 故答案为： ． 7．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，于点，点在上，连接．若,，，则的长为 ． 【答案】2.7 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键 求出，，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得， 故答案为：2.7． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，则 ． 【答案】 【分析】过点作于点，由角平分线的性质得，进而由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后由三角形的面积求出的长即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵，是的角平分线， ∴， ∵，，， ∴， 在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的性质，角平分线的性质，三角形的面积，掌握勾股定理和等腰三角形的性质是解题的关键． 题型三：勾股定理的逆定理（高频） 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理及其逆定理，三角形的面积． 先通过勾股定理和逆定理证明出，再用等面积法求出，即可求出． 【详解】解：根据题意利用勾股定理计算出： ， ， ∴是直角三角形，， ， ， 解得：， ∴， 故选：B． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理以及三角形内角和定理，利用勾股定理和三角形内角和对选项进行逐一判定即可． 【详解】解：A中、∵， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； B中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； C中、∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故选项不符合题意； D中、∵， 设 ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴不是直角三角形，故选项符合题意； 故选：D． 11．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在中，，是上一点，且，． (1)求的度数． (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是勾股定理及其逆定理，如果直角三角形的两条直角边长分别是，斜边长为，那么． （1）根据勾股定理的逆定理得到； （2）根据勾股定理计算，得到答案． 【详解】（1）解：∵， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 由勾股定理得：， 即的长是． 12．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为多少？ 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理及等边三角形的性质与判定，解本题的关键在熟练掌握相关性质和定理．连接，由题意可知是等边三角形，求出的度数，根据勾股定理的逆定理，求出的度数，即可求出． 【详解】解：连接， ，， 是等边三角形， ，． ，， 则，， ， ， ． 13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，已知，，，，．求图中阴影部分的面积． 【答案】 【分析】考查的是勾股定理的运用和勾股定理的逆定理运用，先根据勾股定理求出的长，再根据勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，再根据即可得出结论． 【详解】解：在中， ∵， ∴． 在中， ∵． ∴为直角三角形． ∴． 14．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为上一点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 【答案】(1)直角三角形，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，勾股定理及其逆定理，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）勾股定理逆定理直接证明即可； （2）设，则，在中，由勾股定理得，解得，则，即可求解周长． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ∵， ∴， 即 ∴是直角三角形，； （2）解：设，则， 由（1），得， ∴， 在中，由勾股定理，得，即， 解得． ∴． ∴的周长为． 15．（24-25八年级上·山东烟台·期末）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 【答案】(1) (2)①；②直角三角形 【分析】本题主要考查勾股定理及逆定理，两点间的距离等知识，解题的关键是理解题意，准确计算并熟练掌握勾股定理及逆定理． （1）根据题意，把两点坐标代入到公式中计算即可； （2）①过点作轴于点，根据题意得出，即可得到最终结果；②根据题意，计算出的长，从而得出，即可得到最终结论． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：①过点B作轴于点F， ∵与x轴正半轴的夹角是， ∴， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形． 题型四：勾股定理的证明方法（难点） 16．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查勾股定理的几何验证，解题的关键是熟知勾股定理的运用． 根据图形及勾股定理的验证得到，故四边形的面积等于四边形的面积加上四边形的面积，再根据六边形的面积为14，即可求解． 【详解】解：∵， ∴设，， ∵六边形的面积为14， ∴ 解得，（舍去）， 根据图形及勾股定理的验证得到， ∴四边形的面积=四边形的面积加上四边形的面积． 故选：B． 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站，使村庄到停靠站的距离最短．经测量，． ①求停靠站与之间的距离停靠站与之间的距离； ②经测量发现停靠站到村庄和停靠站的距离相等，求停靠站到村庄的距离． 【答案】（1）见解析；（2）①停靠站与之间的距离为；② 【分析】本题考查勾股定理的证明，勾股定理的应用： （1）根据大正方形的面积等于小正方形的面积加上4个直角三角形的面积即可得证； （2）①直接利用勾股定理进行求解即可；②设，在中利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：（1）由图可知：； （2）①村庄到停靠站的距离最短， ∴， ∵，， ∴； 答：停靠站与之间的距离为； ②设，则：， 在中，， 则：， 解得：； 答：停靠站到村庄的距离为． 18．（24-25八年级上·河北保定·期末）我们学习了勾股定理，知道：在中，如果，，，，那么，，三者之间的数量关系是． (1)探索：我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．我们可以利用图1来验证勾股定理．（图1由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为和，斜边长为），请将下面的证明过程补充完整： 证明：小正方形的面积可以表示为； 小正方形的面积还可以表示为____________；（用含a，b，c的代数式表示） ______________________________ ______________________________ (2)应用：如图2，一根垂直于地面的竹子，原高18尺，虫伤生病，一阵风将竹子从A处折断，其顶端恰好落于B处，已知长6尺，求竹子折断处A离地面的高度（即的长）． 【答案】(1)；； (2)竹子折断处离地面8尺 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图中的应用以及勾股定理的应用等知识． （1）根据小正方形的面积等于大正方形的面积减去四个小三角形的面积得出，然后根据证明过程求解即可． （2）根据题意，(尺)，（尺），设的长为x尺，则尺，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：小正方形的面积可以表示为； 小正方形的面积还可以表示为；（用含a，b，c的代数式表示） ， ∴， ． （2）解：根据题意，(尺)， 设的长为x尺，则尺 则， 即 解得：， 即竹子折断处离地面8尺． 19．（24-25八年级上·山西长治·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____． 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，， 且______， ∴____________． 整理，得， ∴． 任务： (1)补全材料中的填空． (2)如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】此题考查了勾股定理的证明和勾股定理的应用． （1）根据题意得到，则．整理得，即可得到结论； （2）利用勾股定理得到，得到，解方程即可． 【详解】（1）证明：∵，，， 且， ∴． 整理，得， ∴． （2）解：由题意可得，， ∵是边上的高， ∴， ∴， ∴， 即 解得 20．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 【答案】(1)；； (2)；； (3)25 【分析】本题考查了完全平方公式和勾股定理的几何背景，学会用两种方法表示同一个图形的面积是解题的关键． （1）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （2）用整体法和分割法分别表示即可，进而得到等式； （3）把，代入到（2）中的关系式中计算即可求解． 【详解】（1）解：， ， ∴， 故答案为：；；． （2）解：∵从整体看，小正方形的边长为c， ∴． 从组成看，小正方形面积由大正方形面积减去四个直角三角形面积， ∴， ∴， ∴， ∴． （3）解：∵，， ∴， ∴小正方形的面积为25． 21．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 【答案】(1) (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题． （1）由题中勾股定理的推论将空格补充完整即可； （2）根据材料中勾股定理的推论，完成面积的计算过程即可； （3）设，根据勾股定理列出方程求出x的值，最后用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1） 故答案为：； （2）在中， 由勾股定理的推论，可知：． ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （3）如图2，设， 由勾股定理，得， ， 解得， ， ∴， ∴． 22．（22-23八年级上·山东济宁·期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． (1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示） (2)已知：两数x，y满足，，求的值． (3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出； （2）根据（1）中等式，整体代入计算； （3）根据正方形的面积，正方形的面积，即可得出． 【详解】（1）解：如图2，正方形的面积， 正方形的面积， ； （2），且，， ， 即， 的值为． （3）如图3，正方形的面积， 正方形的面积， ， 即． 【点睛】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解决问题的关键是运用面积法得出完全平方公式：．解题时注意数形结合思想的运用． 题型五：利用勾股定理证明线段平方关系（难点） 23．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 【分析】（1）证明即可； （2）根据（1）可得，得到，，得到是直角三角形，根据勾股定理证明即可． 【详解】（1）．理由如下： ∵与都是等腰直角三角形， ∴ ， ∴． ∴， ∴． （2）．理由如下： 由（1）可得， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】此题综合运用了等腰直角三角形的性质、全等三角形的性质和判定、以及勾股定理，关键是根据全等三角形的性质得出． 24．（22-23八年级上·山西忻州·期末）综合与实践 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形． (1)如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)该飞镖状图案的面积是24 (3) 【分析】（1）通过图中小正方形面积证明勾股定理； （2）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （3）根据图形的特征得出四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y，从而用x，y表示出，得出答案即可． 【详解】（1），且， 即， 则． （2）， 设，依题意有 ， 解得， ． 故该飞镖状图案的面积是24． （3）将四边形的面积设为x，将其余八个全等的三角形面积一个设为y， ∵正方形，正方形，正方形的面积分别为，， 由图得出， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了勾股定理的证明，本题是用数形结合来证明勾股定理，锻炼了同学们的数形结合的思想方法．（3）考查了图形面积关系，根据已知得出用x，y表示出，再利用求出是解决问题的关键． 25．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）如图所示，过点C作于F，利用三线合一定理得到，由此即可证明； （2）如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接，则，证明，得，再证明，则，即可证得． 【详解】（1）证明：如图所示，过点C作于F， ∵，， ∴， ∴， ∴；    （2）证明：如图所示，将绕点C沿逆时针方向旋转得到，连接， ∵， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴．      【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，旋转的性质，等腰直角三角形的性质与判定，勾股定理等等，正确利用旋转构造全等三角形是解题的关键． 题型六：勾股定理与垂美四边形（易错） 26．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（    ） A．45 B．49 C．50 D．53 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是理解“垂美”四边形的性质，则，根据，，，，，等量代换，即可． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， ∴在直角三角形中，； 在直角三角形中，， ∴， ∵在直角三角形，； 在直角三角形中，， ∴， 故选：D． 27．（23-24八年级下·广东茂名·期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 【答案】61． 【分析】本题考查了新定义以及勾股定理的应用，根据“垂美”四边形的定义得，代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵四边形是“垂美”四边形， ∴， 则 ∵ ∴． 28．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）； (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 【答案】(1)③④ (2)四边形是垂美四边形，理由见解析 (3) (4) 【分析】（1）根据各几何图形的性质即可求解； （2）连接，由题意得点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上，据此即可求解； （3）根据即可求解； （4）连接，设与交于点M，证得，可得，结合（3）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵菱形和正方形的对角线均互相垂直， ∴菱形和正方形是垂美四边形 故答案为：③④ （2）解：四边形是垂美四边形，理由如下： 连接，如图所示： ∵ ∴点A在线段的垂直平分线上，点C在线段的垂直平分线上， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴ 即：四边形是垂美四边形； （3）解：∵ ∴ 故答案为：； （4）解：如图3，连接，设与交于点M， 由题意得： ∴ 即： ∴ ∴ ∵，， ∴ ∴ 由（3）可得： ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：. 【点睛】本题考查了特殊平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，垂直平分线的性质等知识点，熟记相关结论即可. 29．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：下列三个图形①正方形②菱形③矩形一定是垂美四边形的是______（填序号） (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点O，．试证明：． (3)解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．已知，，求的长． 【答案】(1)①② (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）由垂美四边形的定义可得答案； （2）根据垂直四边形对角线互相垂直，再在直角三角形中，利用勾股定理即可推得结论； （3）先证明，得到，然后再证明四边形是垂直四边形，结合第二问的结论即可求得的长． 【详解】（1）解：∵正方形，菱形的对角线互相垂直， ∴正方形，菱形是垂美四边形， 故答案为：①②． （2），理由如下： 证明：∵， ∴， 由勾股定理，得，， ∴， （3）如图3，连接、， ∵正方形和正方形， ∴，，， ∴，    在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是垂美四边形， 由（2）得，， ∵，， ∴， ∵， ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查新定义的理解、矩形，菱形，正方形的性质、三角形全等判定和性质、勾股定理等知识点，理解新定义的含义并灵活应用是解题的关键． 30．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． (2)【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． (3)【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 【答案】(1)是，理由见详解 (2)正确，理由见详解 (3)的值为 【分析】本题主要考查四边形的综合，理解垂美四边形的定义，掌握全等三角形的判定和性质，垂直的判定和性质，勾股定理的综合运用的知识是解题的关键． （1）如图所示，连接，交于点，根据全等三角形的判定和性质可证，再证明，由此即可求解； （2）根据勾股定理即可求解； （3）根据等腰直角三角形的性质可证，四边形是垂美四边形，再根据（2）中的结论可得，根据勾股定理可求出的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：是，理由如下， 如图所示，连接，交于点， 在，中，，，， ∴， ∴，，， 在中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是垂美四边形， 故答案为：是； （2）解：正确，理由如下， ∵四边形是垂美四边形，，交于点， ∴在中，， 在中，， 在中，， 在中，， ∴，， ∴； （3）解：如图所示，设交于点，交于点， ∵，，， ∴，即， 在中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴在中，， ∴，即四边形是垂美四边形， 由（2）可得，， ∵在中，，， ∴， ∵是等腰直角三角形，是等腰直角三角形， ∴在中，， 在中，， ∴变形得，， ∴， 的值为． 31．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，已知，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，，连结，求的长．    【答案】（1）四边形是垂美四边形（2）（3） 【分析】（1）连接，根据到一条线段两端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上判定是的垂直平分线即可证明四边形是垂美四边形； （2）根据勾股定理在四个直角三角形中得到边的相等关系，然后推出对边的平方和相等； （3）根据可证明，得，得，由（1）的结论可求出的长． 【详解】解：四边形是垂美四边形． 理由如下： 如图①，连接，    ∵， ∴点A在线段的垂直平分线上， ∵， ∴点C在线段的垂直平分线上， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴四边形是垂美四边形； （2）解：， 证明如下： 如图，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即垂美四边形两组对边的平方和相等， （3）解：连接交于点F，    ∵和都是等腰直角三角形， ∴， ∴ ∴， ∵ ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 利用（1）中的结论： 又 ∴由勾股定理得，， 又， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查的是等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、垂直的定义、勾股定理的应用，熟练掌握等腰直角三角形性质和勾股定理等相关知识，灵活运用勾股定理是解题的关键． 题型七：勾股定理的实际应用（重点） 32．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题，用到台阶的平面展开图，勾股定理的应用．将台阶展开得到的是一个矩形，蚂蚁要从B点到E点的最短距离，便是长方形的对角线，利用勾股定理即可解出答案． 【详解】解：将台阶展开，如图， ∵，， ∴根据勾股定理可得：， ∴， 故选：C． 33．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设芦苇的长度是尺，由勾股定理可得，据此即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设芦苇的长度是尺， 由题意可得，， 故选：． 34．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．由题意可知，两个笔筒粗细相同，底面直径相等．根据勾股定理，第一个笔筒中：直径平方；第二个笔筒中：直径平方；因直径相等，列方程即可求解． 【详解】解：设铅笔长度为， ， 解得，， 故铅笔的长为； 故选：C． 35．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平面展开-最短路径问题、轴对称的性质、勾股定理，解决本题的关键是根据轴对称的性质画出蚂蚁走的最短路径，构造直角三角形，、利用勾股定理求出结果． 【详解】解：如下图所示，将圆柱的侧面展开， 则有，，， 作点关于的对称点，作交的延长线于点， 则，， ， 故答案为： ． 36．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用最短路线问题，把圆柱侧面展开，由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径，利用勾股定理计算即可求解，正确画出图形是解题的关键． 【详解】解：把圆柱侧面展开，如图，则分米，分米， 由两点之间，线段最短，可知线段为蚂蚁爬行的最短路径， 由勾股定理得，分米， ∴需要走的最短路程是分米， 故答案为：． 37．（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 【答案】2 【分析】本题考查了勾股定理的应用，作出辅助线、构造直角三角形、利用勾股定理求得线段的长度是解题的关键． 如图：过点D作于点E，构造，再利用勾股定理求得的长度即可． 【详解】解：如图：过点D作于点E，则米， ∵米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得到：（米）， 故答案为：2． 38．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（）方向以的速度向D移动在距离B地的正北方有一A地，已知A地到的距离，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 【答案】小时 【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理进行计算求解即可． 【详解】解：在中，根据勾股定理， （） 则台风中心经过小时从B点移到D点 39．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 【答案】(1)新路长度是120米 (2)该车没有超速，理由见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，勾股定理表示了直角三角形三边长之间的数量关系：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解． （1）根据垂线段最短可画出图形，根据三线合一可求出，然后利用勾股定理可求出新路长度； （2）先根据勾股定理求出的长，再求出的长，然后计算出速度判断即可． 【详解】（1）解：过点作，交于点D．即是新路． ， ， 在中，， 由勾股定理得， ， ， ∴新路长度是120米． （2）解：该车没有超速．理由如下： 在中，， 由勾股定理得， ， ， ， ∵该车经过区间用时16秒， ∴该车的速度为， ， ∴该车没有超速． 40．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 【答案】(1) (2)男孩需向右移动的距离为米 【分析】（1）由绳长始终保持不变即可求解； （2）由勾股定理求出、的长，然后根据即可求解． 【详解】（1）解：的长度是男孩未拽之前的绳子长，的长度是男孩拽之后的绳子长，绳长始终保持不变， ， （2）解：连接，则点、、三点共线， 在中，（米， （米， 在中，（米， ， （米， 男孩需向右移动的距离为米． 【点睛】本题考查了勾股定理的应用，根据勾股定理求出、的长是解题的关键． 41．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 【答案】(1)5小时 (2)符合航行安全标准，理由见解析 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及方位角的应用，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先得出，结合勾股定理列式（海里），因为货船的航行速度为20海里/小时，则（小时），即可作答． （2）先在上取两点M，N使得海里，结合，分别算出的长度，然后结合等腰三角形的三线合一，得出海里，因为货船的航行速度为10海里/小时，则（小时），即可作答． 【详解】（1）解：∵港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上 ∴， ∵港口A与灯塔C的距离是40海里，港口B与灯塔C的距离是30海里 （海里）， ∵货船的航行速度为10海里/小时 （小时）， 答：货船从A港口到B港口需要5小时； （2）答：这艘船在本次运输中符合航行安全标准，理由如下： 如图：过C作交于D， 在上取两点M，N使得海里 ∵， ∴（海里）， ∴（海里）， ∵， ∴是等腰三角形 ∵ ∴海里， ∴（小时） ∵， ∴这艘货船在本次运输中符合航行安全标准． 42．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键． （1）根据“两点之间，线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树尖进行直线飞行，飞行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出； （2）由勾股定理求出的长，即可求解． 【详解】（1）解：两棵树的高度差为（米），两树相距米（米）， 根据勾股定理可得：小鸟至少飞行的距离（米）， 答：至少飞了米； （2）解：由勾股定理得：， ， 解得：， 答：树折断处距离地面米． 43．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 【答案】(1)米 (2)小明需要后退约米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则，再由勾股定理计算即可得解； （2）过作于点，则四边形为长方形，得出，，由勾股定理得，即可得解． 【详解】（1）解：设旗杆的高度为，则， 在中，， 由勾股定理得：， ∴， 解得：， 答：旗杆的高度为． （2）解：过作于点，则， ∴四边形为长方形， ∴，， ， ，， 在中，， 由勾股定理得：， ， 答：小明需后退． 44．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1)绳子的总长度为 (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：由题意得，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 45．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）利用勾股定理求出，得到，勾股定理求出，再根据勾股定理即可得到答案； （2）用勾股定理逆定理证明是直角三角形，，则即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意可得，， 在中，， ∴， ， 在，， ∴， ， 即供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长为； （2）解：在中，， ， ∴是直角三角形，， ， ∴喷泉B到小路的最短距离为． 46．（24-25八年级上·四川乐山·期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 【答案】(1)见解析 (2)7200元 【分析】本题考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理、等腰三角形的性质以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理和勾股定理的逆定理是解题的关键． （1）由勾股定理的逆定理可证是直角三角形，即可说明； （2）过A作于点E，由等腰三角形的性质得，再由勾股定理得，然后求出阴影部分的面积，即可解决问题． 【详解】（1）解：，，， ， 是直角三角形，其中是斜边， ； （2）解：如图，过A作于点E， ，，， ， ， ， ， ， （元）， 此块空地全部种植花卉共需花费7200元． 47．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 【答案】(1)是直角三角形．理由见解析 (2)方案一所修的管道较短 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、三角形面积的计算． （1）由勾股定理的逆定理即可得出是直角三角形； （2）由的面积求出，得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：是直角三角形．理由如下： ， ， ， 是直角三角形； （2）解：的面积， ， ， ， 方案一所修的管道较短． 48．（24-25八年级上·河南南阳·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)的度数为__________． (2)在飞机飞行过程中，飞机距离着火点的最短距离为__________． (3)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要秒，那么着火点能否被该飞机扑灭？请你通过计算说明． 【答案】(1) (2) (3)能，见解析 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形， （2）利用直角三角形的面积计算出的长，即可得出结论； （3）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， 故答案为：． （2）， ， 即飞机距离着火点的最短距离为， 故答案为：． （3）解：着火点C能被该飞机扑灭． 如图所示，当时，飞机正好喷到着火点C， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为，所以， 因为20秒秒， 所以着火点C能被飞机扑灭． 49．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 【答案】探索求证：见解析；问题解决：千米；延伸扩展： 【分析】此题主要考查了勾股定理的证明与应用： （1）梯形的面积可以由梯形的面积公式求出，也可利用三个直角三角形面积求出，两次求出的面积相等列出关系式，化简即可得证； （2）设千米，则千米，根据勾股定理列方程，解得即可得到结果； （3）在和中，由勾股定理得求出，列出方程求解即可得到结果． 【详解】解：（1）， ， ∴， 即； （2）设千米，则千米， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， 即千米， ∴（千米）， ∴新路比原路少千米； （3）设，则， 在中，由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 即， 解得：． 题型八：勾股定理与全等三角形（难点） 50．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在一次综合实践活动中，小明将6个边长为1的小正方形进行如下操作：第一次操作，三个小正方形一组，边重叠拼接成如图1所示的2个“型”；第二次操作，将这2个“型”顶点、重合，并且使得，，三点共线，摆放成如图2所示的图形；第三次操作，将图2中的新图形放置在长方形纸片中，此时发现，小正方形的顶点、、、都落在长方形的各边上，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 过G作，交于点N，交于点M，易证，进而可求得，再利用勾股定理求出即可得解． 【详解】解：如图，过G作，交于点N，交于点M， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， 同理可证， 在和中， ∴， ∴， ∴设，， ∵， ∴， 在中，， ∴， 故答案为：． 51．（24-25八年级上·黑龙江·期末）在等边中，点在的延长线上，，，点在直线上，连接，，当时，的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解答本题的关键． 作的高、，根据“等腰三角形三线合一”知：，，根据勾股定理得：，从而，由“”证明，得到，再分类讨论：若点在线段的延长线上、若点在线段的延长线上，结合图形，分别求出的长即可． 【详解】解：在等边中，，， 作的高、，则，，，， ， 在和中， ， ， ， 若点在线段的延长线上，如图： 则； 若点在线段的延长线上，如图： 则， 综上所述，的长为或． 52．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，的角平分线交于点E，点D为中点，连接，，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理、全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 先导角证得，再根据D是中点构造倍长中线全等，延长到点F，使，易证，再构造等腰直角三角形，过B作于点G，，求出和，进而得到和，最后利用勾股定理在中和中分别表示出，建立方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 延长到点F，使， ∵D为中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 过B作于点G，则， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中，， 在中，， ∴， 解得， 即， 故答案为：． 53．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，作于，于，由等腰三角形的性质可得，，，由角平分线的性质定理可得，，从而得出、均为等腰直角三角形，证明，得出，进而得出，由等面积法结合等腰直角三角形的性质可得，从而得出，再由勾股定理计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于，于， ， ∵在中，，于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴，， ∴、均为等腰直角三角形， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 54．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，于点D，平分，交与点E，于点F，且交于点G，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理，面积转化法等；连接，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，由三角形面积得，求出，勾股定理得，即可求解；掌握等腰三角形的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理，面积转化法进行求解是解题的关键． 【详解】解：连接， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， 解得：， ； 故答案为：． 55．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等腰直角中，，点D在边（不含A，C两点）上，连，以为直角边向右侧作邻腰直角，，连接．若， ，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰直角三角形，熟练掌握等腰直角三角形的判定和性质，灵活运用勾股定理进行计算是解决问题的关键，正确地作出辅助线构造全等三角形是解决问题的难点． 过点作，交的延长线于点，设，则，证明和全等得，则，在中，由勾股定理可求出，则，进而得，然后在中，由勾股定理即可求出线段的长． 【详解】过点作，交的延长线于点，如图所示： ， 设， ， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， ∵是等腰直角三角形，， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得： ， 即， ， 在中，由勾股定理得： ， ， 在中，由勾股定理得： ． 故答案为：． 56．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是等边的边上的动点（不与点重合），在边上取点，使．连接交于点． (1)求证：； (2)和所成锐角是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)设的三边长分别为，试探究之间有何数量关系？写出你的结论，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)和所成锐角为定值，为 (3)，证明见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，等边三角形的性质等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）证明，得出； （2）由全等三角形的性质得出，得出； （3）过点作，交的延长线于点，求出，由勾股定理得出答案． 【详解】（1）证明：是等边三角形， ，， 在和中， ， ， ； （2）解：和所成锐角是定值． ， ， 又， ； （3）解：． 证明：过点作，交的延长线于点， 由（2）知， ， ， ， ， ， ． 57．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，是的角平分线． (1)如图①，过点D作交于点G，求证：是等腰三角形． (2)如图②，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）先根据是的角平分线得出，再由得出，据此得出结论； （2）先根据勾股定理求出的长，过点D作于点E，由角平分线的性质得出，故可得出，再次运用勾股定理即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即是等腰三角形； （2）解：∵，，， ∴， 过点D作于点E， ∵是的角平分线． ∴， 在与中， ， ∴， ∴， 设，则，，， 在中，，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查的是勾股定理，角平分线的定义，角平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，熟知以上知识是解题的关键． 题型九：勾股定理与折叠问题（易错） 58．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是图形翻折变换的性质及勾股定理，先设，再根据图形翻折变换的性质得出，再根据勾股定理求出的值． 【详解】解：设，则， 是翻折而成， ， 在中，， 即， 解得． 故选：C． 59．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠问题，勾股定理，根据题意求出EC的长为，是解题的关键．根据折叠的性质得到，所以在中，利用勾股定理求得，则，然后设，则，根据勾股定理列方程求出的长，可得点E的坐标，即可得到答案． 【详解】解：∵四边形为长方形，D的坐标为， ∴， ∵矩形沿折叠，使D落在上的点F处， ∴， 在中，， ∴， 设，则， 在中， ， 即， 解，即的长为， ∴点E的坐标为，则点的纵坐标为 故选：B． 60．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理，翻折的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由勾股定理求出，由折叠得到，设，则，在中，由勾股定理得，求出，再由面积法得到，即可求解． 【详解】解：，，，， ∴由勾股定理得， ∵将沿翻折，使得点C与点B重合． ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得，， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故选：B． 61．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，点在边上，连接，将沿着直线翻折，点恰好落在直线上的点处，若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了折叠的性质、全等三角形的性质、勾股定理．根据勾股定理可以求出，根据折叠的性质可知，根据全等三角形的性质可知，从而可求，设，则，，利用勾股定理可得关于的方程，解方程求出的值即可． 【详解】解：在中，， ， 根据折叠的性质可知， ， ， 设，则，， 在中，， ， 解得：， ． 故答案为： ． 62．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 【答案】 【分析】本题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，解答本题的关键要明确：在折叠过程中，对应角和对应边相等．点是直角边的中点，可以得到的长度，再利用翻折得到，在中利用勾股定理即可求出的长． 【详解】解：在中，，，， 点是直角边的中点， ， 根据折叠的性质，得， ， 设为，则：， 在中：， 解得：， 故答案为：． 63．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 【答案】1或2 【分析】此题主要考查了直角三角形折叠，熟练掌握折叠性质，含的直角三角形性质，勾股定理解直角三角形，分类讨论，是解决问题的关键． 由折叠性质得到，，，由三角形外角性质得到，分和，两种情况，进行求解即可． 【详解】解：由折叠知，，，， ∴， ∵在中，，，， ∴，， ∴， ∴， 如图1，若， 则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵； 如图2，若， 则， ∴， ∴ ∴为直角三角形时，的长为：1或2． 故答案为：1或2． 64．（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了翻折的性质、勾股定理的应用，分两种情况①当点在线段上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案．②当点在线段的延长线上时，设则由勾股定理求出的值即可得出答案． 【详解】解：①当点在线段上时， 四边形是长方形， ，，， 由折叠得可知：， ， ， 由折叠可知：， 设，则， 解得， 点的坐标为， ②当点在线段的延长线上时， ， 设，则， ∵， ∴， 解得， 点． 综上所述，或 故答案为：或． 65．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则 ． 【答案】或或2或6 【分析】由题意知，，则，由勾股定理得，，，由折叠的性质可知，，，由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解；当，在左侧时，，如图1，则，由勾股定理得，，可求，则，由勾股定理得， ，进而可求；当，在右侧时，，如图2， 则，设，则，由勾股定理得，，即，计算求解即可；当，在左侧，如图3，连接，作的延长线于，证明，则，，由勾股定理得，，可求，设，则，，由勾股定理得，，即，可求，进而可得的值；当，在右侧，重合，如图4，则，由，可得，由勾股定理得，，计算求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴由勾股定理得，， ∴， 由折叠的性质可知，，， 由题意知，当是直角三角形时，分，，两种情况求解； 当，在左侧时，，如图1，        图1 ∴，， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴； 当，在右侧时，，如图2，           图2 ∴， 设，则， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在左侧时，如图3，连接，作的延长线于，            图3 ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， 解得，， 设，则，， 由勾股定理得，，即， 解得，， ∴； 当，在右侧，重合，如图4，           图4 ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得，； 综上所述，的值为或或2或6； 故答案为：或或2或6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，全等三角形的判定与性质并分情况求解是解题的关键． 66．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求： (1)线段和的长度； (2)点和点的坐标． 【答案】(1)， (2)点坐标为，点坐标为 【分析】本题主要考查了勾股定理，折叠的性质，坐标与图形，熟练掌握勾股定理和折叠的性质是解题的关键． （1）由折叠的性质得 ，进而利用勾股定理即可得解； （2）由，，得，即可求得．设，则，在中，由．得，求解即可得解． 【详解】（1）解：依题意可知，折痕是四边形的对称轴， 在中，， ， ． （2）解： ，， ， ． 又， 设，则， 在中，． ， ，即， ． 综上，点坐标为，点坐标为． 67．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了折叠的性质，勾股定理，三角形内角和定理，以及平行线的性质． （1）由由勾股定理求出，由折叠得，求出，然后再用勾股定理求解即可； （2）由平行线的性质得，由周角的定义求出，得出，再由三角形内角和定理即可求出的度数． 【详解】（1）解：在中，，，， 由折叠可知，， ， （2）解：，， ， ． 由折叠的性质得． ， ， ， ． 题型十：勾股定理与网格问题（重难点） 68．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题属于四边形的综合题，考查了邻等四边形定义，勾股定理等知识，根据邻等四边形定义利用网格即可画图． 【详解】解：如下3个图，点即为所求；   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形，   ， 四边形为邻等四边形， 故选：B 69．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意利用割补法求得的面积，利用勾股定理算出的长，再利用等面积法即可求得的长． 【详解】由题可得： ， ， ∴， 解得：， 故选：D． 70．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，是L型网格，每个小正方形边长为1，点、、、是小正方形顶点，若过点的一条直线平分该L型网格的面积，并分别交边界，于点，，则： （1）直线，直线，直线三条直线中 平分该L型网格的面积； （2）线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了网格与勾股定理，中位线的性质，矩形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，正确作出辅助线是解题关键． （1）连接直线，直线，直线，通过图形可知点F为左侧矩形的中心，点O为右侧正方形的中心，直线平分该L型网格的面积； （2）过点N作，垂足为S，利用中位线的性质在梯形中分别求出，再利用勾股定理求出结果． 【详解】解：（1）如图，连接直线，直线，直线， 由图可知点F为左侧矩形的中心，点O为右侧正方形的中心，直线平分该L型网格的面积， 故答案为：； （2）如图： 过点N作，垂足为S， 为矩形， ，， ， 为梯形的中位线， ， ， ， 在梯形中，为中位线， ， ， 在梯形中，为中位线， ， ， 在中， ，， ， 故答案为：． 71．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 【答案】2 【分析】由勾股定求出，，，得到，，，由，推出是直角三角形，由三角形面积公式得到的面积，代入有关数据，即可求出的长． 【详解】解：由勾股定理得：，，， ，，， ， 是直角三角形， ， 的面积， ， ． 故答案为：2． 72．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________． (2)的面积为________________． (3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________． 【答案】(1)；；； (2)2 (3)； 【分析】题目主要考查坐标与图形，利用网格求三角形面积，轴对称的性质及确定一次函数解析式，勾股定理解三角形，结合图形，找出最短距离是解题关键． （1）直接根据图象即可确定点的坐标； （2）利用网格求三角形面积即可； （3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，利用待定系数法确定一次函数解析式，即可确定点P的坐标，再由网格及勾股定理即可得出最短距离． 【详解】（1）解：由图得：点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为， 故答案为：；；； （2）的面积为：， 故答案为：2； （3）作点C关于x轴的对称点，连接，交x轴于点P即为所求，如图所示： 设直线的解析式为，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴， 最小距离为：， 故答案为：；． 73．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） (1)在图1的正方形网格中画出格点线段，并画出的中点；（保留画图痕迹） (2)在图2中画出格点，使，，； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积________，点到的距离________． 【答案】(1)图见详解 (2)图见详解 (3)， 【分析】本题考查了勾股定理的应用，平行四边形的应用，三角形的面积计算，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据构造直角三角形即可得出线段，再按照网格线为参考画出平行四边形，对角线的交点，即为的中点． （2）根据，，，分别构造直角三角形，即可得到． （3）根据，得出的面积，再根据，得出点到的距离． 【详解】（1）解：由勾股定理可得线段的长度为， 故可画两条长度均为的线段，让其夹角为，再连接两条线段的末端即可得出线段，如图（画法不唯一）： 再分别以为对角线，沿着格点画出个平行四边形，从而连接另外两个端点，形成另一条的对角线，与的相交于点，根据平行四边形两条对角线相互平分，即可得出点即为的中点，如图： （2）解：∵，，， ∴可分别构造直角三角形，画出，，这三边，即可得到，如图： （3）在（2）的条件下，对格点进行标注，如图所示： 可得四边形为矩形，，，均为直角三角形， ∴，，，， ∴， 如图，过点作线段的垂线，垂足为点， ∵，， ∴， 代入数值可得， ∴点到的距离为， 故答案为，． 74．（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上， (1)求的度数； (2)求格点四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及逆定理、三角形面积的计算等知识点，解题的关键是根据勾股定理的逆定理得出为直角三角形． （1）如图：连接，运用勾股定理可得的长，然后根据勾股定理的逆定理判断出为等腰直角三角形即可解答； （2）根据以及三角形面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：如图：连接，根据勾股定理，，， ∴，， ∴， 是直角三角形， ． （2）解：． 75．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）综合与实践：构图法求三角形的面积． 【问题提出】 中，、、三边的长分别为、、，求 的面积． 【素材1】某数学兴趣小组发现，若运用三角形面积公式 （为底边，为对应的高）求解，则高 的计算较为复杂． 进一步观察发现，， ，若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积． 这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”． 【素材2】某园艺公司对一块三角形花圃 进行改造，如图3所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃 ，正方形花圃 ，并增加三角形花圃 ，将原花圃改造为六边形 ． 【任务1】（1）请直接写出图1中 的面积________． 【任务2】（2）已知 三边、、的长分别为、、，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ，并求出它的面积． 【任务3】（3）若三角形花圃的边、、，求改造后的六边形花圃的面积． 【答案】（1）；（2）5；（3）19 【分析】（1）利用割补法求的面积即可； （2）根据够勾股定理，利用构图法，将画在网格中，再用割补法求的面积即可； （3）根据够勾股定理，利用构图法，将画在网格中，再构造六边形，再用割补法求六边形的面积即可； 本题主要考查了在网格中利用勾股定理构造边长为无理数的三角形，并且用割补法求三角形及不规则多边形的面积．读懂题意，并构造出三角形是解题的关键． 【详解】（1）， 故答案为：． （2）观察发现，，，由此可在正方形网格中构造出如图所示的， 则． （3）观察发现，，由此可在正方形网格中构造出如图所示的六边形， 则． 76．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是，线段的端点都在格点上， (1)在图中画出面积为的等腰三角形，且以为底，点在格点上； (2)在（）的图中画出以为一腰的等腰三角形，且，点在格点上．连接，直接写出的度数． 【答案】(1)画图见解析； (2)画图见解析，． 【分析】（）根据网格特征即可求解； （）根据网格特征，等腰三角形和勾股定理及逆定理即可求解； 本题主要考查作图−应用与设计作图，解题的关键是掌握等腰三角形和勾股定理及逆定理的应用． 【详解】（1）如图， 由网格可知，， ∴， ∴是等腰三角形且， ∴点即为所求； （2）如图， 由网格可知：， 同上理：， ∴是等腰三角形， 由网格可知三点共线， 又， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 77．（23-24八年级下·山东临沂·期末）操作与探究 (1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程； (2)已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：． 【答案】(1)详情见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了图形的割补，勾股定理的证明等知识点，熟悉掌握图形的面积公式是解题的关键． （1）利用割补法求解即可； （2）利用割补法建立图形，然后利用图形面积建立式子即可． 【详解】（1）解：如图所示建立完整的四边形： 则：； ； ； （2）解：以边建立正方形，割补出以下图形，则此时， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 78．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 【答案】(1)①见解析；②图见解析，；③图见解析， (2)有最小值，最小值为10 【分析】（1）①根据三角形的三边关系进行判断即可； ②构建边长为，，的三角形即可判断； ③构建边长为，，，的四边形，根据三角形的三边关系和不等式的性质即可判断； （2）设，故存在边长为，2的直角三角形和边长为，4的直角三角形，根据，边长为和边长为的两条线段的和满足，即可判断这两条边在上，即可作图，根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：①在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． 故在中，，即； ②如图：在正方形方格纸中构建，，， 故在中，，即；    ③如图：在正方形方格纸中构建，，，，连接，      故在中，，则， 在中，，故， 即； （2）解：有最小值； 理由如下：设，则，如图：   ， 当，，三点共线时，的值最小， ∴的最小值， 即的最小值为10． 【点睛】本题考查了三角形的三边关系，勾股定理，最值问题等，解题的关键是借助数形结合的思想解决问题． 题型十一：勾股定理与最值（难点） 79．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 【答案】B 【分析】连接，根据等腰三角形的三线合一得到点F在的平分线上，根据含角的直角三角形的性质、勾股定理计算即可得到答案． 【详解】解：如图，连接，    ∵为等边三角形，F是的中点， ∴，平分，即点F在的平分线上， ， 如图，当，点D在上时，最小，    在中，， 则， 由勾股定理得：， ∵平分，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ，， ∴， ∵， ∴， 解得（负值舍去）， ∴等边的周长为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是等边三角形的性质、含角的直角三角形的性质、勾股定理、垂线段最短，得出，点D在上时，最小是解题的关键． 80．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D是边的中点，的周长为16，，点M，N分别是和边上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题、等腰三角形的性质，勾股定理，利用点到直线垂直线段最短找出的最小值为是解题的关键．过点B作与点N，交与点M，连接，利用等腰三角形性质求出垂直平分，利用勾股定理求出的长，根据轴对称可知点、M点、B点在一条直线上最短，则的最小值是，利用三角形等面积公式求出即可． 【详解】解：如图，过点B作与点N，交与点M，连接， ∵在中，，点D是边的中点， ∴在等腰中，垂直平分， ， 点、C点关于直线对称， 点和N点分别是和边上的动点， ， ， 点、M点、B点在一条直线上最短， 点N点最短的直线为B点到的垂线最短， ∴则的最小值是， ， 故选：B． 81．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，点是边上的中点．如果点是上的动点，那么的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质和轴对称及勾股定理等知识，要求的最小值，需考虑通过作辅助线确定点P的位置，根据轴对称的最短路径问题，作C的对称点，就是点B，连接与的交点就是点P，从而找出其最小值为BE求解． 【详解】解：连接，与交于点P， ∵是等边三角形，是边上的中线， ∴， ∴是的垂直平分线， ∴点C关于的对应点为点B， ∴， ∴， ∴就是的最小值， ∵点E是边上的中点，等边的边长为4， ∴，， 由勾股定理得：， ∴的最小值为． 故答案为：． 82．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，，，是边上一点，连接，在的左侧作等边，连接，则周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，取的中点H，连接，．证明，推出，过点A关于直线的对称点M，连接，当M、D、H三点共线时，有最小值为．根据含30度的直角三角形，勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，取的中点H，连接，，则． 又∵， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴， 过点A关于直线的对称点M，连接， ∴， ∵， ∴， 当M、D、H三点共线时，有最小值为， 过点H作，过点M作交于点K， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 此时的周长最小值为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，垂线段最短，等边三角形的性质，含30度的直角三角形，勾股定理等知识，解题的关键是理解题意，学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 83．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，凸四边形中，，．若，，则对角线的最大值为 ． 【答案】10 【分析】在上方作，使，连接，，根据题意证明出，得到，勾股定理求出，然后根据三角形三边关系求解即可． 【详解】如图所示，在上方作，使，连接， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴ ∴ ∵， ∴ ∵ ∴当点C，D，E三点共线时，有最大值10 ∴对角线的最大值为10． 故答案为：10． 【点睛】此题考查了全等三角形的性质和判定，勾股定理，三角形三边关系等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 84．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为 ；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、轴对称最短路线等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意知是等腰直角三角形，所以，再结合图形很容易发现当点在轴上，会有最大值，此时也最大，利用一线三垂直全等求解即可； （2）看见求线段和，优先考虑“将军饮马模型”，所以需要找点的运动轨迹，由题易得点在的直线上运动，因此作对称点，求解即可． 【详解】解：(1)由题意得是等腰直角三角形， ∴， ∴当有最大值时，则亦有最大值， 如图，当点在轴上，会有最大值， 过作轴于点，过作轴于点， ∵直线，分别交轴于，两点， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 在中， ， ∴； 如图，设点在上，点在上， ∴，， ∵点为中点， ∴， ∴点在的直线上， 作点关于的对称点，则， ∴， 连接， ∴，当且仅当三点共线时取等， ∵， ∴， 在中，， ∴最小值为； 故答案为：，． 85．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，为等边三角形，，点是中点，点分别是边、上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，过点作于点P，于点，于点，根据角平分线的性质和判定可得平分，继而垂直平分，，则，由勾股定理得：，那么． 【详解】解：连接，过点作于点P，于点，于点，    ∵和的角平分线交于点， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∵为等边三角形， ∴垂直平分， ∴， ∵为等边三角形，点是中点， ∴，， ∴由勾股定理得：， ∴，当点三点共线时，取得最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，勾股定理，角平分线的性质和判定和线段的垂直平分线的性质定理，正确添加辅助线进行转化是解题的关键． 86．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T．证明，推出，再证明，，求出，再根据可得结论． 【详解】解：如图，过点H作于点K，在的延长线上截取线段，使得，连接，过点J作于点T． ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵垂直平分线段， ∴， ∴， ∴的最小值为． 故答案为：． 【点睛】本题考查轴对称最短问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理，含30度的直角三角形等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题． 87．（24-25八年级下·全国·期末）[问题提出] （1）如图1，在中，，，若，求的长． [问题解决] （2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场．已知，，米，在对角线上有一个凉亭，测得米．按规划要求，需过凉亭修建一条笔直的小路，使得点，分别在边，上，连接，，其中四边形为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形）的最小面积． 【答案】（1）；（2）平方米 【分析】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，四边形面积的表示等知识，解题的关键是利用转化思想将四边形面积转化为三角形面积． （1）根据三角函数作答即可； （2）首先可通过证明，得，，米，过点作交于点，过点作交于点，则，，当，时，和最小，最小，此时，，代入面积计算公式即可． 【详解】解：， 为直角三角形， ，， 设，则， 根据勾股定理可得 解得（负值舍去）， 的长为； （2），，， ， ， ，，米， 米， （米， 如图，过点作交于点，过点作交于点， ， ， 当，时，和最小，最小， 此时，， （平方米）， 四边形最小面积为平方米． 88．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，．点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒（）． (1)求边的长； (2)当线段的长取最小值时，求的值； (3)当将面积分成两部分时，求值； (4)当是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 【答案】(1)； (2)； (3)或； (4)或或． 【分析】本题主要考查了勾股定理，垂线段最短，等腰三角形的性质等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）直接利用勾股定理即可求解； （）由垂线段最短和等面积法即可求出线段的最小值； （）分的面积的面积时和的面积的面积时两种情况分析即可； （）分当，当时，当时三种情况分析即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴； （2）解：当时，有最小值， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：当的面积的面积时， 则有， ∴， 当的面积的面积时， 则有 ∴ 综上所述，当将面积分成两部分时，的值为或； （4）解：如图，当，则； 如图，当时，过点作于点， 同（）理可得，， ∴， 则； 如图，当时，过点作于点， ∴， 由（）得边上的高为， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； 综上：当是等腰三角形时，满足条件的值为或或． 89．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了． (1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ (2)这块绿化用地的面积是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要考查了勾股定理的应用、勾股定理的逆定理以及三角形面积公式等知识，正确应用勾股定理以及勾股定理逆定理是解题的关键． （1）连接，利用勾股定理求解即可； （2）利用勾股定理的逆定理证明，然后根据计算即可求解． 【详解】（1）解：连接， ，，， ， 答：这条小路的最短长度是； （2）解：∵，， ， ， ， 答：这块绿化用地的面积是． 90．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 【答案】（1）①为直角三角形；理由见解析；②；（2）①；②或；（3） 【分析】（1）①根据勾股定理的逆定理进行判断即可； ②根据勾股定理求出，再求出即可； （2）①过点P作于点Q，根据角平分线性质得出，证明，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，即可得出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，进行求解即可； （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，证明，得出，根据三角形三边关系得出，根据等腰三角形的性质和勾股定理求出，即可得出，求出，即可求出结果。 【详解】解：（1）①为直角三角形，理由如下： ∵， ∴， ∴为直角三角形； ②∵为直角三角形，， ∴时，， ∴， ∴； （2）①过点P作于点Q，如图所示： ∵，，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， 根据勾股定理得：， 即， 解得：， ∴， ∴； ②当时，过点P作于点M，于点N，如图所示： 则， ∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 当时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得：， 即； 综上分析可知：的长为或． （3）将绕点E逆时针旋转到，连接，，过点E作于点G，如图所示： 根据旋转可知：，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的最大值为． 【点睛】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰三角形的判定和性质，三角形全等的判定和性质，三角形三边关系的应用，含30度角的直角三角形的性质，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 91．（24-25八年级上·重庆·期末）在等腰中，，点D在的延长线上， (1)如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长； (2)如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； (3)如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比． 【答案】(1) (2)见详解 (3) 【分析】（1）由题意易得，则可证，然后可得，，进而根据勾股定理可进行求解； （2）在上截取，由题意易得，，然后可知，则有，进而可根据得到，则可证，最后问题可求证； （3）作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长；然后根据含30度直角三角形的性质可知，，进而问题可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）证明：如图，在上截取， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴， 作，分别过点P、C作，垂足分别为Q、M，如图所示： ∴， ∴， 要使的值最小，则需满足的值最小，根据点到直线，垂线段最短，可知：当点H、P、Q三点共线时，的值即为最小，最小值为的长； ∵，，， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的性质与判定、等腰三角形的性质与判定、勾股定理及含30度直角三角形的性质是解题的关键． 92．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 【答案】（1）见解析；（2）25；（3）6.3125千米；（4）20 【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，，则，分别用含，，的式子，结合图形表示出梯形、四边形、的面积，根据，代入计算即可求解； （2）如图2所示，连接，作于点，可得，的长，在中，运用勾股定理即可求解； （3）如图3所示，连接，作的垂直平分线交于点，则点即为所求；利用勾股定理得，，进而得，再根据千米，千米，千米得千米，即可解答； （4）根据轴对称最短路线的求法即可求出． 【详解】（1）证明：根据题意，，，，， 则， 四边形的面积， ， ， ； （2）解：如图2所示，连接，过点作于点，   ，， ， 四边形是矩形， 千米，千米， 千米， （千米）， 由勾股定理得：（千米）， 则两个村庄之间的距离为25千米． 故答案为：25； （3）解：如图3所示，连接，作线段的垂直平分线交于，则点即为所求；    连接，， ， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ， 在（2）的背景下，则千米，千米，千米， 千米， ， 千米． 即的长为6.3125千米； （4）解：如图4，， 设，则， 先作出点关于的对称点，连接，过点作于点，    则， 当点三点共线时，有最小值， 由轴对称可得：， 的最小值为， 即：就是代数式的最小值． 代数式的最小值为． 故答案为：20． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了证明勾股定理，勾股定理的应用，轴对称最短路线问题以及线段的垂直平分线等，证明勾股定理常用的方法是利用面积证明，是解本题的关键．构造出直角三角形是解本题的难点． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 勾股定理（考题猜想，11种高频易错重难点92题） 19 / 19 学科网（北京）股份有限公司 题型一：利用勾股定理求线段长（高频） 1．（24-25八年级上·广东揭阳·期末）如图，在中，，．点是的中点，点是线段上的动点，过点作交于点．连结，若．    (1)求证：； (2)求的长． 2．（24-25八年级上·江苏南京·期末）如图，把摆钟的摆锤看作一个点，当它摆动到最低点时，摆锤离底座的垂直高度，当它摆动到最高点时，摆锤离底座的垂直高度，且与摆锤在最低点时的水平距离为，求钟摆的长度． 3．（23-24八年级上·福建泉州·期末）如图，在中，于点，，． (1)求的长； (2)若点是射线上的一个动点，过点作于点． ①当点在线段上时，若，求的长； ②设直线交射线于点，连接，若，求的长． 4．（23-24八年级下·广东惠州·期末）【阅读与应用】如图1已知平面内两点、，过这两点分别做垂直于轴和轴的虚线相交于点，则间的距离为，则，同理间的距离为，则，由勾股定理得：，即：，则平面内任意两点间的距离公式为． (1)如图2，已知点、，试利用两点间的距离公式求、两点间的距离？ (2)课本阅读：如果一个三角形的三边长分别为，，，记，那么这个三角形的面积为．这个公式叫“海伦公式”． 如图3，在（1）的条件下，中，，，，试利用“海伦公式”，求的面积？ (3)如图4，在（2）的条件下．过点作，垂足为，求线段的长？ 题型二：勾股定理与等腰三角形（高频） 5．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中、的垂直平分线分别交于点E，F．若是等边三角形，．则 ． 6．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图，在中，，，点是边上一点，点是延长线上一点，，连接交于点，点是的中点，过点作交于点，，则 ． 7．（24-25八年级上·福建三明·期末）如图，在中，于点，点在上，连接．若,，，则的长为 ． 8．（24-25八年级上·江苏泰州·期末）如图，在中，，，，的平分线交于点，则 ． 题型三：勾股定理的逆定理（高频） 9．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长为1，点均在格点上，是与网格线的交点，则的长是（   ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·辽宁朝阳·期末）的三边分别为，下列条件不能使为直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级下·广东·期末）如图，在中，，是上一点，且，． (1)求的度数． (2)求的长． 12．（23-24八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，在四边形中，，，，，则的度数为多少？ 13．（24-25八年级上·河南南阳·期末）如图，已知，，，，．求图中阴影部分的面积． 14．（24-25八年级下·全国·期末）如图，在中，，D为上一点，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的周长． 15．（24-25八年级上·山东烟台·期末）阅读下列一段文字，回答问题． 【材料阅读】平面内两点，则由勾股定理可得，这两点间的距离． 例如，如图1，，则． 【直接应用】 (1)已知，求P、Q两点间的距离； (2)如图2，在平面直角坐标系中，与x轴正半轴的夹角是． ①求点B的坐标； ②试判断的形状． 题型四：勾股定理的证明方法（难点） 16．（24-25八年级上·广东佛山·期末）意大利文艺复兴时期的著名画家达·芬奇利用两张一样的纸片拼出不一样的“空洞”，从而巧妙的证明了勾股定理．小明用两张全等的的纸片①和②拼成如图1所示，中间的六边形由两个正方形和两个全等的直角三角形组成．已知六边形的面积为14，．小明将纸片②翻转后拼成如图2所示，其中，则四边形的面积为（    ） A．12 B．10 C．6 D．4 17．（24-25八年级上·浙江金华·期末）（1）如图1是著名的赵爽弦图，用四个全等的直角三角形拼成如图的大正方形和小正方形．已知较长的直角边长为，较短的直角边长为，斜边长为，利用面积法等可以推导出勾股定理，请写出推理过程． （2）如图2，在一条公路的一侧有一村庄，公路边有两个停靠站A，B，在公路边再建一个停靠站，使村庄到停靠站的距离最短．经测量，． ①求停靠站与之间的距离停靠站与之间的距离； ②经测量发现停靠站到村庄和停靠站的距离相等，求停靠站到村庄的距离． 18．（24-25八年级上·河北保定·期末）我们学习了勾股定理，知道：在中，如果，，，，那么，，三者之间的数量关系是． (1)探索：我国是最早了解勾股定理的国家之一．早在三千多年前，它被记载于我国古代著名的数学著作《周髀算经》中．勾股定理的证明方法十分丰富，达数百种之多．我们可以利用图1来验证勾股定理．（图1由四个全等的直角三角形拼成，每个直角三角形的两直角边的长分别为和，斜边长为），请将下面的证明过程补充完整： 证明：小正方形的面积可以表示为； 小正方形的面积还可以表示为____________；（用含a，b，c的代数式表示） ______________________________ ______________________________ (2)应用：如图2，一根垂直于地面的竹子，原高18尺，虫伤生病，一阵风将竹子从A处折断，其顶端恰好落于B处，已知长6尺，求竹子折断处A离地面的高度（即的长）． 19．（24-25八年级上·山西长治·期末）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 中国古代数学著作《周髀算经》（如图1）有着这样的记载：“勾广三，股修四，经隅五．”这句话的意思是如果直角三角形的两直角边的长分别为3和4，那么斜边的长为5．上述记载表明：在中，如果，，，，那么a，b，c，之间的数量关系是____． 对于这个数量关系，我国汉代数学家赵爽根据“赵爽弦图”（如图2，它是由八个全等的直角三角形围成的一个正方形），利用面积法进行了证明．参考赵爽的思路，将下面的证明过程补充完整： 证明：∵，，， 且______， ∴____________． 整理，得， ∴． 任务： (1)补全材料中的填空． (2)如图3，在中，是边上的高，，，．设，求x的值． 20．（24-25八年级上·广西河池·期末）数学家波利亚说过：“为了得到一个方程，我们必须把同一个量用两种不同的方法表示出来，即将一个量算两次，从而建立等量关系．”类似的，我们可以用两种不同的方法来表示同一个图形的面积，从而得到一个等式． (1)如图1，大正方形是由两个小正方形和两个形状大小完全相同的长方形拼成．请用两种不同的方法表示图中大正方形的面积． 方法1：_______； 方法2：______． 根据以上信息，可以得到的等式是_______． (2)如图2，大正方形是由四个边长分别为a，b，c的直角三角形（c为斜边）和一个小正方形拼成．请用两种不同的方法分别表示小正方形的面积，并推导得到a，b，c之间的数量关系． (3)在（2）的条件下，若，，求图2中小正方形的面积． 21．（23-24八年级上·江苏镇江·期末）【材料阅读】我国古人对勾股定理的研究非常深邃．如图1，已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），由勾股定理：，得，则，得到：． 从而得到了勾股定理的推论：已知直角三角形三边长为a，b，c（c为斜边），则 【问题解决】如图2，已知的三边长分别为，如何计算的面积？据记载，古人是这样计算的：作边上的高．以的长为斜边和直角边作（如图3），其中．                (1)用古人的方法计算的值，完成下面的填空： =[（__________）（__________）]-[（__________）-（__________）] =__________ (2)试直接利用阅读材料中勾股定理的推论继续完成面积的计算过程； (3)你还有其他计算的面积的方法吗？写出解答过程． 22．（22-23八年级上·山东济宁·期末）计算图1的面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为，由此得到：． (1)如图2，正方形是由四个边长分别是a，b的长方形和中间一个小正方形组成的，用不同的方法对图2的面积进行计算，你发现的等式是______（用a，b表示） (2)已知：两数x，y满足，，求的值． (3)如图3，正方形的边长是c，它由四个直角边长分别是a，b的直角三角形和中间一个小正方形组成的，对图3的面积进行计算，你发现的等式是______．（用a，b，c表示，结果化到最简） 题型五：利用勾股定理证明线段平方关系（难点） 23．（23-24八年级上·江西吉安·期末）如图，已知与都是等腰直角三角形，其中，为边上一点．    (1)试判断与的大小关系，并说明理由； (2)试说明三者之间的关系． 24．（22-23八年级上·山西忻州·期末）综合与实践 美丽的弦图中蕴含着四个全等的直角三角形． (1)如图1，弦图中包含了一大一小两个正方形，已知每个直角三角形较长的直角边为a，较短的直角边为b，斜边长为c，结合图1，试验证勾股定理； (2)如图2，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成飞镖状，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积； (3)如图3，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形，正方形，正方形的面积分别为，若，求的值． 25．（24-25八年级上·上海松江·期末）已知：在中，，．点、在线段上．    (1)如图1，如果，求证：． (2)如图2，如果，求证：． 题型六：勾股定理与垂美四边形（易错） 26．（23-24八年级上·陕西榆林·期末）对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形ABCD，对角线AC，BD交于点O．若，，则等于（    ） A．45 B．49 C．50 D．53 27．（23-24八年级下·广东茂名·期末）定义：对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形．现有如图所示的“垂美”四边形，对角线相交于点O，若，求． 28．（23-24八年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 (1)【知识感知】如图1，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形，在我们学过的：①平行四边形②矩形③菱形④正方形中，能称为垂美四边形是______（只填序号）； (2)【概念理解】如图2，在四边形中，，问四边形是垂美四边形吗？请说明理由； (3)【性质探究】如图1，垂美四边形的两对角线交于点O，试探究之间有怎样的数量关系？写出你的猜想 ； (4)【性质应用】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接已知，则长为 ． 29．（22-23八年级下·湖北黄石·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．    (1)概念理解：下列三个图形①正方形②菱形③矩形一定是垂美四边形的是______（填序号） (2)性质探究：如图1，四边形的对角线、交于点O，．试证明：． (3)解决问题：如图2，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接、、．已知，，求的长． 30．（23-24八年级上·山东济南·期末）如图1，对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．数学兴趣小组的同学们在老师的带领下开展了对垂美四边形的研究． (1)【概念理解】如图2，在四边形中，，，则四边形______（填“是”或“不是”）垂美四边形． (2)【性质探究】如图1，四边形的对角线交于点，．小莹利用勾股定理的知识探索出四边形的四条边具有以下数量关系：．请判断小莹的结论是否正确，并说明理由． (3)【问题解决】如图3，分别以的直角边和斜边为边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，使得，，，连接，已知，，请直接写出的值． 31．（23-24八年级上·陕西汉中·期末）如图①，我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形． 概念理解：如图②，在四边形中，如果，，那么四边形是垂美四边形吗？请说明理由． 性质探究：如图①，垂美四边形两组对边，与，之间有怎样的数量关系？写出你的猜想，并给出证明． 问题解决：如图③，已知，，，，分别以的边和向外作等腰和等腰，，连结，求的长．    题型七：勾股定理的实际应用（重点） 32．（24-25八年级上·陕西咸阳·期末）如图是某个楼梯的一部分，若，，，一只蚂蚁在B处发现E处有一块碎面包，则这只蚂蚁吃到这块碎面包所走的最短路程为（   ） A． B． C． D． 33．（23-24八年级下·云南昆明·期末）如图，有一个水池，水面是一个边长为尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇，它高出水面尺．如果把这根芦苇拉向水池一边的中点，它的顶端恰好到达池边的水面、求这根芦苇的长度是多少尺？设芦苇的长度是尺，根据题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 34．（24-25八年级上·山西运城·期末）如图是两个型号的圆柱型笔筒，粗细相同，高度分别是和，将一支铅笔按如图所示的方式先后放入两个笔筒，铅笔露在笔筒外面的部分分别为和，则铅笔的长为（   ） A． B． C． D． 35．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是 ． 36．（24-25八年级上·山东青岛·期末）如图，有一圆柱形下水管道紧靠墙砖竖直安放，墙砖为长方形，分米，分米，该管道底面是周长为分米的圆，一只蚂蚁从点爬过管道到达，需要走的最短路程是 分米． 37．（23-24八年级上·吉林长春·期末）某医院入口的正上方A处装有红外线激光测温仪（如图所示），测温仪离地面的距离米，当（身高）人体进入感应范围内时（即米），测温仪自动显示体温，则人头顶离测温仪的距离的长为 米． 38．（22-23八年级下·宁夏石嘴山·期末）如图第4号台风“黑格比”的中心于2020年8月5日下午位于浙江省绍兴市境内的B处，最大风力有9级（），中心最低气压为990百帕，台风中心沿东北（）方向以的速度向D移动在距离B地的正北方有一A地，已知A地到的距离，那么台风中心经过多长时间从B点移到D点？ 39．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，一条东西向的公路l旁有一所中学M，在中学M的大门前有两条长度均为200米的通道通往公路l旁的两个公交站点A、B，且A、B两站点相距320米． (1)现要在学校到公路l修一条新路，把A、B两个站点合为一个站点D（在公路l旁），使得学生从学校走到公路l的距离最短，求新路的距离； (2)为了行车安全，在公路l旁的点B和点C设置区间测速装置，其中点C在点B的东侧，且与中学M相距312米，公路l限速30千米/小时（约8.33米/秒）．一辆汽车经过区间用时16秒，试判断该车是否超速，并说明理由． 40．（22-23八年级上·河南南阳·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船，河岸上一男孩拽着绳子另一端向右走，绳端从点移动到点，同时小船从点移动到点，且绳长始终保持不变，回答下列问题： (1)根据题意，可知________（填“”“”“”）； (2)若米，米，米，求男孩需向右移动的距离（结果保留根号）． 41．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）在海平面上有A，B，C三个标记点，C为灯塔，港口A在灯塔C的北偏西方向上，港口A与灯塔C的距离是40海里；港口B在灯塔C的南偏西方向上，港口B与灯塔C的距离是30海里，一艘货船将从A港口沿直线向港口B运输货物，货船的航行速度为10海里/小时． (1)货船从港口A航行到港口B需要多少时间； (2)为了保障航行的安全，C处灯塔将向航船发送安全信号，信号有效覆盖半径为25海里，这艘货船在由港口A向港口B运输货物过程中，为保证安全航行，货船接收灯塔的安全信号时间不低于1小时才符合航行安全标准．请问这艘货船在本次运输中是否符合航行安全标准，并说明理由？ 42．（24-25八年级上·辽宁沈阳·期末）如图，有两棵树，一棵高米（米），另一棵高米（米），两树相距米（米）．    (1)求一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了多少米？ (2)如图，台风过后，高米的树在点处折断，大树顶部落在点处，则树折断处距离地面多少米？ 43．（24-25八年级上·全国·期末）如图，数学兴趣小组要测量旗杆的高度，同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为米，小明同学将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为米． (1)求旗杆的高度； (2)小明在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处，问小明需要后退几米（即的长）？（，结果保留位小数） 44．（24-25八年级上·辽宁本溪·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮，一端拴在滑块上，另一端拴在的正下方物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离，物体到定滑轮的垂直距离．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计．） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 45．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，某小区的两个喷泉A，B位于小路的同侧，两个喷泉间的距离的长为．现要为喷泉铺设供水管道，供水点M在小路上，供水点M到的距离的长为，的长为． (1)求供水点M到喷泉A，B需要铺设的管道总长； (2)请求出喷泉B到小路的最短距离． 46．（24-25八年级上·四川乐山·期末）为进一步落实立德树人的根本任务，培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某校开展劳动教育课程，并取得了丰硕成果．如图，阴影部分是该校开垦的一块作为学生劳动实践基地的四边形荒地．经测量，，，，且． (1)试说明：； (2)该校计划在此空地（阴影部分）上种植花卉，若每种植花卉需要花费200元，则此块空地全部种植花卉共需花费多少元？ 47．（24-25八年级上·广东佛山·期末）如图，两村庄相距3千米，为供气站，千米，千米，为了方便供气，现有两种方案铺设管道． 方案一：从供气站直接铺设管道分别到村和村； 方案二：过点作的垂线，垂足为点，先从铺设管道到点处，再从点处分别向两村铺设． (1)试判断的形状，并说明理由； (2)两种方案中，哪一种方案铺设管道较短？请通过计算说明 48．（24-25八年级上·河南南阳·期末）森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)的度数为__________． (2)在飞机飞行过程中，飞机距离着火点的最短距离为__________． (3)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要秒，那么着火点能否被该飞机扑灭？请你通过计算说明． 49．（24-25八年级上·河北承德·期末）【问题背景】 著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为，大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则. 【探索求证】 古今中外，勾股定理有很多证证明方法，如图②，与按如图所示位置放置，连接CD，其中，请你利用图②推导勾股定理. 【问题解决】 如图③，在一条东西走向河流的一侧有一村庄，河边原有两个取水点，，其中，由于某种原因，由到的路现在已经不通，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点（、、在同一条直线上），并新修一条路CH，且.测得千米，千米，求新路CH比原路CA少多少千米？ 【延伸扩展】 在第（2）向中若时，，，，，设，求的值. 题型八：勾股定理与全等三角形（难点） 50．（24-25八年级上·浙江金华·期末）在一次综合实践活动中，小明将6个边长为1的小正方形进行如下操作：第一次操作，三个小正方形一组，边重叠拼接成如图1所示的2个“型”；第二次操作，将这2个“型”顶点、重合，并且使得，，三点共线，摆放成如图2所示的图形；第三次操作，将图2中的新图形放置在长方形纸片中，此时发现，小正方形的顶点、、、都落在长方形的各边上，若，则 ． 51．（24-25八年级上·黑龙江·期末）在等边中，点在的延长线上，，，点在直线上，连接，，当时，的长为 ． 52．（24-25八年级上·四川成都·期末）在中，，的角平分线交于点E，点D为中点，连接，，，则 ． 53．（24-25八年级上·福建漳州·期末）如图，在中，，于点，平分，交于点，于点，交于点．若，，则的长为 ． 54．（24-25八年级上·陕西汉中·期末）如图，在中，，于点D，平分，交与点E，于点F，且交于点G，若，则的长为 ． 55．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在等腰直角中，，点D在边（不含A，C两点）上，连，以为直角边向右侧作邻腰直角，，连接．若， ，则线段的长为 ． 56．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，是等边的边上的动点（不与点重合），在边上取点，使．连接交于点． (1)求证：； (2)和所成锐角是否为定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)设的三边长分别为，试探究之间有何数量关系？写出你的结论，并证明． 57．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）在中，，是的角平分线． (1)如图①，过点D作交于点G，求证：是等腰三角形． (2)如图②，若，求的长． 题型九：勾股定理与折叠问题（易错） 58．（23-24八年级下·河南安阳·期末）如图，直角三角形纸片的两直角边长分别为6，8，现将如图那样折叠，使点与点重合，折痕为．则的长是（    ）    A． B． C． D． 59．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）如图，在平面直角坐标系中，将长方形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处，若点的坐标为，则点的纵坐标为（    ） A．2 B． C．3 D． 60．（24-25八年级上·浙江宁波·期末）如图，，，将沿翻折，使得点C与点B重合．若，，则折痕的长为（   ） A．4 B． C．5 D． 61．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在中，，点在边上，连接，将沿着直线翻折，点恰好落在直线上的点处，若，，则的长为 ． 62．（23-24八年级下·辽宁大连·期末）如图，在中，，，，、分别是边、上的点，把沿直线折叠，顶点的对应点恰好落在的中点，则的长度为 . 63．（23-24八年级下·湖南岳阳·期末）如图，在中，．点D是边上的一动点（不与点B、C重合），过点D作交于点E，将沿直线翻折，点B落在射线上的点F处．当为直角三角形时，的长为 ． 64．（24-25八年级上·河南·期末）长方形的边在轴上，边在轴上，，，点是直线上的一个动点，若将沿折叠后，点的对应点落在了轴上，则点的坐标为 ． 65．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）如图，在中，，，， M为的中点，N为边上一动点，连接，将沿折叠得到，与交于点P，连接，若是直角三角形，则 ． 66．（23-24八年级下·山东德州·期末）如图，四边形是一张放在平面直角坐标系中的长方形纸片，为原点，点在轴上，点在轴上，，，在边上取一点，将纸片沿翻折，使点落在边上的点处，求： (1)线段和的长度； (2)点和点的坐标． 67．（24-25八年级上·陕西榆林·期末）如图，在中，，，，D是边上一动点，连接．将沿着直线翻折．使点B落到点处，得到 (1)如图1，当点在线段的延长线上时，连接，求的长． (2)如图2，当时，求的度数． 题型十：勾股定理与网格问题（重难点） 68．（23-24八年级下·山东济南·期末）定义：有两个相邻的内角是直角，并且有两条邻边相等的四边形称为邻等四边形，相等两邻边的夹角称为邻等角．例如：如图①，在四边形中，且，那么四边形就是邻等四边形． 问题解决：如图②，在的方格纸中，A，B，C三点均在格点上，若四边形是邻等四边形（点D在格点上），则所有符合条件的点D共有（    ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 69．（23-24八年级下·全国·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，为的高，则的长为（    ） A． B． C． D． 70．（23-24八年级下·河北承德·期末）如图，是L型网格，每个小正方形边长为1，点、、、是小正方形顶点，若过点的一条直线平分该L型网格的面积，并分别交边界，于点，，则： （1）直线，直线，直线三条直线中 平分该L型网格的面积； （2）线段的长为 ． 71．（23-24八年级下·全国·期末）如图是由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点，，均在格点上．若于点，则线段的长为 72．（23-24八年级下·河北秦皇岛·期末）正方形网格中每个小正方形的边长为一个单位长度，在平面直角坐标系中的位置如图所示． (1)点A的坐标为________________，点B的坐标为________________，点C的坐标为________________． (2)的面积为________________． (3)若点P是x轴上一动点，当点P到A、C的距离之和最小时，点P的坐标为________，最小距离为________． 73．（23-24八年级下·湖北宜昌·期末）设正方形网格中每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫做格点，只用无刻度的直尺按要求画图，各顶点（端点）均在格点上．（不写画法，标上字母） (1)在图1的正方形网格中画出格点线段，并画出的中点；（保留画图痕迹） (2)在图2中画出格点，使，，； (3)在（2）的条件下，直接写出的面积________，点到的距离________． 74．（23-24八年级下·云南昆明·期末）定义：顶点都在网格点上的多边形叫格点多边形．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，四边形的每一个顶点都在格点上， (1)求的度数； (2)求格点四边形的面积． 75．（23-24八年级下·福建龙岩·期末）综合与实践：构图法求三角形的面积． 【问题提出】 中，、、三边的长分别为、、，求 的面积． 【素材1】某数学兴趣小组发现，若运用三角形面积公式 （为底边，为对应的高）求解，则高 的计算较为复杂． 进一步观察发现，， ，若把 放到图1的正方形网格中（每个小正方形的边长为1），且 的三个顶点恰好都在小正方形的顶点处，这样无需求三角形的高，直接借助网格就能计算出 的面积． 这种借助网格计算面积的方法称为“构图法”． 【素材2】某园艺公司对一块三角形花圃 进行改造，如图3所示，分别以原花圃的，为边向外扩建正方形花圃 ，正方形花圃 ，并增加三角形花圃 ，将原花圃改造为六边形 ． 【任务1】（1）请直接写出图1中 的面积________． 【任务2】（2）已知 三边、、的长分别为、、，请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为1）画出相应的 ，并求出它的面积． 【任务3】（3）若三角形花圃的边、、，求改造后的六边形花圃的面积． 76．（23-24八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，正方形网格中的每一个小正方形的边长都是，线段的端点都在格点上， (1)在图中画出面积为的等腰三角形，且以为底，点在格点上； (2)在（）的图中画出以为一腰的等腰三角形，且，点在格点上．连接，直接写出的度数． 77．（23-24八年级下·山东临沂·期末）操作与探究 (1)上图中，每个小方格的边长均为1．请你利用割补法分别计算图1、图2、图3中以直角三角形斜边为边的正方形的面积（顶点都在格点上）．画出图形，写出计算过程； (2)已知，在中，，，，．请你利用（1）中的割补方法，构造图形，证明：． 78．（22-23八年级下·江苏泰州·期末）【问题探究】    (1)构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． ①请结合图1，试说明； ②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； ③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 (2)如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． 题型十一：勾股定理与最值（难点） 79．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，中，，，，是线段上一个动点，以为边在外作等边．若是的中点，当取最小值时，的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．18 80．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，点D是边的中点，的周长为16，，点M，N分别是和边上的动点，则的最小值是（   ） A． B． C． D．4 81．（24-25八年级上·内蒙古赤峰·期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，点是边上的中点．如果点是上的动点，那么的最小值为 ． 82．（24-25八年级上·福建厦门·期末）如图，在中，，，，，是边上一点，连接，在的左侧作等边，连接，则周长的最小值为 ． 83．（24-25八年级上·江苏南通·期末）如图，凸四边形中，，．若，，则对角线的最大值为 ． 84．（24-25八年级上·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行于x轴的直线，分别交轴于，两点．若的三个顶点分别在和轴三条直线上，且满足，，则线段的最大值为 ；当点在轴上时，取的中点，点的坐标为，连接，则的最小值为 ． 85．（24-25八年级上·江苏无锡·期末）如图，为等边三角形，，点是中点，点分别是边、上的动点，且不与端点重合，作和的角平分线交于点，则的最小值为 ．    86．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，，，M，E分别是边上两个动点，并满足，过点M作交于点F，点H在内，且，．点G在上运动，连接，，当的值最小时，的长为 ． 87．（24-25八年级下·全国·期末）[问题提出] （1）如图1，在中，，，若，求的长． [问题解决] （2）为响应市政府“建设美丽城市，改善生活环境”的号召，某小区欲建造如图2所示的四边形休闲广场．已知，，米，在对角线上有一个凉亭，测得米．按规划要求，需过凉亭修建一条笔直的小路，使得点，分别在边，上，连接，，其中四边形为健身休闲区，其他区域为景观绿化区．按此要求修建的这个健身休闲区（四边形）的最小面积． 88．（24-25八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，．点从点出发，沿边以每秒个单位长度的速度向终点运动，连接．设点运动的时间为秒（）． (1)求边的长； (2)当线段的长取最小值时，求的值； (3)当将面积分成两部分时，求值； (4)当是等腰三角形时，直接写出所有满足条件的的值． 89．（24-25八年级上·贵州贵阳·期末）某小区在规划建设时，准备在住宅楼和临街的拐角处规划一块绿化用地（如图中的阴影部分所示）已知，技术人员通过测量确定了． (1)为了方便居民出入，技术人员计划在绿化用地中开辟一条从点A到点的小路，请问这条小路的最短长度是多少m？ (2)这块绿化用地的面积是多少？ 90．（24-25八年级上·河北石家庄·期末）如图，在中，，，点从点出发，沿折线的路径，以每秒1个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． 【问题探究】 （1）当时 ①判断的形状，并说出理由． ②点在边上运动，当时，求的值． 【深入探索】 （2）在（1）的条件下①当点运动到的角平分线上时，的值为_____． ②如图，当点运动到边上时，过点作，交边于点，且是以为腰的等腰三角形，那么的长等于_____． 【引发思考】 （3）如图3，以为边，在下方作等腰，，的最大值为_____． 91．（24-25八年级上·重庆·期末）在等腰中，，点D在的延长线上， (1)如图1，线段上有一点G，连接并延长至点E，使得，连接和，若，，，求的长； (2)如图2，线段上有一点G，连接并延长至点E，连接和，点F在的延长线上，连接，若，，，求证：； (3)如图3，点P是线段上一动点，已知，，连接，当取最小值时，直接写出与的面积之比． 92．（24-25八年级上·上海浦东新·期末）【背景介绍】勾股定理是几何学中的明珠，充满着魅力，千百年来，人们对它的证明精彩粉呈，其中有著名的数学家，也有业余数学爱好者，向常春在1994年构造发现了一个新的证法． 【小试牛刀】（1）把两个全等的直角三角形如图1放置，，已知，，，，试证明．    【知识运用】 （2）如图2，铁路上，两点（看作直线上的两点）相距24千米，，为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，则两个村庄的距离为　 　千米（直接填空）； （3）在（2）的背景下，要在上建造一个供应站，使得，求的长． （4）【知识迁移】借助上面的思考过程与几何模型，求代数式的最小值　　． 6 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $$