第五章 专题：等腰三角形的综合运用　课件　　2024—2025学年北师大版数学七年级下册

专题：等腰三角形的综合运用 新课引入 新知探索 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的定义、性质 1.等腰三角形的定义： 有两边 的三角形叫等腰三角形。 2.等腰三角形的性质： （1）对称性：等腰三角形是 　轴对称　图形. （2）三线合一：等腰三角形的  　 平分线　、　 中线 　、  　高 　重合（也称“三线合一”），它们 　所在的直线　都是等腰三角形的对称轴。 （3）等边对等角：等腰三角形的两个底角 等 　（简写成“等边对等角”）。 轴对称　 顶角的平分线　 底边上的中线 底边上的高线　 所在的直线　 相等 相等 2 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 条件：如图1，若AC＝BC，过点D作DE∥BC. 　 结论：△ADE是等腰三角形； 题型一　过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形 3 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 条件：如图2，若AC＝BC，过点D作DE∥AB. 结论：△CDE是等腰三角形. 题型一　过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形 小结：此方法常用于线段的等量转化 4 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 如图，在△ABC中，已知AB＝AC，D，E分别是AB和BC边上的点，连接DE并延长，交AC的延长线于点F，且DE＝EF，试说明：BD＝CF. G 解：如答图，过点D作DG∥AF交BC于点G， 则∠GDE＝∠F. 在△DGE和△FCE中， ∴△DGE≌△FCE（ASA）. ∴GD＝CF. 又∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB. 由DG∥AF， 得∠ACB＝∠BGD. ∴∠B＝∠BGD. ∴BD＝GD. ∴BD＝CF. 5 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 如图，在等边三角形ABC中，已知点E在边AB上，点D在边CB的延长线上，且DE＝CE，AB＝12，AE＝3，求CD的长. 解：如答图，过点E作EF∥BC交AC于点F， 则∠ECB＝∠FEC. ∵△ABC为等边三角形， ∴∠AFE＝∠ACB＝∠AEF ＝∠ABC＝∠A＝60°. ∴△AEF为等边三角形. ∴∠EFC＝∠EBD＝120°，EF＝AE. ∵DE＝EC， ∴∠EDB＝∠ECB. ∴∠EDB＝∠FEC. 在△BDE和△FEC中， ∴△BDE≌△FEC（AAS）. ∴BD＝EF.∴AE＝BD. ∴CD＝BC＋BD＝AB＋AE＝12＋3＝15. 6 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 条件：如图1，若∠ABC＝2∠C，作BD平分∠ABC. 　 结论：△BDC是等腰三角形； 题型二　利用倍角关系构造等腰三角形 A B C C 7 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 条件：如图2，若∠ABC＝2∠C，延长CB到D，使BD＝BA， 连接AD. 结论：△ADC是等腰三角形； 题型二　利用倍角关系构造等腰三角形 A B C 8 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 条件：如图3，若∠B＝2∠ACB，以C为角的顶点， CA为角的一边，在三角形外作∠ACD＝∠ACB，交BA的延长线于点D. 结论：△DBC是等腰三角形. 题型二　利用倍角关系构造等腰三角形 A B C 小结：此方法常用于已知倍角关系的题目 9 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 如图，在△ABC中，已知∠B＝2∠C，AD⊥BC，交BC于点D，M是BC的中点，AB＝10，求DM的长. 解：如答图，延长CB到点N，使BN＝AB＝10，连接AN、AM， 则∠N＝∠NAB. ∵∠ABC＝180°－∠ABN＝180°－（180°－∠N－∠NAB） ＝∠N＋∠NAB＝2∠N，∠ABC＝2∠C， 即∠N＝∠C. ∴AN＝AC. 又∵AD⊥CN， ∴DN＝DC. 由点M为BC的中点， ∴BM＝MC. ∴BN＋BD＝CD＝DM＋CM＝DM＋BM＝BD＋2DM. ∴BN＝2DM＝10.∴DM＝5. 10 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 如图，在△ABC中，已知∠BCA＝2∠A，BD是边AC上的中线，且BC＝ AC. 试说明：△BCD为等边三角形. 解：如答图，延长AC至点E， 使CE＝BC，连接BE. ∵BD为边AC上的中线， ∴AD＝CD＝ AC. 又∵BC＝ AC， ∴AD＝CD＝BC. 由BC＝CE， 得∠E＝∠CBE，AC＝DE. ∵∠BCA＝180°－∠BCE ＝180°－（180°－∠E－∠CBE） ＝∠E＋∠CBE， ∴∠BCA＝2∠E. 又∵∠BCA＝2∠A， ∴∠A＝∠E. ∴AB＝BE. 在△BAC和△BED中， ∴△BAC≌△BED（SAS）. ∴BC＝BD. 由BC＝CD，得BD＝BC＝CD. ∴△BCD为等边三角形. 11 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 条件：如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，AD⊥BC， 结论：△ABD≌△ACD（ASA） AB＝AC，BD＝CD. 题型三　 利用“角平分线＋垂线合一”构造等腰三角形 12 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 如图，在△ABC中，已知BD平分∠ABC，AD⊥DB，且AB＝6，AD＝2，如图，若AE⊥BC交BC于点E，交BD于点F，且△ABE为等腰三角形，求BF的长. 解：如答图，延长AD与BC交于点H，∠DFA＝∠EFB. 因为∠HAE＋∠DFA＝90°，∠FBE＋∠EFB＝90°， 所以∠HAE＝∠FBE. 又因为△ABE为等腰直角三角形， 所以AE⊥BC，AE＝BE. 在△AHE与△BFE中， 所以△AHE≌BFE . 所以AH＝BF＝4，即BF＝4. 13 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 如图，在△ABC中，已知∠BAC＝45°，AB＝BC，AF平分∠BAC，CF⊥AF，AF与BC交于点E. 猜想AE与CF之间的数量关系，并说明理由. 解：AE＝2CF. 理由如下： 如答图，延长AB，CF交于点G. 因为∠BAC＝45°，AB＝BC， 所以∠ACB＝∠BAC＝45°. 所以∠ABC＝180°－45°－45°＝90°. 所以∠CBG＝180°－90°＝90°.所以∠ABC＝∠CBG. 因为AF平分∠BAC，所以∠GAF＝∠CAF， 因为AF⊥CF，所以∠AFG＝∠AFC＝90°， 14 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 在△AFG和△AFC中， 所以△AFG≌△AFC（ASA）. 所以CF＝GF＝ CG. 因为∠G＋∠BCG＝∠G＋∠GAF＝90°， 所以∠BCG＝∠GAF. 在△ABE和△CBG中， 所以△ABE≌△CBG（ASA）. 所以AE＝CG＝2CF. 15 新知探索 新课引入 典例分析 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 探究线段的和、差、倍、分关系是几何中常见的问题，解决此类问题通常会用“截长法”或“补短法”.具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等，或是将某条线段延长，使之与特定线段相等，再利用三角形全等的有关性质加以说明. 题型四　截长补短法 16 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 如图，已知等边三角形ABC的边长为2，且DB＝DC，∠BDC＝120°.∠MDN＝60°，其两边分别与AB，AC交于点M，N，连接MN. 将∠MDN绕着点D旋转，使点M，N始终在边AB，AC上.试判断在这一过程中，△AMN的周长是否发生变化？若没有变化，请求出其周长；若变化，请说明理由. 17 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 解：△AMN的周长没有发生变化.理由如下： 因为△BDC是等腰三角形，且∠BDC＝120°， 所以∠BCD＝∠DBC＝30°. 因为△ABC是边长为2的等边三角形， 所以∠ABC＝∠BAC＝∠BCA＝60°. 所以∠DBA＝∠DCA＝90°. 如答图，延长AB至点F，使BF＝CN，连接DF. 在△BDF和△CDN中， 所以△BDF≌△CDN（SAS）. 所以∠BDF＝∠CDN，DF＝DN. 因为∠MDN＝60°，所以∠BDM＋∠CDN＝60°. 所以∠BDM＋∠BDF＝60°，即∠MDF＝60°. 在△DMF和△DMN中， 所以△DMF≌△DMN（SAS）. 所以MN＝MF. 所以MN＝MB＋BF＝MB＋CN. 所以△AMN的周长是AM＋MN＋AN＝AM＋MB＋CN＋AN＝AB＋AC＝4. 18 典例分析 新课引入 新知探索 课堂小结 作业布置 等腰三角形的综合应用 如图，在△ABC中，已知∠B＝2∠C，AD平分∠BAC. 试说明：AB＋BD＝AC. 解：如答图，在AC上截取AE＝AB，连接DE. 因为AD平分∠BAC，所以∠BAD＝∠EAD. 在△ABD和△AED中， 所以△ABD≌△AED（SAS）. 所以∠B＝∠AED，BD＝DE. 又因为∠B＝2∠C，所以∠AED＝2∠C. 因为∠AED＝180°－∠DEC＝180°－（180°－∠C－∠CDE）＝∠C＋∠CDE＝2∠C， 所以∠C＝∠CDE. 所以DE＝CE. 所以AB＋BD＝AE＋DE＝AE＋EC＝AC. 19 课堂小结 作业布置 复习回顾 新知讲解 典例分析 课堂小结 等腰三角形的常用辅助线 截长补短法 利用倍角关系构造新等腰三角形 过腰或底作平行线构造新等腰（边）三角形 利用“角平分线＋垂线合一”构造等腰三角形 20 $$