精品解析：云南省多校联考2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题

高二数学期中考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册到第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某天小雪要坐高铁或普通旅客快车从南昌市出发去昆明市，已知当天普通旅客快车有2个车次，高铁有12个车次，则小雪当天从南昌市出发去昆明市的车次选择共有（ ） A. 2种 B. 14种 C. 24种 D. 30种 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 4. 若一个等比数列的前三项依次为，，，则这个等比数列的第四项为（ ） A. B. C. 64 D. 125 5. 甲、乙、丙、丁等六人站成一排，则甲、乙、丙、丁四人站在一起的排法数为（ ） A. 144 B. 120 C. 240 D. 576 6. 已知复数（）的实部为12，设点的轨迹为曲线，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 若正整数，的最大公约数为1，则称，互质.对于正整数，函数表示不大于的正整数中与互质的数的个数，例如：，.已知，均为大于11的正整数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 8. 当取得最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 10. 在梯形中，，，，，，与交于点，则（ ） A. B. 向量与平行 C. 向量在上的投影向量为 D. 梯形的面积为 11. 已知点，，，点在曲线：上，则（ ） A. 存在无数个点，使得为定值 B. 存在无数个点，使得为定值 C. 直线与的所有交点的横坐标之积为 D. 直线与的所有交点的横坐标之和大于5 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据为3，4，4，5，2，4，2，则这组数据的众数为________，它出现的频率为_____. 13. 曲线在点处的切线的斜率为________. 14. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）求图象的对称轴方程； （3）若，求. 16. 已知抛物线：（）的焦点为，直线：与交于，两点. （1）求的方程. （2）求的取值范围. （3）设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且. （1）证明：. （2）设平面与平面的交线为. ①证明：. ②若为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）讨论的单调性； （3）若在上有个零点，求的取值范围. 19. 对于给定的数列，数列是的生成数列，且，，，当时，删除，，…，中的最小值与最大值，剩余个数的平均数为. （1）若数列是数列的生成数列，求. （2）若数列是数列的生成数列，求数列的前（）项和. （3）设数列是数列的生成数列. ①证明数列为等差数列； ②设表示不大于的最大整数，，求数列的通项公式. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学期中考试卷 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A版必修第一、二册，选择性必修第一册到第三册第六章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 某天小雪要坐高铁或普通旅客快车从南昌市出发去昆明市，已知当天普通旅客快车有2个车次，高铁有12个车次，则小雪当天从南昌市出发去昆明市的车次选择共有（ ） A. 2种 B. 14种 C. 24种 D. 30种 【答案】B 【解析】 【分析】根据分类加法计数原理，直接计算即可. 【详解】由分类加法计数原理，得小雪当天从南昌市出发去昆明市的车次选择共有种. 故选：B. 2. 设集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求解一元二次不等式得到，再利用并集的定义求解即可. 【详解】令，解得，则， 因为，所以，故D正确. 故选：D 3. 若函数的导函数为偶函数，则的解析式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】逐一判断各选项中导函数的奇偶性即可. 【详解】对于选项A，为奇函数，A错误； 对于选项B，为非奇非偶函数，B错误； 对于选项C，，且，，， 则不是偶函数，C错误； 对于选项D，为偶函数，D正确. 故选：D. 4. 若一个等比数列的前三项依次为，，，则这个等比数列的第四项为（ ） A. B. C. 64 D. 125 【答案】B 【解析】 【分析】根据三项成等比列式计算求参，即可得出公比，最后计算第四项即可. 【详解】由题意得，解得， 则这个等比数列的公比，所以这个等比数列的第四项为. 故选：B. 5. 甲、乙、丙、丁等六人站成一排，则甲、乙、丙、丁四人站在一起的排法数为（ ） A. 144 B. 120 C. 240 D. 576 【答案】A 【解析】 【分析】将甲、乙、丙、丁四人进行捆绑，与其它人，合计3人进行全排列，再乘以人内部的全排列即可. 【详解】由捆绑法可得甲、乙、丙、丁站在一起的排法数为：. 故选：A. 6. 已知复数（）的实部为12，设点的轨迹为曲线，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据复数乘法计算得出，再转化为双曲线标准方程得出，即可得出离心率. 【详解】因为，所以， 即，所以点的轨迹为双曲线，则， 其离心率为. 故选：C. 7. 若正整数，的最大公约数为1，则称，互质.对于正整数，函数表示不大于的正整数中与互质的数的个数，例如：，.已知，均为大于11的正整数，则“”是“”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】利用给定函数的定义得到，，，再否定充分性和必要性即可. 【详解】在这12个数中，与12互质的数为，则， 在这13个数中，与13互质的数为，则， 在这12个数中，与14互质的数为，则， 即“”是“”的既不充分也不必要条件，故D正确. 故选：D 8. 当取得最小值时，的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先化简计算结合基本不等式计算得出最小值，结合列式计算求解. 【详解】， 当且仅当即，亦即时，等号成立， 所以当取得最小值时，. 故选：A. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用赋值法令可判断A正确，令并结合可知B错误，再由二项展开式的通项可求得C正确，再令可判断D正确. 【详解】对于A，令，得，A正确. 对于B，令，得，又 所以，B错误. 对于C，因为，所以，C正确. 令，得，D正确. 故选：ACD 10. 在梯形中，，，，，，与交于点，则（ ） A. B. 向量与平行 C. 向量在上的投影向量为 D. 梯形的面积为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意利用向量的线性运算法则可判断A、B；根据投影向量的求法可判断C；通过计算梯形的面积可判定D. 【详解】因为，所以，则，A错误. 设，则四边形为平行四边形， 则，所以，B正确. 在中，，，， 则由余弦定理可得，， 则， 所以向量在上的投影向量为， 即向量在上的投影向量为，C正确. 因为，则， 所以梯形的高为， 所以梯形的面积为，D错误. 故选：BC. 11. 已知点，，，点在曲线：上，则（ ） A. 存在无数个点，使得为定值 B. 存在无数个点，使得为定值 C. 直线与的所有交点的横坐标之积为 D. 直线与的所有交点的横坐标之和大于5 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题意，得曲线由圆与椭圆组成，根据圆及椭圆的定义可判断A、B，将分别与、联立，利用韦达定理可判断C、D. 【详解】由，得， 即4或， 所以曲线由圆与椭圆组成，且圆的圆心为，椭圆的焦点为，故A，B均正确. 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，则，， 将代入，得， 由判别式大于0，得该方程有两个不相等的实根，， 则，，则， ，故C错误，D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一组数据为3，4，4，5，2，4，2，则这组数据的众数为________，它出现的频率为_____. 【答案】 ①. 4 ②. 【解析】 【分析】根据已知数据结合众数的定义及频率定义计算求解. 【详解】数据为3，4，4，5，2，4，2，则这组数据的众数为4，它出现的频率为. 故答案为：4；. 13. 曲线在点处的切线的斜率为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据导数几何意义，求得函数在处的导数值，即可求得在该点处切线的斜率. 【详解】因为，故曲线在点处的切线的斜率为. 故答案为：. 14. 用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有________种. 【答案】192 【解析】 【分析】先对2，5染色，分1和5同色，或1和5不同色，两种情况下讨论4的涂法，再根据1，4分别与3，6对称得到答案. 【详解】先给2，5染色，有种方法. 若1和5同色，则4有2种涂法； 若1和5不同色，则4有种涂法. 因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种. 故答案为：192. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 将函数图象上的每个点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到函数的图象. （1）求的解析式； （2）求图象的对称轴方程； （3）若，求. 【答案】（1）； （2）（）； （3）. 【解析】 【分析】（1）将原函数的缩小为原来的，即可得到的解析式； （2）令，求得，则对称轴方程得解； （3）由已知条件和函数解析式，求得，再利用倍角公式即可求得. 【小问1详解】 依题意可得. 【小问2详解】 由（1）知：，令，解得：，， 故的对称轴方程为：. 【小问3详解】 由，得，则， 故. 16. 已知抛物线：（）的焦点为，直线：与交于，两点. （1）求的方程. （2）求的取值范围. （3）设点，试问是否存在，使得？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）根据焦点坐标得出，即可得出抛物线方程； （2）联立直线和抛物线应用判别式列式求解； （3）把转化为应用斜率列式求参. 【小问1详解】 因为，所以，的方程为. 【小问2详解】 由得， 则， 得，即的取值范围为. 【小问3详解】 设，，由（2）知，， 设线段的中点为，则，， 假设存在，使得，则， 所以， 解得，故存在，使得. 17. 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，且. （1）证明：. （2）设平面与平面的交线为. ①证明：. ②若为上的点，求与平面所成角的正弦值的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②. 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得线面垂直，再由线面垂直得线线垂直； （2）①由根据线面平行的判定定理得平面，再根据线面平行的性质定理证明即可； ②建立空间直角坐标系，设出点的坐标，将线面角的正弦值用向量表示，进而求出所成角正弦的最大值. 【小问1详解】 证明：因为平面平面，平面平面，， 所以平面. 因为平面，所以. 因为，，所以平面. 又平面，所以. 【小问2详解】 ①证明：因为，平面，平面，所以平面. 又因为平面，平面平面，所以. ②解：过点在平面内作，则平面， 又因为，所以以为原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴， 建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，. 设，则，，. 设平面的法向量为，则 令，则. 设直线与平面所成的角为，则. 令，所以 ， 当且仅当时，取得最大值. 18. 已知函数. （1）若在上单调递增，求的取值范围； （2）讨论的单调性； （3）若在上有个零点，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增 （3）. 【解析】 【分析】（1）由在上单调递增，可得对恒成立，转化为对恒成立，即可直接求出的取值范围； （2）利用导数直接分类讨论，分析导函数的正负，即可得到含参函数的单调性； （3）由（2）中单调性，首先排除，故，要使得在上有个零点，需满足且，构造函数，结合导数求出恒成立，所以只需满足，求出结果即可. 【小问1详解】 依题意得对恒成立， 即对恒成立， 所以，即的取值范围是. 【小问2详解】 由题知，的定义域为， 又， 当时，在上单调递增. 当时，令，得，令，得， 则在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，当时，在上单调递增， 则在上至多有个零点，则不符合题意. 当时，要使得在上有个零点， 则，即， 且， 设函数， 则， 所以在上，单调递增， 在上，单调递减， 所以. 由，得. 即的取值范围为. 19. 对于给定的数列，数列是的生成数列，且，，，当时，删除，，…，中的最小值与最大值，剩余个数的平均数为. （1）若数列是数列的生成数列，求. （2）若数列是数列的生成数列，求数列的前（）项和. （3）设数列是数列的生成数列. ①证明数列为等差数列； ②设表示不大于的最大整数，，求数列的通项公式. 【答案】（1） （2） （3）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）根据生成数列的定义直接计算可得； （2）由数列的单调性可得，再利用错位相减法求和即可求得； （3）①根据等差数列定义即可证明是公差为的等差数列； ②结合①中的结论得出，再由的定义并求得表达式中各式的取值范围，可求得. 【小问1详解】 易知数列的前5项分别为，，，0，5， 删除最小值，最大值5， 则. 【小问2详解】 因为数列单调递增， 所以，，…，中的最小值与最大值分别为，，... ，，， 当时，， . 设， 则， 则 ， 即. 故. 【小问3详解】 ①证明：因为数列单调递增， 所以，，…，中的最小值与最大值分别为，， 则当时，， 所以，所以数列为等差数列. ②由①及，得， 令，，则，， 则， 所以. 因为，所以， 所以 【点睛】关键点点睛：本题关键在于理解“生成数列”的定义，并根据等差等比数列的定义以及求和方法进行求解即可. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $