第8章　实数复习与全章巩固讲义2024–2025学年人教版七年级数学下册

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级下 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题：实数全章复习与巩固 授课时间： 学习目标 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 教学内容 1. 化简： (1) (2) (3) 2．已知，求的值． 3. 的整数部分是________，小数部分是________． 排位游戏1：给学生发十张写有数字的卡片，学生根据卡片上的数字按有理数和无理数两种类型排顺序，全班共同判断并对错误“排位”讨论订正。   排位游戏2：学生按卡片上的数字根据卡片上的数字按正实数、零和负实数三种类型排顺序，判断并对错误“排位”讨论订正。   要点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 要点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 知识点一、有关方根的问题 【例题精讲】 例1. 下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（　　　） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 例2. 若，则±＝ 若，，则 【巩固练习】 1. 下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 知识点二、与实数有关的问题 【例题精讲】 例1. 把下列各数填入相应的集合： －1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝． 例2. 计算（1） （2） （3） 例3. 已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为　　． 【巩固练习】 1. 在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2. 计算(1) (2) 3. 实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示： 化简＋∣－∣＝ . 4. 实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ； 知识点三、实数综合应用 【例题精讲】 例1. 现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？ 【巩固练习】 1. 一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长． 一.选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A．数轴上任一点表示唯一的有理数 B．数轴上任一点表示唯一的无理数 C．两个无理数之和一定是无理数 D．数轴上任意两点之间都有无数个点 2. 的算术平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D．± 3．已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ） A．若＞，则＞ B．若＞｜｜，则＞ C．若｜｜＞，则＞ D．若＞，则＞ 4. ，则的值是（ ） A. 　　 B. 　　　 C. 　　 D. 5. 若式子有意义,则的取值范围是 ( ). A. B. C. D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ） A.中的可以是正数、负数或零. B.中的不可能是负数. C. 数的平方根有两个. 　　　　　　　D.数的立方根有一个. 7. 数轴上A，B两点表示实数，，则下列选择正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 估算的值在 （ ） A. 5和6之间 　　　B.6和7之间 　 C.7和8之间 　 D.8和9之间 二.填空题 9. 若的整数部分是，则其小数部分用表示为 ． 10．当 时，有意义. 11. . 12. 若是225的算术平方根，则的立方根是 . 13. 的平方根是 . 14.﹣64的立方根与的平方根之和是　 　． 15. 比较大小： ， ， 16. 数轴上离原点距离是的点表示的数是 . 三.解答题 17. 一个正数的平方根是与，则是多少？ 18.已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根． 19. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简 20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 请解答：已知：10＋＝，其中是整数，且,求的相反数. 1. 课堂错题收集： 2． 学霸笔记本： 课后巩固 预习思考 平面直角坐标系 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级下 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题：实数全章复习与巩固 授课时间： 学习目标 1.了解算术平方根、平方根、立方根的概念，会用根号表示数的平方根、立方根. 2.了解开方与乘方互为逆运算，会用平方运算求某些非负数的平方根，会用立方运算求某些数的立方根，会用计算器求平方根和立方根. 3.了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一一对应，有序实数对与平面上的点一一对应；了解数的范围由有理数扩大为实数后，概念、运算等的一致性及其发展变化. 4.能用有理数估计一个无理数的大致范围. 教学内容 1. 化简： (1) (2) (3) 2．已知，求的值． 3. 的整数部分是________，小数部分是________． 【答案与解析】 1. 解： . 【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 2.【答案】 解：由已知得，解得． ∴＝. 3.【答案】2；； 【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分. 排位游戏1：给学生发十张写有数字的卡片，学生根据卡片上的数字按有理数和无理数两种类型排顺序，全班共同判断并对错误“排位”讨论订正。   排位游戏2：学生按卡片上的数字根据卡片上的数字按正实数、零和负实数三种类型排顺序，判断并对错误“排位”讨论订正。   要点一：平方根和立方根 类型 项目 平方根 立方根 被开方数 非负数 任意实数 符号表示 性质 一个正数有两个平方根，且互为相反数； 零的平方根为零； 负数没有平方根； 一个正数有一个正的立方根； 一个负数有一个负的立方根； 零的立方根是零； 重要结论 要点二：实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 要点诠释：（1）所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数．其中有限小数和无限循环小数统称有理数，无限不循环小数叫做无理数． （2）无理数分成三类：①开方开不尽的数，如，等； ②有特殊意义的数，如π； ③有特定结构的数，如0.1010010001… （3）凡能写成无限不循环小数的数都是无理数，并且无理数不能写成分数形式. （4）实数和数轴上点是一一对应的. 2.实数与数轴上的点一 一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 3.实数的三个非负性及性质： 　　在实数范围内，正数和零统称为非负数。我们已经学习过的非负数有如下三种形式： 　 （1）任何一个实数的绝对值是非负数，即||≥0； 　　（2）任何一个实数的平方是非负数，即≥0； 　　（3）任何非负数的算术平方根是非负数，即 (). 　　非负数具有以下性质： 　　（1）非负数有最小值零； 　　（2）有限个非负数之和仍是非负数； 　　（3）几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0. 4.实数的运算： 数的相反数是－；一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 　　有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立.实数混合运算的运算顺序：先乘方、开方、再乘除，最后算加减.同级运算按从左到右顺序进行，有括号先算括号里. 5.实数的大小的比较： 　　有理数大小的比较法则在实数范围内仍然成立. 　　法则1. 实数和数轴上的点一一对应，在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的数 大； 法则2．正数大于0，0大于负数，正数大于一切负数，两个负数比较，绝对值大的反而小； 　法则3. 两个数比较大小常见的方法有：求差法，求商法，倒数法，估算法，平方法. 知识点一、有关方根的问题 【例题精讲】 例1. 下列命题：①负数没有立方根；②一个实数的算术平方根一定是正数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的算术平方根是这个数本身，那么这个数是1或0；⑤如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0 ，其中错误的有（　　　） A.2个 B.3 个 C.4 个 D.5个 【答案】B； 【解析】①负数有立方根；②0的算术平方根是0；⑤立方根是本身的数有0，±1. 【总结升华】把握平方根和立方根的定义是解题关键. 例2. 若，则±＝ 若，，则 【答案】±1.01；7.16； 【解析】102.01的小数点向左移动2位变成1.0201，它的平方根的小数点向左移动1位，变成1.01，注意符号；0.3670的小数点向右移动3位变成367，它的立方根的小数点向右移动1位，变成7.16 【总结升华】一个数的小数点向左移动2位，它的平方根的小数点向左移动1位；一个数的小数点向右移动3位，它的立方根的小数点向右移动1位. 【巩固练习】 1. 下列运算正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C； 知识点二、与实数有关的问题 【例题精讲】 例1. 把下列各数填入相应的集合： －1、、π、－3.14、、、、． （1）有理数集合｛ ｝； （2）无理数集合｛ ｝； （3）正实数集合｛ ｝； （4）负实数集合｛ ｝． 【思路点拨】首先把能化简的数都化简，然后对照概念填到对应的括号里. 【答案与解析】 （1）有理数集合｛－1、－3.14、、 ｝； （2）无理数集合｛ 、π、、 ｝； （3）正实数集合｛ 、π、、、 ｝； （4）负实数集合｛ －1、－3.14、 ｝． 【总结升华】有理数是有限小数和无限循环小数，无理数是无限不循环小数.总结常见的无理数形式. 例2. 计算（1） （2） （3） 【思路点拨】先逐个化简后，再按照计算法则进行计算. 【答案与解析】 解：（1）＝ （2）＝ （3）＝. 【总结升华】根据开立方和立方，开平方和平方互逆运算的关系，可以通过立方、平方的方法去求一个数的立方根、平方根. 例3. 已知：（a+6）2+=0，则2b2﹣4b﹣a的值为　　． 【答案】12． 【解析】 解：因为（a+6）2+=0， 所以a+6=0，b2﹣2b﹣3=0， 解得，a=﹣6，b2﹣2b=3， 可得2b2﹣4b=6， 则2b2﹣4b﹣a=6﹣（﹣6）=12， 故答案为：12． 【总结升华】本题主要考查了非负数的性质，初中阶段有三种类型的非负数：绝对值、偶次方、二次根式（算术平方根）．当它们相加和为0时，必须满足其中的每一项都等于0． 【巩固练习】 1. 在实数0、π、、、﹣中，无理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B； 2. 计算(1) (2) 【答案】 解：(1) (2) . 3. 实数、在数轴上所对应的点的位置如图所示： 化简＋∣－∣＝ . 【答案】 解：∵＜0＜, ∴－＜0 ∴＋∣－∣＝－－(－)＝－2. 4. 实数在数轴上的位置如图所示，则的大小关系是： ； 【答案】； 知识点三、实数综合应用 【例题精讲】 例1. 现有一面积为150平方米的正方形鱼池，为了增加养鱼量，欲把鱼池的边长增加6米，那么扩建鱼池的面积为多少（最后结果保留4个有效数字）？ 【答案与解析】 解：因为原正方形鱼池的面积为150平方米，根据面积公式， 它的边长为 （米）． 由题意可得扩建后的正方形鱼池的边长为（12.247＋6）米， 所以扩建后鱼池的面积为≈333.0（平方米）． 答：扩建后的鱼池的面积约为333.0（平方米）． 【总结升华】要求扩建后的鱼池的面积，应先求出其边长，而原鱼池的面积为150平方米，由此可得原鱼池的边长，再加上增加的6米，故新鱼池面积可求． 【巩固练习】 1. 一个底为正方形的水池的容积是486，池深1.5，求这个水池的底边长． 【答案】 解：设水池的底边长为，由题意得 答：这个水池的底边长为18. 一.选择题 1. 下列说法正确的是（ ） A．数轴上任一点表示唯一的有理数 B．数轴上任一点表示唯一的无理数 C．两个无理数之和一定是无理数 D．数轴上任意两点之间都有无数个点 2. 的算术平方根是（　　） A．2 B．±2 C． D．± 3．已知、是实数，下列命题结论正确的是（ ） A．若＞，则＞ B．若＞｜｜，则＞ C．若｜｜＞，则＞ D．若＞，则＞ 4. ，则的值是（ ） A. 　　 B. 　　　 C. 　　 D. 5. 若式子有意义,则的取值范围是 ( ). A. B. C. D. 以上答案都不对. 6. 下列说法中错误的是（ ） A.中的可以是正数、负数或零. B.中的不可能是负数. C. 数的平方根有两个. 　　　　　　　D.数的立方根有一个. 7. 数轴上A，B两点表示实数，，则下列选择正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 估算的值在 （ ） A. 5和6之间 　　　B.6和7之间 　 C.7和8之间 　 D.8和9之间 二.填空题 9. 若的整数部分是，则其小数部分用表示为 ． 10．当 时，有意义. 11. . 12. 若是225的算术平方根，则的立方根是 . 13. 的平方根是 . 14.﹣64的立方根与的平方根之和是　 　． 15. 比较大小： ， ， 16. 数轴上离原点距离是的点表示的数是 . 三.解答题 17. 一个正数的平方根是与，则是多少？ 18.已知x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3，求x2+y2的平方根． 19. 已知：表示、两个实数的点在数轴上的位置如图所示，请你化简 20. 阅读题：阅读下面的文字，解答问题. 大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，于是小明用－1表示的小数部分，你同意小明的表示方法吗? 事实上，小明的表示方法是有道理的，因为的整数部分是1，将这个数减去其整数部分，差就是小数部分. 请解答：已知：10＋＝，其中是整数，且,求的相反数. 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】数轴上任一点都表示唯一的实数. 2. 【答案】C 3. 【答案】B； 【解析】B答案表明，故＞. 4. 【答案】B； 【解析】. 5. 【答案】A； 6. 【答案】C； 【解析】数不确定正负，负数没有平方根. 7. 【答案】C； 8. 【答案】B； 【解析】，. 二.填空题 9. 【答案】； 10.【答案】为任意实数 ； 【解析】任何实数都有立方根. 11.【答案】； 【解析】. 12.【答案】3； 【解析】－12＝15, ＝27,. 13.【答案】 ； 【解析】 ＝7，7的平方根是. 14.【答案】﹣2或﹣6． 【解析】﹣64的立方根是﹣4，=4， 4的平方根是±2， ﹣4+2=﹣2，﹣4+（﹣2）=﹣6， ﹣64的立方根与的平方根之和是﹣2或﹣6． 15.【答案】＞；＜；＞； 16.【答案】； 【解析】数轴上离原点距离是的点有两个，分别在原点的左右两边. 三.解答题 17.【解析】 解：∵一个正数的平方根是与， ∴与互为相反数， 即＋＝0，解得. 18.【解析】 解：∵x﹣2的平方根是±2，2x+y+7的立方根是3， ∴x﹣2=22，2x+y+7=27， 解得x=6，y=8， ∵x2+y2=62+82=100， ∴x2+y2的平方根是±10． 19.【解析】 解：∵＜＜0 ∴ 20.【解析】 解：∵11＜10＋＜12 ∴＝11，＝10＋－11＝ ∴. 1. 课堂错题收集： 2． 学霸笔记本： 课后巩固 预习思考 平面直角坐标系 12 学科网（北京）股份有限公司 $$