8.3 实数及其简便运算 讲义-2024–2025学年人教版七年级数学下册　

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级下 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题：实数及其简便运算 授课时间： 学习目标 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 教学内容 1. 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） （5） 2. 已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根． 3.在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？ 【答案与解析】 1. 解：（1） （2） （3） （4） （5） 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 2. 【解析】 解：∵5＋19的立方根是4 ∴5＋19，即64＝5＋19，解得＝9 ∴2＋7＝25 ∴2＋7的平方根＝. 3. 【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积. 【答案与解析】 解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积． 设铁块的棱长为，可列方程解得 设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6. 答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 . 【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 知识点一、实数概念 【例题精讲】 例1. 指出下列各数中的有理数和无理数： 【思路点拨】对实数进行分类时，应先对某些数进行计算或化简，然后根据它的最后结果进行分类，不能仅看到根号表示的数就认为是无理数.π是无理数，化简后含π的代数式也是无理数. 【答案与解析】有理数有 无理数有…… 【总结升华】有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：0.1010010001…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如，，，. 【巩固练习】 1. 在下列语句中： ①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数； ③有理数比无理数小； ④无限小数不一定是无理数． 其中正确的是（　　） A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④ 【答案】C； 解：①因为实数包括有理数和无理数，无理数的相反数 不可能式有理数，故本选项正确； ②一个数的绝对值一定≥0，故本选项正确； ③数的大小，和它是有理数还是无理数无关，故本选项是错误的； ④无限循环小数是有理数，故本选项正确． 知识点二、实数大小的比较 【例题精讲】 例1. 比较和0.5的大小． 【答案与解析】 解：作商，得． 因为，即，所以． 【总结升华】根据若，均为正数，则由“，，”分别得到结论“，，，”从而比较两个实数的大小．比较大小的方法有作差法和作商法等，根据具体情况选用适当的方法. 【巩固练习】 1. 比较大小 【答案】＜； ＞； ＜； ＜； ＜； ＞； ＜. 2. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　） A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 【答案】D； 【解析】 解：∵由图可知，a＜b＜0＜c， ∴A、ac＜bc，故A选项错误； B、∵a＜b， ∴a﹣b＜0， ∴|a﹣b|=b﹣a，故B选项错误； C、∵a＜b＜0， ∴﹣a＞﹣b，故C选项错误； D、∵﹣a＞﹣b，c＞0， ∴﹣a﹣c＞﹣b﹣c，故D选项正确． 故选：D． 【总结升华】本题考查的是实数与数轴，熟知数轴上各点与实数是一一对应关系是解答此题的关键． 知识点三、实数的运算 【例题精讲】 例1. 化简： (1) (2) (3) 【答案与解析】 解： . 【总结升华】有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数.有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 例2. 若，则________． 【思路点拨】由有限个非负数之和为零，则每个数都应为零可得到方程中，b，c的值. 【答案】3； 【解析】 解：由非负数性质可知：，即，∴ ． 【总结升华】初中阶段所学的非负数有||，，非负数的和为0，只能每个非负数分别为0 . 【巩固练习】 1. 已知，求的值． 【答案】 解：由已知得，解得． ∴＝. 一.选择题 1.实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 2. 下列说法正确的是（ ） A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数 3.估计的大小应在（ ） A．7～8之间 B．8.0～8.5之间 C．8.5～9.0之间 D．9～10之间 4.如图，数轴上点表示的数可能是（　　）. 　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 　　　　 5. 实数和的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（ ） A．4～5之间 B．5～6之间 C．6～7之间 D．7～8之间 二.填空题 7.在，，，，这五个实数中，无理数是_________________． 8.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______． 9.｜3.14－π｜＝______； ______． 10. 的整数部分是________，小数部分是________． 11.已知为整数，且满足，则________． 12. ﹣的相反数是　　，﹣2的绝对值是________，的立方根是　　． 三.解答题 13．化简：|﹣|﹣|3﹣|． 14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到） 15. 已知求的值． 【答案与解析】 一.选择题 1.【答案】B． 【解析】在实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1）中，无理数有：﹣π，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），共2个. 2. 【答案】A； 【解析】根据无理数的定义作答. 3. 【答案】C； 【解析】，因为76比较接近81，所以在8.5～9.0之间. 4. 【答案】B； 【解析】2＜＜3 5. 【答案】C； 【解析】. 6. 【答案】A； 【解析】. 二.填空题 7． 【答案】，； 8. 【答案】； 【解析】与1的距离是的点在1的左右两边各有一个点，分别是、. 9. 【答案】π－3.14；. 【解析】负数的绝对值等于它的相反数. 10.【答案】2；； 【解析】，故整数部分为2，－2为小数部分. 11.【答案】 －1, 0, 1； 12.【答案】；2﹣；2． 三.解答题 13.【解析】 解：|﹣|﹣|3﹣| =﹣（3﹣） =2﹣﹣3． 14.【解析】 解：设广场的边长为，由题意得： 440000 ＝≈663. 答：它的边长约为663m. 15.【解析】 解：∵ ∴－2＝0且＝0 解得＝2，＝－3， ∴＝2－3＝－1. 1. 课堂错题收集： 2． 学霸笔记本： 课后巩固 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 预习思考 实数全章复习与巩固 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级下 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题：实数及其简便运算 授课时间： 学习目标 1. 了解无理数和实数的意义； 2. 了解有理数的概念、运算法则在实数范围内仍适用 . 教学内容 1. 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） （5） 2. 已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根． 3.在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？ 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点诠释： （1）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式. （2）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 1.实数的分类 按定义分： 实数 按与0的大小关系分： 实数 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 知识点一、实数概念 【例题精讲】 例1. 指出下列各数中的有理数和无理数： 【巩固练习】 1. 在下列语句中： ①无理数的相反数是无理数； ②一个数的绝对值一定是非负数； ③有理数比无理数小； ④无限小数不一定是无理数． 其中正确的是（　　） A．②③ B．②③④ C．①②④ D．②④ 知识点二、实数大小的比较 【例题精讲】 例1. 比较和0.5的大小． 【巩固练习】 1. 比较大小 2. 实数a，b，c在数轴上对应的点如图所示，则下列式子中正确的是（　　） A．ac＞bc B．|a﹣b|=a﹣b C．﹣a＜﹣b＜c D．﹣a﹣c＞﹣b﹣c 知识点三、实数的运算 【例题精讲】 例1. 化简： (1) (2) (3) 例2. 若，则________． 【巩固练习】 1. 已知，求的值． 一.选择题 1.实数，0，﹣π，，﹣，0.3131131113…（相邻两个3之间依次多一个1），其中无理数的个数是（　　） A．4 B．2 C．1 D．3 2. 下列说法正确的是（ ） A．无理数都是无限不循环小数 B．无限小数都是无理数 C．有理数都是有限小数 D．带根号的数都是无理数 3.估计的大小应在（ ） A．7～8之间 B．8.0～8.5之间 C．8.5～9.0之间 D．9～10之间 4.如图，数轴上点表示的数可能是（　　）. 　　A． 　　　B． 　　　C． 　　　D． 　　　　 5. 实数和的大小关系是（ ） A． B． C． D． 6．一个正方体水晶砖，体积为100，它的棱长大约在（ ） A．4～5之间 B．5～6之间 C．6～7之间 D．7～8之间 二.填空题 7.在，，，，这五个实数中，无理数是_________________． 8.在数轴上与1距离是的点，表示的实数为______． 9.｜3.14－π｜＝______； ______． 10. 的整数部分是________，小数部分是________． 11.已知为整数，且满足，则________． 12. ﹣的相反数是　　，﹣2的绝对值是________，的立方根是　　． 三.解答题 13．化简：|﹣|﹣|3﹣|． 14. 天安门广场的面积大约是440000，若将其近似看作一个正方形，那么它的边长大约是多少？（用计算器计算，精确到） 15. 已知求的值． 1. 课堂错题收集： 2． 学霸笔记本： 课后巩固 要点一、有理数与无理数 有限小数和无限循环小数都称为有理数.无限不循环小数又叫无理数. 要点二、实数 有理数和无理数统称为实数. 要点三、实数大小的比较 对于数轴上的任意两个点，右边的点所表示的实数总是比左边的点表示的实数大. 正实数大于0，负实数小于0，两个负数，绝对值大的反而小. 要点四、实数的运算 有理数关于相反数和绝对值的意义同样适合于实数. 当数从有理数扩充到实数以后，实数之间不仅可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，而且正数及0可以进行开平方运算，任意一个实数可以进行开立方运算.在进行实数的运算时，有理数的运算法则及运算性质等同样适用. 预习思考 实数全章复习与巩固 3 学科网（北京）股份有限公司 $$