20.1.1平均数（第1课时平均数）（教学课件）-2024-2025学年八年级数学下册考试满分全攻略同步备课备考系列（人教版）

人教版八年级数学下册 第20章 数据的分析 20.1.1 平均数 第1课时 平均数 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1.理解数据的权和加权平均数的概念，体会权的作用. 2.明确加权平均数与算术平均数的关系，掌握加权平均数的计算方法. (重点、难点) 情景导入 7 6 5 4 3 2 1 A B C D 平均数 先和后分 移多补少 如图，ABCD四个杯子中装了不同数量的小球，你能让四个杯子中的小球数目相同吗？ 平均水平 新知探究 问题1 一家公司打算招聘一名英文翻译.对甲、乙两名应试者进行了听、说、读、写的英语水平测试，他们的各项成绩(百分制)如表20-1所示. 应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 表20-1 5 (1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 对于问题（1），根据平均数公式，甲的平均成绩为 乙的平均成绩为 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲. (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 应试者 听 说 读 写 甲 85 78 85 73 乙 73 80 82 83 对于问题（2），听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，这说明各项成绩的“重要程度”有所不同，读、写的成绩比听、说的成绩更加“重要”。因此，甲的平均成绩为 乙的平均成绩为 因为乙的平均成绩比甲高，所以应该录取乙. (1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： 2∶1∶3∶4 权 加权平均数 一般地，若n个数x1， x2，…， xn的权分别是w1， w2，…， wn，则 叫做这n个数的加权平均数. 思考 如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？ 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： 因为甲的平均成绩比乙高，所以应该录取甲. 与上述问题中的(1) (2)相比较，你能体会到权的作用吗？ (1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： (3)如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？ 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： 录取甲 录取乙 录取甲 (1)如果这家公司想招一名综合能力较强的翻译，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： (2)如果这家公司想招一名笔译能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照2∶1∶3∶4的比确定，计算两名应试者的平均成绩(百分制).从他们的成绩看，应该录取谁？ 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： (3)如果这家公司想招一名口语能力较强的翻译，听、说、读、写成绩按照3∶3∶2∶2的比确定，那么甲、乙两人谁将被录取？ 甲的平均成绩： 乙的平均成绩： 录取甲 录取乙 录取甲 当一组数据中各个数据重要程度不同时，加权平均数能更好地反映这组数据的平均水平. 例题讲解 例1 一次演讲比赛中， 评委将从演讲内容、演讲能力、演讲效果三个方面为选手打分，各项成绩均按百分制计，然后再按演讲内容占50%、演讲能力占40%、演讲效果占10%，计算选手的综合成绩(百分制).进入决赛的前两名选手的单项成绩如表所示，请确定两人的名次. 选手 演讲内容 演讲能力 演讲效果 A 85 95 95 B 95 85 95 解：选手 A 的最后得分是 选手 B 的最后得分是 由上可知选手B获得第一名，选手A获得第二名. 例1中两名选手的单项成绩都是两个95分与一个85分，为什么他们的最后得分不同呢？从中你能体会到权的作用吗？ 分析:这个问题可以看成是求两名选手三项成绩的加权平均数，50%，40%，10%说明演讲内容、演讲能力、演讲效果三项成绩在总成绩中的重要程度，是三项成绩的权. 1. 定义：一般地，对于n个数x1，x2，…，xn，我们把(x1＋x2＋… ＋xn)叫做这n个数的算术平均数，简称平均数，记作“͞x”，读作“x 拔”，即͞x＝(x1＋x2＋… ＋xn). 概念归纳 平均数 2. 计算方法 (1)定义法：求平均数，只要把所有数据加起来求出总和， 再除以数据的总个数即可，即：如果有n个数x1，x2，…，xn，那么͞x＝(x1＋x2＋… ＋xn)； (2)新数据法：当所给的数据较大，且所给数据大部分都在某一常数a 附近上、下波动时，可计算各数据与a的差：x1－a＝x1′，x2－a＝x2′，…，xn－a＝xn′，则͞x＝a＋(x1′＋x2′＋… ＋xn′). 3. 性质 若x1，x2，…，xn的平均数为x ，则： (1)nx1，nx2，…，nxn的平均数为n ͞x； (2)x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为͞x＋b； (3)nx1＋b，nx2＋b，…，nxn＋b的平均数为n ͞x＋b. 特别提醒 1. 一组数据的平均数是唯一的，它不一定是数据中的某个数据； 2. 平均数的大小与一组数据里的每个数据都有关，其中任何一个数据的变动都会引起平均数的变动； 3. 若原始数据有单位，则这组数据的平均数的单位必须与原始数据的单位一致. 加权平均数 1. 定义 (1)一般地，若n个数x1，x2，…，xn的权分别是w1，w2，…，wn，则叫做这n个数的加权平均数. 特别解读 1. 权能够反映某个数据的重要程度，权越大，该数据所占的比重就越大，反之越小.权的表现形式为： (1)数据的个数；(2)数据的百分比；(3)数据的比例关系. 2. 数据分组后，常用各组的组中值，即各组的两个端点的数的平均数代表各组的实际数据，这时“权”就是各组数据的频数. (2)在求n个数的平均数时，如果x1出现f1次，x2出现f2次，…，xk出现fk次(这里f1＋f2＋… ＋fk＝n)，那么这n个数的平均数 ͞x ＝也叫做x1，x2，…，xk这 k个数的加权平均数，其中f1，f2，…，fk分别叫做x1， x2，…，xk的权. 2. 算术平均数与加权平均数的联系与区别 区别 联系 算术平均数 算术平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”相同，即各个数据的权相同 若各个数据的权相同，则加权平均数就是算术平均数，因而算术平均数实际上是加权平加权平均数的一种特例 加权平均数 加权平均数对应的一组数据中各个数据的“重要程度”不一定相同，即各个数据的权不一定相同 课堂练习 1.某公司欲招聘一名公关人员.对甲、乙两位应试者进行了面试和笔试，他们的成绩(百分制)如下表所示. 应试者 面试 笔试 甲 86 90 乙 92 83 (1)如果公司认为面试和笔试成绩同等重要，从他们的成绩看，谁将被录取？ (2)如果公司认为，作为公关人员面试成绩应该比笔试成绩更重要，并分别赋予它们6和4的权，计算甲、乙两人各自的平均成绩，谁将被录取？ 解:(1)甲的平均成绩为 (分)， 乙的成绩为 (分). 显然甲的成绩比乙的成绩稍高，所以从平均成绩看，应录取甲. (2)面试成绩与笔试成绩的权重为6和4，则甲的平均成绩为 (分)，乙的平均成绩为 (分)，显然甲的成绩比乙6+4的成绩低，所以从加权平均成绩看，应录取乙. 2.晨光中学规定学生的学期体育成绩满分为100， 其中早锻炼及体育课外活动占20%，期中考试成绩占30%，期末考试成绩占50%.小桐的三项成绩(百分制)依次是95，90， 85. 小桐这学期的体育成绩是多少？ 解：95×20% +90×30% +85×50%= 88.5(分). 答：小桐这学期的体育成绩为88.5 分. 分层练习 基础题 1．[2024天津和平区期末]一组数据2，1，4，x，y的平均数是4，则x，y的平均数为(　　) A．5 B．5.5 C．6 D．6.5 D 2.数据7，8，9，13，13的平均数是( ) B A.12 B.10 C.9 D.8 3. 第七届全国人民代表大会常务委员会第十七次会议审议通过的《中华人民共和国残疾人保障法》第14条规定：“每年五月第三个星期日，为全国助残日．”在第33个“全国助残日”，某校举行了捐款活动，并调查了某班30名同学的捐款情况如下表： 捐款 5元 10元 15元 20元 25元 30元 人数 11 9 6 2 1 1 则该班同学捐款的平均数为(　　) A．11元 B．13元 C．15元 D．20元 A 27 4.如图是某住宅小区6月1日 月5日每天用水 量的情况，则这5天平均每天的用水量是( ) B A.25立方米 B.30立方米 C.32立方米 D.35立方米 5.某单位定期对员工的专业知识、工作业绩、出勤情况三个方面进行考 核（考核的满分均为100分），三个方面的重要性之比依次为 .小 王经过考核后所得的分数（单位：分）依次为90，88，83，那么小王的 最后得分是( ) B A.87分 B.87.6分 C.87.8分 D.88分 28 6. 在一次演唱比赛中，评分办法采用7位评委现场打分， 每位选手的最后得分为去掉最低分、最高分后的平均数.已知7位评委给 某位选手的打分（单位：分）为94，94，93，98，99，98，96，那么这 位选手的最后得分是( ) B A.94分 B.96分 C.97分 D.98分 29 7. 学校举行篮球技能大赛，评委从控球技能和投球技能 两方面为选手打分，各项成绩均按百分制计算，然后再按控球技能占 ，投球技能占 计算选手的综合成绩（百分制）.选手李林控球 技能得90分，投球技能得80分.则李林的综合成绩为( ) B A.170分 B.86分 C.85分 D.84分 8．已知一组数据x1，x2，x3，x4的平均数为5，则数据x1＋3，x2＋3，x3＋3，x4＋3的平均数为________． 8 30 9．[2024德阳]某校拟招聘一名优秀的数学教师，设置了笔试、面试、试讲三项水平测试，综合成绩按照笔试占30%，面试占30%，试讲占40%进行计算，小徐的三项测试成绩如图所示，则她的综合成绩为________分． 85.8 31 10. 自“双减”以来，同学们的课后延时服务活动丰富多彩，某学校在新的学期举办“篮球特色班”，大量热爱篮球的同学踊跃报名，但由于名额有限，所以需要考核选拔，考核的最终评价成绩由篮球知识、身体素质、篮球技能三项构成，下表 是对甲、乙两名 同学的成绩记录．    成绩/分 篮球知识 身体素质 篮球技能 甲 93 94 89 乙 88 90 95 32 (1)如果根据三项成绩的平均分确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； 33 (2)根据实际需要，将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按1∶4∶5的比例确定最终评价成绩，计算说明谁将获胜； 34 (3)如果你是“篮球特色班”的老师，请你制定一项标准来确定获胜人选，并说明制定该标准的理由． 【解】将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按1∶4∶5的比例确定最终评价成绩，乙将获胜．理由：∵是“篮球特色班”，要重点关注的是篮球技能，∴将篮球知识、身体素质、篮球技能三项成绩按1∶4∶5的比例确定最终评价成绩．(答案不唯一) 35 综合应用题 12.某校规定英语竞赛成绩85分以上为优秀，老师将85分记为0，并将一 组5名同学的成绩简记为，，0，， ，这5名同学的平均成 绩是( ) B A.83分 B.87分 C.82分 D.84分 11.一组数据有20个数，有4个数的平均数为20，另外16个数的平均数为 15，则这20个数的平均数为( ) A A.16 B.17.5 C.18 D.20 13.在数据4，5，6，5中去掉 个数据，若平均数没有发生变化， 则 的值是( ) C A.1或3 B.2或3 C.1或2或3 D.3或4 [解析] 点拨： , 在数据4,5,6,5中去掉 个数据,平均数没有发生变化， 去掉的数可能是一个5,或两个5或4和6,或4和一个5和6， 或2或3. 37 14. 中药是以我国传统医药理论为指导，经过采集、炮制、制剂而得到的药物．在一个时间段，某中药房的黄芪、焦山楂、当归三种中药的销售单价和销售额情况如表：则在这个时间段，该中药房的这三种中药的平均销售量为________千克． 2.5 中药 黄芪 焦山楂 当归 销售单价/(元/千克) 80 60 90 销售额/元 120 120 360 38 15.小方的数学平时成绩为84分，期中成绩为80分，学校按平时、期中、 期末成绩之比为 的比例计算学期的总成绩，他计划总成绩要达到 85分，则期末考试他至少要得到_____分. 89.5 [解析] 点拨：设小方的期末成绩为 分，由已知可得 ,解得 . 39 16.已知一组数据，，，， 的平均数是2，那么另一组数据 ，，，， 的平均数是___. 4 [解析] 点拨：因为一组数据，，，， 的平均数是2，所以 ，所以另一组数据， ， ，，的平均数是 . 40 17.[2024·福建] 已知， 两地都只有甲、乙两类普通高中学校.在一次 普通高中学业水平考试中， 地甲类学校有考生3 000人，数学平均分为 90分；乙类学校有考生2 000人，数学平均分为80分. （1）求 地考生的数学平均分. 解： 地考生的数学平均分为 （分）. 41 （2）若 地甲类学校数学平均分为94分，乙类学校数学平均分为82分， 据此，能否判断地考生数学平均分一定比 地考生数学平均分高？若 能，请给予证明；若不能，请举例说明. 解：不能. 举例如下：当 地甲类学校有考生1 000人，乙类学校有考生3 000人 时， 地考生的数学平均分为 （分）. 因为，所以不能判断地考生数学平均分一定比 地考生数学平 均分高.（举例不唯一） 42 创新拓展题 18.某校举办七年级数学素养大赛，比赛共设四个项目：速算比赛、数学推理、七巧拼图、魔方复原，每个项目得分(分值都为整数)都按一定百分比折算后计入总分，并规定总分在85分以上(含85分)为一等奖．甲、乙、丙三位同学的速算比赛得分均为72分， 七巧拼图得分均为78分且此两项在 总分中所占百分比相等，其余两项 得分如图所示(单位：分)． (1)甲、乙、丙三位同学的速算比赛与七巧拼图这两项经折算后的得分和均为30分，求这两项在计入总分时所占的百分比； 44 (2)据悉乙、丙两位同学的总分分别为80分和90分，请求出数学推理和魔方复原所占的百分比． 45 (3)在(1)和(2)的条件下，如果甲获得了第一名，那么甲的魔方复原至少获得________分． 74 46 19.[2024·广东] 端午假期，王先生计划与家人一同前往景区游玩，为了 选择一个最合适的景区，王先生对，， 三个景区进行了调查与评估. 他依据特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四个方面，为每个景 区评分（10分制）.三个景区的得分（单位：分）如下表所示： 景区 特色美食 自然风光 乡村民宿 科普基地 6 8 7 9 7 7 8 7 8 8 6 6 47 （1）若四项所占百分比如图所示，通过计算回答： 王先生会选择哪个景区去游玩？ 解： 景区得分为 （分）， B景区得分为 （分）， C景区得分为 （分）， ， 王先生会选择 景区去游玩. 48 （2）如果王先生认为四项同等重要，通过计算回答：王先生将会选择 哪个景区去游玩？ 解：景区得分为 （分）， B景区得分为 （分）， C景区得分为 （分）， ， 王先生会选择 景区去游玩. 49 （3）如果你是王先生，请按你认为的各项“重要程度”设计四项得分的 百分比，选择最合适的景区，并说明理由. 解：设特色美食、自然风光、乡村民宿及科普基地四项得分的占比分别 为，，， ， A景区得分为 （分）， B景区得分为 （分）， C景区得分为 （分）， ， 我会选择 景区去游玩.（答案不唯一） 50 课堂小结 平均数与加权平均数 算术平均数： 加权平均数： 【解】甲的成绩为＝92(分)，乙的成绩为＝91(分)． ∵91＜92，∴甲将获胜． 【解】甲的成绩为＝91.4(分)，乙的成绩为＝92.3(分)． ∵91.4＜92.3，∴乙将获胜． 【解】×100%＝20%. 答：这两项在计入总分时所占的百分比为20%. 【解】设数学推理所占的百分比为x，魔方复原所占的百分比为y， 根据题意得解得 答：数学推理和魔方复原所占的百分比分别为40%，30%. 【点拨】∵甲获得了第一名，∴甲同学的总分大于90分．设甲的魔方复原获得a分，根据题意得95×40%＋30%·a＋30＞90，解得a＞.∵分值都为整数，∴a≥74(a为整数)，∴甲的魔方复原至少获得74分． $$