11.3 一元一次不等式组 （讲练）（12大题型67题）-2024-2025学年七年级下册数学同步讲练（人教版2024）

类似于方程组，把含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 注意：理解一元一次不等式组的概念要注意以下三点： (1)不等式组里的不等式必须是一元一次不等式； (2)不等式组里每个一元一次不等式所含的未知数是同一个； (3)不等式组里的不等式至少要有两个， 不等式组的解集的概念 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集， 不等式组的解集的四种基本类型 不等式组（） 在数轴上表示（图示） 解集 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无解了 提示：对不等号为“”或“”时的情况仍成立.有等号，界点画实心圆点;无等号，界点画空心圆圈. 解一元一次不等式组的步骤 第一步 分别求出不等式组中各个不等式的解集， 第二步 在同一数轴上分别表示出每个不等式的解集这些不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集， 第三步 写出不等式组的解集 注意：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈 提示：两个不等式组成的不等式组的解集既可以用数轴确定，又可以用口诀确定，但三个或三个以上的不等式组成的不等式组的解集用数轴确定较方便. 列一元一次不等式组解应用题的步骤：审题→找数量关系→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验→答。【数量关系包括相等关系（用来表示其余未知量）和不等关系（用来到不等式）.可用到表法或线段图分析法寻找数量关录。】 注意：列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，在解集中找出符合题意的答案。（如:求人数、物品的数目或产品的件数等，只能取非负整数。） 【典例】下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义：几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，熟练掌握一元一次不等式组的定义是解题的关键. 根据一元一次不等式组的定义逐项判断即可 【详解】解：A、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； B、不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； C、 是一元一次不等式组，故该选项符合题意； D、 不是一元一次不等式组，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式1-1】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元一次不等式组的定义，根据共含有一个未知数，未知数的次数是1来判断． 根据一元一次不等式组的定义判断即可． 【详解】解：①是一元一次不等式组； ②是一元一次不等式组； ③含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ④是一元一次不等式组； ⑤，未知数是2次，不是一元一次不等式组， 其中是一元一次不等式组的有3个， 故选：B． 【变式1-2】下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【典例】关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（　　） A．x≥﹣2 B．﹣2≤x＜1 C．﹣2＜x≤1 D．x＜1 【答案】B 【解析】 【分析】根据数轴上的点所表示数的特征，表示出不等式组的解集即可． 【详解】解：由所给数轴可知， 该不等式组的解集为：﹣2≤x＜1． 故选：B． 【变式2-1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据在数轴上表示不等式的解集的方法即可得出答案． 【详解】解：不等式组的解集在数轴上表示正确的是． 故选：C． 【变式2-2】直接写出下列数轴表示的不等式组的解集 （1）解集为 　 ； （2）解集为 　 　； （3）解集为 　 　； （4）解集为 　 　． 【答案】（1）无解（2）0＜x≤3（3）x＞3（4）x≤3 【解析】 【分析】根据数轴上画出的部分写出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）解集为无解； 故答案为：无解； （2）解集为0＜x≤3； 故答案为：0＜x≤3； （3）解集为x＞3； 故答案为：x＞3； （4）解集为x≤3． 故答案为：x≤3． 易错警示：不等式组的解集表示错误两个不等式解集的公共部分才是不等式组的解集，当两个不等式的解集没有公共部分时，说明这个不等式组无解。 【典例】解不等式组： 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，分别求出每个不等式的解集，再取它们解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为： 【变式3-1】解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，数轴表示见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组及在数轴上表示不等式的解集，熟知解一元一次不等式组的步骤及数轴上的点所表示数的特征是解题的关键． 根据解一元一次不等式组的步骤，对所给不等式组进行求解，并按要求将解集在数轴上表示出来即可． 【详解】由题知， 解不等式得，； 解不等式得，， 所以不等式组的解集为：． 数轴表示如下： 【变式3-2】解不等式组． (1)解不等式组， 请按下列步骤完成解答： 解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为__________． (2)解不等式组 【答案】(1)；；数轴见解析； (2) 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． （1）先求出每一个不等式的解集，把不等式的解集在数轴上表示出来，根据数轴确定不等式组的解集； （2）先求出每一个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】（1）解： 解不等式①，得， 解不等式②，得， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为； （2）解：， 解不等式①得， 解不等式②得， 原不等式组的解集为． 方法技巧：确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集，如果没有公共部分，则这个不等式组无解.这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了。 (2)口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了. 易错警示：混淆不等式组的解法与方程组的解法解不等式组必须单独解出各个不等式的解集，然后求所有解集的公共部分，而不能像解方程组那样运用代入法或加减法联合起来一起解. 【典例】不等式组的整数解共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的整数解得知识点，首先确定不等式组的解集，然后在解集范围内找出符合条件的整数解有几个．注意各个不等式的解集的公式部分就是这个不等式组的解集，再找出在这范围内的整数． 【详解】解：， 解①得， 解②得， 故不等式组的解集为， 不等式组的整数解为，共3个， 故选：C． 【变式4-1】关于的不等式组的整数解的和是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解，解不等式组得不等式组的解集为，即可求解；能熟练解一元一次不等式组是解题的关键． 【详解】解：解不等式组得： 不等式组的解集为， 不等式组的整数解有、， ， 故答案为：． 【变式4-2】求满足不等式组的整数解． 【答案】0，1 【解析】 【分析】本题考查求不等式组的整数解，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，确定不等式组的解集，进而求出整数解即可． 【详解】解：由①，得：， 由②，得：， ∴不等式组的解集为：； ∴不等式组的整数解为：0，1． 【典例】若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】分别求出各不等式的解集，再根据不等式的解集是x＞3求出a的取值范围即可． 【详解】 ∵解不等式①得：，解不等式②得：， ∵关于的不等式组的解集为， ∴， 故选：D． 【变式5-1】若不等式组无解，则正整数的值为 ． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了根据一元一次不等式组无解求参数，先把每个不等式的解集求出来，再根据不等式组无解求出的取值范围，进而求出的正整数值，理解不等式组无解即组成不等式组的两个不等式的解集无公共部分是解题的关键． 【详解】解：， 解不等式得，， 不等式组无解， ∴， ∴正整数的值为或． 【变式5-2】含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组有无解集的问题， 对于（1），根据不等式组有解集，即两个不等式有交集； 对于（2），（3），根据不等式组中的两个不等式没有交集解答. 【详解】（1）解：关于的不等式组有解， 即的取值范围是； （2）解：关于的不等式组无解， ， 解得， 即的取值范围是； （3）解： 解不等式①，得，解不等式②，得． 关于的不等式组无解， ， 即的取值范围是． 方法技巧：比较对照法 对于含有字母参数的不等式组，在已知不等式组解集的条件下，解题时，先解原不等式组，用含有字母的式子表示出解集，通过与已知解集比较，对应建立不等式（组)或方程(组）求解.这种解决问题的方法称为比较对照法. 【典例】不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（　　） A．6≤m≤7 B．6＜m＜7 C．6≤m＜7 D．6＜m≤7 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于x的不等式组的解集和整数解的个数确定关于m的不等式组，再求出解集即可． 【详解】解：关于x的不等式组有解，其解集为3≤x＜m， ∵关于x的不等式组恰有4个整数解， ∴6＜m≤7， 故选：D． 【变式6-1】已知关于x的不等式组至少有2个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣4≤a＜﹣2 B．a≥﹣4 C．a≤﹣4 D．a＜﹣2 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再结合已知条件可得答案． 【详解】解：， 解不等式①，得x， 解不等式②，得x＜4， 解不等式组，得x＜4， ∵不等式组有2个整数解， ∴12， 解得﹣4≤a＜﹣2． 故选：A． 【变式6-2】若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了不等式的整数解，根据有且仅有两个整数解可得m的取值范围． 【详解】解：∵关于x的不等式组有且仅有两个整数解， ∴， 故答案为：． 方法技巧：比较对照法 对于含有字母参数的不等式组，在已知不等式组解集的条件下，解题时，先解原不等式组，用含有字母的式子表示出解集，通过与已知解集比较，对应建立不等式（组)或方程(组）求解.这种解决问题的方法称为比较对照法. 【典例】、、、四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四人的轻重正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据图形可得不等式组，解不等式组即可求解． 【详解】解：由题意得： ， 由得：， 把代入中得：， ∴， ∴， ∴， 由得：， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【变式7-1】已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【答案】/ 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式（组），熟练掌握不等式的基本性质即可获得答案．将整理为，结合可得，，进而可得，然后将其代入并求解，即可获得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 故答案为：． 【变式7-2】解不等式； 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式组，绝对值等知识点，分和两种情况分类讨论即可得解，理解题目的含义，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】解：①当即， 解集为， ②当，即， 解集为， 综上可知，原不等式的解集为． 【典例】如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】根据运算流程结合需要经过两次运算可得出关于x的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论． 此题主要考查了一元一次不等式组的应用，关键是弄明白图示的意思，列出不等式组． 【详解】根据题意，得 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为：， 则的取值范围为． 故选D． 【变式8-1】按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列不等式组解实际问题，正确理解程序，列出不等式组是解题关键． 根据程序可以列出不等式组，即可确定实数x的取值范围，从而求解． 【详解】解：根据题意得：第一次：， 第二次：， 根据题意得： 解得：． 故答案是：． 【变式8-2】运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次不等式组的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组是解题的关键．由程序操作恰好进行了次后停止，即可得出关于的一元一次不等式组，解之即可得出的取值范围，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 满足条件的的最大整数值为， 故答案为：． 【典例】已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查解一元一次方程，解一元一次不等式组．解题关键在于掌握其方法步骤． 解不等式组，根据其解集得出关于a、b的方程，解之求得a、b的值，再还原方程，解方程即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得． ∵不等式组的解集是， ∴． ∴，． ∴． ∴方程为． 解得． 故选：D． 【变式9-1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】/ 【解析】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一元一次不等式的解法；由方程组求得是解题关键．利用加减消元法求得，再建立不等式求m即可； 【详解】解： 由①②，得：， ∴， 当时，， 解得： ， ∴， 故答案为： 【变式9-2】已知关于x、y的方程组． （1）若此方程组的解满足﹣1＜x+y≤3，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于m的不等式2am﹣m＞2a﹣1的解集为m＜1，求满足条件的a的整数值． 【答案】（1）﹣2＜a≤2（2）﹣1、0 【解析】 【分析】（1）根据﹣1＜x+y≤3列出关于a的不等式，可解得a的范围； （2）结合（1），由a为整数，可得a的值． 【详解】解：（1）， ①+②得：3x+3y＝3+3a， ∴x+y＝1+a， ∵﹣1＜x+y≤3， ∴﹣1＜1+a≤3， 解得﹣2＜a≤2； （2）∵关于m的不等式2am﹣m＞2a﹣1的解集为m＜1， ∴2a﹣1＜0， ∴a， ∵﹣2＜a≤2， ∴﹣2， ∴满足条件的a的整数值是﹣1、0． 【典例】对于实数m，n，定义一种运算“※”为m※n＝m2+mn，例如，5※3＝52+5×3＝40．那么不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意列出不等式组，然后根据一元一次不等式组的解法即可求出答案． 【详解】解：由题意可知不等式组可化为：， 解不等式①得：x＜2， 解不等式②得：x≥﹣1， ∴不等式的解集为：﹣1≤x＜2． 故选：B． 【变式10-1】如果把一个非负实数“四舍五入”到个位的值记为．那么当为非负整数时，若，则．如：，．根据以上材料，解决下列问题： (1)若，则满足的条件：_____； (2)若，则应满足的条件：_____； 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）因为，根据，求得取值范围即可； （2）由（1）得出的取值范围，进一步解不等式组得出答案即可． 【详解】（1）解：， ， ， 故答案为：； （2）解：， ， ， ， ， 故答案为：． 【变式10-2】【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【答案】（1）①②；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）先分别求得各一元一次方程的解和不等式组的解集，再根据题中定义判断即可解答； （2）先求得方程和不等式组的解集，再根据定义得到关于k的不等式组，然后解不等式组即可求解； （3）先解方程，再求出不等式组的解集，然后根据定义求解即可． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， 解方程得：， 解不等式组得：， 所以不等式组 的“子方程”是①②． （2）解不等式，得：， 解不等式，得：， 则不等式组的解集为， 解方程，得， 由题意，得， ∴， 解得：； （3）解方程，得：， 解不等式组得：， ∴不等式组得解集为， ∴在范围内， ∴， 解得：． 【典例】如图，有一容积为400ml的容器，在容器中倒入100ml的水，此时刻度显示为5cm，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．一个大玻璃球的体积为10cm3，放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．设一个小玻璃球的体积为x cm3，根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 【分析】设一个小玻璃球的体积是x cm3，根据“放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出，再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：设一个小玻璃球的体积为x cm3， ∵放入27个大玻璃球后，放入5颗小玻璃球，水面没有溢出， ∴100+10×27+5x≤400， ∵再放入一颗小玻璃球，水面会溢出容器， ∴100+10×27+6x＞400， 综上所述：， 故选：B． 【变式11-1】用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，如果设有x辆车，则有吨货物．根据若每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空，列出不等式组． 【详解】解：设有x辆车，则有吨货物． ∵每辆汽车装满8吨，则最后一辆汽车不满也不空， ∴装满的有辆车， 由题意，得 即： ． 故选：D． 【变式11-2】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的应用，解题的关键是根据题目中的不等关系，列出不等式组． 设购买篮球x个，则购买排球个，根据购买资金不超过3600元、购买篮球的数量不少于排球数量的一半，即可得出关于x的一元一次不等式组． 【详解】解：设购买篮球x个，则购买排球个， 由题意得． 故选：C． 【典例】2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【答案】(1)A种图书每本30元，B种图书每本20元 (2)购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式组的实际应用： （1）设A种图书每本x元，B种图书每本y元，根据购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；购买5本A种图书和8本B种图书共需310元，列出方程组进行求解即可； （2）设该校购买A种图书m本，根据购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，列出不等式组，进行求解即可． 【详解】（1）解：设A种图书每本x元，B种图书每本y元． 根据题意，得 解得 答：A种图书每本30元，B种图书每本20元． （2）设该校购买A种图书m本，则购买B种图书本． 根据题意，得， 解得，且m为正整数． A种图书单价高， 购买A种图书越少越省钱． m取最小值28时，总费用最少， 最少费用为元． 答：购买A种图书28本，购买B种图书22本时，总花费最小，为1280元． 【变式12-1】2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件． 【答案】每个小组原来平均每天生产49个零件 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设每个小组原来平均每天生产x个零件，根据题意可知原来2个小组10天内生产的零件数小于1000，在每天比原来多生产2个零件后2个小组10天内生产的零件数大于1000，据此列出不等式组求解即可． 【详解】解：设每个小组原来平均每天生产x个零件， 根据题意，得， 解得． ∵x是整数， ∴． 答：每个小组原来平均每天生产49个零件． 【变式12-2】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元；实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水，请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． （3）经测算：每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1．5万元．在（2）中的方案中，哪种购买方案使得设备的各种维护费和电费总费用最低？ 【答案】（1）每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为9万元；（2）共有4种购买方案．方案1：购买1台甲型设备、7台乙型设备；方案2：购买2台甲型设备、6台乙型设备；方案3：购买3台甲型设备、5台乙型设备；方案4：购买4台甲型设备、4台乙型设备；（3）购买4台甲型设备、4台乙型设备时，各种维护费和电费总费用最低，最低费用为10（万元）． 【解析】 【分析】（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为75%x万元，根据购买3台甲型和2台乙型污水处理设备共花费资金54万元，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论； （2）设购买m台甲型设备，则购买（8-m）台乙型设备，根据总价=单价×数量结合处理污水的总量=200×购买甲型设备的台数+160×购买乙型设备的台数，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，结合m为整数，即可得出各购买方案； （3）由1＜1．5可得出方案4使得设备的各种维护费和电费总费用最低． 【详解】解：（1）设每台甲型设备的价格为x万元，则每台乙型设备的价格为75%x万元， 依题意，得：3x+2×75%x=54， 解得：x=12， ∴75%x=9． 答：每台甲型设备的价格为12万元，每台乙型设备的价格为9万元． （2）设购买m台甲型设备，则购买（8-m）台乙型设备， 依题意，得：， 解得：≤m≤4． ∵m为整数， ∴m=1，2，3，4． ∴共有4种购买方案．方案1：购买1台甲型设备、7台乙型设备；方案2：购买2台甲型设备、6台乙型设备；方案3：购买3台甲型设备、5台乙型设备；方案4：购买4台甲型设备、4台乙型设备． （3）∵1＜1．5， ∴购买甲型设备越多，各种维护费和电费总费用越低， ∴购买4台甲型设备、4台乙型设备时，各种维护费和电费总费用最低，最低费用为1×4+1．5×4=10（万元）． 1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】几个含有同一个未知数的一元一次不等式组合在一起，就组成了一个一元一次不等式组，据此逐项判断即可． 【详解】解：A中两个不等式所含未知数不同，不符合题意， B中第二个不等式不是一元一次不等式，不符合题意， C中不等式符合一元一次不等式组的定义，符合题意， D中第一个不等式不是一元一次不等式，不符合题意， 故选：C． 2．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】实心点表示大于等于或小于等于，空心点表示大于或小于，再根据不等式解集的数轴表示方法判断即可． 【详解】解：由数轴上表示的是某不等式组的解集，可得这个不等式组可以是． 故选：C． 3．用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有x辆货车，3位同学分别列出了关于x的不等式组，则正确的是（　　） ①0＜8x﹣（4x+20）＜8；②8（x﹣1）＜4x+20＜8x；③0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意可以列出相应的不等式组，然后即可判断哪个选项符合题意． 【详解】解：由题意可得， 0＜8x﹣（4x+20）＜8或8（x﹣1）＜4x+20＜8x或0＜（4x+20）﹣8（x﹣1）＜8， 故正确的是①②③， 故选：D． 4．不等式组的解集是（　　） A．﹣4＜x＜3 B．3＜x＜4 C．﹣3＜x＜4 D．﹣2＜x＜3 【答案】A 【解析】 【分析】分别求出两个不等式的解集，再求出它们的公共部分即可． 【详解】解：解不等式x﹣3＜0得x＜3， 解不等式2（x+2）＞x得x＞﹣4， ∴不等式组的解集为﹣4＜x＜3， 故选：A． 5．不等式组的整数解有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小无解了确定不等式组的解集，进而得出整数解的个数． 【详解】解：解不等式x﹣2＜0，得x＜2， 解不等式﹣2x﹣1≤1，得x≥﹣1， ∴不等式组的解集为﹣1≤x＜2， ∴不等式组的整数解有﹣1、0、1共3个． 故选：C． 6．若不等式组无解，则不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 【答案】C 【解析】 【分析】根据不等式组无解，得出a＞b，进一步得出3-a＜3-b，即可求出不等式组的解集． 【详解】解：∵不等式组无解， ∴a＞b， ∴-a＜-b， ∴3-a＜3-b， ∴不等式组的解集是． 故选：C 7．关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解问题，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键．先解不等式组，再根据仅有5个整数解，得出关于的不等式，求解即可． 【详解】解: 解得：， 关于的不等式组的整数解仅有5个， ， 解得：， 故选：C． 8．某按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否”为一次操作．如果操作进行4次才能得到输出值，则输入值x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】根据运算程序，列出算式：3x-1，由于运行了四次，所以将每次运算的结果再代入算式，然后再解不等式即可． 【详解】前四次操作的结果分别为 3x-1； 3（3x-1）-1=9x-4； 3（9x-4）-1=27x-13； 3（27x-13）-1=81x-40； ∵操作进行4次才能得到输出值， ∴， 解得：5≤x＜14． 故选：C 9．若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元一次方程的解、一元一次不等式组的整数解，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据关于的方程的解为非负整数，且关于的不等式组有解，可以求得的取值范围，从而可以求得符合条件的整数的值的和，本题得以解决． 【详解】解：由方程，得， ∵关于的方程的解为非负整数， ∴，得， ， 由①，得， 由②，得， ∵关于的不等式组有解， ∴，得， 由上可得，， ∴符合条件的整数的值为：，0，1，2，3， ∴符合条件的整数的值的和为：． 故选：C． 10．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式组的实际应用，设共有学生人，根据每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，列出不等式组，求出正整数解，即可． 【详解】解：设共有学生人，由题意，得： ， 解得：， ∵人数为正整数， ∴； 故选C． 11．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如等．是大于的最小整数，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查新定义，解答本题的关键是明确题意，根据题目中的新定义解答相关问题． 根据题意可以列出相应的不等式，从而可以求得的取值范围，本题得以解决． 【详解】解：∵， ∴， ∵对任意的实数都满足不等式， ， 解得：， ∵是整数， 或， 故选：C． 12．利用数轴直接写出不等式组的解集 （1）解集是 　 　； （2）解集是 　 　； （3）解集是 　 　； （4）解集是 　 　． 【答案】（1）x＞4（2）x≤﹣2（3）﹣2≤x＜4（4）无解 【解析】 【分析】根据数轴上画出的部分写出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）解集是x＞4； 故答案为：x＞4； （2）解集是x≤﹣2； 故答案为：x≤﹣2； （3）解集是﹣2≤x＜4； 故答案为：﹣2≤x＜4； （4）解集是无解． 故答案为：无解． 13．不等式组的最小整数解为 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查不等式的解和解一元一次不等式组，解题的关键在于求出不等式组的解集． 先解不等式组求出其解集，再判定出最小整数解即可． 【详解】解：， 由①得： 由②得：， ∴， ∴不等式组的最小整数解为， 故答案为：． 14．已知不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解答本题的关键是明确不等式组解集的取法．先解一元一次不等式得到含参数的解集，然后根据不等式组的解集为，即可得到关于的不等式，从而可以求得的取值范围． 【详解】解：， 由不等式①，得：， 由不等式②，得：， 不等式组的解集为， ， 解得：， 故答案为：． 15．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 　 ． 【答案】1≤a＜2 【解析】 【分析】先解每一个不等式，再根据不等式组解集的范围内有四个整数解，得出新的不等式，求a的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①得x＞﹣3， 解不等式②得x≤a， ∵不等式组有四个整数解，即为﹣2，﹣1，0，1， ∴1≤a＜2， 故答案为：1≤a＜2． 16．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．    【答案】/ 【解析】 【分析】根据第二次运算结果不大于35，且第三次运算结果要大于35，列出关于x的一元一次不等式组，解之即可得出x的取值范围． 【详解】解：依题意，得：， 解得：． 故答案为：． 17．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式组，解二元一次方程组．由可得得，从而得到关于a的不等式组，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴a的取值范围是. 故答案为：. 18．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 【答案】 42 6 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，正确建立不等式组是解题关键．设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个，根据若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到，但不足5个苹果建立不等式组，求出不等式组的解集，再根据为正整数求解即可得． 【详解】解：设有位小朋友，则这一箱苹果的个数是个， 由题意得：， 解得， ∵为正整数， ∴， ∴， 即这一箱苹果的个数是42，小朋友的人数是6． 故答案为：42，6． 19．若，且，，设，则m的取值范围为 ． 【答案】/ 【解析】 【分析】先求出，再由，求出，求出，进而求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 解得， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 20．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 【答案】(1)，见解析 (2)，见解析 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式组的解法，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）（2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集，然后画数轴表示即可． 【详解】（1）， 解①得， 解②得， ∴， 如图， （2）， 解①得， 解②得， ∴， 如图， 21．解不等式组 （1） （2） 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，熟知解一元一次不等式组的方法是解题的关键． （1）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为； （2）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为． 22．关于x的不等式组的解集为，则求符合条件的a的取值范围． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集求参数，先求出不等式组中两个不等式得解集，再根据不等式组的解集建立关于a的不等式，解之即可得到答案． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组的解集为， ∴， 解得． 23．计算下列不等式： 【答案】 【解析】 【分析】）按照去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1的步骤解一元一次不等式即可求解． 【详解】去分母，得：， 去括号，得：， 移项及合并同类项，得：， 系数化为1，得：； 24．已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和方程组，弄清题意，找到解决问题的方法，熟练运用相关知识是解题的关键． （1）两式相加，得，于是有，进而求解即可； （2）两式相减，得，另根据，即可求得求的取值范围． 【详解】（1）解： ，得：，故， 又由，则，得． （2）解： ，得：， 又由，得， 解得． 25．某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数． 【答案】学生人数为5人，这批图书有35本 【解析】 【分析】设学生人数为x人，则这箱书共（5x+10）本，根据“若每名学生分8本书，则最后一名学生虽然分到了书，但是数量不足4本”，可列出关于x的一元一次不等式组，解之可得出x的取值范围，再结合x为正整数，即可得出结论． 【详解】解：设学生人数为x人，则这批图书共（5x+10）本， 根据题意得， 解得：x＜6， 又∵x为正整数， ∴x＝5， 答：学生人数为5人，这批图书有35本． 26．某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 【答案】该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 【解析】 【分析】本题考查的是不等式组的实际应用．设购买型污水处理设备台，根据题意可以列出相应的不等式组，从而可以解答本题． 【详解】解：该企业投入106万购买这两种设备不可行， 理由：设购买型污水处理设备台， ， 解得且， 该不等式组无解， ∴该企业计划投入不超过106万购买这两种设备不可行． 27．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套 (1)求书籍和实验器材各有多少套？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来 【答案】(1)书籍和实验器材各有240套，120套； (2)有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，正确建立方程组和不等式组是解题关键． （1）设书籍有x套，实验器材有y套，根据书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套建立方程组，解方程组即可得； （2）设运输部门安排甲种型号的货车m辆，乙种型号的货车辆，根据两种型号的货车运输量建立不等式组，解不等式组即可得． 【详解】（1）解：设书籍和实验器材各有x套，y套， 由题意得，， 解得， 答：书籍和实验器材各有240套，120套； （2）解：设运输部门安排甲种型号货车m辆，则运输部门安排乙种型号货车辆， 由题意得，， 解得， ∴有5种方案：①运输部门安排甲种型号的货车0辆，乙种型号的货车8辆；②运输部门安排甲种型号的货车1辆，乙种型号的货车7辆；③运输部门安排甲种型号的货车2辆，乙种型号的货车6辆；③运输部门安排甲种型号的货车3辆，乙种型号的货车5辆；③运输部门安排甲种型号的货车4辆，乙种型号的货车4辆． 28．阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 【答案】(1)0.25， (2)3 (3) 【解析】 【分析】（1）根据二阶行列式的运算法则，列出方程或不等式，即可求解； （2）根据二阶行列式的运算法则，列出不等式，即可求解； （3）根据二阶行列式的运算法则，列出方程组，求出x，y，再根据均为非负数，得到关于k的不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 根据题意得：， 解得：； 故答案为：，； （2）解：由题意得，， ， 是正整数， ，或 ； （3）解：由题意可得， ， 得：，解得：， 将代入②，得：， 解得， 均为非负数， ， 解得． 1．（2024·四川眉山·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 故不等式组的解集为． 故选：D 2．（2024•浙江•中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】按照解一元一次不等式组的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥1， 解不等式②得：x＜4， ∴原不等式组的解集为：1≤x＜4， ∴该不等式组的解集在数轴上表示如图所示： 故选：A． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的整数解，解一元一次不等式组，根据新定义和正整数解列出关于的不等式组是解题的关键．根据新定义列出不等式，解关于的不等式，再由不等式的解集有且只有一个正整数解得出关于的不等式组求解可得． 解：根据题意可知， 解得： 有且只有一个正整数解 解不等式①，得： 解不等式②，得： 故答案为：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 类似于方程组，把含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组。 注意：理解一元一次不等式组的概念要注意以下三点： (1)不等式组里的不等式必须是一元一次不等式； (2)不等式组里每个一元一次不等式所含的未知数是同一个； (3)不等式组里的不等式至少要有两个， 不等式组的解集的概念 一般地，几个不等式的解集的公共部分，叫作由它们所组成的不等式组的解集， 不等式组的解集的四种基本类型 不等式组（） 在数轴上表示（图示） 解集 巧记口诀 同大取大 同小取小 大小小大中间找 无解 大大小小无解了 提示：对不等号为“”或“”时的情况仍成立.有等号，界点画实心圆点;无等号，界点画空心圆圈. 解一元一次不等式组的步骤 第一步 分别求出不等式组中各个不等式的解集， 第二步 在同一数轴上分别表示出每个不等式的解集这些不等式的解集的公共部分就是这个不等式组的解集， 第三步 写出不等式组的解集 注意：用数轴表示不等式组的解集时，要时刻牢记：大于向右画，小于向左画，有等号画实心圆点，无等号画空心圆圈 提示：两个不等式组成的不等式组的解集既可以用数轴确定，又可以用口诀确定，但三个或三个以上的不等式组成的不等式组的解集用数轴确定较方便. 列一元一次不等式组解应用题的步骤：审题→找数量关系→设未知数→列不等式组→解不等式组→检验→答。【数量关系包括相等关系（用来表示其余未知量）和不等关系（用来到不等式）.可用到表法或线段图分析法寻找数量关录。】 注意：列不等式组解决实际问题时，求出不等式组的解集后，要结合问题的实际背景，在解集中找出符合题意的答案。（如:求人数、物品的数目或产品的件数等，只能取非负整数。） 【典例】下列各式是一元一次不等式组的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】下列不等式组：①；②；③；④；⑤，其中是一元一次不等式组的个数（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式1-2】下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③； ④；⑤；⑥ 【典例】关于x的一元一次不等式组的解集在数轴上表示如图，则该不等式组的解集是（　　） A．x≥﹣2 B．﹣2≤x＜1 C．﹣2＜x≤1 D．x＜1 【变式2-1】不等式组的解集在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式2-2】直接写出下列数轴表示的不等式组的解集 （1）解集为 　 ； （2）解集为 　 　； （3）解集为 　 　； （4）解集为 　 　． 易错警示：不等式组的解集表示错误两个不等式解集的公共部分才是不等式组的解集，当两个不等式的解集没有公共部分时，说明这个不等式组无解。 【典例】解不等式组： 【变式3-1】解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【变式3-2】解不等式组． (1)解不等式组， 请按下列步骤完成解答： 解不等式①，得___________， 解不等式②，得___________， 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： 原不等式组的解集为__________． (2)解不等式组 方法技巧：确定一元一次不等式组解集的常用方法 (1)数轴法：运用数轴法确定不等式组的解集，就是将不等式组中的每一个不等式的解集在同一数轴上表示出来，然后找出它们的公共部分，这个公共部分就是此不等式组的解集，如果没有公共部分，则这个不等式组无解.这种方法体现了数形结合的思想，既直观又明了。 (2)口诀法：求不等式组的解集时，可记住以下规律：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了. 易错警示：混淆不等式组的解法与方程组的解法解不等式组必须单独解出各个不等式的解集，然后求所有解集的公共部分，而不能像解方程组那样运用代入法或加减法联合起来一起解. 【典例】不等式组的整数解共有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】关于的不等式组的整数解的和是 ． 【变式4-2】求满足不等式组的整数解． 【典例】若关于的不等式组的解集为，那么的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】若不等式组无解，则正整数的值为 ． 【变式5-2】含参不等式之有、无解问题． (1)若关于的不等式组有解，求的取值范围； (2)已知关于的不等式组无解，求的取值范围； (3)已知关于的不等式组无解，求的取值范围． 方法技巧：比较对照法 对于含有字母参数的不等式组，在已知不等式组解集的条件下，解题时，先解原不等式组，用含有字母的式子表示出解集，通过与已知解集比较，对应建立不等式（组)或方程(组）求解.这种解决问题的方法称为比较对照法. 【典例】不等式组有4个整数解，则m的取值范围是（　　） A．6≤m≤7 B．6＜m＜7 C．6≤m＜7 D．6＜m≤7 【变式6-1】已知关于x的不等式组至少有2个整数解，则a的取值范围是（　　） A．﹣4≤a＜﹣2 B．a≥﹣4 C．a≤﹣4 D．a＜﹣2 【变式6-2】若关于x的不等式组有且仅有两个整数解，则m的取值范围为 ． 方法技巧：比较对照法 对于含有字母参数的不等式组，在已知不等式组解集的条件下，解题时，先解原不等式组，用含有字母的式子表示出解集，通过与已知解集比较，对应建立不等式（组)或方程(组）求解.这种解决问题的方法称为比较对照法. 【典例】、、、四人去公园玩跷跷板，由下面的示意图，判断这四人的轻重正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-1】已知（为常数）的解集为，则关于的一元一次不等式 的解集为 ． 【变式7-2】解不等式； 【典例】如图，一个运算程序，若需要经过两次运算才能输出结果，则x的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式8-1】按如图程序进行运算：并规定，程序运行到“结果是否大于33”为一次运算，且运算进行2次才停止．则可输入的实数x的取值范围是 ． 【变式8-2】运算程序如图所示，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作，如果程序操作恰好进行了次后停止，那么满足条件的的最大整数值为 ．    【典例】已知不等式组的解集是，则关于的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式9-1】已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【变式9-2】已知关于x、y的方程组． （1）若此方程组的解满足﹣1＜x+y≤3，求a的取值范围； （2）在（1）的条件下，若关于m的不等式2am﹣m＞2a﹣1的解集为m＜1，求满足条件的a的整数值． 【典例】对于实数m，n，定义一种运算“※”为m※n＝m2+mn，例如，5※3＝52+5×3＝40．那么不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 【变式10-1】如果把一个非负实数“四舍五入”到个位的值记为．那么当为非负整数时，若，则．如：，．根据以上材料，解决下列问题： (1)若，则满足的条件：_____； (2)若，则应满足的条件：_____； 【变式10-2】【定义】若一元一次方程的解在一元一次不等式组的解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“子方程”．例如：的解为的解集为，不难发现在的范围内，所以是的“子方程”． 【问题解决】（1）在方程①，②，③中，不等式组的“子方程”是______（填序号）； （2）若关于的方程是不等式组的“子方程”，求的取值范围； （3）若方程是关于的不等式组的“子方程”，直接写出的取值范围． 【典例】如图，有一容积为400ml的容器，在容器中倒入100ml的水，此时刻度显示为5cm，现将大小规格不同的两种玻璃球放入容器内，观察容器的体积变化测量玻璃球的体积．一个大玻璃球的体积为10cm3，放入27个大玻璃球后，开始放入小玻璃球，若放入5颗，水面没有溢出，再放入一颗，水面会溢出容器，求一个小玻璃球体积的范围．设一个小玻璃球的体积为x cm3，根据题意可以列不等式组为（　　） A． B． C． D． 【变式11-1】用若干量载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空，若设有x辆货车，则x应满足的不等式组是（　　） A． B． C． D． 【变式11-2】“双减”政策实施之后，某校为丰富学生的课外生活，现决定增购篮球和排球共30个，购买资金不超过3600元，且购买篮球的数量不少于排球数量的一半，若每个篮球150元，每个排球100元．求共有几种购买方案？设购买篮球个，可列不等式组为（    ） A． B． C． D． 【典例】2024年3月14日是第五个“国际数学日”，也叫“日”．为了营造良好的数学学习氛围，弘扬数学文化，传承数学精神．某校决定购买A，B两种数学类图书共50本．若购买9本A种图书和6本B种图书共需390元；若购买5本A种图书和8本B种图书共需310元． (1)A，B两种图书的单价分别为多少元？ (2)若学校决定购买A种图书比B种的数量至少多5本，又不超过B种的2倍，怎样购买才能使花费最少？并求出最少花费． 【变式12-1】2个小组计划在10天内生产1000个零件，并且每天的生产量相同，且生产的零件数为整数，按原来的生产速度，不能完成任务；如果每个小组每天比原来多生产2个零件，就能提前完成任务，求每个小组原来平均每天生产多少个零件． 【变式12-2】为了保护环境，某化工厂一期工程完成后购买了3台甲型和2台乙型污水处理设备，共花费资金54万元，且每台乙型设备的价格是每台甲型设备价格的75%． （1）请你计算每台甲型设备和每台乙型设备的价格各是多少元？ （2）今年该厂二期工程即将完成，产生的污水将大大增加，于是该厂决定再购买甲、乙两种型号设备共8台用于二期工程的污水处理，预算本次购买资金不超过84万元；实际运行中发现，每台甲型设备每月能处理污水200吨，每台乙型设备每月能处理污水160吨，预计二期工程完成后每月将产生不少于1300吨污水，请你求出用于二期工程的污水处理设备的所有购买方案． （3）经测算：每年用于每台甲型设备的各种维护费和电费为1万元，每年用于每台乙型设备的各种维护费和电费为1．5万元．在（2）中的方案中，哪种购买方案使得设备的各种维护费和电费总费用最低？ 1．下列不等式组中，是一元一次不等式组的是（　　） A． B． C． D． 2．如图，数轴上表示的是某不等式组的解集，则这个不等式组可以是（　　） A． B． C． D． 3．用若干载重量为8吨的汽车运一批货物，若每辆货车只装4吨，则剩下20吨货物；若每辆货车装8吨，则最后一辆车装的货物不满也不空．设有x辆货车，3位同学分别列出了关于x的不等式组，则正确的是（　　） ①0＜8x﹣（4x+20）＜8；②8（x﹣1）＜4x+20＜8x；③0＜4x+20﹣8（x﹣1）＜8． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 4．不等式组的解集是（　　） A．﹣4＜x＜3 B．3＜x＜4 C．﹣3＜x＜4 D．﹣2＜x＜3 5．不等式组的整数解有（　　） A．1个 B．2 个 C．3个 D．4个 6．若不等式组无解，则不等式组的解集是（     ） A． B． C． D．无解 7．关于x的不等式组的整数解仅有5个，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 8．某按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值X”到“结果是否”为一次操作．如果操作进行4次才能得到输出值，则输入值x的取值范围是（   ） A． B． C． D． 9．若关于的方程的解为非负数，且关于的不等式组有解，则符合条件的整数值的和为（   ） A．2 B．3 C．5 D．6 10．把一些笔记本分给几个学生，如果每人分4本，那么余9本；如果前面的每个学生分6本，那么最后一人能分到但分不到3本，因此共有学生（    ） A．5人 B．6人 C．7人 D．6人或7人 11．若为实数，则表示不大于的最大整数，例如等．是大于的最小整数，则方程的解是（   ） A． B． C．或 D．或 12．利用数轴直接写出不等式组的解集 （1）解集是 　 　； （2）解集是 　 　； （3）解集是 　 　； （4）解集是 　 　． 13．不等式组的最小整数解为 ． 14．已知不等式组的解集为，则的取值范围是 ． 15．若不等式组的整数解有四个，则a的取值范围是 　 ． 16．如图，按下面的程序进行运算．规定：程序运行到“判断结果是否大于35”为一次运算．若运算进行了3次才停止，则x的取值范围是 ．    17．已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，则a的取值范围是 ． 18．将一箱苹果分给若干个小朋友，若每位小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每位小朋友分8个苹果，则有1位小朋友能分到不足5个苹果．这一箱苹果的个数是 ，小朋友的人数是 ． 19．若，且，，设，则m的取值范围为 ． 20．解下列不等式组，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1) (2) 21．解不等式组 （1） （2） 22．关于x的不等式组的解集为，则求符合条件的a的取值范围． 23．计算下列不等式： 24．已知关于的方程组（为常数） (1)若，求的值； (2)若，求的取值范围． 25．某书店在读书日活动中准备了一批图书赠送给参与活动的读者．如果每人赠送5本，则还剩下10本；如果每人赠送8本，则最后一名读者得到的图书不足4本．请问该书店可能准备的图书数量和获赠读者人数． 26．某大型企业为了保护环境，准备购A、B两种型号的污水处理设备共10台，一台A型设备的单价为12万，一台B型设备的单价为10万元，经了解，一台A型设备每月可处理污水220吨，一台B型设备每月可处理污水190吨，如果该企业计划用不超过106万元的资金购买这两种设备，而且使这两种设备每月的污水处理量不低于2005吨，请通过计算说明这种方案是否可行． 27．为响应习总书记“扶贫先扶志，扶贫必扶智”的号召，攀枝花市教体局向木里县中小学捐赠一批书籍和实验器材共360套，其中书籍比实验器材多120套 (1)求书籍和实验器材各有多少套？ (2)现计划租用甲、乙两种型号的货车共8辆，一次性将这批书籍和实验器材运往该县，已知每辆甲种货车最多可装书籍40套和实验器材10套，每辆乙种货车最多可装书籍30套和实验器材20套，运输部门安排甲、乙两种型号的货车时，有几种方案？请你帮助设计出来 28．阅读理解：我们把称为二阶行列式，规定它的运算法则为，例如：． (1)填空：若，则___________，，则x的取值范围___________． (2)芳对于正整数m、n，满足，求的值； (3)若对于两个非负数x、y，满足，求实数k的取值范围． 1．（2024·四川眉山·中考真题）不等式组的解集是（    ） A． B． C．或 D． 2．（2024•浙江•中考真题）不等式组的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 3．（2024·内蒙古呼伦贝尔·中考真题）对于实数，定义运算“※”为，例如，则关于的不等式有且只有一个正整数解时，的取值范围是 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$