6.4多边形的内角和与外角和（第2课时）课件2024－2025学年北师大版（2012）数学八年级下册

6.4多边形的内角和与外角和 (第2课时) 北师大版 (2012) 八年级下册 第六章 平行四边形 学习目标 了解多边形的外角定义,并能准确找出多边形的外角 掌握多边形的外角和公式,利用内角和与外角和公式解决问题 1 2 知识回顾 1.从 n 边形的一个顶点出发可以引 条对角线， 它们把 n 边形分成 个三角形. 2.从一个 n 边形的一个顶点出发可以引5条对角线， 则 n＝ . = 3.多边形的内角和公式： . 4.正八边形的每一个内角为： . （n－3） （n－2） 8 （n－2）×180° 135° 知识探究 如图，小刚每跑完一圈，身体转过的角度之和是多少？ 知识探究 （1）小明每从一条小路转到下一条小路时，跑步方向改变的角是哪个角？ E B C D 1 2 3 4 5 A （2）他每跑完一圈，跑步方向改变的角一共有几个？它们的和是多少？ （3）你能求出1＋2＋3＋4＋5的结果吗？ ∠1，∠2，∠3，∠4，∠5 1＋2＋3＋4＋5 5个 知识探究 多边形内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做这个多边形的外角. 如图，∠A 的外角是∠1. 多边形的外角和 E B C D 1 2 3 4 5 A 在每个顶点处取这个多边形的一个外角，它们的和叫做这个多边形的外角和. 知识探究 小刚是这样思考的： 如图，跑步方向改变的角分别是∠1，∠2，∠3，∠4，∠5 E B C D 1 2 3 4 5 A ∵∠1＋∠EAB＝180°，∠2＋∠ABC＝180°， ∠3＋∠BCD＝180°，∠4＋∠CDE＝180°， ∠5＋∠DEA＝180°， ∴∠1＋∠EAB＋∠2＋∠ABC＋∠3＋∠BCD＋ ∠4＋∠CDE＋∠5＋∠DEA＝900° ∵五边形的内角和为（5－2）×180°＝540°， 即∠EAB＋∠ABC＋∠BCD＋∠CDE＋∠DEA＝540° ∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＝360° 知识探究 想一想 如果广场的形状是六边形、八边形，那么结果会怎样？ 分析：1.任意一个外角同它相邻的内角有什么关系？ 2.六边形的6个外角加上与它们相邻的内角的总和是多少？ 互补 6×180°＝1080° 解：六边形的任何一个外角加上与它相邻的内角都等于 180°， 因此六边形的 6 个外角加上它们相邻的内角，所得的总和等于 6 × 180°. 这个总和就是六边形的外角和加上内角和，所以外角和等于总和减去内角和， 即外角和等于6 × 180°－ ( 6 － 2 ) × 180°＝ 2 × 180°＝360° 同学们自己尝试计算八边形的外角和 知识探究 n 边形的外角和 n 边形的外角和等于 360°. －(n－2) × 180° = 360°. = n 个平角－ n 边形的内角和 = n×180° An A2 A3 A4 1 2 3 4 n A1 思考：n 边形的外角和又是多少呢？ 与边数无关 知识探究 思考：回想正多边形的性质，你知道正多边形的每个内角是多少度吗？每个外角呢？为什么？ 每个内角的度数是 每个外角的度数是 典型例题 例2 一个多边形的内角和等于它的外角和的 3 倍，它是几边形？ 解：设这个多边形是 n 边形， 则它的内角和是 (n－2)·180°，外角和等于 360°. 则根据题意，得 (n－2)·180°＝3×360°. 解得 n＝8， 所以这个多边形是八边形. 当 堂 检 测 当堂检测 C 当堂检测 A 当堂检测 D 当堂检测 B 当堂检测 372 当堂检测 36° 当堂检测 当堂检测 多边形的内角和与外角和 内角和：(n－2) ·180°(n≥3的整数) 正多边形：内角＝ 外角＝ 外角和：多边形的外角和等于 360°. 特别注意：与边数无关. 感谢学生们的观看 1.石墨烯在材料学、微纳加工、能源、生物医学和药物传递等方面具有重要的应用前景.它的分子结构如图所示，所有多边形都是正多边形，则的度数为( ) A. B. C. D. 解析：∵正六边形的外角和为， ∴每一个外角为， ∴的度数为， 故选：C. 2.如图，已知AB，BC，CD是正n边形的三条边，在同一平面内，以BC为边在该正n边形外部作正方形BCMN.若，则n的值为( ) A.12 B.10 C.8 D.6 解析：四边形BCMN是正方形，. 又，， 正n边形的一个外角为， 的值为.故选A. 3.一个正五边形和一个正六边形都有一边在直线l上，且有一个公共顶点O，其摆放方式如图所示，则( ) A. B. C. D. 解析：如图， 正多边形的每个内角度数相等，每个外角的度数相等， ，， ，，， ， ； 故选D. 4.如图，，，是五边形的三个外角，若，则( ) A. B. C. D. 解析：∵，， ∴， ∴， 故选：B. 5.“花影遮墙，峰峦叠窗”，苏州园林空透的窗棂中蕴含着许多的数学元素.图①中的窗棂是冰裂纹窗棂，图②是这种窗棂中的部分图案.若，则______°. 解析：如图所示， ∵， ∴ ∴， 故答案为：. 6.如图，由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形，则图中______. 解析：∵由六个全等的正五边形和五个全等的等腰三角形镶嵌组成一个大五边形， ∴， ， 故答案为：. 7.已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的. (1)求这个外角的度数. (2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由. 解析：(1)设与这个外角相邻的内角为，则这个外角为， 根据题意，得，解得，， ，这个外角的度数为. 7.已知某个正多边形的一个外角等于与它相邻的内角的. (1)求这个外角的度数. (2)嘉嘉猜想这个正多边形的内角和超过，请判断嘉嘉的猜想是否正确并说明理由. 解析：(2)正确，理由如下， 这个正多边形的每个外角都相等，且都等于， 正多边形的外角和为，这个正多边形的边数为， 正多边形的内角和为， 嘉嘉的猜想正确. $$