6.4多边形的内角和与外角和（第1课时）课件　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

6.4多边形的内角和与外角和 (第1课时) 北师大版 (2012) 八年级下册 第六章 平行四边形 学习目标 经历探索多边形内角和的过程，掌握多边形内角和公式 灵活运用公式进行内角和的计算 ，并且会计算正多边形的一个内角的度数 1 2 知识引入 生活中存在着各种各样的多边形.我们知道三角形的内角和是180°，矩形、正方形的内角和是360°，那任意一个四边形的内角和是多少呢？ 知识探究 猜想：四边形 ABCD 的内角和是360°. 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 法1：如图，连接 AC， 所以四边形被分为两个三角形， 所以四边形 ABCD 内角和为 180°×2＝360°. A B C D 知识探究 猜想：四边形 ABCD 的内角和是360°. 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ A B C D E 法2：如图，在 CD 边上任取一点 E， 连接 AE，DE， 所以该四边形被分成三个三角形， 所以四边形 ABCD 的内角和为 180°×3－(∠AEB＋∠AED＋∠CED) ＝180°×3－180°＝360°. 知识探究 猜想：四边形 ABCD 的内角和是360°. 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ 法3：如图，在四边形 ABCD 内部取一点E， 连接AE，BE，CE，DE， 把四边形分成四个三角形： △ABE，△ADE，△CDE，△CBE. 所以四边形 ABCD 内角和为： 180°×4－(∠AEB＋∠AED＋∠CED＋∠CEB) ＝180°×4－360°＝360°. A B C D E 知识探究 猜想：四边形 ABCD 的内角和是360°. 你能用以前学过的知识说明一下你的结论吗？ A B C D P 法4：如图，在四边形外任取一点 P， 连接 PA，PB，PC，PD ， 把四边形变成有一个公共顶点的四个三角形： △PAB，△PAD，△PCD，△PCB. 所以四边形ABCD内角和为 180°×3－(∠PAB＋∠PBA＋∠APB) ＝180° ×3－ 180° ＝360°. 知识探究 (1) 左图中广场中心的边缘是一个五边形，你能设法求出它的五个内角和吗？ (2) 小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？你还有其他方法吗？ 通过添加对角线，将五边形分割成三角形，利用三角形内角和求解. 图①：(5－2)×180°＝540°； 图②：5×180°－360°＝540°， ∴五边形的内角和是540°. 知识探究 (2) 小明、小亮分别利用下面的图形求出了五边形的五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？你还有其他方法吗？ 有其他方法，类比法 2，在五边形的一边上任取一点与各顶点相连. 五边形被分为四个三角形，所以其内角和为4×180°－180°＝540° 知识探究 想一想 (1)按照图①的方法，六边形能分成多少个三角形？n 边形呢？ 你能确定 n 边形的内角和吗？（n 是大于或等于 3 的自然数） A B C D E F 4个三角形 内角和为： 4×180°＝720° 知识探究 n 边形 六边形 五边形 四边形 三角形 多边形内角和 分割出三角形的个数 从多边形的一顶点引出的对角线条数 图形 边数 ······ 0 n -3 1 2 3 1 2 3 4 n -2 ( n －2)·180º 1×180º＝180º 2×180º＝360º 3×180º＝540º 4×180º＝720º ······ ······ ······ ······ 知识探究 想一想 (2)按照图2的方法再试一试 A B C D E F 6个三角形 内角和为： 6×180°－360°＝720° 知识探究 边数 图形 分割出三角形的个数 多边形内角和 三角形 四边形 五边形 六边形 ······ n 边形 ······ 3 4 5 6 n ······ n ·180º－360°＝( n －2)·180º 3×180º－360°＝180º 4×180º－360°＝360º 5×180º－360°＝540º 6×180º－360°＝720º ······ 知识探究 n 边形内角和等于 (n－2)×180 °.(n 是大于或等于 3 的自然数) 多边形的内角和定理 分割 多边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 典型例题 例1 如图，在四边形 ABCD 中，∠A＋ ∠C ＝180°.∠B与∠D有怎样的关系？ 证明：∵∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＝ (4－2)×180°＝360°， ∴ ∠B ＋∠D ＝360°－ (∠A ＋∠C) ＝ 360°－180° －180° B A D C 例1说明：如果四边形一组对角互补，那么另一组对角也互补 知识探究 想一想 正三角形（等边三角形）、正四边形（正方形）、正五边形、正六边形、正八边形的内角分别是多少度？ 正多边形的每一个内角都相等 正三角形（等边三角形）的内角的度数为： 正四边形（正方形）的内角的度数为： 正五边形的内角的度数为： 正六边形的内角的度数为： 正八边形的内角的度数为： 议一议 剪掉一张长方形纸片的一个角后，纸片还剩几个角？这个多边形的内角和是多少度？与同伴交流. 知识探究 纸片剩下5个角，得到的五边形的内角和为： 纸片剩下4个角，得到的五边形的内角和为： 纸片剩下3个角，得到的五边形的内角和为： 当 堂 检 测 当堂检测 A 当堂检测 B 当堂检测 C 当堂检测 25 当堂检测 12 当堂检测 50° 多边形的内角和与外角和 公式：(n－2) ·180° 应用： 已知边数求内角和：代入法 已知内角和求边数：方程法 感谢学生们的观看 1.一个五边形的四个内角和为，则它的另一个内角的度数为( ) A. B. C. D. 解析：因为五边形的内角和是，四个内角和为， 所以第5个内角的度数是. 故选：A. 2.如图，在五边形中，，，，则的大小为( ) A. B. C. D. 解析：∵， ∴， ∵五边形中，，， ∴. 故选：B. 3.风铃，又称铁马，古称“铎”，常见于中国传统建筑屋檐下(如图①)，如图②是六角形风铃的平面示意图，其底部可抽象为正六边形，连接，则的度数为( ) A. B. C. D. 解析：六边形是正六边形， ， 由对称性可知， 故选：C. 4.锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放．若，则的大小为_________度． 解析：锐角为的两个平行四边形按如图所示的位置摆放， ，， ，， ， ， 故答案为：25． 5.如图放置的正五边形和正六边形的边长相等，则______°. 解析：由题意可得，正五边形的每个内角为， 正六边形的每个内角为， ， 故答案为：12. 6.如图，在正六边形ABCDEF中，，，垂足为点I.若，则___________. 解析：六边形ABCDEF是正六边形，.，.，，，.，，. $$