28.2.2 应用举例课时3 方向角、坡度问题　课件　2024—2025学年人教版九年级数学下册

第二十八章 锐角三角函数 28.2 解直角三角形及其应用 28.2.2 应用举例 课时3 方向角、坡度问题 1. 正确理解方向角、坡度的概念. (重点) 2. 能运用解直角三角形知识解决方向角、坡度的问题； 能够掌握综合性较强的题型、融会贯通地运用相关的 数学知识，进一步提高运用解直角三角形知识分析解 决问题的综合能力. (重点、难点) 学习目标 新课导入 复习引入 方位角： 以正南或正北方向为准，正南或正北方向线与目标方向线构成的小于90°的角，叫做方位角. 如图所示： 30° 45° B O A 东 西 北 南 45° 45° 西南 O 东北 东 西 北 南 西北 东南 北偏东30° 南偏西45° 新课讲解 例1 如图，一艘海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔 80 n mile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处，这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远（精确到0.01 n mile）？ 65° 34° P B C A 新课讲解 解：如图 ，在Rt△APC中， PC=PA·cos（90°－65°） =80×cos25° ≈72.505. 在Rt△BPC中，∠B=34°， 因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向 时，它距离灯塔P大约129.66n mile． 65° 34° P B C A 新课讲解 如图，从山脚到山顶有两条路AB与BC，问哪条路比较陡？ 如何用数量来刻画哪条路陡呢？ A B C 新课讲解 α l h i= h : l 1. 坡角 坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作 α . 2. 坡度 (或坡比) 坡度通常写成 1∶m的形式，如i=1∶6. 如图所示，坡面的铅垂高度 (h) 和水平长度 (l) 的比叫做坡面的坡度 (或坡比)，记作i， 即 i = h : l . 坡面 水平面 新课讲解 3. 坡度与坡角的关系 即坡度等于坡角的正切值. α l h i= h : l 坡面 水平面 新课讲解 练一练 1. 斜坡的坡度是 ，则坡角α =___度. 2. 斜坡的坡角是45° ，则坡比是 _____. 3. 斜坡长是12米，坡高6米，则坡比是_______. α l h 30 1 : 1 新课讲解 例3 如图，一山坡的坡度为i=1:2.小刚从山脚A出发， 沿山坡向上走了240m到达点C.这座山坡的坡角是多少度？小刚上升了多少米（角度精确到0.01°，长度精确到0.1m）？ i=1:2 新课讲解 在Rt△ABC中，∠B=90°，∠A=26.57°，AC=240m， 解： 用α表示坡角的大小，由题意可得 因此 α≈26.57°. 答：这座山坡的坡角约为26.57°，小刚上升了约107.3 m． 从而 BC=240×sin26.57°≈107.3（m）． 因此 课堂小结 解直角三角形的应用 坡度问题 方位角问题 坡角 坡度(或坡比) 当堂小练 1. 如图，河坝横断面迎水坡AB的坡比是1 : ，坝高 BC=3m，则坡面AB的长度是 ( ) A. 9m B. 6m C. m D. m A C B B 当堂小练 2. 如图，C岛在A岛的北偏东50°方向，C岛在B岛的北偏西40°方向，则从C岛看A，B两岛的视角∠ACB等于 ． 90° 当堂小练 3. 如图，某渔船如图所示，某渔船在海面上朝正东方 向匀速航行，在A处观测到灯塔M在北偏东60°方向上，航行半小时后到达B处，此时观测到灯塔M在北偏东30°方向上，那么该船继续航行到达离灯塔距离最近的位置所需的时间是 . 15分钟 当堂小练 4. 如图，海上B，C两岛分别位于A岛的正东和正北方 向，一艘船从A岛出发，以18海里/时的速度向正北 方向航行2小时到达C岛，此时测得B岛在C岛的南 偏东43°方向，则A，B两岛之间的距离为 ． (结果精确到0.1海里，参考数据：sin43°=0.68， cos43°=0.73，tan43°=0.93) 33.5海里 拓展与延伸 解：作DE⊥AB， CF⊥AB， 垂足分别为E，F． 由题意可知 　 DE＝CF＝4 (米)，CD＝EF＝12 (米)． 5. 一段路基的横断面是梯形，高为4米，上底的宽是 12米，路基的坡面与地面的倾角分别是45°和30°， 求路基下底的宽 (精确到0.01米， ， ).   45° 30° 4米 12米 A B C D 在Rt△ADE中， E F 拓展与延伸 在Rt△BCF中，同理可得 因此 AB＝AE＋EF＋BF≈4＋12＋6.93≈22.93 (米)． 答： 路基下底的宽约为22.93米． (米). (米). 45° 30° 4米 12米 A B C D E F 1．(1)观察如图所示的方位角． ①点A在O的　 　方向上；  ②点B在O的　 　方向上；  ③点C在O的　 　方向上．  　南偏西30°　 　东南　 　北偏东60°　 课后练习 A． B． C．20 D．10 (2)(20243广州)如图，海中有一小岛A，在B点测得小岛A在北偏东30°方向上，渔船从B点出发由西向东航行10 n mile到达C点，在C点测得小岛A恰好在正北方向上，此时渔船与小岛A的距离为( )n mile． D 2．(1)如图，斜坡AB的铅直高度为10米，水平宽度为10 米，∠C＝90°． ①斜坡AB的坡度为  　；  ②斜坡AB的坡角为　 　．  30° A．58 J B．159 J C．1 025 J D．1 732 J (2)(2023深圳)爬坡时坡面与水平面夹角为α，则每爬1 m耗能(1.025－cos α)J．如图，若某人爬了1 000 m，该坡角为30°，则他耗能( )(参考数据：≈1.732，≈1.414) B 3．【例1】(人教9下P76改编)(2023郴州)某次军事演习中，一艘船以40 km/h的速度向正东航行，在出发地A测得小岛C在它的北偏东60°方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西45°方向，求该船在航行过程中与小岛C的最近距离(参考数据：≈1.41，≈1.73；结果精确到0.1 km)． 解：由题意得AB＝40×2＝80(km)， ∠CAB＝30°，∠ABC＝45°， 过C作CD⊥AB于D，∴∠ADC＝∠BDC＝90°， ∴AD＝CD，BD＝CD， ∵AB＝80，∴CD＋CD＝80， 解得CD＝40－40≈29.2(km)． 答：该船在航行过程中与小岛C的最近距离约为29.2 km． 小结：解决有关方位角的实际问题时，通常过固定目标点作垂线构造直角三角形. 4．【例2】(人教9下P77改编、北师9下P20改编)(2023湖北)为了防洪需要，某地决定新建一座拦水坝．如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，斜面坡度i＝3∶4是指坡面的铅直高度AF与水平宽度BF的比．已知斜坡CD的长度为20米，∠C＝18°，求斜坡AB的长．(结果精确到0.1米；参考数据： sin 18°≈0.31，cos 18°≈0.95，tan 18°≈0.32) 解：过点D作DE⊥BC，垂足为E，由题意得AF⊥BC，∴DE＝AF， ∵斜面AB的坡度i＝3∶4，∴，∴设AF＝3x米，则BF＝4x米， 在Rt△ABF中，AB＝＝5x， 在Rt△DEC中，∠C＝18°，CD＝20米， ∴DE＝CD·sin 18°≈20×0.31＝6.2(米)，∴AF＝DE＝6.2米， ∴3x＝6.2，解得x＝，∴AB＝5x≈10.3(米)， ∴斜坡AB的长约为10.3米． 小结：解决有关坡度的实际问题时，通常过顶点作高构造与坡角相关的直角三角形.  5．(人教9下P77、北师9下P19改编)(2024邵阳一模)如图，海中有一小岛A，它周围8海里内有暗礁，渔船由西向东航行，在B点测得小岛A在北偏东60°方向上，航行12海里到达D点，这时测得小岛A在北偏东30°方向上． (1)求∠BAD的度数； (2)如果渔船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？ 解：(1)过A作AC⊥BD于点C， 则∠CAD＝30°，∠CAB＝60°， ∴∠BAD＝60°－30°＝30°． (2)由(1)得AC的长是A到BD的最短距离． ∵∠ABD＝90°－60°＝30°， ∴∠ABD＝∠BAD，∴BD＝AD＝12海里． ∵在Rt△ACD中，∠CAD＝30°， ∴AC＝AD·cos∠CAD＝6＞8， ∴渔船不改变航线继续向东航行，没有触礁的危险． ★6． 0.40 (创新题)如图，小明站在河岸上的G点，利用测角仪器DG测量小船C到岸边的距离，此时，测得小船C的俯角是∠FDC＝30°，若测角仪器DG的高度是2米，BG＝1米，BG平行于AC所在的直线，迎水坡AB的坡度i＝4∶3，坡高BE＝8米，求小船C到岸边的距离CA的长(结果保留根号)． 解：∵坡AB的坡度i＝4∶3，坡高BE＝8， ∴AE＝6，由题意得，四边形BEHG为矩形， ∴GH＝BE＝8，EH＝BG＝1， ∴DH＝DG＋GH＝10， 在Rt△DCH中，tan C＝，则CH＝＝10 ，∴AC＝CH－AE－EH＝10 －7． 答：小船C到岸边的距离CA的长为(10 －7)米． 请完成课本本节对应习题 布置作业 感谢大家欣赏 $$