安徽省芜湖市第一中学2024年高一自主招生考试数学试题

1 2024 年高一自主招生考试 数 学 答 案 一、选择题（每小题 6分，共 42分） 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 C B A D C D B 1. 【答案】C 【解析】根据条件知 0x  ，当 0x  时，原方程可化为 6 5 0x x    ，去分母 整理得 2 5 6 0x x   ，解得 1 6x   （舍去）， 2 1x  ；当 0x  时，原方程可化为 6 5 0x x     ， 去分母整理得 2 5 6 0x x   ，解得 3 2x   ， 4 3x   .经检验，原方程的实数根的个数为 3，故 选 C. 2. 【答案】B 【解析】因 32024 2 11 23   ，所以 2024 的正因数有 1，2，4，8，11， 22，23，44，46，88，92，184，253，506，1012，2014 共 16个，其中因数为奇数的有 1，11， 23，253共 4个，于是所求概率为 4 1 16 4  ，故选 B. 3. 【答案】A 【解析】因  2 1 1 1 3 7 23 716 6 7 3 7       ， 2 7 3  ，所 以 5 3 7 3 2 2    ， 于 是 1 3 7 2 216 6 7               ， 又  28 4 3 6 2 6 2     ，2.4 6 2.5,1.4 2 1.5    ，所以3.8 6 2 4   ， 于是 8 4 3 6 2 3          ，因此原式 2 3 5   ，故选 A. 4.【答案】D 【解析】延长 BA 到点 D ，使 AD AC ，连 CD，则根据条件可知 2BC AB BD  ，即 BC BD AB BC  ，又 B 公共，所以 BAC ∽ BCD ，于是 ACB D   ，又 AD AC ，所以 D ACD   ，又 BAC D ACD    ，所以 2BAC ACB   ，因 75B  ，所以 105BAC ACB   ，因此 35ACB  ，故选 D. 2 5. 【答案】C 【解析】设    ,0 0A t t  ，则 , kD t t       ，于是点C 的纵坐标为 k t ，因 2CE AE ，所以点 3 , , 7 , 3 7 k kE t F t t t             ，所以 6AB t ， 6 7 7 k k kCF BC BF t t t      ，又 因为 2CE AE ， 2AEFS  ，所以 6ACFS  ，又 1 1 6 6 6 2 2 7ACF kS CF AB t t        ，解得 7 3 k  ，故选 C. 6. 【答案】D 【解析】由 23 5 3n n  为 15 的倍数知 23 5 3n n  能被 3整除，于是 3能整 除 n，设  3n m m 是正整数 ，则  2 23 5 3 3 9 1 15n n m m     ， 又 23 5 3n n  为 15的倍数，故 29 1m  为 5的倍数， 从而 5 2m k  或 5 3m k  ，其中 k为自然数， 因1 100n  ，所以1 3 100m  ，于是 1 133 3 3 m  ， 所以 2,3,7,8,12,13,17,18,22,23,27,28,32,33m  ， 于是 6,9,21,24,36,39,51,54,66,69,81,84,96,99n  ， 因此符合条件的所有 n的和等于 735，故选 D. 7. 【答案】B 【解析】设 2 21 1 2 2 1 1, , , 4 4 A x x B x x            ，根据条件不妨设 1 20x x  ， 分别过点 ,A B向 x轴作垂线，垂足分别为点 ,M N，则 90AOM OAM   ，因OA OB ， 所以 90AOM BON   ，于是Rt AOM ∽ Rt OBN ，所以 AM OM ON BN  ， 即 2 1 1 22 2 1 4 1 4 x x x x   ，整理得 1 2 16x x   ，设 :AB y kx b  ，联立方程得方程组 21 4 y kx b y x       ，消去 y， 得 2 4 4 0x kx b   ，根据韦达定理可知 1 2 4x x b ，所以 4 16b   ，解得 4b   ， 所以直线 AB过定点  0, 4D  ，又OC AB ，所以点C在以线段OD为直径的圆上，该圆的圆 心在 y轴上，半径为 2，所以点C到 y轴距离的最大值为 2，故选 B. 3 二、填空题（每小题 7分，共 49分） 8. 4 9. 84 10.5 11． 10941 121 12． 3 2 2 13． 2020 14．8 3 8. 【答案】4 【解析】由题意可知 2 4 0b c  ，该抛物线的对称轴为 2 2 2 2 b m mx      ， 所以 22 ,b m c m   ，于是  22y x bx c x m     ，所以  22 4n m m    . 9.【答案】84 【解析】设 , ,AC a BD b AB h   ，则根据条件可知 2 2 2 2 29 5h a b    ， 所 以 2 2 2 29 5 56a b    ， 即     56a b a b   ， 又 a b 与 a b 奇 偶 性 相 同 ， 且 0a b a b    ，所以 28 2 a b a b      或 14 4 a b a b      ，解得 15 13 a b    或 9 5 a b    （舍），所以 2 213 5 12h    ，于是梯形 ABCD的面积等于  1 5 9 12 84 2     . 10. 【答案】5 【解析】因 ,AB AC AD BC  ，所以点 D 是底边 BC 的中点，又 ,DE AB CF AB  ，所以DE∥CF ，于是点E是线段 BF 的中点，所以DE是 BCF 的中位 线.设DE x ，则 2CF x ， 2 2 21 4AC AF CF x AB     ,又 ADE ∽ DBE ，于是 AE DE DE BE  ，于是 2 21 2 DEBE x AE   ，于是 2 2 2 xAB AE BE    ，所以 2 21 4 2 2 xx   ， 两边同时平方，解得 2 2 6x  或 ，因 BAC 是钝角，所以 2 6x  ，所以 5AC  . 11.【答案】 10941 121 【解析】原式 2 2 2 2 2 2 2 2 3 5 7 21 3 5 7 21 2 6 12 110 2 6 12 110                            2 2 2 2 1 2 2 3 3 4 10 11 1 2 2 3 3 4 10 11                    1 1 1 14 4 4 4 1 2 2 3 3 4 10 11                2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 2 3 3 4 10 11                                    1 1 1 1 1 1 1 140 1 2 2 3 3 4 10 11               4 2 1 1 12 1091 40 1 42 41 11 11 121 121         ，故填 10941 121 . 12. 【答案】 3 2 2 【解析】由条件知0 1a  ，于是 2 2 8 2 4 4 a   ， 两边同时平方并整理得  2 2 1 2 a a  ，所以  24 1 1 2 a a  ， 因此    2 24 23 1 3 1 13 1 3 2 2 2 2 2 2 2 2 a a a a a a a           ， 所以原式        22 1 2 2 3 21 2 1 2 2 2 2 2 2 a a a a         ，故填 3 2 2 . 13. 【 答 案 】 2020 【 解 析 】 根 据 题 意 ， 2 2 2 2 2024x xy y x y      2 22 2 2024x y x y y            2 2 2 22 22 2 2024 4 4 y y x y x y y           2 22 3 3 2023 2 4 yx y y           2 22 3 2 2020 2 4 yx y         ， 当且仅当 2 0, 2 0 2 yx y    即 2, 2x y   时，最小值为 2020. 14. 【答案】 8 3 【解析】根据条件知 3tan 3 ABACB BC    ，于是 30ACB  ，作 EH BC 于点H ， 4, 60EH EFC   ，所以 4 8 3 sin sin 60 3 EHEF EFC      . 过点 A作 AG∥ EF且 AG EF ，连 ,EG CG，则四边形 AFEG是平行四边形，于是 AF EG ， 所以 AF EC EG EC CG    ，当且仅当 , ,C E G三点共线时取到等号.因 EF AC ，所以 AG AC ，又 8 3 , 3 AG EF  8AC  ，所以 2 2 2 28 3 16 38 3 3 CG AG AC            ， 因此 AF EF EC  的最小值为 8 3 16 3 8 3 3 3   . 三、解答题（本大题共 5小题，满分 59分，写出必要的解答过程。） 5 15. （1）解：由条件知       1 3 1 4 1 5 x y z x y z x y z y z x x y z z x y                ，于是 3 4 5 xy xz x y z yz xy x y z xz yz x y z                ， 将上述三个方程左右两边分别相加得到 6xy yz xz x y z      ，① 因此 3yz x y z    ，② 2xz x y z    ，③ 1xy x y z    ，④ ②③，得 3 2 y x ，⑤. ②④，得 3z x ，⑥ 将⑤⑥代入②，解得 11 3 x  ， 11 2 y  ， 11z  ， 经检验，原方程组的解为 11 3 11 2 11 x y z         .…………………………6 分 （2）解：由条件可得  2 22 4 1 3x x a x    ，因方程有一个实根是正整数，所以 2 2 3 2 4 1 xa x x     ， 因 a为正整数，所以 2 2 3 0 2 4 1 xa x x      ，于是 22 4 1 0x x   ，解得 6 61 1 2 2 x    ，因 x为正整数，所以 1x  或 2x  ，当 1x  时， 1a  ；当 2x  时， 12a  .因此所有符合条件的 正整数 a的值之和等于 13.………………………7 分 16. 解：根据 8 9 15 16 n n k    得 15 16 8 9 n k n    ，所以 7 7 9 8 k n   6 于是 7 7 9 8 n k n  ， 因对于某一给定的正整数 n，只有唯一的一个正整数 k，使该不等式成立， 所以 7 7 2 8 9 n n   ，解得 144 7 n  ，……………4分 又因为 n为正整数，当 20n  时， 5 115 17 9 2 k  ，满足条件的正整数 16,17k  ，有两个，不符 合题意，应舍去； 当 19n  时， 7 514 16 9 8 k  ，满足条件的正整数 15,16k  ，有两个，不符合题意，应舍去； 当 18n  时， 314 15 4 k  ，满足条件的正整数 15,k  只有一个，符合题意， 所以正整数 n的最大值是 18. ……………8分 又由 7 7 9 8 k n   ，知 10n  ， 当 10n  时， 7 37 8 9 4 k  ，满足条件的正整数 8k  ，只有一个，符合题意， 所以正整数 n的最小值是 10.……………………12分 17. （1）证明：在等腰直角 AOB 中， 45A B   ， 因 45ADO B BOD BOD BOC      ，所以 ADO ∽ BOC ， 于是 AO AD BC OB  ，即 AO OB BC AD   ， 又 2 2 AO OB AB  ，所以 21 2 AB BC AD  ，即 2 2AB BC AD  .………7分 （2）解：以线段 , ,AC CD DB为边的三角形能构成直角三角形，斜边为CD . 理由如下：设 ,AO a AC x  ，则 2AB a ， 2BC a x  ， 由（1）可知 2 2 aAD a x   ， 所以 2 2 22 2 2 a a ax xCD AD AC x a x a x          ， 2 2 22 2 2 a a axDB AB AD a a x a x         ，……………13分 7 所以       2 22 2 22 2 2 2 2 2 22 2 2 x a x a axa axAC DB x a x a x               4 3 2 2 3 4 2 2 2 4 2 2 2 x ax a x a x a a x             22 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 x a ax a x a x a x           2 2 2 2 2 2 2 x a ax CD a x      , 即 2 2 2AC BD CD  , 所以以线段 , ,AC CD DB为边的三角形能构成直角三角形，其斜边为CD .……………17分 18. 解：（1）由条件知该抛物线的对称轴为直线 0x  ，于是 0b  ， 又顶点纵坐标为 2 ，所以 2c   ， 将  2,0B 代入 2 2y ax  得 4 2 0a   ，解得 1 2 a  ， 于是抛物线 2y ax bx c   的解析式为 21 2 2 y x  .……………4 分 （2）设点  21, 2 0 2 E t t t      ，因四边形 ACDE是平行四边形， 则  212, 2 2 2 D t t       即 212, 2 2 D t t t      ， 因 2 2D Ey y t   ，所以  0,2 2C t  设直线DE的解析式为 y kx m  ， 将 ,E D两点的坐标代入解得 211, 2 2 k t m t t      ， 所以直线DE的解析式为   211 2 2 y t x t t     ， 令 0y  ，得直线DE与 x轴交点的横坐标为   2 2 4 2 1 t tx t     ， 因四边形 ACDE的面积等于 15，所以 ADE 的面积等于15 2 ， 8 于是         2 21 2 4 1 152 2 2 6 8 2 2 1 2 2ADE t tS t t t t                解得 1 7t   （舍去）， 2 1t  ， 所以此时点C的坐标为  0,4 .……………9分 （3）由条件知  0, 4F  ，所以  222 4 2 5AF BF     , 于是 2 5sin sin 52 5 AFO BFO     ， 又 sin , sinGH xx BFO AFO FH FG      ，所以  5 H GFG FH x x   . 设直线 l与抛物线的公共点的坐标为 21, 2 2 n n     ， 设直线 l的解析式为   21 1 2 2 y k x n n    ， 联立   21 2 1 2 2 1 2 2 y k x n n y x           ，消去 y，得 2 21 12 2 0x k x k n n    ， 因直线 l与抛物线只有一个公共点，所以    2 21 12 4 2 0k k n n      ，解得 1k n ， 于是直线 l的解析式为 21 2 2 y nx n   ， 又直线 BF 的解析式为 2 4y x  ， 联立 21 2 2 2 4 y nx n y x         ，解得  1 2 2H x n  ， 同理可得  1 2 2G x n  ， 于是      1 15 5 2 2 2 5 2 2H G FG FH x x n n           ， 所以 FG FH 是定值，该定值为 2 5 .……………17分 1 2024 年高一自主招生考试 数 学 试 卷 （满分：150 分） 一、选择题（本大题共 7小题，每小题 6分，共 42分，每小题只有一个选项正确，把正确的选 项填在答题卡答题栏中） 1. 方程 56 0 x x x x    的实数根的个数为（ ）. A.1 B.2 C.3 D.4 2. 从 2024 的所有正因数中随机地任取 1 个，则该数为奇数的概率为（ ）. A . 1 8 B. 1 4 C. 1 6 D. 1 2 3. 设 a 表示不超过 a的最大整数，如   3, 1.2 2     ，则 1 8 4 3 16 6 7             （ ）. A.5 B.6 C.7 D.8 4.在 ABC 中， 75B  ，  2BC AB AB AC   ，则 ACB （ ）. A.70 B. 60 C. 45 D. 35 5. 矩形 ABCD的两个顶点 ,A B在 x轴的正半轴上，点D在反比例函数  0, 0ky k x x    的 图象上，连 AC，线段 AC BC、 与该函数图象分别交于点 ,E F，若 2CE AE ， AEF 的面 积为 2，则 k （ ）. A.7 B. 7 2 C. 7 3 D. 7 4 6. 已知n是不超过 100 的正整数，且使 23 5 3n n  为 15 的倍数，则符合条件的所有 n的和等 于（ ）. A.540 B. 636 C.684 D.735 7. 设点O是坐标原点，点 ,A B是抛物线 21 4 y x  上异于点O的两个动点，且OA OB ，连 AB，过点O作OC AB 于点C，则点C到 y轴距离的最大值为（ ）. 2 座位号： A.1 B.2 C.3 D.4 二、填空题（本大题共 7小题，每小题 7分，共 49分） 8. 已知抛物线 2y x bx c   与 x轴只有一个公共点，且经过点  2,A m n 与点  2,B m n ， 则 n  ___________________. 9. 如图，在梯形 ABCD中，AD∥ BC， 90ABC  ， 5, 9AD BC  ，两条对角线 ,AC BD 的长均为正整数，则梯形 ABCD的面积等于______________. 10. 如图，在 ABC 中，AB AC ， BAC 是钝角，AD BC 于点D，分别过点 ,D C向直 线 AB作垂线，垂足分别为点 ,E F，若 2, 1AE AF  ，则 AC  ________________. 11. 计算： 2 2 2 2 2 2 2 2 3 3 5 5 7 7 21 21 2 2 6 6 12 12 110 110                                  _________________. 12. 已知 2 8 2 2 4 a   ，则代数式 2 4 33 2 a a a   的值为_________________. 13. 已知 ,x y都是实数，则代数式 2 2 2 2 2024x xy y x y     的最小值等于____________. 14. 如图，在矩形 ABCD中， 4, 4 3AB BC  ，点 E是边 AD上的一个动点，过点 E作对 角线 AC的垂线，垂足为O，且与直线 BC交于点 F ，则点 E移动的过程中，AF EF EC  的最小值为___________________. 3 三、解答题（本大题共 4小题，共 59分，解答应写出必要的文字说明，演算或推演步骤） 15．（1）（本题 6分）解方程组： 1 1 1 3 1 1 1 4 1 1 1 5 x y z y z x z x y             （2）（本题 7分） 若关于 x的方程   22 3 4 0a x ax a    有一个实根是正整数，求所有符 合条件的正整数 a的值之和. 16．（本题 12分）已知 ,n k 均是正整数，且满足不等式 8 9 15 16 n n k    ，若对于某一给定的正 整数 n，存在唯一的正整数 k，使该不等式成立.求所有符合条件的正整数 n的最大值与最小值. 4 17．（本题 17分）如图，已知 AOB 是以点O为直角顶点的等腰直角三角形，一个 45的角的 顶点在点O，其两边与边 AB分别交于点 ,C D（异于点 ,A B）. （1）求证： 2 2AB BC AD  ; （2）请问以线段 , ,AC CD DB为边的三角形能否构成直角三角形，若能构成直角三角形，请指 出斜边；若不能构成直角三角形，请说明理由. （第 17 题图） 18．（本题 17分）已知抛物线 2y ax bx c   经过点    2,0 , 2,0A B ，其顶点纵坐标为 2 . （1）求抛物线 2y ax bx c   的解析式； （2）如图 1，若点C在 y轴正半轴上，点 ,D E均在 y轴右侧的抛物线上，且四边形 ACDE是 平行四边形，当四边形 ACDE 的面积等于 15 时，求点C的坐标； （3）如图 2，设原点O关于抛物线顶点的对称点为 F ，连 ,AF BF，直线 l与抛物线只有一个 公共点，且分别与线段 AF 和线段 BF交于点 ,G H ，试问 FG FH 是否为定值？若是定值， 请求出定值大小；若不是定值，请说明理由. C 2024年高一自主招生考试 数学答题卷 吾习 (满分:150分) 一、选择题(每小题6分,共42分) 题号 2 3 1 6 答 案 二、填空题(每小题7分,共49分) 9. 8. 10. 12. 11 13. 14. 我 1... 三、.解答题(本大题共4小题,满分59分,写出必要的解答过程。) 15. (1)(6分) __ _ 座位号: (2)(7分) 16.(12分) 2 17.(1)(7分) (2)(10分) 18.(1)(4分) (2)(5分) 17 (第18题图1) (3)(8分) & B H (第18题图2) 。4