8.2立方根讲义2024–2025学年人教版七年级数学下册　

学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级下 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题：立方根 授课时间： 学习目标 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 教学内容 1.填空： （1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ． （3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ． 2. 要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？ 3. 小丽想用一块面积为400 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？  因为23=8，所以8的立方根是（    ）；  因为（   ）3=0.125，所以0.125的立方根是（   ）；  因为（    ）3=0，所以0的立方根是（    ）； 因为（    ）3=－8，所以－8的立方根是（    ）；  因为（     ）3=，所以的立方根是（    ）．  思考：（1）正数的立方根是_____数，负数的立方根是_____数，0的立方根是_______． 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点一、立方根的概念 【例题精讲】 例1. 下列结论正确的是（ ） A．64的立方根是±4 B．是的立方根 C．立方根等于本身的数只有0和1 D． 【巩固练习】 1. 下列说法正确的是（ ） A．一个数的立方根有两个 B．一个非零数与它的立方根同号 C．若一个数有立方根，则它就有平方根 D．一个数的立方根是非负数 2. 下列说法正确的是（　　） A．﹣4的立方是64 B． 0.1的立方根是0.001 C． 4的算术平方根是16 D． 9的平方根是±3 知识点二、立方根的计算 【例题精讲】 例1. 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） （5） 【巩固练习】 1. 计算：（1）______；（2）______； （3）______．（4）______. 知识点三、利用立方根解方程 【例题精讲】 例1. （x﹣2）3=﹣125． 【巩固练习】 1. 求出下列各式中的： （1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______； （3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______． 知识点四、立方根实际应用 【例题精讲】 例1. 在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？ 【巩固练习】 1. 将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 一.选择题 1．下列结论正确的是（ ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．有理数一定有立方根 D．的立方根是－1 2．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（ ） A．－＝ B．－＝ C．＝ D．＝ 3.下列说法中正确的有（ ）个. ① 负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是 ③如果，那么＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1． A．1 B．2 C．3 D．4 4.是的平方根，是64的立方根，则＝（　 ） A. 3 B. 7 C.3，7 D. 1，7 5.的立方根是（　　） 　 A．﹣1 B． 0 C． 1 D． ±1 6. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（　　） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二.填空题 7．中的的取值范围是______，中的的取值范围是______． 8．－8的立方根与的平方根的和是______． 9．若 则与的关系是______． 10．（2015春•武汉校级期末）计算=　 　． 11. 如果那么的值是______． 12.若，则____________. 三.解答题 13.若和互为相反数，求的值. 14．已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根． 15.已知M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值． 1. 课堂错题收集： 2． 学霸笔记本： 课后巩固 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点三、立方根的性质 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 预习思考 实数 10 学科网（北京）股份有限公司 $$ 学科教师辅导教案 学员编号： 年 级：七年级下 课 时 数：3 学员姓名： 辅导科目：数学 学科教师： 课程主题：立方根 授课时间： 学习目标 1. 了解立方根的含义； 2. 会表示、计算一个数的立方根，会用计算器求立方根. 教学内容 1.填空： （1）是 的负平方根． （2）表示 的算术平方根， ． （3）的算术平方根为 ． （4）若，则 ，若，则 ． 2. 要在一块长方形的土地上做田间试验，其长是宽的3倍，面积是1323平方米．求长和宽各是多少米？ 3. 小丽想用一块面积为400 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为300 的长方形纸片，使它长宽之比为 ，请你说明小丽能否用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【答案与解析】 1. 【思路点拨】（3）就是的算术平方根＝，此题求的是的算术平方根. 【答案与解析】(1)16；(2) (3) (4) 9；±3 【总结升华】要审清楚题意，不要被表面现象迷惑.注意数学语言与数学符号之间的转化. 2. 【答案与解析】 解：设宽为，长为3， 由题意得，·3＝1323 3＝1323 ＝－21(舍去) 答：长为63米，宽为21米. 【总结升华】根据面积由平方根的定义求出边长，注意实际问题中边长都是正数. 3. 【答案与解析】 解：设长方形纸片的长为3 (＞0) ，则宽为2，依题意得 . . . ∵ ＞0， ∴ . ∴ 长方形纸片的长为. ∵ 50＞49, ∴. ∴ , 即长方形纸片的长大于20. 由正方形纸片的面积为400 , 可知其边长为20, ∴ 长方形的纸片长大于正方形纸片的边长. 答: 小丽不能用这块纸片裁出符合要求的长方形纸片. 【总结升华】本题需根据平方根的定义计算出长方形的长和宽，再判断能否用边长为20的正方形纸片裁出长方形纸片. 根据立方根的意义填空，看看正数、0、负数的立方根各有什么特点？  因为23=8，所以8的立方根是（    ）；  因为（   ）3=0.125，所以0.125的立方根是（   ）；  因为（    ）3=0，所以0的立方根是（    ）； 因为（    ）3=－8，所以－8的立方根是（    ）；  因为（     ）3=，所以的立方根是（    ）．  思考：（1）正数的立方根是_____数，负数的立方根是_____数，0的立方根是_______． 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点诠释：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点诠释：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 要点三、立方根的性质 要点诠释：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 知识点一、立方根的概念 【例题精讲】 例1. 下列结论正确的是（ ） A．64的立方根是±4 B．是的立方根 C．立方根等于本身的数只有0和1 D． 【答案】D； 【解析】64的立方根是4；是的立方根；立方根等于本身的数只有0和±1. 【总结升华】一个非零数与它的立方根符号相同； . 【巩固练习】 1. 下列说法正确的是（ ） A．一个数的立方根有两个 B．一个非零数与它的立方根同号 C．若一个数有立方根，则它就有平方根 D．一个数的立方根是非负数 【答案】B； 2. 下列说法正确的是（　　） A．﹣4的立方是64 B． 0.1的立方根是0.001 C． 4的算术平方根是16 D． 9的平方根是±3 【答案】D. 知识点二、立方根的计算 【例题精讲】 例1. 求下列各式的值： （1） （2） （3） （4） （5） 【答案与解析】 解：（1） （2） （3） （4） （5） 【总结升华】立方根的计算，注意符号和运算顺序，带分数要转化成假分数再开立方. 【巩固练习】 1. 计算：（1）______；（2）______； （3）______．（4）______. 【答案】（1）－0.2；（2）；（3）；（4）. 知识点三、利用立方根解方程 【例题精讲】 例1. （x﹣2）3=﹣125． 【思路点拨】利用立方根的定义开立方解答即可． 【答案与解析】 解：（x﹣2）3=﹣125， 可得：x﹣2=﹣5， 解得：x=﹣3． 【总结升华】此题考查立方根问题，关键是先将x﹣2看成一个整体． 【巩固练习】 1. 求出下列各式中的： （1）若＝0.343，则＝______；（2）若－3＝213，则＝______； （3）若＋125＝0，则＝______；（4）若＝8，则＝______． 【答案】（1）＝0.7；（2）＝6；（3）＝－5；（4）＝3． 知识点四、立方根实际应用 【例题精讲】 例1. 在做物理实验时，小明用一根细线将一个正方体铁块拴住，完全浸入盛满水的圆柱体烧杯中，并用一量筒量得铁块排出的水的体积为64，小明又将铁块从水中提起，量得烧杯中的水位下降了．请问烧杯内部的底面半径和铁块的棱长各是多少？ 【思路点拨】铁块排出的64水的体积，是铁块的体积，也是高为烧杯的体积. 【答案与解析】 解：铁块排出的64的水的体积，是铁块的体积． 设铁块的棱长为，可列方程解得 设烧杯内部的底面半径为，可列方程,解得6. 答：烧杯内部的底面半径为6，铁块的棱长 4 . 【总结升华】应该熟悉体积公式，依题意建立相等关系（方程），解方程时，常常用到求平方根、立方根，要结合实际意义进行取舍.本题体现与物理学科的综合. 【巩固练习】 1. 将棱长分别为和的两个正方体铝块熔化，制成一个大正方体铝块，这个大正方体的棱长为____________.(不计损耗) 【答案】　. 一.选择题 1．下列结论正确的是（ ） A．的立方根是 B．没有立方根 C．有理数一定有立方根 D．的立方根是－1 2．如果－是的立方根，则下列结论正确的是（ ） A．－＝ B．－＝ C．＝ D．＝ 3.下列说法中正确的有（ ）个. ① 负数没有平方根，但负数有立方根．②的平方根是的立方根是 ③如果，那么＝－2． ④算术平方根等于立方根的数只有1． A．1 B．2 C．3 D．4 4.是的平方根，是64的立方根，则＝（　 ） A. 3 B. 7 C.3，7 D. 1，7 5.的立方根是（　　） 　 A．﹣1 B． 0 C． 1 D． ±1 6. 有如下命题：①负数没有立方根；②一个实数的立方根不是正数就是负数；③一个正数或负数的立方根与这个数同号；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是1或0，其中错误的是（　　） A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.①③④ 二.填空题 7．中的的取值范围是______，中的的取值范围是______． 8．－8的立方根与的平方根的和是______． 9．若 则与的关系是______． 10．（2015春•武汉校级期末）计算=　 　． 11. 如果那么的值是______． 12.若，则____________. 三.解答题 13.若和互为相反数，求的值. 14．已知5＋19的立方根是4，求2＋7的平方根． 15.已知M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根，试求M﹣N的值． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】 C； 【解析】的立方根是；的立方根是1. 一个非零数与它的立方根符号相同. 2. 【答案】A； 【解析】由题意. 3. 【答案】A； 【解析】只有①正确. 算术平方根等于立方根的数有0和1． 4. 【答案】D； 【解析】∵是的平方根，y是64的立方根，∴＝±3，＝4则＝3＋4＝7或＝－3＋4＝1. 5.【答案】A； 【解析】解：∵=﹣1， ∴的立方根是=﹣1， 故选A． 6. 【答案】B； 【解析】①负数有立方根；②一个实数的立方根是正数、0、负数；④如果一个数的立方根是这个数本身，那么这个数是±1或0． 二.填空题 7.【答案】任意实数；＝1; 【解析】开立方时被开方数可以为任意实数，第二题需1－≥0，－1≥0， 解得＝1. 8.【答案】1或－5； 【解析】注意＝9，9的平方根是±3. 9. 【答案】； 【解析】两个互为相反数的实数的立方根也互为相反数. 10.【答案】； 【解析】解：， 故答案为：． 11.【答案】－343； 【解析】＋4＝64，＝60，－67＝－7，. 12.【答案】； 【解析】－1＝－2，＝－1. 三.解答题 13.【解析】 解：∵和互为相反数 ∴＋＝0， ∴＝－， ∴＝， ∴2－1＝3－1, 2＝3， ∴＝. 14.【解析】 解：∵5＋19的立方根是4 ∴5＋19，即64＝5＋19，解得＝9 ∴2＋7＝25 ∴2＋7的平方根＝. 15.【解析】 解：因为M=是m+3的算术平方根，N=是n﹣2的立方根， 所以可得：m﹣4=2，2m﹣4n+3=3， 解得：m=6，n=3， 把m=6，n=3代入m+3=9，n﹣2=1， 所以可得M=3，N=1， 把M=3，N=1代入M﹣N=3﹣1=2 1. 课堂错题收集： 2． 学霸笔记本： 课后巩固 要点一、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点二、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点三、立方根的性质 要点四、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 预习思考 实数 10 学科网（北京）股份有限公司 $$