6.1平行四边形的性质（第2课时）课件　2024—2025学年北师大版数学八年级下册

6.1平行四边形的性质 (第2课时) 北师大版 (2012) 八年级下册 第六章 平行四边形 学习目标 探索并掌握平行四边形对角线性质 灵活运用平行四边形的性质进行推理和计算 1 2 知识回顾 上节课我们学习了平行四边形的哪些性质？ 平行四边形是中心对称图形，两条对角线的交点是它的对称中心. 平行四边形的两组对边分别平行(定义) 平行四边形的对边相等. 平行四边形的对角相等. 知识探究 思考：我们知道平行四边形的边角这两个基本要素的性质，那么平行四边形的对角线又具有怎样的性质呢? 如图，在平行四边形 ABCD 中，连接AC，BD，并设它们相交于点 O. OA 与 OC，OB 与 OD 有什么关系? 猜一猜： OA＝OC，OB＝OD 这个结论正确吗？ A B C D O 知识探究 已知：如图，□ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB＝CD（平行四边形的对边相等）， AB∥CD（平行四边形的定义）. ∴∠BAO＝∠DCO，∠ABO＝∠CDO. ∴△ABO≌△CDO. ∴OA＝OC，OB＝OD. 还有其他证明方法吗？ 知识探究 已知：如图，□ABCD 的两条对角线 AC 与 BD 相交于点 O. 求证：OA＝OC，OB＝OD. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AD＝CB（平行四边形的对边相等）， AD∥CB（平行四边形的定义）. ∴∠OAD＝∠OCB.（两直线平行，内错角相等） 又∵∠AOD＝∠COB，（对顶角相等） ∴△AOD ≌ △COB(AAS). ∴OA＝OC，OB＝OD. 知识探究 平行四边形的对角线互相平分. 平行四边形 A C D B O 几何语言： ∵□ABCD 的对角线 AC，BD 相交于点 O， ∴ OA ＝ OC，OB ＝ OD. 知识探究 （1）△ABO ≌ △CDO， △AOD ≌ △COB， △ ABD ≌ △CDB， △ ABC ≌ △CDA ； A C D B O 重要结论： （2）△ABO， △AOD， △DOC， △COB 的面积相等，且都等于平行四边形面积的四分之一. 典型例题 例2 已知：如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，过点 O 的直线与 AD，BC 分别相交于点 E，F. 求证：OE＝OF. 证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴DO＝BO（平行四边形的对角线互相平分）， AD∥BC（平行四边形的定义）. ∴∠ODE＝∠OBF， ∵ ∠DOE＝∠BOF. ∴△DOE ≌ △BOF. ∴OE＝OF. 知识探究 做一做 如图，□ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，∠ADB＝90°，OA＝6，OB＝3.求 AD 和 AC 的长度. 解：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴OA＝OC＝6，OB＝OD＝3 （平行四边形的对角线互相平分）， ∴AC＝OA＋OC＝12， ∵ ∠ADB＝90°. ∴△ADO 为直角三角形. ∴AD＝. 当 堂 检 测 当堂检测 18 当堂检测 8 当堂检测 4 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 当堂检测 平行四边形的性质 性质： 平行四边形的对角线互相平分. 感谢学生们的观看 1.如图，在中，已知，是的平分线，且与交于点F，，则的长为______. 解析：∵四边形是平行四边形， ∴，，∴， ∵，∴， ∵是的平分线， ∴，∴， ∴， ∴的长为. 2.如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，经过点O，交于点E，交于点F.若四边形周长为12，，则______. 解析：∵四边形是平行四边形， ∴，，∴. 在和中，∴， ∴，， 则四边形的周长， ∴，故答案为：8. 3.如图，的对角线AC、BD交于点O，过点O作，交边于点P，过点P作，垂足为Q，已知，的面积为，，则的长为______. 解析：设， ∵四边形是平行四边形，∴，，， ∵，， ∴， ∴，即， ∵，∴，∴. 4.如图，中，，，，对角线绕着对称中心O按顺时针方向旋转一定角度后，其所在直线分别交、于点E、F，若，则图中阴影部分的面积是__________________. 解析：连接，∵，∴， ∵，∴，∴，∴， ∴的面积为， ∵点O是的中点，∴点O在上，且点O是的中点， ∴的面积的面积， ∵，∴的面积的面积， 再由旋转性质同理可得，的面积， ∴图中阴影部分的面积. 5.如图，的对角线AC，BD相交于点O，且，.求的周长. 解析：因为四边形ABCD是平行四边形， 所以，，. 又， 所以， 所以的周长为. 6.如图，平行四边形ABCD的对角线相交于点O，且，过O作，交BC于点E，若的周长为10，则平行四边形的周长是多少？ 解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∵的周长为10， ∴， ∴平行四边形ABCD的周长. 7.如图，用硬纸板剪一个平行四边形，作出它的对角线的交点O，用大头针把一根平放在平行四边形上的直细木条固定在点O处，并使细木条可以绕点O转动.拨动细木条，使它随意停留在任意位置.观察几次拨动的结果，你发现了什么？证明你的发现. 解析：若木条与平行四边形的对边相交于点E，F，那么无论木条怎样转动，都有. 理由：四边形ABCD是平行四边形， ，. 假设木条与边AD相交于点F，与边BC相交于点E， 则，， ， . 当木条与边AB，CD相交时，同理可得. $$