7.2离散型随机变量及其分布列课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

7.2 离散型随机变量 及其分布列 引例探究 背景：求随机事件的概率时, 我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题，类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应, 将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便, 而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 有些随机试验的样本空间与数值有关系，我们可以直接与实数建立关系.例如： （1）抛掷一枚骰子，可以用实数𝑚(𝑚=1,2,3,4,5,6)表示“可能出现的点数” （2）一个人练习投篮，可以用实数a(a=1,2,3,.....)表示“投中的次数” （3）抛掷两枚骰子，设立样本空间Ω={(x,y)|x,y=1,2,...,6}，可以用x+y表示“掷出的点数之和”，样本点(x,y)与实数x+y实现对应. 引例探究 背景：求随机事件的概率时, 我们往往需要为随机试验建立样本空间，并会涉及样本点和随机事件的表示问题，类似函数在数集与数集之间建立对应关系，如果我们在随机试验的样本空间与实数集之间建立某种对应, 将不仅可以为一些随机事件的表示带来方便, 而且能更好地利用数学工具研究随机试验. 有些随机试验的样本空间与数值没有直接关系,可以根据问题的需要为每个样本点指定一个数值.例如： （1）抛掷一枚硬币，有“出现正面”，“出现反面”两种可能结果； （2）随机抽取一件产品，有“抽到正品”，“抽到次品”两种可能结果. 以上两种情况的可能结果与数值无关，可用数值来定义不同结果，如： 建立试验的样本点与实数的对应关系. 引例探究 由上述例子可以得到：对于任何一个随机试验,总可以把它的每个样本点与一个实数对应.即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系,实现样本点的数量化.因为在随机试验中样本点的出现具有随机性,所以变量X的取值也具有随机性. 探究：考察下列随机试验及其引入的变量 试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量 X表示三个元件中的次品数； 如果用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，用0和1构成的长度为3的字符串表示样本点，则样本空间 Ω1＝{000，001，010，100，011，101，110，111}， 引例探究 探究：考察下列随机试验及其引入的变量 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的拋掷次数. 用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，例如用tth表示第3次才出现“正面朝上”，则样本空间 Ω2＝{h，th，tth，tth，···}，Ω2包含无穷多个样本点. 各样本点与变量Y的值的对应关系如下图所示. 上述两个试验中的变量X，Y有哪些共同特征？ 2.取值依赖于样本点； 3.所有可能取值是明确的. 1.每个样本点和一个实数一一对应； 新知讲解 随机变量 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量. 离散型随机变量 可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量. 通常用大写英文字母表示随机变量，例如X, Y, Z； 用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x, y, z. 随机变量与函数的关系 不难发现，随机变量的定义与函数的定义类似，样本点ω相当于函数定义域中的自变量，而样本空间Ω相当于函数的定义域.不同的是样本空间Ω不一定是数集. 知识应用 1.(多选)下列随机变量中属于离散型随机变量的是(　　) A．某电话亭内的一部电话1小时内使用的次数记为X B．测量一个年级所有学生的体重，在60kg～70kg之间的体重记为X C．测量全校所有同学的身高，在170cm～175cm之间的人数记为X D．一个数轴上随机运动的质点在数轴上的位置记为X 2.从标有数字1，2，3，4，5，6的6张卡片中任取2张，写出所取卡片上的数字之和的所用可能取值，并说明取值为7所表示的随机试验的结果． 解：设所取卡片上的数字之和为X, 则X＝3，4，5，…，11. X＝7, 表示“取出标有3，4或2，5或1，6的两张卡片”. 新知讲解 根据问题引入合适的随机变量，有利于我们简洁地表示所关心的随机事件，并利用数学工具研究随机试验中的概率问题. 例如，掷一枚质地均匀的骰子，X表示掷出的点数， 则事件“掷出m点”可以表示为{X＝m}(m=1，2，3，4，5，6)， 事件“掷出的点数不大于2”可以表示为{X≤2}， 事件“掷出偶数点”可以表示为{X＝2}∪{X＝4}∪{X＝6}，等等. 由掷出各种点数的等可能性，可得到 这一规律可以用下列表格来表示 X 1 2 3 4 5 6 P 新知讲解 离散型随机变量的分布列 一般地，若离散型随机变量X可能取的不同值为：x1，x2， ‧‧‧ ，xn，，我们称X取每一个xi的概率 P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n 为X的概率分布列，简称分布列. X x1 x2 … xi … P P1 P2 … Pi … 与函数的表示法类似，离散型随机变量的分布列可以用表格表示，还可以用图形表示．如： 新知讲解 1、分布列的构成： （1）列出了离散型随机变量X的所有取值； （2）求出了X的每一个取值的概率；　 2、分布列的性质: 利用分布列和概率的性质，可以计算由离散型随机变量表示的事件的概率. 例如，在掷骰子的实验中，由概率的加法公式，得事件“掷出的点数不大于2”的概率为： P(X≤ 2)=P(X =1)+P(X =2) 例题辨析 例1、一批产品中次品率为5%，随机抽取1件，定义 求X的分布列. 解：根据X的定义，{X=1}=“抽到次品”，{X=0}=“抽到正品”， X 0 1 P 0.95 0.05 P(X=0)=0.95， P(X=0)=0.05. 随机变量X的分布列为 两点分布(0-1分布) 求随机变量X的分布列的步骤如下 (1)确定X的可能取值xi； (2)求出相应的概率P(X=xi)= pi； (3)列成表格的形式. 例题辨析 例2、某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示. 等级 不及格 及格 中等 良好 优秀 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列以及P(X≥4). 解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X=1}=“不及格”，{X=2}=“及格”, {X=3}=“中等”，{X=4}=“良”，{X=5}=“优”. 根据古典概型的知识，可得X的分布列 X 1 2 3 4 5 例题辨析 例3（利用组合数求解分布列）、一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台.如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 解：设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，则X的可能取值为0，1，2. 根据古典概型的知识，可得X的分布列 用表格表示X的分布列为： X 0 1 2 针对训练 3、某地要从2名男运动员、4名女运动员中随机选派3人外出比赛．设选派的3人中男运动员与女运动员的人数之差为X，求X的分布列． 解：由题意知，X的可能取值为－3，－1，1， P(X＝－3)＝＝，P(X＝－1)＝＝， P(X＝1)＝＝， 所以X的分布列为 X －3 －1 1 P 例题讲解 例4（分布列的性质）、设随机变量X的分布列为 P＝ak. (1)求常数a的值；(2)求P() 解：(1)依题分布列可表示为 X P a 2a 3a 4a 5a 故a+2a+3a+4a+5a=1， 　　 　　解得 针对训练 4.设随机变量X的分布列为P(X＝i)＝(i＝1，2，3，4)，求： (1)P(X＝1或X＝2)；(2)P(<X<)． 答案：（1）P(X＝1或X＝2)＝P(X＝1)＋P(X＝2)＝＋＝． （2）P(<X<) ＝P(X＝)＝P(X＝2)＋P(X＝3)＝＋＋＝． 例题讲解 例5（两相关变量的分布列）、设随机变量X的分布列 求：(1)3X＋2的分布列；(2)|X－1|的分布列 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 解：(1)由题意知，3X＋2的可能取值为2，5，8，11，14， 所以3X＋2的分布列为 3X＋2 2 5 8 11 14 P 0.2 0.1 0.1 0.3 0.3 (2)由题意知，|X－1|的可能取值为0，1，2，3， 所以|X－1|的分布列为 |X－1| 0 1 2 3 P 0.1 0.3 0.3 0.3 若X是随机变量，则Y＝f(X)也是随机变量，求Y的分布列，可由X的分布列得出，先由Y＝f(X)求出随机变量Y的值，再根据随机变量X的取值所对应的概率写出分布列，若Y值相同，则对应概率相加． 针对训练 5、已知随机变量ξ的分布列为 (1)求η1＝ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列． ξ －2 －1 0 1 2 3 P 解：(1)η1＝ξ的分布列为 η1 －1 － 0 1 P 针对训练 5、已知随机变量ξ的分布列为 (1)求η1＝ξ的分布列；(2)求η2＝ξ2的分布列． ξ －2 －1 0 1 2 3 P 解：P(η2＝1)＝P(ξ＝－1)＋P(ξ＝1)＝， 所以η2＝ξ2的分布列为 P(η2＝4)＝P(ξ＝－2)＋P(ξ＝2)＝， P(η2＝9)＝P(ξ＝3)＝， P(η2＝0)＝P(ξ＝0)＝， η2 0 1 4 9 P 课堂小结 1.离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量ξ可能取的值为x1，x2，…，xi，…， ξ取每一个值xi(i=1,2,…)的概率P(ξ= xi)=pi，则称表 ξ x1 x2 … xn p p1 p2 … pn 为随机变量ξ的概率分布，简称为ξ的分布列 ⑴ ⑵ 2.离散型随机变量分布列的性质 $$