9导数高考前练习-2025届高三数学三轮复习

y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝， ：记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝。 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义：是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率。 对应的切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)。 函数f′(x)＝为f(x)的导函数。 1、若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 ． 2、若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数不可能是（ ） A． B． C． D． 3、已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A．， B．， C．， D．， 4、函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 5、已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6、在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7、若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D．m>1 8、已知函数. (2)若，，讨论函数的单调性. 9、若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 10、已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 11、已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ） A． B． C． D． 12、已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 13、已知函数f(x)＝(a>0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 14、已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 15、已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 16、已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在时，使成立，求a的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 17、同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ． 18、设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 19、曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 20、设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． 学科网（北京）股份有限公司 $$ y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝， ：记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝＝。 函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义：是在曲线y＝f(x)上点P(x0，y0)处的切线的斜率。 对应的切线方程：y－y0＝f′(x0)(x－x0)。 函数f′(x)＝为f(x)的导函数。 1、若直线与曲线相切，则切点的横坐标为 ． 【答案】1 【解析】因为，所以， 设函数，则， 所以在定义域上单调递增， 因为，所以方程的解为，则所求切点的横坐标为． 2、若过点可作3条直线与函数的图象相切，则实数不可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】设切点为，因为，所以，即， 所以切线方程为，所以， 即， 令，则， 令，即；令，即或， 所以函数在和上单调递减，在上单调递增， 由，，且当时，， 所以函数的大致图象如下： 由图可知，当时，直线与函数的图象有3个交点， 此时过点可作3条直线与函数的图象相切， 所以实数的取值范围为.故选：A. 3、已知直线既是曲线的切线，也是曲线的切线，则（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【解析】设直线与曲线的切点为且， 与曲线的切点为且， 又，， 则直线与曲线的切线方程为，即， 直线与曲线的切线方程为，即， 则，解得，故，故选：A. 4、函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】函数的定义域为， 且， 令，解得，所以的单调递增区间为.故选：D 5、已知函数在区间上单调递减，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知在上恒成立，所以在上恒成立. 令，所以，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递琙，所以，所以，解得， 即的取值范围是.故选：C. 6、在区间上，函数存在单调递增区间，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】函数，求导得， 依题意，不等式在上有解，即在上有解， 令，，求导得， 当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减， 当时，，因此， 所以实数的取值范围是.故选：C 7、若函数在区间上不单调，则实数m的取值范围为（ ） A． B． C． D．m>1 【答案】B 【解析】函数的定义域为， 且， 令，得， 因为在区间上不单调， 所以，解得：，故选：B. 8、已知函数. (2)若，，讨论函数的单调性. 【解析】（2）函数的定义域为，， ， 当时，，由，可得， 当时，，函数在上单调递增； 当时，，函数在上单调递减； 当时，， ①当时，，当或时，， 即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减； ②当时，则对任意的，即函数在上单调递增； ③当时，， 当或时，，即函数在和上单调递增， 当时，，即函数在上单调递减. 综上所述，当时，函数在上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减； 当时，函数在上单调递增； 当时，函数在和上单调递增，在上单调递减. 9、若函数在定义域内有两个极值点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为的定义域为，且，令，可得，由题意可知与有2个变号交点，则，令，解得；令，解得； 可知在内单调递增，在内单调递减，可得，且当x趋近于0，趋近于，当x趋近于，趋近于0，可得的图象，如图所示：由图象可得，解得，所以实数的取值范围为.故选：D. 10、已知函数存在极值点，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】函数的定义域为，且， 由于函数存在极值点，即在上有变号零点， 由，得， 令，则，则a的取值范围为在上的值域， 且需满足的，即； 对于，当时，， 故，即实数的取值范围是，故选：A 11、已知（为常数）在上有最大值3，则函数在上的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由得， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 故当时，取得最大值，即，此时， 当，，当时， 故最小值为，故选：C 12、已知函数在区间上存在最小值，则实数a的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由题意得．当时，得或，当时，， 可得函数的单调增区间为，．减区间为，即时，函数取得极小值， 当时，即，解得或， 故要使函数在区间上存在最小值， 需有，解得，即实数a的取值范围为，故选：A． 13、已知函数f(x)＝(a>0)的导函数f′(x)的两个零点为－3和0. (1)求f(x)的单调区间； (2)若f(x)的极小值为－e3，求f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值． 解：(1)f′(x)＝ ＝. 令g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c， 因为ex>0，所以f′(x)的零点就是g(x)＝－ax2＋(2a－b)x＋b－c的零点，且f′(x)与g(x)符号相同． 又因为a>0，所以当－3<x<0时，g(x)>0，即f′(x)>0， 当x<－3或x>0时，g(x)<0，即f′(x)<0， 所以f(x)的单调递增区间是(－3,0)，单调递减区间是(－∞，－3)，(0，＋∞)． (2)由(1)知，x＝－3是f(x)的极小值点，所以有 解得a＝1，b＝5，c＝5，所以f(x)＝. 由(1)可知当x＝0时f(x)取得极大值f(0)＝5， 故f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值取f(－5)和f(0)中的最大者． 而f(－5)＝＝5e5>5＝f(0)， 所以函数f(x)在区间[－5，＋∞)上的最大值是5e5. 14、已知函数的定义域为为的导函数.若，且在上恒成立，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】设函数，可得， 所以函数在上单调递减， 由，可得，即， 可得，所以，即不等式的解集为.故选：D. 15、已知函数及其导函数的定义域均为，且恒成立，，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，有， 令，则，所以在区间上单调递增． 又，得，所以， 所以，解得．故选：A 16、已知函数，. (1)当时，求函数的单调区间； (2)若存在时，使成立，求a的取值范围. (3)若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】（1）当时，函数的定义域为，求导得， 由，得；由，得， 所以函数的递减区间为，递增区间为. （2）依题意，，则， 于是存在，成立，设， 则，函数在上递增，， 所以. （3）依题意，对任意恒成立， 即对任意恒成立， 设，则对任意恒成立， 下面证明对任意恒成立， 设，，求导得，当且仅当时取等号， 函数在上单调递减，则，即， 于是对任意恒成立，只需在上单调递增， 即在上恒成立，则在上恒成立，因此， 所以实数的取值范围为. 17、同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：，，称与为同构式．已知实数满足，，则 ． 【答案】5 【解析】易判断为增函数，，， 即，， 所以，. 故答案为：5 18、设实数，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为通分得：即：；设 ，函数在单调递增， 恒成立，得：即 设，易知函数在上单调递增，在上单调递减 故答案为： 19、曲线上的点到直线的最短距离是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】如图所示，将直线平移至与函数图象相切时， 切点到直线的距离最短,设切点坐标为， ,令得，，则切点坐标为， 所以切点到直线的距离为：. 故选：A. 20、设函数f(x)＝ln x＋，m∈R.讨论函数g(x)＝f′(x)－零点的个数． [解]　由题设，g(x)＝f′(x)－＝－－(x＞0)， 令g(x)＝0，得m＝－x3＋x(x＞0)． 设φ(x)＝－x3＋x(x＞0)， 则φ′(x)＝－x2＋1＝－(x－1)(x＋1)， 当x∈(0,1)时，φ′(x)＞0，φ(x)在(0,1)上单调递增； 当x∈(1，＋∞)时，φ′(x)＜0，φ(x)在(1，＋∞)上单调递减． 所以x＝1是φ(x)的极大值点，也是φ(x)的最大值点． 所以φ(x)的最大值为φ(1)＝. 由φ(0)＝0，结合y＝φ(x)的图象(如图)， 可知①当m＞时，函数g(x)无零点； ②当m＝时，函数g(x)有且只有一个零点； ③当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点； ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点． 综上所述，当m＞时，函数g(x)无零点； 当m＝或m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点； 当0＜m＜时，函数g(x)有两个零点． 学科网（北京）股份有限公司 $$途考地过 导数 导数的概念 y=田在=处的导数：函数)=阳在：=马处的解时变化率西+一= △y △x 45-0 记作f()或le=o,即f,)=1imAg=imf+Aw)-f孔el △x △x 20 40 逢者吧过 导数的几何意义 函数f代x)在点xo处的导数f()的几何意义：在曲线y=f孔x)上点P(xo:o)处的切线的斜率 对应的切线方程：y-0=f(o)(x-o) 逢考师过 导函数 函数r()=limf+△）-f扎为f的导函数 △x 4-0 逢考中过 2 求导公式 原函数 导函数 f代x)=c(c为常数 f(e)=0 f(a)=x"(nEQ) f(a)=na"-1 f(x)=sin a f'(x)=cosz f(a)=cos f'(x)=-sina fx)=a(a>0且a≠1) f'(x)=a'lna f(x)=e f'(a)=e* f(x)=logx(x>0,a>0且a≠1) fa)=。 f(x)=Inx(a>0) f(a)=1 k.f(a) k·f(x】 到=日 ro)=- f(x)=tanz fx)=1 cos'x 运算法则： (1)[Ufx)±g(x)]'=f'(x)±g(e (2)[fx)g(x)]'=f(a)g(x)+fx)g(x). 9-feae旦g到*0 [g(x)] 求斜率：k=f'(o) “在”某点 写方程：用点斜式y-fx0)=f'(x0)(x-o 变形式：将点斜式变成一般式 利用导数求曲线的切线 设切点为Q(xo,f(o)】 “过”某点 求出函数y=f(x)在点处的导数f'(xo) 写切线方程为y-f{)=f(ro)(x一xo 将所过之点坐标代入，求出 1.若直线刘=+m与曲线y=x+x2一5相切，则切点的横坐标为 【答案】1 【解析】因为y=x+x2-5x,所以=43+2x-5, 设函数f(x)=4r3+2m-5,则f'(x)=12x2+2>0, 所以f(x)=4如3+2x-5在定义域R上单调递增， 因为f(1)=1,所以方程r3+2x-5=1的解为x=1,则所求切点的横坐标为1. 根据切线情况求参数己知f(x),过点(a,b),可作曲线的n条切线问题 第一步：设切点P) 第二步：计算切线斜率k=f(xo) 第三步：写切线方程：y一6=f'(xo)(x-x) 第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-%=f(x)(a一)，整理成关于x的方程 第五步：己知能作几条切线，关于o的方程就有几个实数解 2.若过点P(1,)可作3条直线与函数f(x)=(x-1)e的图象相切，则实数入不可能是() A-者 B-君 c-日 D.-3 【答案】A 【解析】设切点为(x0(o一1)e), 因为f(x)=(x-1)e,所以f(x)=e+(x-1)e=xe,即f'(ro)=xoe, 所以切线方程为y-(-1)e=e(x-xo), 所以1-(z0-1)e=xe(1-), 即1=re(1-0)+(-1)e=-e(6-2r0+1), 令g(e)=-e(m2-2x+1),则g(x)=-e(x2-2x+1)-e(2x-2)=-e'(x2-1), 令g(x)>0,即-1<x<1:令g(x)<0,即x<-1或x>1, 所以函数g(x)在(-0，一1)和(1，+∞)上单调递减，在(-1,1)上单调递增， 由g-1)=-吉91)=0，且当1时，9=-e(2-2x+1)=-e-1P<0, 所以函数g(x)的大致图象如下： g(r)=-e'(x-2x+1)月 由图可知，当一<1<0时，直线y=入与函数y=g(x)的图象有3个交点， e 此时过点P(1,a)可作3条直线与函数f代x)=(x-1)e的图象相切， 所以实数入的取值范围为(。0)，故选：A 公切线问题f(x)与g(x)有公切线 设f(x)的切点为(f孔x),k=f,则切线方程为：y-f()=f(x)(x-) 设g(x)的切点为(xg(m),k=g(x2,则切线方程为：y-g()=g(2)(x-m】 关系式只--ga 3.已知直线y=kx+b既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=-n(一x)的切线，则() Ak=日，b=0 B.k=1,b=0 C.k=合b=-1 D.k=1,b=-1 【答案】A 【解析】设直线与曲线y=nx的切点为(，nx)且x>0, 与曲线y=-ln(-x)的切点为(x,-ln(-2)且x2<0, 又y=(hr=y=-ln(-训=- x 则直线y=ke+b与曲线y=hz的切线方程为y-ha=红-，即y=+n一1， 直线y=c+b与曲线y=-n一)的切线方程为y+ln(-)=一e-西，即y=一女+1-h(-小， 2 (1=-1 则{1x2 Inz-1=1-In(-z2) 解得色e故k=名合6=h-1=0,故达：A 逢考单过 利用导数研究函数的单调性 求fx)的定义域 已知函数求单调性： 求f'(x)(通分合并、因式分解) 令f'(x)>0,求单调递增区间 令f'(x)<0,求单调递减区间 导函数有无零点讨论（或零点有无意义） 含参函数求单调性一分类讨论〈导函数的零点在不在定义域或区间内 题型 导函数多个零点时大小的讨论 f(x)在区间D上单增（单减）>f'(x)≥0（≤0）在区间D上恒成立 f(x)在区间D上存在单增（单减）区间→f'(x)>0(<0)在区间D上有解 己知单调性求参数一参变分离 f(x)在区间D内单调→∫'(x)不存在变号零点 f(x)在区间D内不单调→f'(x)存在变号零点 4.函数f(x)=n(2x-1)-x2+x的单调递增区间是() A(0,1) B(2刂 c(22) D(侵12 【答案】D 【解析】函数f)=n(2x-)-2+云的定义域为（侵+小： 且f倒=221-2z+1=2-2=5-2s-12+2s-1 2x-1 2x-1 令fe)>0,解得宁<<12，所以f)的单调递端区间为（分，12）故选：D 5.已知函数f(x)=xlnx+ax+a2在区间(0，+∞)上单调递减，则a的取值范围是() A（m,号】 B.(-m,-1) c.（-m,-】 D.(-0,-1] 【答案】C 【详解】由题意知fz)=nx+1+2ar≤0在(0.+o)上恒成立，所以-2a≥血+1在(0，+m)上恒成立 令gd=1,所以ge=1上+卫-竖所以当0<<1时.ge>0,当>1时，ga<0, 所以g国在(0,1)上单调递增，在(1+o0)上单调递减，所以gx=g1)=1,所以-2a≥1，解得a<一 即a的取值范围是（←n,一]，故选：C 6.在区间(0，)上，函数y=a二cos工存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( A.(-0,1) B(-m] C.(.) D.(-0,1] 【答案】C 【解析】函数y=a-cos2,求导得=sin-a+cos2 依题，意，不等式xsinz-a十cosx>0在(0，π)上有解，即a<xsing十cosx在(0，π)上有解， 令fx)=xsinz+cosx,x∈(0，π)，求导得f（x)=cosz, 当x∈(0受)时，fm>0,函数f)单调递增，当x∈（受）时，f)<0,函数f)单调递减， 当t=受时，f)am=受因此a<受 所以实数a的取值范围是(-m,)故选：C 7.若函数f)=号-la在区间(m,m+号)上不单调，则实数m的取值范围为(） A0<m<号 B号<m<1 C.号≤m<1 D.m>1 【答案】B 【解折】函数fa=号-hz的定义城为0，+四， 回=-是=21-e+e-」 令f'()=0,得x=1, 因为fe)在区间(m,m+号)上不单调， m>0 所以 m<1天m+号解得： <m<1,故选：B. 8.己知函数f(x)=x-l1nx-2. (2)若a≥0，g(x)=am2-2(ax+1)-fx),讨论函数g(x)的单调性 【解析】(2)函数g(x)=ax2-(2a+1)c+lnc的定义域为(0，+o),a≥0， g(m)=2am-(2a+1）+1=-2ar2-(2a+1z+1=〔2am-10e-1） 当a=0时，g(x)=1二工，由g(x)=0,可得x=1, 当0<x<1时，g(x)>0,函数g(x)在(0,1)上单调递增： 当x>1时，g(x)<0,函数g(x)在(1，+∞)上单调递减： 当a>0时ga=2a-六e-1) ①当0<a<号时，六>1，当0<x<1或x>2时，g>0, 即函数9)在(0，和（六+切）上单调递增， 当1<x<名时，g)<0,即函数g回)在(1a)上单调递减： ②当a=专时，则对任意的>0g回)=区-1业≥0，即函数在0+四上单调递增， @当a>号时，六<1， 当0<<名或>1时，g>0,即函数g在(0，岩)和1，+四)上单调递增。 当六<<1时，g<0,即函数)在（六）上单调递减 综上所述，当a=0时，函数g(x)在(0,1)上单调递增，在(1，+m)上单调递减： 当0<a<号时，函数g)在0,1)和（云+∞）上单调递增，在(1，六)上单调递减： 当a=号时，函数gm)在(0，+o四)上单调递增： 当a>受时，函数g四在(0，分)和1，+0)上单调递增，在（六刂上单调递减 逢考中过 利用导数研究函数的极值 极小值：f(a)=0:且在点e=a附近的左侧f(x)<0,右侧f(x)>0,则点a叫做函数y=fx)的极小值点，fa)叫 做函数y=f代x)的极小值. 极大值：f(b)-0:且在点x=b附近的左侧f(x)>0,右侧f(x)<0,则点b叫做函数y=f(x)的极大值点，fb)叫 做函数y=fx)的极大值. 求f(x)定义域 求导数f(x) 求函数极值 f'(x)的符号由正变负，则f'(x)是极大值 题型 求方程f(x)=0的所有实数根x0f'(x)的符号由负变正，则f(x)是极小值 左右侧f”(x)的符号不变，则不是极值点 有极值点：f'(x)=0有变号零点 根据f()的极值点个数求解参数{无极值点：f'(x)=0无变号零点 有k个极值点：f(x)=0有k个变号零点 9.若函数f(x)=xlx一kx2-x在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为() A（n0】 C.(o) D.(0 【答案】D 【详解】因为fr)的定义域为(0.+o),且f(x)=lnx-2k,令f(c)=0,可得2k=血严，由题意可知y=2k与gx) x -n有2个变号交点，则g(x)=1-n2,令g(z)>0,解得0<r<e:令g(m)<0,解得 x>e; 可知g)在(0.e)内单调递增，在(e,+0)内单调递减，可得g()≤ge)=。,且当x趋近 于0，g(x)趋近于-o,当x趋近于+0，g()趋近于0，可得g(x)的图象，如图所示：由图象 y-g(x) 可得0<2k<合，解得0<k<名，所以实数k的取值范围为(0,0】 故选：D 10.己知函数f代x)=ax2-2x+lnx存在极值点，则实数a的取值范围是() A(-2) B.(-0,2) c.(-m,】 D.(-m,2] 【答案】A 【解折】函数fo)=a2-2z+na的定义域为0.+m,且f✉)=2a2-2+日 由于函数fx)存在极值点，即f'()=2ax-2+1=0在(0，+)上有变号零点， 由fo）=2ax-2+=0,得a=是- 令t=子>0，则a=t-,则a的取值范围为y=t-号在(0，+n)上的值域， 且需满足P-t+a=0的△=1-2a>0.即a<号 对于刘=t- =2t-1+当>0时，g=t-1+≤号 2 故a<号，即实数a的取值范围是(-0，)，放选：A 逢考妙过 利用导数研究函数的最值 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。 函数fx)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则求函数fx)最值的步骤为： (1)求函数fx)在区间(a,b)上的极值： (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),fb)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 11.已知f(x)=2x3-6x2+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3，则函数f(x)在[-2,2]上的最小值为(） A.-3 B.-5 C.-37 D.-39 【答案】C 【解析】由fx)=2x3-6o2+m得f'(x)=6x2-12e=6x(x-2), 故当xe[-2,0)时，f'(x)>0,f(x)在区间[-2,0)上单调递增， 当xe(0,2]时，f(x)≤0，f(x)在区间(0,2]上单调递减， 故当x=0时，f(x)取得最大值，即f0)=m=3,此时f(x)=2x3-6x2+3, 当xe[-2,0),f（x)≥f-2)=-37,当xe(0.2]时f(x)≥f2)=-5,故最小值为f-2)=-37,故选：C 12.己知函数f(x)=x3-3x2+3在区间(a,a+6)上存在最小值，则实数a的取值范围为() A.[-1,2) B[-3 c.[-2别 D.[-1,1) 【答案】A 【解析】由题意得f（x)=3x2-6x=3x(x-2).当f'(x)>0时，得x<0或x>2,当f(x)<0时，0<x<2, 可得函数的单调增区间为(-∞，0)，(2，+∞).减区间为(0,2)，即x=2时，函数取得极小值f2)=-1, 当x3-3x2+3=-1时，即x3+1+3(1-x2)=(x+1)(x-2)2=0,解得x=-1或x=2, 故要使函数f(x)=x3-3x+3在区间(a,a+6)上存在最小值， 西有0十6>22解得-1≤a<2.即实数a的取值范围为-1,2)，故选：A 13.已知函数f)=ar2+r+ca>0)的导函数f'(m)的两个零点为-3和0. e (1)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5，+∞)上的最大值. 解：(1f()=2ae+bje-(ax2+br+cje (e2 =-ax2+(2a-b)x+6-c g(z)=-ax2+(2a-b)x+b-c, 因为e>0,所以fP(x)的零点就是g(x)=-ax2+(2a-b)x+b-c的零点，且f(x与g(x)符号相同. 又因为a>0,所以当-3<x<0时，g(x)>0,即f(x)>0, 当x<-3或x>0时，g(x)<0,即f(x)<0, 所以f(x)的单调递增区间是（一3,0），单调递减区间是(-00，-3)，(0，+∞). f-3)=9a-30+c=-e2, (2)由(1)知，x=一3是fx)的极小值点，所以有 e g(0)=b-c=0, g(-3)=-9a-3(2a-b)+b-c=0, 解得a=1,b=5,c=5,所以fx)=工+5x+5 e 由(1)可知当x=0时fx)取得极大值f0)=5, 故f(x)在区间[-5，+∞)上的最大值取f(-5)和f0)中的最大者. 而f孔-5列=。高=5e>5=f0, 所以函数f(x)在区间[-5，+o)上的最大值是5e 逢考中过 根据导数构造函数 h'(a)=f(x)g(x)+f(x)g'(x)=h(a)=f(a).g(a) h'(x)=f(x)+fx)一hx)=对时(x) 加型h'(x)=f(x)+f(x)→h(x)=ef(x) h'(x)=f'（x)+nfx)→hMw)=x"f h'(a)=f'(x)+if(x)=h(a)=f(x).e h'(=)=f(x)g(x)-f(x)g'(x)=h(a)=fa) ga) h'()=时o)-fe)一hj=f 减型h'(o)=fx)-fx)一h)=f国 e h)=对')-n时（一h=f h四=f')-fx)=h)=f 14.已知函数f代c)的定义域为，f(x)为f(x)的导函数.若f(1)=e,且f'(x)+e<fx)在R上恒成立，则不等式f(x) <(2-x)e的解集为() A.（-n,2) B.(2+m) C.(-,1) D.(1+o) 【答案】D 【解折1设函数ge)=f四+，可得gg=fee-foe+1=fo)-o)+e<0. e e 所以函数g(x)在R上单调递减， 由f)<(2-)e,可得fg+c<2e,即f四+r<2=f0+1, e e 可得g(x)<g(1),所以x>1,即不等式f(x)<(2-x)e的解集为(1，+m).故选：D, 15.已知函数fx)及其导函数f'(x)的定义域均为(0，+∞)，且时f'(x)>(x-1)f(x)恒成立，f(3)=e,则不等式(x+4) fx+4)<3e+2的解集为() A.（-4,-1) B.（-1,1 C.（-1,2) D.(-1,+∞) 【答案】A 【解析】由f(x)>(x-1fx),有时f'(x)+fx)-fx)>0, 令gx)-f e 2>0,则ge)=对0)+儿-四>0，所以g)在区间(0.+0)上单调递增。 又e+z+<3e2,得+4f+<3f3,所以gl红+山<g3, e e 所以0<e+4<3,解得-4<x<-1.故选：A 利用导数研究不等式成立问题 tx∈D,m≤f(x)台m≤f(x)mim 单变量不等式恒成立 HxeD,m≥f(m)台m≥f(r)m 3xeD,m≤f(x)台m≤f(x)m 3eeD,m≥f八x)台m≥f(r)mn 若y,∈[a,b],x2e[c,d],总有f(m)<g(x2)成立，故f(x)max<g()mm 双变量不等式 若Hxe[a,b],3e[c,d,有f(m)<g(x)成立，故f(x)mx<g(x)m 若3x1∈[a,b],x2[c,d],有f()<g(r2)成立，故f(r)min<g(x)mm 若3e1∈[a,b],3x∈[c,d,有f{)<g2)成立，故f八x)mn<g(x)mam 16.已知函数f(x)=xnx,g(x)=(a+1)x-a (1)当a=1时，求函数h(x)=fx)-g(x)的单调区间： (2)若存在xe[1,e]时，使2fx)≥-x2+ax-3成立，求a的取值范围. (3)若不等式f(x)-g(x)≤(m-a-2)e-1+a对任意x∈[1，+m)恒成立，求实数a的取值范围. 【解析】(1)当a=1时，函数h(x)=xlnx-2x+1的定义域为(0，+∞)，求导得h'(x)=lnx-1, 由h'x)<0,得0<m<e:由h'(x)>0,得x>e, 所以函数h(x)的递减区间为(0，e),递增区间为(e,+∞) (2)依愿意，2f(m)≥-x2+ax-32lnz≥-m2+ax-3,则a≤2nx+x+3 于是存在xe1.ej,a≤2nx+x+是成立，设F)=2ne+x+是xe1.el, 则F四=2+1-3=z-a+3≥0，函数F)在1，e]上递增，Fm=Fe)=2+e+ x? e' 所以a≤2+e+3 e (3)依题意，fx)-g(x)≤(x-a-2)e1+a台xlnx-(a+1)x≤(x-a-2)e-1对任意xe[1,+∞)恒成立， 即(lnx-a-1)er≤[(x-1)-a-1]e对任意x∈[1，+)恒成立， 设(x)=(x-a-1)e,则(lnx)≤(x-1)对任意x∈[1，+∞)恒成立， 下面证明0≤lnx≤x-1对任意x∈[1，+∞)恒成立， 设()=lnr-2+1,xe[1,十o),求导得t)=是-1≤0，当且仅当x=1时取等号， 函数t(x)=lnx-x+1在[1，+o)上单调递减，则t(x)≤(1)=0，即0≤lnx≤x-1, 于是g(lnx)≤(m-1)对任意x∈[l,+o)恒成立，只需(x)=(x-a-1)e在[0，+o)上单调递增， 即p(x)=(x-a)e≥0在[0.+∞)上恒成立，则a≤x在[0，+∞)上恒成立，因此a≤0， 所以实数a的取值范围为(-∞，0]. 逢老地过 ( 指对同构 对数化：elne≤blnb→令Fx)=lnx,得Fe)≤F(b) 积型ae≤blnb指数化：ae°≤(lnb)enb→令Fx)=re,得Fa)≤Flnb) a+lna≤nb+ln(lnb)→令F(x)=e+lnx,得F(a)≤Fnb) 对数化品<品s令F@)=品a得Fe)≤F) 商型号<品指数化号<品令Re二号得Fa≤ri a-lna<lnb-ln(lnb)→令Fx)=x-nx,得Fa)≤Flnb) 和差型e±a>b士nb对数化：e士he>b士lnb→令F)=2士ln,得Fe)>F6) l指数化：e±a>eb±nb→令Fx)=e±x,得Fa)>Flnb) l7.同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：f(o)=x+e,f(lnx)=lnx+er=nx十x,称m+e与n+e为同构 式.已知实数满足e+=6,ln3十+号=号，则十3= 【答案】5 【解析】易判断f(x)=x十e为增函数，f{m)=m十e=6, v3m++号=号n3+1)+23西+=3. 即1n(3x2+1)+(3x2+1)=6,f1n(3x2+1)=ln(3x2+1)+(3+1)=6, 所以=1n(3a2+1),x1+3x2=ln(32+1)+(3x2+1)-1=6-1=5. 故答案为：5 18设实数m>0,若对任意的∈（合+∞），不等式e-严≥-恒成立，则实数m的取值范围为 m m mx 【答案】[哈+o 【解析】因为em-ln≥1-e通分得：mre-lnr≥n-e即：er+ene≥r十lnr;设fr)=r十 m mm Inz,f()=Inz+20.+) 函数f(a)=2+xlnr在xe(合，+o单调递增， e≥恒成立，得：mx≥lnx即m≥血工 设g到=e>1ga=1n严 2 易知函数在(0，e)上单调递增，在(e,+∞)上单调递减 m≥g=ge)=。,故答案为：[合+m 导数中的“最短距离”问题 19.曲线y=ln(2c-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是() A.2W5 B.2 C.2W3 D.√3 【答案】A 【解析】如图所示，将直线2x-y+8=0平移至与函数f(x)=ln(2x-1)图象相切时， 切点到直线2ax一y+8=0的距离最短，设切点坐标为(of(x), )=22令0)=2得，巧=1，则切点坐标为(10. 所以切点(1,0)到直线2z-y+8=0的距离为：d=2X1-1x0+8=25. V22+(-17 故选：A 4 -2+8 x=ln(2x-1) 零点问圈 20.设函数f回)=lhx+受，meR讨论函数g)=f(回)-号零点的个数。 [解] 由题设，g=f-音=}-受-青>0.令9=0，得m=号+>0， 设=守+ze>0,则go]=-2+1=-e-e+, 当x∈(0,1)时，g(x)>0,(x)在(0,1)上单调递增： 当x∈(1，+∞)时，g'(x)<0,(x)在(1，+o∞)上单调递减 所以：=1是(@的极大值点，也是（国的最大值点.所以p)的最大值为p1)=号 由(0)=0，结合y=(x)的图象（如图）， YA 2 y=p(x) 3 可知①当m> 号时，函数g国无零点： @当m=号时，函数9国)有且只有一个零点： @当0<m<号时，函数gl口)有两个零点： ④当m≤0时，函数g(x)有且只有一个零点。 综上所述，当m>号时，函数g回)无零点： 当m=号或m≤0时，函数g)有且只有一个零点： 当0<m<号时，函数g回有两个零点。逢考中过 导数 导数的概念 △y =fo)在无=处的导数：函数y=fo)在x=处的瞬时变化率f八+A二f=lim △x d-0 记作f()或yk=,即f()=imAg=imfm+Ag)-f △x Ax 4米0 430 逢考炉过 导数的几何意义 函数f(x)在点x处的导数f'(红)的几何意义：在曲线y=f(x)上点P(x,)处的切线的斜率 对应的切线方程：y一物=”(x)(x-) 逢考地过 导函数 函数r田)=1imf北z+△）-@为fa的导函数 △x 450 逢考吧过 国 求导公式 原函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f(z)=0 f(z)=x"(n∈Q) f(x)=nz"-I f(x)=sinx f (x)=cosx f(x)=cosx f'(z)=-sinz f)=a'(a>0且a≠1) f(x)=a'lna f(z)=e f"(r)=e f(x)=logx(x>0,a>0且a≠1) ()-zha f(z)=Inz(x>0) fG)-i k·fz) k·fr(x) e)=丑 f"x)=- 23 f()=tanz fx)=1 cos'x 运算法则： (1)[f(x)±g(x)]'=f'(x)±g(x). (2)[fx)g(x)'=f(x)g(x)+f(x)g(x). ⑧}=re2g国g≠0. [g(x)]2 求斜率：k=f'() “在”某点{写方程：用点斜式y-f(x)=f'(x)(x-x) 变形式：将点斜式变成一般式 利用导数求曲线的切线 设切点为Q(xf(xo)） “过”某点 求出函数y=(x)在点处的导数f'(x) 写切线方程为y-f代n)=f()(x一) 将所过之点坐标代入，求出 1.若直线y=x+m与曲线y=x+x2-5c相切，则切点的横坐标为 根据切线情况求参数已知f(x),过点(a,b),可作曲线的n条切线问题 第一步：设切点P(x,) 第二步：计算切线斜率k=∫() 第三步：写切线方程：y一%=f'()(x一x) 第四步：将(a,b)代入切线方程，得：b-6=f'(z)(a-x),整理成关于x的方程 第五步：已知能作几条切线，关于x的方程就有几个实数解 2.若过点P(1,)可作3条直线与函数f(x)=(红-1)e的图象相切，则实数A不可能是() A-台 B.-8 c-8 D.-3 公切线问题f(x)与g(x)有公切线 设f(x)的切点为(xf(x),k=f(x,则切线方程为：y-fx)=f'(x)(x一x) 设g(x)的切点为(x,g(x),k=g(x,则切线方程为：y-g(c)=g(x)(x一x) 得关系式()=g) fx)-x·f'(x)=g(x2)-2'g'x) 3.已知直线y=x+b既是曲线y=lnx的切线，也是曲线y=-ln(-x)的切线，则() A.k=&,b=0 B.k=1,b=0 C.k=名b=-1 D.k=1,b=-1 逢考中过 利用导数研究函数的单调性 「求f()的定义域 求f"(x)(通分合并、因式分解) 已知函数求单调性： 令f"(x)>0,求单调递增区间 令f'(x)<0,求单调递减区间 导函数有无零点讨论（或零点有无意义） 含参函数求单调性→分类讨论{导函数的零点在不在定义域或区间内 题型 导函数多个零点时大小的讨论 f(x)在区间D上单增（单减）→f'(x)≥0（≤0）在区间D上恒成立 f()在区间D上存在单增（单减）区间→f"(x)>0(<0)在区间D上有解 已知单调性求参数→参变分离 f(x)在区间D内单调→∫'(x)不存在变号零点 f(x)在区间D内不单调→f'(x)存在变号零点 4.函数f(x)=n(2x-1)-x+x的单调递增区间是( A.(0,1) B(2 2 D.(分122) 5.已知函数f(x)=xlnc+ax2+a在区间(0，+o)上单调递减，则a的取值范围是() A(0,) B.(-0,-1) C.(m,-2] D.(-0,-1] 6.在区间(0，)上，函数y=a-c0sL存在单调递增区间，则实数a的取值范围是( A.(-0,1) B.(o,5] C.(o,) D.(-0,1] 7.若函数f回=号-x在区间(mm+》 2 上不单调，则实数m的取值范围为(） A0<m<号 2 B.<m<1 D.m>1 8.已知函数f(x)=x-lnx-2. (2)若a≥0，g(x)=ax2-2(ax+1)-f(x),讨论函数g(x)的单调性. 逢者中过 利用导数研究函数的极值 极小值：f'(a)=0:且在点x=a附近的左侧(x)<0,右侧f'(z)>0,则点a叫做函数y=f(x)的极小值点，f(a)叫 做函数y=fx)的极小值. 极大值：f'(b)=0:且在点x=b附近的左侧f(x)>0,右侧f'(x)<0,则点b叫做函数y=(x)的极大值点，fb)叫 做函数y=x)的极大值. [求f(x)定义域 求导数f"(x) 求函数极值 f'(x)的符号由正变负，则f'()是极大值 题型 求方程f'(x)=0的所有实数根f'(x)的符号由负变正，则f(x)是极小值 左右侧f(x)的符号不变，则不是极值点 有极值点：(x)=0有变号零点 根据()的极值点个数求解参数{无极值点：f'()=0无变号零点 有k个极值点：f'(x)=0有k个变号零点 9.若函数f(x)=xlnx-kx2-x在定义域内有两个极值点，则实数k的取值范围为() A(,站) B.（n) c.(o) D.00) 10.已知函数f(x)=ax2-2x+lnx存在极值点，则实数a的取值范围是() A(-0,) B.(-00,2) C.(←o,】] D.(-0,2] 逢者世过 ② 利用导数研究函数的最值 在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在[a,b]上必有最大值与最小值。 函数f(x)在区间[a,b]上连续，在(a,b)内可导，则求函数f(x)最值的步骤为： (1)求函数f(x)在区间(a,b)上的极值： (2)将函数f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),fb)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值。 11.已知f(x)=2x3-6x+m(m为常数)在[-2,2]上有最大值3，则函数f(x)在[-2,2]上的最小值为() A.-3 B.-5 C.-37 D.-39 12.已知函数f(x)=x3-3x2+3在区间(a,a+6)上存在最小值，则实数a的取值范围为() A.[-1,2) B[- c.[-2) D.[-1,1) 13.已知函数f回)=a心+b加+Ca>0)的导函数f()的两个零点为-3和0. (1)求f(x)的单调区间： (2)若f(x)的极小值为-e3,求f(x)在区间[-5，+o)上的最大值. 逢考吧过 根据导数构造函数 [h'(z)=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)→h(x)=fz)·gx) h'(x)=xf"(x)+f(x)=h(x)=if(x) [加型{h'(z)=f'(x)+f(x)→h(x)=ef(x) h'(x)=If'(x)+nf(x)=h(x)=x"f(x) h'(x)=f'(x)+f(x)→h(x)=f(x)·e [h()=f(x)g(x)-f(x)g'(x)=h(z)=) g(x】 h'()=f(a)-fx)一h)=f 减型hr()=fz)-fe)一hr)=f e )=对'()-nf(x)一hM)=f儿z】 h')=f'(x)-)一hM)=f回 14.已知函数f(x)的定义域为R,f'(x)为f(x)的导函数.若f(1)=e,且f(x)+e<f(x)在R上恒成立，则不等式f(x) <(2-x)e的解集为() A.(-0,2) B.(2,+0) C.(-0,1) D.(1,+0) 15.已知函数f(x)及其导函数f"(x)的定义域均为(0，+oo),且'(x)>(x-1)f(x)恒成立，f(3)=e,则不等式(x+4) f(x+4)<3e+2的解集为() A.(-4,-1) B.(-1,1) C.(-1,2) D.(-1,+0) 逢考地过 利用导数研究不等式成立问题 [Nx∈D,m≤f(x)一m≤f(x)min 单变量不等式恒成立 Vx∈D,m≥f(x)台m≥f(r)mn 3xeD,m≤f(x)一m≤f(x)max 3xeD,m≥f(x)←m≥f(x)m [若Hx1e[a,b],Vz2∈[c,d小，总有f()<g(a)成立，故f(x)mx<g(x) 双变量不等式 若yx∈[a,b,32∈[c,d】,有f(c)<g()成立，故f(c)m<g(x)mm 若3e[a,b],V2∈[c,d,有f(x)<g(r)成立，故f()mim<g(x)mi 若3e[a,b],32e[c,d],有f(x)<g(2)成立，故f(x)mn<g(x)mx 16.已知函数f(c)=xlnx,g(x)=(a+1)x-a. (1)当a=1时，求函数h(x)=fx)-g(x)的单调区间： (2)若存在x∈[1，e]时，使2f(c)≥-x2+ax-3成立，求a的取值范围 (3)若不等式f(x)-g(x)≤(x-a-2)e1+a对任意x∈[1，+o)恒成立，求实数a的取值范围. 逢考地过 3 指对同构 对数化：elne≤blnb→令F(x)=xlnx,得F(e)≤F(b) 积型ae≤blnb指数化：ae≤(Inb)en→令F(x)=xe,得F(a)≤F(nb) a+na≤lnb+ln(nb)→令F(x)=x+lnx,得F(a)≤F(lnb) 对数化C<品s令F=品·得Fe≤FO 商型号<品指数化号<高令R回=号得o≤Pb a-lna<lnb-ln(lnb)→令Fx)=x-nx,得Fa)≤Fnb) 和差型e±a>b±lnb 对数化：e±lne>b土nb令F(x)=x±lnx,得F(e)>F(b) 指数化：e±a>emb土nb→令F(z)=e”土x,得F(a)>F(lnb) 17.同构式通俗的讲是结构相同的表达式，如：f(x)=+c,fnx)=nx+e=lnx+c,称x+e与lnx+x为同构 式。已知实数满足。+=6，v++2=号则+3=一 18设实数m>0,若对任意的z(侵+切，不等式。-票>品-品恒成立，则实数m的取值范国为 一导数中的“最短距离”问题 19.曲线y=ln(2x-1)上的点到直线2x-y+8=0的最短距离是() A.2W5 B.2 C.2W3 D.3 今零点问题 20.设函数f()=lnx+买，m∈R.讨论函数g)=f(o)-号零点的个数.