专题14 二项分布、超几何分布及正态分布-2024-2025学年高二数学专项强化与检测（人教A版2019选择性必修第三册）

专题14 二项分布、超几何分布及正态分布 高二数学专项强化与检测 专题14 二项分布、超几何分布及正态分布 一、知识填空： 1．二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 ，且有 ， . 2．超几何分布：一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 ，.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．服从超几何分布的随机变量的均值 ． 3．正态分布：函数f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f（x）为 ，称它的图象为正态密度曲线，简称 ，如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从 . 记为X～ . 特别地，当 时，称随机变量X服从标准正态分布. 若X～N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积. 4．正态分布的均值、方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝ ，D（X）＝ . 5．正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 （1）P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈ ；（2）P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈ ；（3）P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈ . 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 6．正态分布计算常用结论 （1）P（X<a）＝ ；（2）P（X<μ－a）＝ ；（3）P（X<μ－b）＝ （b>0）. 自检自纠： 1．X～ 2． 超几何分布 3．正态密度函数 正态曲线 正态分布 N（μ，σ2） μ＝0，σ＝1 4．μ σ2 5．（1）0. 682 7 （2）0. 954 5 （3）0. 997 3 6．（1）1－P（X≥a） （2）P（X≥μ＋a） （3） 二、专题训练： 题组一：二项分布的基本运算 1．若，则等于　　 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】，，故选：A． 2．若离散型随机变量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，所以，得，所以.故选：C. 3．已知随机变量，，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】随机变量，由得，因为，所以，解得．故选：D 4．（多选）已知随机变量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】A：因为随机变量，且，所以，故A正确； B：，故B错误； C：，故C错误； D：，故D正确； 故选：AD. 5．若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时， ． 【答案】3或4 【详解】依题意，依题意， ，，，所以、不是的最大项， 当时，由，整理得，即 整理得，，所以当为3或4时，取得最大值. 6．已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由，得， 当，即时，； 当，即时，， 而，即，则当时，； 当时，，因此，则， 所以的取值范围是．故答案为： 题组二：二项分布的实际应用 1．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由未来连续3天每天下雨的概率均为，可知这3天中只有1天下雨的概率为， 故选：A. 2．一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为 . 【答案】 【详解】有放回取球时，每次取到黄球的概率都是，取到黄球的次数服从二项分布，拿三次取到1个黄球的概率为.故答案为： 3．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品个数的均值为（ ） A．20 B．10 C．5 D．15 【答案】B 【详解】因为15000件产品中有1000件次品，所以废品率为，抽到的废品数， 所以（件），即查得废品个数的均值为10件.故选：B． 4．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（   ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 【答案】D 【详解】由题意得，，的取值为，∵. ∴.故选：D. 5．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】依题意，当时，的可能取值为1,3,5，且，所以.故选：D． 6．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，则 ， . 【答案】 【详解】依题意，每次取到黑球的概率为，所以， 所以.故答案为：； 7．技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意知，每组中各个坑是否发芽相互独立，每个坑不发芽的概率为，设每组不发芽的坑数为X，则，所以每组没有发芽的坑数的平均数为，解得，所以每个种子的发芽率为.故选：C. 8．已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次. 【答案】8或9 【详解】由题意，设击中目标的次数为，击中目标的次数满足二项公布， 所以，令，即，化简得，解得，又， 所以最有可能击中目标8或9次.故答案为：8或9. 题组三：超几何分布 1．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为随机变量服从超几何分布，所以.故选：A 2．已知随机变量，则（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【详解】由题意知，故.故选：A. 3．已知随机变量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】由题意因为，所以解得故选B. 4．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】从个产品中任意抽取个，基本事件总数为个；其中恰好有个二等品的基本事件有个，恰好有个二等品的概率；也可由对立事件计算可得.故选：AD. 5．设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则 ． 【答案】 【详解】因为，则，解得或，又，则，可得，则，所以有5名男生．所以．故答案为： 6．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（ ） A．6 B． C． D．9 【答案】B 【详解】当抽取三张都是2元时，得奖金额是6元；当抽取两张2元一张5元时，得奖金额是9元；当取一张2元两张5元时，得奖金额是12元，故得奖金额为,对应的概率分别是，，故此人得奖金额的数学期望为，故选：B. 7．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为 . 【答案】576 【详解】由题意，可得的可能取值为190，150，110，且，，，则， 所以方差.故答案为：576. 8．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 【答案】/ 【详解】由已知可得，.所以，.所以，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数可能为0，1，2，显然服从超几何分布， 所以，，，所以，，. 故答案为：. 9．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【详解】由题意可知：，则，且Y的可能取值为0，1，2，则， 可得，， 所以，.故选：B. 10．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】试验一：从中随机地无放回摸出3个球，记白球的个数为，则的可能取值是0，1，2，3， 则，，， 故随机变量的概率分布列为： 0 1 2 3 则数学期望为：， 方差为：； 试验二：从中随机地有放回摸出3个球，则每次摸到白球的概率为，则， 故，，故，． 故选：A． 11．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意可知，的可能取值为，的可能取值为， 随机变量服从超几何分布，随机变量服从二项分布，根据超几何分布的均值方差公式得： ，即， . 根据超二项分布的均值方差公式得：，即 ，所以，. 故选：A. 12．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 【答案】A 【详解】当时，ξ的可能取值为1，2，3， ，，， ∴，； 当时，η可取1，2，3，4， ，， ，， ∴， ； ∴，．故选：A． 题组四：正态分布的基本运算 1．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86 【答案】A 【详解】由题意知，，所以，则，所以.故选：A 2．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 【答案】B 【详解】，.随机变量服从正态分布，曲线关于对称，.故选：B. 3．已知随机变量，，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 【答案】D 【详解】因为随机变量，所以，所以，解得，故．故选：D 4．设随机变量服从正态分布，若，则的值为 ． 【答案】0.8413 【详解】因为，且， 所以.故答案为：0.8413. 5．已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 【答案】B 【详解】由随机变量，所以函数曲线关于直线对称，又，且，所以.故选：B 6．若随机变量，，若，，则 ． 【答案】 【详解】解：∵P（X≥1）＝0.657，∴1﹣（1﹣p）3＝0.657，即（1﹣p）3＝0.343，解得p＝0.3，∴P（0＜Y＜2）＝p＝0.3，∴P（Y＞4）＝＝．故答案为：0.2． 7．（多选）已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D． 【答案】ACD 【详解】对于A：因为，所以，故A正确；对于B：因为，，当时，，则， 又，所以不成立，故B错误；对于C：，当增大时，也增大，所以在上是增函数，故C正确；对于D：，故D正确.故选：ACD. 题组六：正态分布的实际应用 1．某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（    ）    A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 【答案】A 【详解】依题意，不妨设成绩服从正态分布，由正态曲线的性质知，曲线的形状由参数确定，越大，曲线越矮胖；越小，曲线越瘦高，且是标准差，为正态曲线的对称轴，且为平均数，由所给图像知，甲科总体标准差最小，乙科总体标准差居中，丙科总体标准差最大， 甲、乙、丙总体的平均数相同，BCD错误，A正确.故选：A 2．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D．对于任意的正数，有 【答案】ABD 【详解】对于A，，故A选项正确； 对于B，由正态分布密度曲线，可知，所以，故B选项正确； 对于C，由正态分布密度曲线，可知，所以，故C选项错误； 对于D，对于任意的正数，由图象知表示的面积始终大于表示的面积，所以，D选项正确，故选：ABD． 3．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则 ；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率为 . 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 【答案】 3 0.1359 【详解】由图中密度函数解析式，可得；又由图象可知，则长度误差落在内的概率为：．故答案为：3；0.1359． 4．某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）. 参考数据：，，． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，，所以．故选：A 5．某中学制订了“光盘计划”，为了了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，开展了一次问卷调查，调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（    ）. 附：若随机变量，则， A．0.8186 B．0.6827 C．0.47725 D．0.34135 【答案】A 【详解】由已知可得，.所以.故选：A 6．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标，且质量指标在内的产品数量为5436，请估计该批次检测的产品数量为 . 【答案】40000 【详解】由，可知，，所以，所以估计该批次检测的产品数量为.故答案为：40000 7．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有 株. （若，，）. 【答案】1359 【详解】由题意，株高服从正态分布，所以，，所以，，，株高在的约有.故答案为： 8．某次数学联考20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（   ）. 参考数据：若，则 A．3173 B．6346 C．6827 D．13654 【答案】A 【详解】由题意，又，故， 则80分以上的人数大约是人.故选：A. 9．某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（    ） A．估计该校高三学生人数为1200 B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70． C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425． D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多． 【答案】B 【详解】由，得，． 估计该校学生人数为：人，A不正确；估计该校学生中成绩不超过90分的人数为，B正确；估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为，C错误；由，估计该校学生中成绩不超过90分的人数与超过130分的人数相等，D错误，故选：B． 10．在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且.若按成绩分层随机抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取（    ） A．20份 B．15份 C．10份 D．5份 【答案】C 【详解】由题意，数学成绩服从正态分布，且，根据正态分布密度曲线的对称性，可得，所以.所以按成绩分层随机抽样抽取100份试卷时，应从120分以上的试卷中抽取份，故选：C. 11．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（    ） A．756 B．748 C．782 D．764 【答案】D 【详解】因为高三年级数学成绩平均分100，方差为36，所以，所以，即，即求，由，得，所以，那么成绩落在的人数大约为.故选：D. 12．（多选 ）正态分布拥有极其广泛的实际背景，大自然中的许多随机变量概率分布都可以用正态分布来描述，已知地的年降水量（单位：）服从正态分布，其中，，，已知，则下列估计正确的是（    ） A．地的年平均降水量为 B．地的年降水量不超过的概率大于 C．地的年降水量超过的概率大于 D．地的年降水量不低于的概率与不超过的概率相等 【答案】AD 【详解】在中，为平均数，A正确；地的年降水量不超过的概率为，不超过的概率小于，B错误；地的年降水量超过的概率，C错误；正态曲线关于直线对称，D正确.故选：AD． 13．（多选 ）在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（    ）.（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C．该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D．该厂家生产的安全芯片的良品率超过 【答案】ABD 【详解】选项A：由题知，则，故A正确； 选项B：，又，所以，B正确； 选项C：由，得，即该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为5年，C错误； 选项D：该厂家生产的安全芯片的良品率为，超过，故D正确. 故选：ABD 14．（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】依题知，，所以，故，C正确，D错误；因为，所以，因为，所以，而，B正确，A错误，故选：BC． 15．（多选）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ）（参考数据：①；②；③） A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分 B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人 D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为 【答案】BD 【详解】对A，根据正态分布知，数学考试成绩X的平均值为，故A错误；对B，根据中标准差的意义，的值越大则高于90分低于100分的人数变小，所以成绩不低于100分的人数增多，故B正确；对于C，时，，故这次考试分数高于120分的约有人，故C错误；对D，由数学考试成绩X近似服从正态分布知，由n次独立重复试验可知，从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为，故D正确.故选：BD 题组七：解答题 1．甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为. (1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； (2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 【详解】（1）由题意可知：的所有可能取值为3，4，5，则有：；；； 故的分布列为： 3 4 5 因为，所以进行4局比赛的可能性最大. （2）采用三局两胜时，甲获胜概率， 采用五局三胜时，甲获胜概率， 因为，所以如果我是甲队领队，采用五局三胜制. 2．在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲､乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场三胜制，即先赢三场者获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同.在两天的比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢两场者获胜，并获得最终冠军，决赛结束.每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独立，且每场比赛甲获胜的概率均为. (1)若，求第一天比赛的总场数为4的概率； (2)若，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8的概率. 【详解】（1）若第一天比赛的总场数为4，且甲获胜，故前3场甲赢了2场，第4场甲获胜， 则概率为， 若第一天比赛的总场数为4，且乙获胜，故前3场乙赢了2场，第4场乙获胜， 则概率为，故第一天比赛的总场数为4的概率为； （2）设决出最终冠军时比赛的总场数为，其中最小为6，即决赛第一天和第二天均比赛3场结束，且两场均为甲胜或乙胜，故， 当时，即决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了4场，另一天比赛了3场，其中比赛了4场的概率为，比赛了3场的概率为，结合可能第一天比赛了4场，可能第二天比赛了4场，且可能甲胜，可能乙胜，则， 当时，分为三种情况， 第一种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且两天均比赛了4场，此时概率为， 第二种，决赛第一天和第二天均为甲胜或乙胜，且一天比赛了5场，另一天比赛了3场，此时概率为， 第三种，决赛第一天和第二天，甲乙分别胜一场，且两天均比赛了3场，决赛第三天比赛了2场，甲胜或乙胜，此时概率为，则， 故. 3．某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）. (1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率； (2)设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列. 【详解】（1）设“选出的3名同学中参加竞赛科目一样”为事件A，事件A分三人都参加物理竞赛和三人都参加化学竞赛两类：三人都参加物理竞赛的概率：.三人都参加化学竞赛的概率：，所以. （2）随机变量的所有可能值为. ，，，， 的分布列为 0 1 2 3 4．北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 【详解】（1）乙正确完成2个程序或者3个程序则闯关成功，记乙闯关成功为事件A， 则． （2）由题意知随机变量X所有可能取值为0，1，2，3， 则，，，， 故X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以甲闯关成功的概率为．因为，所以甲比乙闯关成功的可能性大． 5．新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． (1)若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 【详解】（1）甲､乙两名学生必选语文､数学､外语．若另一门相同的为物理､历史中的一门，有种， 在生物､化学､思想政治､地理4门中，甲､乙选择不同的2门，则有种，共种； 若另一门相同的为生物､化学､思想政治､地理4门中的一门，则有种．所以甲､乙两个学生恰有四门学科相同的选法总数为． （2）①设此次网络测试的成绩记为，则． 由题知， 则，所以． 所以估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的约有3274人． ②不可信．，则， 4000名学生中成绩大于410分的约有人，这说明4000名考生中，只有约5人的成绩高于410分．所以说“某校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”的宣传语不可信． 6．（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 【详解】（1）由题设，且， 所以该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布， 由， 所以估计该校大约有个学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上； （2）由（1）知， 则平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数服从分布， 所以，， ，，所以分布列如下， 0 1 2 3 . 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 【答案】A 【详解】因为服从正态分布可知:方差为4，故标准差为2，故选：A 2．已知随机变量，，则（   ） A．a B． C． D． 【答案】B 【详解】随机变量，正态曲线关于对称，，， 故选：B. 3．已知随机变量服从二项分布，若，，则，分别等于（  ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【详解】随机变量服从二项分布，且，，所以，可得，故.故选：C 4．设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】C 【详解】由于随机变量满足： ，，， 解得：，即，，又随机变量，满足：， ，故选：C. 5．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 【答案】A 【详解】数学测试成绩服从正态分布，则，，由于等级的概率之和为，所以 ，而即故为A等级，为B等级，为C等级， 为D等级，故105分为A等级．故选：A. 6．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意知，则，，． 所以．故A正确.故选：A. 7．为准备2022年北京—张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9—14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩X（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为（    ） 附：，， A．13 B．18 C．26 D．30 【答案】A 【详解】正态分布，可知，80分及以上人数为228人，则， 由正态分布曲线的对称性得，故， ∴，，则分及以上的人数为人.故选：A. 8．已知，且，，则下列说法不正确的有（    ） A．， B． C． D．中是最大值 【答案】D 【详解】因为，，所以，，由，所以，，所以，，故A正确；，B正确；又，故C正确；，令，故当时，所以，而当时，所以，因此是最大值，D错误．故选：D． 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知变量服从正态分布，当变大时，则（    ） A．变小 B．变大 C．正态分布曲线的最高点下移 D．正态分布曲线的最高点上移 【答案】AC 【详解】变量服从正态分布，当变大时，峰值逐渐变小，正态曲线逐渐变“矮胖”， 随机变量的分布逐渐变分散，因此变小，正态分布曲线的最高点下移，AC正确，BD错误.故选：AC 10．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则（    ） A．该校学生成绩的期望为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 【答案】ABD 【详解】因为该校学生的成绩服从正态分布，则，方差为，标准差为，，.所以，该校学生成绩的期望为，该校学生成绩的标准差为，该校学生成绩及格率超过.所以，ABD选项正确，C选项错误.故选：ABD. 11．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机的网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，且它们之间相互不影响，则（    ） A．三台设备都不能正常工作的概率是0.001 B．三台设备中至多有一台设备能正常工作的概率为0.028 C．计算机网络不会断掉的概率为0.997 D．能正常工作的设备数的均值为0.27 【答案】AB 【详解】由题意，三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，且相互独立，则三台设备都不能正常工作的概率是，至多有一台设备能正常工作的概率为，故A，B正确；计算机网络不会断掉的概率为，故C错误；根据题意，记能正常工作的设备数为X，则，所以能正常工作的设备数的均值为，故D错误.故选：AB. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，表示抽到的二等品件数，则 ． 【答案】/ 【详解】依题意，，所以．故答案为：． 13．已知随机变量服从正态分布，若，则 . 【答案】 【详解】因为随机变量服从正态分布，，所以， 所以，所以.故答案为：. 14．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：①；②；③;④．其中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号） 【答案】①②④ 【详解】由题意可知X服从超几何分布，也服从超几何分布，． 又X的分布列为 X 0 1 2 P ，． 的分布列为 1 2 3 P ，． ，∴①②④正确.故答案为：①②④. 26 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$专题14 二项分布、超几何分布及正态分布 高二数学专项强化与检测 专题14 二项分布、超几何分布及正态分布 一、知识填空： 1．二项分布：一般地，在n重伯努利试验中，设每次试验中事件A发生的概率为，用X表示事件A发生的次数，则X的分布列为，.如果随机变量X的分布列具有上式的形式，则称随机变量X服从二项分布，记作 ，且有 ， . 2．超几何分布：一般地，假设一批产品共有件，其中有件次品，从件产品中随机抽取件（不放回），用表示抽取的件产品中的次品数，则的分布列为 ，.其中，，，，．如果随机变量的分布列具有上式的形式，那么称随机变量服从超几何分布．服从超几何分布的随机变量的均值 ． 3．正态分布：函数f（x）＝，x∈R，其中μ∈R，σ>0为参数. 我们称f（x）为 ，称它的图象为正态密度曲线，简称 ，如图所示. 若随机变量X的概率分布密度函数为f（x），则称随机变量X服从 . 记为X～ . 特别地，当 时，称随机变量X服从标准正态分布. 若X～N（μ，σ2），则如图所示，X取值不超过x的概率P（X≤x）为图中区域A的面积，而P（a≤X≤b）为区域B的面积. 4．正态分布的均值、方差：若X～N（μ，σ2），则E（X）＝ ，D（X）＝ . 5．正态分布在三个特殊区间内取值的概率值 （1）P（μ－σ≤X≤μ＋σ）≈ ；（2）P（μ－2σ≤X≤μ＋2σ）≈ ；（3）P（μ－3σ≤X≤μ＋3σ）≈ . 在实际应用中，通常认为服从于正态分布N（μ，σ2）的随机变量X只取[μ－3σ，μ＋3σ]中的值，这在统计学中称为3σ原则. 6．正态分布计算常用结论 （1）P（X<a）＝ ；（2）P（X<μ－a）＝ ；（3）P（X<μ－b）＝ （b>0）. 自检自纠： 1．X～ 2． 超几何分布 3．正态密度函数 正态曲线 正态分布 N（μ，σ2） μ＝0，σ＝1 4．μ σ2 5．（1）0. 682 7 （2）0. 954 5 （3）0. 997 3 6．（1）1－P（X≥a） （2）P（X≥μ＋a） （3） 二、专题训练： 题组一：二项分布的基本运算 1．若，则等于　　 A． B． C． D． 2．若离散型随机变量，，且，则为（    ） A． B． C． D． 3．已知随机变量，，且，则（    ） A． B． C． D． 4．（多选）已知随机变量，且，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．若随机变量X服从二项分布，则使取得最大值时， ． 6．已知随机变量，若对，都有，则的取值范围是 ． 题组二：二项分布的实际应用 1．若某地未来连续3天每天下雨的概率均为，则这3天中只有1天下雨的概率为（    ） A． B． C． D． 2．一个盒子里有1红1绿4黄六个除颜色外均相同的球，每次拿一个，共拿三次，记拿到黄色球的个数为.若取球过程是有放回的，则事件发生的概率为 . 3．设15000件产品中有1000件废品，从中抽取150件进行检查，查得废品个数的均值为（ ） A．20 B．10 C．5 D．15 4．某射手射击时击中目标的概率为0.7，设4次射击击中目标的次数为随机变量，则等于（   ） A．0.9163 B．0.0081 C．0.0756 D．0.9919 5．如图所示，已知一质点在外力的作用下，从原点出发，每次向左移动的概率为，向右移动的概率为．若该质点每次移动一个单位长度，设经过5次移动后，该质点位于的位置，则（    ） A． B． C． D． 6．袋中有8个白球、2个黑球，从中随机地连续抽取3次，每次取1个球.若每次抽取后都放回，设取到黑球的个数为，则 ， . 7．技术员小李对自己培育的新品种蔬菜种子进行发芽率的试验，每个试验组3个坑，每个坑种1粒种子.经过大量试验，每个试验组没有发芽的坑数平均数为，则每粒种子发芽的概率（    ） A． B． C． D． 8．已知每门大炮击中目标的概率都是0.6，现有14门大炮同时对某一目标各射击一次，则最有可能击中目标 次. 题组三：超几何分布 1．已知随机变量，则（    ） A． B． C． D． 2．已知随机变量，则（    ） A． B． C．2 D． 3．已知随机变量，若，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 4．某企业生产的个产品中有个一等品、个二等品，现从这批产品中任意抽取个，则其中恰好有个二等品的概率为（    ） A． B． C． D． 5．设随机变量，且．若8名团员中有名男生，从这8人中选出4名代表，记选出的代表中男生的人数为Y，则 ． 6．现在有10张奖券，8张2元的，2张5元的，某人从中随机无放回地抽取3张奖券，则此人得奖金额的数学期望为（ ） A．6 B． C． D．9 7．某公司有日生产件数为95的“生产能手”3人，有日生产件数为55的“菜鸟”2人，从这5人中任意抽取2人，则2人的日生产件数之和的方差为 . 8．已知圆周率，用四舍五入法把精确到的近似值分别为，从这5个近似值中任取3个，记这3个值中大于的个数为，则 . 9．盲盒中有大小相同的3个红球，2个黑球，随机有放回的摸两次球，记X为摸到黑球的个数，随机无放回的摸两次球，记Y为摸到黑球的个数，则（   ） A．， B．， C．， D．， 10．一个不透明的袋子有10个除颜色不同外，大小、质地完全相同的球，其中有6个黑球，4个白球．现进行如下两个试验，试验一：逐个不放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望方差分别为；试验二：逐个有放回地随机摸出3个球，记取到白球的个数为，期望和方差分别为，则下列判断正确的是（    ） A． B． C． D． 11．已知20条试题中有8条选择题，甲无放回地依次从中抽取5条题，乙有放回地依次从中抽取5条题，甲、乙每次均抽取一条试题，抽出的5条题中选择题的条数分别为，的期望分别为，方差分别为，则（    ） A． B． C． D． 12．口袋中有相同的黑色小球n个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n＝3时取出黑球的数目，η表示当n＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（　　） A．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＜D（η） B．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＜D（η） C．E（ξ）＜E（η），D（ξ）＞D（η） D．E（ξ）＞E（η），D（ξ）＞D（η） 题组四：正态分布的基本运算 1．已知随机变量服从正态分布，且，则等于（    ） A．0.14 B．0.36 C．0.72 D．0.86 2．已知随机变量服从正态分布，若，则（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.5 D．0.6 3．已知随机变量，，则（    ） A．0.5 B．0.4 C．0.3 D．0.2 4．设随机变量服从正态分布，若，则的值为 ． 5．已知随机变量，且，则（    ） A．0.5 B．1 C．1.5 D．2 6．若随机变量，，若，，则 ． 7．（多选）已知随机变是服从正态分布，定义函数为取值不超过的概率，即，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．在上是增函数 D． 题组六：正态分布的实际应用 1．某市教学质量检测中，甲、乙、丙三科考试成绩的正态分布图如图所示（由于人数众多，成绩分布的直方图可视为正态分布），下列说法中正确的是（    ）    A．甲科总体的标准差最小 B．丙科总体的平均数最小 C．乙科总体的标准差及平均数都居中 D．甲、乙、丙总体的平均数不相同 2．已知两种不同型号的电子元件（分别记为，）的使用寿命均服从正态分布，，，这两个正态分布密度曲线如图所示，下列结论正确的是（    ） 参考数据：若，则， A． B． C． D．对于任意的正数，有 3．已知某批零件的长度误差服从正态分布，其密度函数的曲线如图所示，则 ；从中随机取一件，其长度误差落在内的概率为 . 附：若随机变量服从正态分布，则，，. 4．某市高三年级男生的身高（单位：）近似服从正态分布，现在该市随机选择一名高三男生，则他的身高位于内的概率（结果保留三位有效数字）是（    ）. 参考数据：，，． A． B． C． D． 5．某中学制订了“光盘计划”，为了了解师生们对这一倡议的关注度和支持度，开展了一次问卷调查，调查中的2000人的得分数据.据统计此次问卷调查的得分（满分：100分）服从正态分布，则（    ）. 附：若随机变量，则， A．0.8186 B．0.6827 C．0.47725 D．0.34135 6．在产品质量检测中，已知某产品的一项质量指标，且质量指标在内的产品数量为5436，请估计该批次检测的产品数量为 . 7．某杂交水稻种植研究所调查某地水稻的株高时，发现株高（单位：cm）服从正态分布，若测量10000株水稻，株高在的约有 株. （若，，）. 8．某次数学联考20000名考生成绩服从正态分布，则80分以上的人数大约是（   ）. 参考数据：若，则 A．3173 B．6346 C．6827 D．13654 9．某校高三数学摸底考试成绩（单位：分）近似服从正态分布，且，该校高三数学摸底考试成绩超过90分的人数有930人，则（    ） A．估计该校高三学生人数为1200 B．估计该校学生中成绩不超过90分的人数为70． C．估计该校学生中成绩介于90到110分之间的人数为425． D．估计该校学生中成绩不超过90分的人数比超过130分的人数多． 10．在一次共有10000名考生的某市高二的联考中，这些学生的数学成绩服从正态分布，且.若按成绩分层随机抽样的方式抽取100份试卷进行分析，应从120分以上的试卷中抽取（    ） A．20份 B．15份 C．10份 D．5份 11．正态分布是最重要的一种概率分布，它是由德国的数学家、天文学家Moivre于1733年提出，但由于德国数学家Gauss率先应用于天文学研究，故正态分布又称为高斯分布，记作．当，的正态分布称为标准正态分布，如果令，则可以证明，即任意的正态分布可以通过变换转化为标准正态分布．如果那么对任意的a，通常记，也就是说，表示对应的正态曲线与x轴在区间内所围的面积．某校高三年级800名学生，期中考试数学成绩近似服从正态分布，高三年级数学成绩平均分100，方差为36，，那么成绩落在的人数大约为（    ） A．756 B．748 C．782 D．764 12．（多选 ）正态分布拥有极其广泛的实际背景，大自然中的许多随机变量概率分布都可以用正态分布来描述，已知地的年降水量（单位：）服从正态分布，其中，，，已知，则下列估计正确的是（    ） A．地的年平均降水量为 B．地的年降水量不超过的概率大于 C．地的年降水量超过的概率大于 D．地的年降水量不低于的概率与不超过的概率相等 13．（多选 ）在数字化快速发展的今天，安全芯片在移动支付中发挥着至关重要的作用.某厂家生产的安全芯片的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于3.5年的安全芯片为良品，则（    ）.（若随机变量服从正态分布，则） A． B． C．该厂家生产的安全芯片的平均使用寿命为2.25年 D．该厂家生产的安全芯片的良品率超过 14．（多选）随着“一带一路”国际合作的深入，某茶叶种植区多措并举推动茶叶出口.为了解推动出口后的亩收入（单位：万元）情况，从该种植区抽取样本，得到推动出口后亩收入的样本均值，样本方差，已知该种植区以往的亩收入服从正态分布，假设推动出口后的亩收入服从正态分布，则（    ）（若随机变量Z服从正态分布，） A． B． C． D． 15．（多选）已知某地区有20000名同学参加某次模拟考试（满分150分），其中数学考试成绩X近似服从正态分布，则下列说法正确的是（    ）（参考数据：①；②；③） A．根据以上数据无法计算本次数学考试的平均分 B．的值越大，成绩不低于100分的人数越多 C．若，则这次考试分数高于120分的约有46人 D．从参加考试的同学中任取3人，至少有2人的分数超过90分的概率为 题组七：解答题 1．甲、乙两支队伍进行某项比赛，赛制分为两种，一种是五局三胜制，另一种是三局两胜制，根据以往数据，在决胜局（在五局三胜制中指的是第五局比赛，在三局两胜制中指的是第三局比赛）中，甲、乙两队获胜的概率均为；而在非决胜局中，甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为. (1)若采用五局三胜制，直到比赛结束，共进行了Y局比赛，求随机变量Y的分布列，并指出进行几局比赛的可能性最大； (2)如果你是甲队的领队，你希望举办方采用五局三胜制还是三局两胜制？ 2．在某公司举办的职业技能竞赛中，只有甲､乙两人晋级决赛，已知决赛第一天采用五场三胜制，即先赢三场者获胜，当天的比赛结束，决赛第二天的赛制与第一天相同.在两天的比赛中，若某位选手连胜两天，则他获得最终冠军，决赛结束，若两位选手各胜一天，则需进行第三天的比赛，第三天的比赛为三场两胜制，即先赢两场者获胜，并获得最终冠军，决赛结束.每天每场的比赛只有甲胜与乙胜两种结果，每场比赛的结果相互独立，且每场比赛甲获胜的概率均为. (1)若，求第一天比赛的总场数为4的概率； (2)若，求决出最终冠军时比赛的总场数至多为8的概率. 3．某班有10名同学计划参加学科竞赛，每个同学只参加一个科目的学科竞寒，在这10名同学中，4名同学计划参加物理竞寒，其余6名同学计划参加化学竞赛，现从这10名同学中随机选取3名为班级做学法指导（每位同学被选到的可能性相同）. (1)求选出的3名同学中参加竞寒科目一样的概率； (2)设为选出的3名同学中参加物理竞赛的人数，求随机变量的分布列. 4．北京时间2022年7月25日3时13分，问天实验舱成功对接于天和核心舱前向端口，2022年7月25日10时03分，神舟十四号航天员乘组成功开启问天实验舱舱门，顺利进入问天实验舱．8月，中国空间站第2个实验舱段——梦天实验舱已运抵文昌航天发射场，计划10月发射．中国空间站“天宫”即将正式完成在轨建造任务，成为长期有人照料的国家级太空实验室，支持开展大规模、多学科交叉的空间科学实验．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射、自定义漫游、全尺寸太阳能、空间运输等10个相互独立的程序题目组成．规则：编写程序能够正常运行即为程序正确．每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功．现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响． (1)求乙闯关成功的概率； (2)求甲编写程序正确的个数X的分布列，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大． 5．新高考改革后部分省份采用“”高考模式，“3”指的是语文､数学､外语三门为必选科目，“1”指的是要在物理､历史里选一门，“2”指考生要在生物､化学､思想政治､地理4门中选择2门． (1)若按照“”模式选科，求甲､乙两名学生恰有四门学科相同的选法种数； (2)某教育部门为了调查学生语数外三科成绩，从当地不同的学校中抽取高一学生4000名参加语数外的网络测试（满分450分），假设该次网络测试成绩服从正态分布． ①估计4000名学生中成绩介于190分到355分之间的有多少人（结果保留到个位）； ②该地某校对外宣传“我校200人参与此次网络测试，有12名同学获得425分以上的高分”，请结合统计学知识分析上述宣传语是否可信． 附：． 6．（2025·安徽黄山·二模）为了解学生课余时间体育锻炼情况，某校对100名学生平均每周的体育锻炼时间进行了调查，统计数据如下表： 每周体育锻炼的时间（小时） 人数 3 4 8 11 41 20 8 5 用频率估计概率，该校学生平均每周的体育锻炼时间近似服从正态分布，近似为样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中间值代表），近似为样本标准差，并已求得，利用所得正态分布模型解决以下问题： (1)该校共5000人，试估计该校大约有多少学生平均每周的体育锻炼时间15小时以上（结果四舍五入）； (2)若在该校随机抽取3位学生，设其中平均每周的体育锻炼时间在9小时以上的人数为，求随机变量的分布列和均值． 附：若，则，，． 三、自我检测： 一、单选题（每小题5分，共40分） 1．随机变量服从正态分布，则标准差为（    ） A．2 B．4 C．10 D．14 2．已知随机变量，，则（   ） A．a B． C． D． 3．已知随机变量服从二项分布，若，，则，分别等于（  ） A．， B．， C．， D．， 4．设随机变量，满足：，，若，则（    ） A．3 B． C．4 D． 5．某校高二级学生参加期末调研考试的数学成绩X服从正态分布，将考试成绩从高到低，按照16%，34%，34%，16%的比例分为A，B，C，D四个等级．若小明的数学成绩为105分，则属于等级（    ） （附：，，） A．A B．B C．C D．D 6．一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是（    ）． A． B． C． D． 7．为准备2022年北京—张家口冬奥会，某冰上项目组织计划招收一批9—14岁的青少年参加集训，以选拔运动员，共有10000名运动员报名参加测试，其测试成绩X（满分100分）服从正态分布，成绩为90分及以上者可以进入集训队，已知80分及以上的人数为228人，请你通过以上信息，推断进入集训队的人数为（    ） 附：，， A．13 B．18 C．26 D．30 8．已知，且，，则下列说法不正确的有（    ） A．， B． C． D．中是最大值 二、多选题（每小题6分，有错选0分，有漏选得部分分，共18分） 9．已知变量服从正态分布，当变大时，则（    ） A．变小 B．变大 C．正态分布曲线的最高点下移 D．正态分布曲线的最高点上移 10．已知在数学测验中，某校学生的成绩服从正态分布，其中分为及格线，则下列结论中正确的有（附：随机变量服从正态分布，则（    ） A．该校学生成绩的期望为 B．该校学生成绩的标准差为 C．该校学生成绩的标准差为 D．该校学生成绩及格率超过 11．已知某计算机网络的服务器采用的是“一用两备”（即一台正常设备，两台备用设备）的配置，这三台设备中，只要有一台能正常工作，计算机的网络就不会断掉.如果三台设备各自能正常工作的概率都为0.9，且它们之间相互不影响，则（    ） A．三台设备都不能正常工作的概率是0.001 B．三台设备中至多有一台设备能正常工作的概率为0.028 C．计算机网络不会断掉的概率为0.997 D．能正常工作的设备数的均值为0.27 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．一批产品的二等品率为0.3，从这批产品中每次随机抽取一件，并有放回地抽取4次，表示抽到的二等品件数，则 ． 13．已知随机变量服从正态分布，若，则 . 14．盒中有2个白球，3个黑球，从中任取3个球，以X表示取到白球的个数，η表示取到黑球的个数．给出下列各项：①；②；③;④．其中正确的是 ．（填上所有正确结论的序号） 12 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $$