精品解析：江苏省镇江市句容市崇明中学2024-2025学年八年级上学期期中考试数学试题

八年级数学阶段性学习评价样卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案在答题卡相应的位置上） 1. 大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．下图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，，的相关数据如图所示，则（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 25的平方根是 B. 的算术平方根是2 C. 的平方根是 D. 的立方根是 4. 在实数：3.14159，，1.010010001，，，中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 5. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 6，7，8 D. 5，12，13 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 10.5 8. 如图， 点P在的平分线上， 于D，点M在上， 且若C是上的动点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 9. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ） A. B. C. D. 10. 勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A. 54 B. 60 C. 100 D. 110 二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 12. 若的立方根是，则______． 13. 以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为_______． 14. 如图，直角三角形直角三角形，已知，若，，，则图中阴影部分的面积为________． 15. 如图，的面积为，平分，，则的面积为____． 16. 如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 17. 计算或求值 （1）计算：； （2）已知，求x的值． 18. 已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 19. 如图，在中，． （1）在平面内找一点E，使，且点E到两边的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若点E恰好落在上，则______． 20. 某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 21. 如图，在中，的平分线交于点过点作交于点 （1）求证： （2）若求的度数 22. 如图，在中，的平分线交于点D；于点E，点F在边上，． （1）求证：； （2）若，则______． 23. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 24. 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． （1）求证：； （2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 25. 等腰中，． （1）如图1，D，E是上两动点，且，若． ①求证：． ②当时，求的长； （2）如图2，点D是等腰斜边上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学阶段性学习评价样卷 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案在答题卡相应的位置上） 1. 大学校徽是学校的一种标志、一种形象，诠释了大学特有的历史、理念和追求，是大学文化的一个重要组成部分．下图是北京大学、中国人民大学、浙江大学、南京邮电大学的校徽图案，其中是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 利用轴对称图形定义进行解答即可． 【详解】解：选项、、均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：． 2. 已知，，，的相关数据如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定与性质，逐一判断即可解答．本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：A、，，和不一定相等， 和不一定全等， 故A不符合题意； B、，， ， ，， ，， ， ， 故B符合题意； C、和不一定全等， 和不一定相等， 故C不符合题意； D、，， ， ，， ，， 和不一定相等， 和不一定全等， 和不一定相等， 故D不符合题意； 故选：B． 3. 下列说法中，错误的是（ ） A. 25的平方根是 B. 的算术平方根是2 C. 的平方根是 D. 的立方根是 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查平方根与立方根，根据平方根与立方根的性质即可求解，解题的关键是熟知平方根与立方根的性质． 【详解】解：A、25的平方根是，故选项不符合题意； B、∵， ∴的算术平方根是2，故选项不符合题意； C、∵， ∴的平方根是，故选项符合题意； D、的立方根是，故选项不符合题意； 故选：C． 4. 在实数：3.14159，，1.010010001，，，中，无理数有（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有：①π类，如2π，等；②开方开不尽的数，如，等；③具有特殊结构的数，如0.1010010001…（两个1之间依次增加1个0），0.2121121112…（两个2之间依次增加1个1）．据此求解即可． 【详解】解：3.14159，，1.010010001，，是有理数； 是无理数． 故选A． 5. 下列各组数中，能构成直角三角形三边长的是（ ） A. 2，3，4 B. 4，5，6 C. 6，7，8 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，在应用勾股定理的逆定理时，应先认真分析所给边的大小关系，确定最大边后，再验证两条较小边的平方和与最大边的平方之间的关系，进而作出判断．利用勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、，故不是直角三角形，故错误； B、，故不是直角三角形，故错误； C、，故不是直角三角形，故错误； D、，故是直角三角形，故正确． 故选：D． 6. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，则和的关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形网格，全等三角形的判定和性质，邻补角的性质，通过三角形全等求解是解题的关键．通过全等三角形的性质，邻补角的性质即可求解． 【详解】解：如图，在和中， ， ， ， ， ， 故选：C． ， 7. 如图，在中，，平分，平分，将平移，使其顶点与点I重合，则图中阴影部分的周长为（　　） A. 8 B. 9 C. 10 D. 10.5 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角平分线的含义，平移的性质及等腰三角形的判定等知识，熟练掌握三角形的三条角平分线的交于一点是解题的关键．连接，证明平分，则，由平移得，则，推出，得出，同理可得，的周长，即可得出结果． 【详解】解: 连接，如图所示 平分，平分， 平分， ， 由平移得， ， ， ∴， 同理可得； 的周长， 即图中阴影部分的周长为8； 故选A 8. 如图， 点P在的平分线上， 于D，点M在上， 且若C是上的动点，则的最小值是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查角平分线的性质，等边三角形的判定和性质，证明为等边三角形，得到根据角平分线的性质和垂线段最短，即可得出结果． 【详解】解：∵ P是角平分线上的一点，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵点C是上一个动点， ∴的最小值为P到距离， ∵点P在的平分线上， ∴ 的最小值， 故选：D． 9. 如图，三角形纸片中，，，．沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在边上的点D处；再折叠纸片，使点C与点D重合，若折痕与的交点为E，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，直角三角形的性质，勾股定理等，根据折叠，可知，，进一步可知，设，在中，根据勾股定理列方程，求解即可 【详解】解：根据折叠，可知 ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵ ∴ ∴ 在中，根据勾股定理，得 解得， 所以，的长为， 故选：C 10. 勾股定理被誉为“几何明珠”．在我国古算书《周髀算经》中就有“若勾三，股四，则弦五”的记载．如图所示，把一个边长分别为3，4，5的三角形和三个正方形放置在大长方形中，则该长方形中空白部分的面积为（　　） A. 54 B. 60 C. 100 D. 110 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一线三垂直证明全等是突破本题的关键．利用一线三直角证明三角形全等，可得长方形的长11与宽10，计算出长方形的面积后减去三个正方形的面积即可． 【详解】解：如图延长交于M，其他字母标注如图示：根据题意，，，， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 同理可证， ∴， ∴． 空白部分的面积＝长方形面积三个正方形的面积和． 故选：B． 二、填空（本大题共6小题，每小题3分，共18分．） 11. 等腰三角形的顶角的度数为，则它的底角的度数为_________． 【答案】##50度 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形的定义，需熟练掌握其定义，根据等腰三角形的底角相等及内角和等于180度，可求得答案． 【详解】解：根据三角形的底角 ． 故答案为：． 12. 若的立方根是，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义即可求得答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：若的立方根是，则， 故答案为：． 13. 以直角三角形的三边为边长分别向外作正方形，如图字母B所代表的正方形的面积为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据正方形的面积可以计算直角三角形斜边和一条直角边的长，则另一条直角边根据勾股定理就可以计算出来，即可得出正方形的面积． 【详解】解：如图， 由题意得：，，， ， 正方形的面积为， 故答案为：． 14. 如图，直角三角形直角三角形，已知，若，，，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】36 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由得，则阴影部分的面积梯形的面积，再根据梯形的面积公式即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：36． 15. 如图，的面积为，平分，，则的面积为____． 【答案】 【解析】 【分析】延长交于，证明得到，再利用三角形的中线性质求解即可．本题考查全等三角形的判定与性质、三角形的中线性质，熟知三角形的中线将该三角形分为两个面积相等的三角形是解答的关键． 【详解】解：延长交于， 平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 的面积为， ． 故答案为：5． 16. 如图在中，，点D为的中点，且，的平分线与的垂直平分线交于点O，将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合，则的度数是______． 【答案】##度 【解析】 【分析】连接、，根据角平分线的定义求出，根据等腰三角形两底角相等求出，再根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再求出，然后根据等腰三角形的性质得出垂直平分，根据垂直平分线的性质得出，再根据等边对等角求出，根据翻折的性质可得，然后根据等边对等角求出，再利用三角形的内角和定理列式计算即可． 【详解】解：如图，连接、， ，为的平分线， ， 又∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ， ∴， ∵为的平分线，， ∴直线为底边上的中线和高线所在的直线， 即垂直平分， ∴， ， 将沿（E在上，F在上）折叠，点C与点O恰好重合， ∴， ， 在中，． 故答案为：． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等腰三角形三线合一的性质，等边对等角的性质，以及翻折变换的性质，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 三、解答题（本大题共9小题，共72分．把解答过程写在答题卡相对应的位置上，解答时应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明．） 17. 计算或求值 （1）计算：； （2）已知，求x的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查的是实数的混合运算，利用平方根的含义解方程； （1）先计算算术平方根，立方根，乘方运算，再合并即可； （2）把方程化为，再利用平方根的含义解方程即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， ∴， ∴或， 解得：或； 18. 已知某正数的两个不同平方根是和，的立方根为，是的整数部分． （1）求的值； （2）求的平方根． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的估算和平方根与立方根的含义． （1）先根据平方根的定义列出关于a的方程，解方程求出a，再求出这个数的算术平方根，从而求出m即可； （2）根据立方根的定义列出关于b的方程，解方程求出b，再估算的大小，求出其整数部分c，最后把a，b，c代入进行计算，求出其平方根即可． 【小问1详解】 解：∵一个正数m的两个平方根分别是和， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵的立方根为， ∴， 解得：， ∵， ∴的整数部分， ∴， ∴的平方根是． 19. 如图，在中，． （1）在平面内找一点E，使，且点E到两边的距离相等．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）的条件下，若点E恰好落在上，则______． 【答案】（1） 如图，为所求； （2） 【解析】 【分析】本题考查的作线段的垂直平分线，作角平分线，等腰三角形的性质； （1）如图，作的角平分线与线段的垂直平分线交于点，则即为所求； （2）当在上，证明，设，再进一步利用三角形的内角和定理求解即可． 【小问1详解】 解：作的角平分线与线段的垂直平分线交于点，则即为所求； 【小问2详解】 解：如图，当在上， 在中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则． ∵， ∴， ∴，即． 20. 某条道路限速，如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方的C处，过了，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为． （1）求的长； （2）这辆小汽车超速了吗？ 【答案】（1） （2）没有超速． 【解析】 【分析】（1）中，有斜边的长，有直角边的长，那么根据勾股定理即可求出的长； （2）根据小汽车用行驶的路程为，那么可求出小汽车的速度，然后再判断是否超速了． 【小问1详解】 解：在中，，； 据勾股定理可得： = 【小问2详解】 解：小汽车的速度为； ∵； ∴这辆小汽车行驶没有超速． 答：这辆小汽车没有超速． 【点睛】此题考查了将实际问题转化为直角三角形中的数学问题，解题的关键是把条件和问题放到直角三角形中，进行解决．要注意题目中单位的统一． 21. 如图，在中，的平分线交于点过点作交于点 （1）求证： （2）若求的度数 【答案】（1） ∵是的平分线， （2） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线性质可得由根据平行线的性质得得到即可得到结论． （2）根据三角形的内角和可求出由根据平行线的性质即可得出结果． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解此题的关键． 22. 如图，在中，的平分线交于点D；于点E，点F在边上，． （1）求证：； （2）若，则______． 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵，的平分线交边于点D， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，角平分线的性质； （1）先由角平分线的性质得到，再证明得到即可； （2）证明，得到，结合即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 23. 如图，在中，，点P在上运动，点D在上运动，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1） ， 理由：∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）DE的长为4.75 【解析】 【分析】（1）根据等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，解答即可； （2）连接，设，则，，利用勾股定理解答即可． 本题考查了直角三角形两个锐角互余，等边对等角，线段垂直平分线，勾股定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，连接，设，则，， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴的长为． 24. 如图，四边形，，，A是边DE上一点，过点C作交延长线于点B． （1）求证：； （2）设三边分别为a、b、c，利用此图证明勾股定理． 【答案】（1） 证明：如图所示： ，， ，，， ，， 在和中， ， ， ， 又， ． （2） 证明：由（1）可知：， ，，， 四边形的面积正方形的面积， ， 即， ， ，， 即， 整理得：． 【解析】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定和性质，准确识图，找出面积相等的图形是解决问题的关键． （1）先证和全等得，然后根据可得出结论； （2）由（1）可知，则，，，进而得四边形的面积正方形的面积，即，而，，，据此勾股定理得以证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 25. 等腰中，． （1）如图1，D，E是上两动点，且，若． ①求证：． ②当时，求的长； （2）如图2，点D是等腰斜边上的一点，连接，以点A为直角顶点作等腰，当时，求的长． 【答案】（1）①证明：如图1中， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①证明，利用全等三角形的判定定理即可求证；②证，进而在中利用勾股定理即可求解； （2）如图2中所示，连接：，可得，，再进一步利用勾股定理解答即可． 【小问1详解】 ①略 ②如图1中，， 设，则． ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵，，， ∴， ， 在中，∵， ∴， 解得， ∴． 【小问2详解】 解：如图2中所示，连接：     ， ， ， ， ， ， ， 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、用勾股定理解三角形，化为最简二次根式，等腰三角形的性质等知识点．分类讨论的数学思想是解决本题的重要思路． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $