专题06 三角形解答题分类训练（重庆专用）-【好题汇编】备战2024-2025学年七年级数学下学期期末真题分类汇编

专题06 三角形解答题分类训练 题型概览 题型01补全证明过程 题型02基础证明题 题型03解答压轴题 ( 题型01 ) 补全证明过程 1．(23-24七下·重庆八中学校·期末)如图，在中， ，D是延长线上的一点，点E是的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应序母（仅留作图痕迹．不写作法） ①作的平分线； ②连接并延长交于点F； (2)求证： ． 证明：∵， ∴________________， ∴， ∵平分， ∴________________． ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中 ∴（___________）． ∴． 2．(23-24七下·重庆外国语中学校·期末)如图，已知，点D为的中点． (1)请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法） (2)结合图形，求证：； 证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（ ① ） 又∵点D为的中点， ∴（ ② ） ∴ 在和中， ∴（ ④ ） ∴ ⑤ ． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 3．(23-24七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期末)如图，在中，于点，点、分别为、上的一点，接并延长交延长线于点，若，，，求证：． 证明：∵ ∴ 在和中， ∴（②） ∴ 在中 ∵（③） ∴ ∴④ ∴ ∵ ∴⑤（⑥） ∴ ∴ 4．(22-23七下·重庆西南大学附属中学校·期末)请在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）： 如图，在中，于点D，E、F分别是上的一点，且，延长交于点G，若，求证：． 证明： （__________） 在和中， （__________） （__________） （_________） ∴________ ∴_________（___________） （__________） 5．(22-23七下·重庆沙坪坝区第七中学校·期末)推理填空 已知：如图，，点C、F在上，，，求证：． 证明：∵， ∴　 　（　 　）． ∵． ∴　 　　 　（　 　）． 即：　 　． 在和中． ． ∴（　 　）， ∴　 　， ∴　 　（　 　）．    6．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在外，连接、、，且，，． (1)用尺规完成以下基本作图： 作的平分线交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程． 证明：∵平分， ∴______． ∵． ∴______． ∴． ∴______． 在和中， ______， ∴． ∴______． 7．(22-23七下·重庆巴蜀中学·期末)如图，点在线段上，，，，交于点． (1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证． 证明： 　　 在和中， ，　　， ． 　　 　　 ． 8．(22-23七下·重庆沙坪坝区第一中学校·期末)如图，在中，的角平分线交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴______． ∵垂直平分， ∴，______，______， ∴， ∴， ∴______． ∴． 9．(22-23七下·重庆巴南区重庆巴南育才实验中学校·期末)尺规作图并完成证明：如图，点C是上一点，．    (1)尺规作图：作的平分线，交于点F (2)证明：． 证明：∵ ∴________________ ∴________________ 在和中 ∴． ∴______________ 又∵是的角平分线 ∴ 10．(22-23七下·重庆第一中学校·期末)如图，在中，平分交于点．    (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：__________， ． 是线段的垂直平分线， ， 在和中，， （___________）， _________________． 是线段的垂直平分线， __________， ． 11．(22-23七下·重庆沙坪坝区第七中学校·期末)如图，在中，，的平分线交于点D，交于点E，，求及的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴① （两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴②　 　（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵是的外角（已知）， ∴③　 　（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又∵（已知）， ∴． ∴（④　 　）， ∴⑤　 　（等式的性质） ．    12．(22-23七下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)如图，点在线段上，，，，交于点.    (1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：（请补全证明过程）. 证明：∵， ∴ ① . 在和中， ∴ ∴， ② ， ∴， ∴， ∴， ∴ ③ ． ∵ ④ ， ∴． 13．(22-23七下·重庆渝中区求精中学校·期末)如图，在中，，是的角平分线． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，点为线段上一点，且，连接．求证：． 证明：（2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴________①________ 又∵是的平分线， ∴________②________ 在与中， ， ∴（________④________） ∴． 14．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)如图，在中，，，    (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)； (2)在(1)问的条件下，连接，求证：． 请将下列证明过程补充完整． 证明：∵，　 　， 等腰三角形三线合一． 是的垂直平分线， 　 　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 垂直平分线的定义， 垂直的定义． 在和中， ，直角三角形的两个锐角互余， 　 　等角的余角相等， 　 　， 等量代换． 15．(21-22七下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，且AF∥BC，∠ABD＝∠CAF，BD＝AC． (1)用尺规完成以下基本作图： 作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证：AD＝CE；请完善下面的证明过程． 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝______． ∵AF∥BC． ∴∠CBE＝______． ∴∠ABE＝∠AEB． ∴______． 在ACE和△BDA中， ． ∴△ACE≌△BDA． ∴AD＝CE． ( 题型0 2 ) 基础证明题 16．(21-22七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)已知在等腰中，，点D在的延长线上，过点C作于点E与交于点F． (1)如图1，若，求证：； (2)在（1）的条件下，如图2，点G为内一点，，，若，求证：． 17．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)如图，已知A，D，C，E在同一直线上，，，．    (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 18．(23-24七下·重庆外国语中学校·期末)在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 19．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，是的角平分线，，垂足为F，与交于点D．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点G在线段上，满足，求证：与互余． 20．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)如图，，交于点E，，点F在线段上，，．连接，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 21．(22-23七下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求． 22．(22-23七下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 23．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，在边上取一点F，使，连接． (1)求证：； (2)试探究线段与长的数量关系，并对结论给予证明． 24．(22-23七下·重庆重庆实验外国语学校·期末)如图，在中，，D为线段上一点，连接，且，于点E，F是的中点，连接． (1)若，，，求的长； (2)若，求证：． 25．(22-23七下·重庆沙坪坝区第一中学校·期末)已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 26．(21-22七下·重庆渝中区巴蜀中学校期末)如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别为AB、AC上的点． （1）如左图，若BE＝AF，连接CE、BF交于点P，连接AP，且AP⊥CE，求证：2BP＝CP； （2）如右图，连接BF，点P是BF上一点，∠APB＝120°，连接AP、CP，E为AB中点，连接EP，探究线段EP和CP的数量关系，并证明你的结论． 27．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)在等边中，点D，E分别在边、上，若，，过点E作，交的延长线于点F， (1)求证：是等边三角形， (2)求的长． 28．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)若． ①判断的形状，并说明理由； ②探究：当为多少度时，是等腰三角形？ (2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？ 29．(22-23七下·重庆重庆实验外国语学校·期末)如图，在中，，上的高线与上的高线相交于点F． (1)求证：． (2)若，求的长． 30．(22-23七下·重庆西南大学附属中学校·期末)如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 31．(23-24七下·重庆第一中学·期末)如图，在中，． (1)如图1，若D是边上的一点，点M为线段的中点，连接．于N，，，求的长度． (2)如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于F，再连接，若，求证：． 32．(23-24七下·重庆育才中学校·期末)如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 33．(23-24七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期末)如图，中，，D、E是边、上的点，连接、交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 34．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，为等边三角形，点D，E分别是边，上的点．连接，交于点H． (1)如图1，点M是延长线上一点，连接，，若，，，求的值； (2)如图2，点F是的角平分线上一点，连接，，，满足．若，求证：． 35．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，在中，，E为平面内一点，连接，，C为延长线上一点，连接交于点F，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 36．(23-24七下·重庆第八中学校·期末)如图1，在等边三角形中，点D在上，点E在上，，交于点F，于点G，延长交于点H，． (1)求证：． (2)如图2，连接，若，求证：点F是的中点． ( 题型0 3 ) 解答压轴题 37．(22-23七下·重庆沙坪坝区第一中学校·期末)如图，在中，，，过点B作，且，点B作交于点F，连接．      (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 38．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，为中的角平分线，，延长至F，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 39．(23-24七下·重庆巴蜀中学校·期末)如图1，在中，点D、E在边上，连接、，满足，且，点F在上，连接交于点G．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点Q，点M、N在边上，且，连接、，已知，，，，直接写出的最小值． 40．(23-24七下·重庆外国语中学校·期末)直角三角形，等腰三角形都是我们最为常见的几何图形．如图，在中，，是的角平分线，为边上一点，过点作于点，过点作交于点． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，连接，若是的角平分线，请猜测、、之间的数量关系，并证明你的猜测； (3)如图3，在（）问的条件下，连接并延长交于点，连接、，当为等腰三角形时，请直接写出与的面积之比为多少？ 41．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，在中，，是边上的高，点D是线段延长线上一点，连接． (1)如图1，，若，，求线段的长度； (2)如图2，，将线段绕着点B旋转一定的角度得到线段，连接，，若，，求证：， (3)如图3，，点P是线段上的动点，点Q是线段上的动点，满足，，连接，，．若，当最小时，请直接写出的值． 42．(22-23七下·重庆渝中区巴蜀中学·期末)如图，在中，，，点D、E分别是边、上的点，连接，交于点O．    (1)如图1，，过点C作，交的延长线于点F，求证：； (2)如图2，点D是中点，连接，若，求证：； (3)如图3，过点C作于点F，延长至点G，使得，点B、O、D、G在同一直线上，若，，直接写出的面积． 43．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)在中，，D是边上一动点，连接． (1)如图1，在平面内将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点F为边上一点，连接交于M，连接．若，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点B顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于G，连接，若，猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点D运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出与四边形重叠部分的面积． 44．(22-23七下·重庆西南大学附属中学校·期末)在中，；在中，，． (1)如图，若，点在线段上，且，求的度数． (2)如图，若，点在外部，连接交于点，连接，已知是中点，求证：． (3)如图，点在线段上，且平分，过点作交线段于点，交线段于点，连接，当，，时，请直接写出的周长． 45．(23-24七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)为等边三角形，在外作射线，D为射线上一点，连接，在平面内有一点E，满足． (1)如图1，连接，若点E恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接，若，且恰好过边的中点M，求证：； (3)如图3，若，，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点F，在边上截取，连接、，则当的值最小时，请直接写出的度数． 46．(22-23七下·重庆沙坪坝区第七中学校·期末)已知点E是△ABC内部一点．将△ABE沿BE翻折，点A落在BC上的点F′处．    (1)如图1，若，，．求的度数； (2)如图2，若，请说明． (3)如图3．连接，若，，，将绕点顺时针方向旋转一个角度得到，则在这个旋转过程中，当与的某一边垂直时，直接写出旋转角的度数． 47．(22-23七下·重庆巴南区重庆巴南育才实验中学校·期末)（1）如图，在中，点为中点，证明：；    （2）如图，在中，点为中点，点为的三等分点且，若，请直接写出的面积；    （3）如图，点为上动点（不与，重合），，，，，于，请探究的值是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．    48．(23-2七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)已知是等边三角形，点D为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，点D在线段上，连接，若，且，求线段的长； (2)如图2，点D是延长线上一点，过点E作于点F，求证：； (3)如图3，若，点D在射线上运动，取中点G，连接，请直接写出的最小值． 49．(21-22七下·重庆第一中学校·期末)在中，D为线段AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD． (1)如图1，若点E是AB的中点，∠ADB＝120°，G是线段DE上一点，连接GA、GC、GB，且GC＝GB，则∠DCG+∠EBG＝______； (2)如图2，连接CE交BD于点F，若DA＝DB，且∠BFE＝∠BCD，求证：DA＝DC+2DF； (3)如图3，连接CE交BD于点F，若CE＝BD，且CE⊥BD，∠CBD+2∠ABD＝90°，请直接写出的值． 50．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)在中，．    (1)如图1，在边上找一点E，连接，使得，过点B作的垂线交延长线于点G，延长，交于点D．若，求的长度； (2)如图2，在内部找一点E，连接，将绕点E旋转至交于点O，使得，连接，取的中点D，连接．求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，若，且，交于点R，点P为线段上一动点，连接，将线段绕着R点顺时针方向旋转，得到线段，连接．当线段长度最小时，请直接写出的值． 51．(23-24七下·重庆重庆实验外国语学校·期末)已知是等边三角形． (1)如图1，点D是边的中点，点P为射线AC上一动点，当是轴对称图形时，的度数为__________； (2)如图2，，点D在边上，点F在射线上，且，作于G，当点D在边上移动时，请同学们探究线段，，之间有什么数量关系，并对结论加以证明； (3)如图3，点R在延长线上，连接，S为上一点，，连接交于T，若，，直接写出线段的值为__________． 52．(22-23七下·重庆沙坪坝区第一中学校·期末)如图，在中，，点D为中点，连接，点M是直线上一点，连接．    (1)如图1，当点M和点D重合时，将线段绕点B逆时针旋转至，过点B作交于点E，连接、、．若，，求的长； (2)如图2，当点M在线段上，且时，将线段绕点B逆时针旋转至，连接交于点F，交于点G，连接交于点H，若，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，在线段上取一点P，使．若，，请直接写出的最小值． 53．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)如图1，已知等边，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接．    (1)若，求点D到边的距离； (2)如图2，过点B作的垂线，分别交，于点E，F，求证：； (3)如图3，点M，N分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题06 三角形解答题分类训练 题型概览 题型01补全证明过程 题型02基础证明题 题型03解答压轴题 ( 题型01 ) 补全证明过程 1．(23-24七下·重庆八中学校·期末)如图，在中， ，D是延长线上的一点，点E是的中点． (1)实践与操作：利用尺规按下列要求作图，并在图中标明相应序母（仅留作图痕迹．不写作法） ①作的平分线； ②连接并延长交于点F； (2)求证： ． 证明：∵， ∴________________， ∴， ∵平分， ∴________________． ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中 ∴（___________）． ∴． 【答案】(1)图见解析； (2) 【来源】重庆市八中学校2023-2024学年七年级下学期学期期末 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，三角形的外角的性质，平行线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握相关性质和判定是解题的关键． （1）①以点为圆心，适当半径画圆弧，交、于两点，分别以这两点为圆心，大于这两个交点的距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，再以点为端点，过两弧的交点作射线即可； ②按照提示作图即可； （2）利用角平分线的性质，等腰三角形性质与三角形的外角的性质证明，结合E为中点得到，证明，即可得解； 【详解】（1）解：图形如图所示： 作法：以点为圆心，适当半径画圆弧，交、于两点，分别以这两点为圆心，大于这两个交点的距离的一半为半径画弧，两弧交于一点，再以点为端点，过两弧的交点作射线，则为的平分线，连接并延长交于点F． （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴． ∴， ∵E为中点， ∴， 在和中 ∴（）． ∴． 2．(23-24七下·重庆外国语中学校·期末)如图，已知，点D为的中点． (1)请用直尺和圆规画出的角平分线，交于点E，连结（保留作图痕迹，不写作法） (2)结合图形，求证：； 证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（ ① ） 又∵点D为的中点， ∴（ ② ） ∴ 在和中， ∴（ ④ ） ∴ ⑤ ． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 【答案】(1)见解析 (2)等角对等边；三线合一，；；； 【来源】重庆市外国语中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题主要考查作角平分线，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质： （1）根据角平分线的作法作出即可； （2）根据作图得出，得，再证明，再证明，得，再由为的中点可得出结论 【详解】（1）解：如图，即为所作 （2）证明：∵中，， ∴ ∵是角平分线， ∴ ∴ ∴（等角对等边） 又∵点D为的中点， ∴（三线合一） ∴ 在和中， ∴ ∴． ∵点D为的中点， ∴ ∴． 3．(23-24七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期末)如图，在中，于点，点、分别为、上的一点，接并延长交延长线于点，若，，，求证：． 证明：∵ ∴ 在和中， ∴（②） ∴ 在中 ∵（③） ∴ ∴④ ∴ ∵ ∴⑤（⑥） ∴ ∴ 【答案】；；三角形的内角和定理，；；同旁内角互补，两直线平行． 【来源】重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，垂线的定义，灵活运用平行线的判定和性质得出角的关系式解题的关键．根据全等三角形的判定及性质，平行线的判定及性质以及垂线定义判断求解即可． 【详解】解：证明：∵ ∴ 在和中， ∴（） ∴ 在中 ∵（三角形的内角和定理） ∴ ∴ ∴ ∵ ∴同旁内角互补，两直线平行 ∴ ∴ 故答案为：；；三角形的内角和定理，；；同旁内角互补，两直线平行． 4．(22-23七下·重庆西南大学附属中学校·期末)请在下列解题过程的空白处填上恰当的内容（推理的理由或数学表达式）： 如图，在中，于点D，E、F分别是上的一点，且，延长交于点G，若，求证：． 证明： （__________） 在和中， （__________） （__________） （_________） ∴________ ∴_________（___________） （__________） 【答案】垂直的定义；；全等三角形对应角相等；三角形内角和为；；或或；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【来源】重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了三角形全等的判定和性质、三角形内角和定理、平行线的判定和性质；先根据“”证明，然后再根据三角形的内角和以及平行线的判定和性质计算即可；熟练运用这些知识解决问题是关键 【详解】解：证明： （垂直的定义） 在和中， （） （全等三角形对应角相等） （三角形内角和为） ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） 故答案为：垂直的定义；；全等三角形对应角相等；三角形内角和为；；或或；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等 5．(22-23七下·重庆沙坪坝区第七中学校·期末)推理填空 已知：如图，，点C、F在上，，，求证：． 证明：∵， ∴　 　（　 　）． ∵． ∴　 　　 　（　 　）． 即：　 　． 在和中． ． ∴（　 　）， ∴　 　， ∴　 　（　 　）．    【答案】；两直线平行，内错角相等；；；等式性质；；；；；；内错角相等，两直线平行 【来源】重庆市沙坪坝区第七中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题 【分析】根据全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质即可完成填空． 【详解】证明：∵， ∴（两直线平行，内错角相等）． ∵， ∴（等式性质）， 即：． 在和中， ， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，内错角相等；；；等式性质；；；；；；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，对应角相等，以及平行线的判定和性质． 6．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在外，连接、、，且，，． (1)用尺规完成以下基本作图： 作的平分线交于点E，连接（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证：；请完善下面的证明过程． 证明：∵平分， ∴______． ∵． ∴______． ∴． ∴______． 在和中， ______， ∴． ∴______． 【答案】(1)画图见解析 (2)见解析 【来源】重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题 【分析】（1）根据基本作图作已知角平分线的作法作出，再连接即可； （2）先由角平分线定义与平行线的性质证得，从而得到，然后利用证，则全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解： 如图所示， ； （2）证明：平分， ． ． ． ． ． 在和中， ． ． 【点睛】本是考查尺规基本作图--作已知角的平分线，平行线的性质，等腰三角形的判定，全等三角形的判定与性质，证得是解题的关键． 7．(22-23七下·重庆巴蜀中学·期末)如图，点在线段上，，，，交于点． (1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论) (2)求证． 证明： 　　 在和中， ，　　， ． 　　 　　 ． 【答案】(1)详见解析 (2)，，⊥DG 【来源】重庆巴蜀中学2022-2023学年七年级下学期数学期末模拟试题 【分析】本题考查了作垂直平分线，全等三角形的性质与判定； （1）根据题意过点作线段的垂线交于点； （2）证明，得出，，进而证明，根据等腰三角形的性质与判定，即可得证． 【详解】（1）解：如图，为所作； （2）证明：在和中， ， ，， ， ， ， ， ， ． 故答案为：，，． 8．(22-23七下·重庆沙坪坝区第一中学校·期末)如图，在中，的角平分线交于点D． (1)用尺规完成以下基本作图：作的垂直平分线分别与、、交于点E、点F、点H．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，连接、，完成下面证明的过程． 证明：∵的角平分线交于点D， ∴______． ∵垂直平分， ∴，______，______， ∴， ∴， ∴______． ∴． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【来源】重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质与尺规作图、全等三角形的性质与判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质与尺规作图是解题的关键； （1）分别以点A、D为圆心，大于长为半径画弧，即可求解； （2）根据线段垂直平分线的性质及全等三角形的性质与判定可进行求证． 【详解】（1）解：所作图形如下： （2）证明：∵的角平分线交于点D， ∴， ∵垂直平分， ∴，，． ∴． ∴． ∴． ∴． 9．(22-23七下·重庆巴南区重庆巴南育才实验中学校·期末)尺规作图并完成证明：如图，点C是上一点，．    (1)尺规作图：作的平分线，交于点F (2)证明：． 证明：∵ ∴________________ ∴________________ 在和中 ∴． ∴______________ 又∵是的角平分线 ∴ 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【来源】重庆市巴南区重庆巴南育才实验中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据角平分线的作图方法作图即可． （2）根据平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质可得答案． 【详解】（1）如图，即为所求．    （2）证明：∵， ∴， ∴； 在和中 ， ∴． ∴， 又∵是的角平分线 ∴ 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查尺规作图、平行线的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解答本题的关键． 10．(22-23七下·重庆第一中学校·期末)如图，在中，平分交于点．    (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交、、于点、、，连接；（不写作法，不下结论，保留清晰的作图痕迹） (2)求证：，请根据下列证明思路完成填空： 证明：__________， ． 是线段的垂直平分线， ， 在和中，， （___________）， _________________． 是线段的垂直平分线， __________， ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市第一中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据线段垂直平分线的作法作图即可； （2）由角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的性质即可补全填空． 【详解】（1）如图，即为所作；    （2）证明：平分， ． 是线段的垂直平分线， ， 在和中，， ， . 是线段的垂直平分线， ， ． 故答案为：平分，，，，． 【点睛】本题考查作图—线段垂直平分线，角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的性质．熟练掌握上述知识是解题关键． 11．(22-23七下·重庆沙坪坝区第七中学校·期末)如图，在中，，的平分线交于点D，交于点E，，求及的度数． 对于上述问题，在以下解答过程的空白处填上适当的内容（理由或数学式）． 解：∵（已知）， ∴① （两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴②　 　（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵是的外角（已知）， ∴③　 　（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又∵（已知）， ∴． ∴（④　 　）， ∴⑤　 　（等式的性质） ．    【答案】①；②；③；④三角形内角和定理；⑤ 【来源】重庆市沙坪坝区第七中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义得出，根据三角形外角性质得出，根据三角形内角和定理得出，求出结果即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴①（两直线平行，内错角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∵平分（已知）， ∴②（角平分线的定义）． ∴（等量代换）． ∵是的外角（已知）， ∴③（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和）． 又∵（已知）， ∴． ∴（④三角形内角和定理）， ∴⑤（等式的性质） ． 故答案为：①；②；③；④三角形内角和定理；⑤． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质，三角形内角和定理，解题的关键熟练掌握平行线的性质和三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 12．(22-23七下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)如图，点在线段上，，，，交于点.    (1)尺规作图：过点作线段的垂线交于点．（基本作图，保留作图痕迹，不写作法，不下结论） (2)求证：（请补全证明过程）. 证明：∵， ∴ ① . 在和中， ∴ ∴， ② ， ∴， ∴， ∴， ∴ ③ ． ∵ ④ ， ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【来源】重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据尺规作图的方法作图即可； （2）先证明，得出，，再根据等边对等角得出，然后求出，进而得出，再根据三线合一即可得证． 【详解】（1）解：如图，为所作；    （2）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴. 故答案为：；；；． 【点睛】本题考查了尺规作图，平行线的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，熟练掌握基本尺规作图的方法，灵活运用相关性质定理是解题的关键． 13．(22-23七下·重庆渝中区求精中学校·期末)如图，在中，，是的角平分线． (1)用直尺和圆规完成以下基本作图：过点作于点．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）所作的图形中，点为线段上一点，且，连接．求证：． 证明：（2）∵， ∴， ∵， ∴ ∴________①________ 又∵是的平分线， ∴________②________ 在与中， ， ∴（________④________） ∴． 【答案】(1)见解析 (2)；；； 【来源】重庆市渝中区求精中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据作已知线段的垂线的作法画出图形，即可求解； （2）根据角平分线的性质定理，可得，再利用证明，即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵是的平分线， ∴， 在与中， ， ∴ ∴． 故答案为：；；； 【点睛】本题主要考查了尺规作图，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理，熟练掌握几种基本尺规作图的作法，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质定理是解题的关键． 14．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)如图，在中，，，    (1)用尺规完成以下基本作图：作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，(保留作图痕迹，不写作法，不写结论)； (2)在(1)问的条件下，连接，求证：． 请将下列证明过程补充完整． 证明：∵，　 　， 等腰三角形三线合一． 是的垂直平分线， 　 　线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 垂直平分线的定义， 垂直的定义． 在和中， ，直角三角形的两个锐角互余， 　 　等角的余角相等， 　 　， 等量代换． 【答案】(1)见解析 (2)；；；；等角对等边 【来源】重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据题意作出的垂直平分线即可求解； （2）根据垂直平分线的性质得出，进而根据等角的余角相等得出，根据等角对等边得出，等量代换即可得证． 【详解】（1）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交，，于点，，；    （2）   证明：连接，∵，， 等腰三角形三线合一． 是的垂直平分线， 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等， 垂直平分线的定义， 垂直的定义． 在和中， ，直角三角形的两个锐角互余， 等角的余角相等， 等角对等边， 等量代换． 故答案为：；；；；等角对等边． 【点睛】本题考查了作垂直平分线，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 15．(21-22七下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)尺规作图并完成证明．如图，点D、点F在△ABC外，连接AF、AD、BD，且AF∥BC，∠ABD＝∠CAF，BD＝AC． (1)用尺规完成以下基本作图： 作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE（保留作图痕迹，不写作法）； (2)根据（1）中作图，求证：AD＝CE；请完善下面的证明过程． 证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝______． ∵AF∥BC． ∴∠CBE＝______． ∴∠ABE＝∠AEB． ∴______． 在ACE和△BDA中， ． ∴△ACE≌△BDA． ∴AD＝CE． 【答案】(1)见解析 (2)∠ABE，∠AEB，AE＝AB 【来源】重庆市渝中区巴蜀中学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据要求作∠ABC的平分线BE交AF于点E，连接CE，作出图形即可； （2）根据SAS证明△ACE≌△BDA即可． 【详解】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵BE平分∠ABC， ∴∠CBE＝∠ABE， ∵AFBC， ∴∠CBE＝∠AEB， ∴∠ABE＝∠AEB， ∴AE＝AB， 在ACE和△BDA中， ， ∴△ACE≌△BDA（SAS）， ∴AD＝CE． 故答案为：∠ABE，∠AEB，AE＝AB． ( 题型0 2 ) 基础证明题 16．(21-22七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)已知在等腰中，，点D在的延长线上，过点C作于点E与交于点F． (1)如图1，若，求证：； (2)在（1）的条件下，如图2，点G为内一点，，，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）如图1，过点A作AH⊥CD于H，先根据三角形的内角和定理得，由等腰三角形三线合一的性质得，由8字 形可知∠BAH＝∠DCF，由三角形的外角的性质和角和和可得：∠CAF=∠AFC，由等腰三 角形的判定可得结论； （2）如图2，连接FG并延长交CD于P，连接AP ，证明△ABG≅△CFG和△AGP≅△CGB， 并得△BGH是等腰直角三角形，由三角形的中位线定理知：BP＝BD，最后由等腰三角形的三线合一的性质可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，过点A作AH⊥CD于H， ∴， ∵， ∴， ∵，AH⊥CD， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）如图2，连接FG并延长，交CD于P，连接AP，AG与CF交于点N， ∵∠AEC＝∠AGC＝90°，∠ANE=∠CNG， ∴∠BAN＝∠GCF， ∵AB=CF，AG=CG， ∴△ABG≅△CFG(SAS)， ∴FG=BG，∠CFG=∠ABG,， ∴∠BGF＝∠BEF＝90°， ∴∠BGP＝90°， ∵AB=AC， ∴∠ABC＝∠ACB， ∴∠CBG+∠ABG=∠BCG+∠ACG， ∵∠ABG＝∠BCG， ∴∠CBG＝∠ACG＝45° ， ∴∠CBG＝∠D， ∴AD∥BG， ∵△BGP是等腰直角三角形， ∴BG＝GP， ∴FG＝GP， ∴BD＝BP， ∵∠BGP＝∠AGC＝90° ， ∴∠BGC＝∠AGP， ∵AG＝CG，BG＝GP， ∴△AGP≅△CGB(SAS)， ∴∠APG=∠CBG=45°， ∴∠APB＝90°， ∴AP⊥BC， ∵AB=AC， ∴BC＝2BP， ∴BC＝2BD． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的 判定和性质等知识，解题的关键是正确作出辅助线，利用三角形全等解决问题． 17．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)如图，已知A，D，C，E在同一直线上，，，．    (1)求证：； (2)连接，若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【来源】重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）先证明，，再利用证明即可； （2）根据全等三角形对应角相等推出，求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴，即， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定和性质，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键． 18．(23-24七下·重庆外国语中学校·期末)在中，，．D是边上一点，连接，，且，与交于点F． (1)求证：； (2)当时，求证：平分． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）证明：设交于点G，如图， 由（1）得， ∴，． 由（1）得， ∵， ∴． ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴， ∴平分． 19．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，是的角平分线，，垂足为F，与交于点D．    (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，点G在线段上，满足，求证：与互余． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：，， ， 平分， ， ， ， ， ； （2）证明：， ， ， ， ， ， ， 即：与互余． 【点睛】本题主要考查三角形的内角和定理，平行线的性质，余角的概念，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 20．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)如图，，交于点E，，点F在线段上，，．连接，．    (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据证明即可； （2）根据全等三角形的性质得出，，根据三角形外角的性质得出，求出，根据等腰三角形的性质求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴． （2）解：∵， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，平行线的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． 21．(22-23七下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)如图，在 中，，，是边上一点（不与重合），以为边作等腰，，且，与交于点，连接． (1)求证：； (2)当时，求． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】重庆市渝中区巴蜀中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质、全等三角形的性质和判定、同角的余角相等、三角形内角和定理，熟练掌握并应用上述知识是解题的关键． （1）根据同角的余角相等可得，再加上两组边对应相等即可证明； （2）由全等三角形的性质可得对应的边、角相等，再加上由等腰三角形求出的底角度数即可得出结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ． （2）解：，， ， ， ，， 又， ， ． 22．(22-23七下·重庆渝中区巴蜀中学校·期末)如图，点、、、在同一条直线上，，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析；（2）． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理的应用，正确寻找证明三角形全等的条件是解题的关键． 23．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)如图，在中，，，E为边的中点，过点A作交的延长线于点D，平分交于点G，在边上取一点F，使，连接． (1)求证：； (2)试探究线段与长的数量关系，并对结论给予证明． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题 【分析】（1）先证明，然后根据全等三角形的性质即可证明结论； （2）延长交于H，则、，进而证得，可得和，再结合运用全等三角形的性质即可解答． 【详解】（1）证明：∵，平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 如图：延长交于H， ∵平分，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵E为边的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵，， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质、等腰三角形的判定与性质、平行线的判定及性质，线段的垂直平分线的性质等知识点，掌握三角形全等的判定与性质是解本题的关键． 24．(22-23七下·重庆重庆实验外国语学校·期末)如图，在中，，D为线段上一点，连接，且，于点E，F是的中点，连接． (1)若，，，求的长； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】重庆市重庆实验外国语学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题 【分析】（1）先求解，再求解，，再结合勾股定理可得答案； （2）过C点作，交的延长于点G，根据平行可推出，先证明，即有，再证明，问题得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴； （2）解：如图，过C点作，交的延长于点G， ∵， ∴，， ∵， ∴，， 即， ∵的中点为F， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，全等三角形的判定与性质，三角形的内角和定理，勾股定理的应用，化为最简二次根式等知识，作出合理的辅助线是解答本题的关键． 25．(22-23七下·重庆沙坪坝区第一中学校·期末)已知，在中，． (1)如图1，点D、点E分别是线段上两点，连接，若，且，求的度数； (2)如图2，点D、点E分别是线段上两点，连接，过点B作交延长线于F，连接，若，求证：； 【答案】(1) (2)见解析 【来源】重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，利用截长补短法构造全等三角形，是解题的关键： （1）证明，得到，利用角的和差关系，进行求解即可； （2）延长至点，使，先证明，再证明，根据线段的和差关系和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）延长至点，使， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴，即：， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 26．(21-22七下·重庆渝中区巴蜀中学校期末)如图，△ABC是等边三角形，点E、F分别为AB、AC上的点． （1）如左图，若BE＝AF，连接CE、BF交于点P，连接AP，且AP⊥CE，求证：2BP＝CP； （2）如右图，连接BF，点P是BF上一点，∠APB＝120°，连接AP、CP，E为AB中点，连接EP，探究线段EP和CP的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析；(2)，理由见解析 【详解】解：(1)证明：将CP绕点C逆时针旋转60°，P点落在Q点，连接AQ和PQ，如下图所示： ∵△ABC为等边三角形， ∴BC=AC，∠EBC=∠FAB=60°， 在△EBC和△FAB中：， ∴△EBC≌△FAB(SAS)， ∴∠BCE=∠ABF， ∵∠QPC是△BPC的一个外角， ∴∠QPC=∠PBC+∠BCE=∠PBC+∠ABF=∠ABC=60°，∠BPC=120°， 又∵∠ACQ+∠ACP=∠PCQ=60°，∠BCP+∠ACP=∠ACB=60°， ∴∠ACQ=∠BCP， 在△ACQ和△BCP中：， ∴△ACQ≌△BCP(SAS)，∠AQC=∠BPC=120°， 又由上面已经证明∠QPC=60°， ∴△PQC为等边三角形，且∠PQC=60°， ∴∠AQP=∠AQC-∠PQC=120°-60°=60°， ∵AP⊥EC，∠QPC=60°， ∴∠APQ=90°-60°=30°， ∴∠PAQ=180°-∠APQ-∠AQP=180°-30°-60°=90°， 在Rt△APQ中，由30°所对的直角边等于斜边的一半可知： ， 又， ∴； (2)证明：延长EP至点E并使得DE=PE，连接DB，同时将AP绕点A逆时针旋转60°，P点落在Q点处，如下图所示： 由旋转可知：AP=AQ，又旋转角∠PAQ=60°， ∴△APQ为等边三角形，AQ=PQ=PA，∠AQP=∠APQ=60°， 且∠APF=∠APQ=60°， ∴B、P、F、Q四点共线， ∵∠BAP+∠PAC=∠BAC=60°，∠CAQ+∠PAC=∠PAQ=60°， ∴∠BAP=∠CAQ， 在△BAP和△CAQ中：， ∴△BAP≌△CAQ(SAS)， ∴∠AQC=∠APB=120°， ∴∠PQC=60°， ∵∠APQ=180°-∠APB=180°-120°=60°， ∴QC∥AP， ∵E为AB的中点， ∴AE=BE， 在△EAP和△EBD中：， ∴△EAP≌△EBD(SAS)， ∴∠D=∠DPA，DB=AP=PQ， ∴DB∥AP， ∴DB∥QC， ∴∠CQP=∠DBP， 在△DBP和△PQC中：， ∴△DBP≌△PQC(SAS)， ∴PC=DP， 又DP=2PE， ∴PC=2PE． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定方法、等边三角形绕顶点旋转、直角三角形中30°角所对直角边等于斜边的一半、倍长中线法等知识点，本题难度较大，熟练掌握各图形的性质及判定定理是解决本题的关键． 27．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)在等边中，点D，E分别在边、上，若，，过点E作，交的延长线于点F， (1)求证：是等边三角形， (2)求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【来源】重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题 【分析】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，含30°的直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由等边三角形的性质求得，利用平行线的性质求出，最后利用等边三角形的判定求解； （2）根据，，易得，利用等边三角形的性质求出，利用含的直角三角形的性质求出，最后用勾股定理求解． 【详解】（1）证明：∵是等边三角形， ∴． ∵， ∴． ∴， ∴， ∴是等边三角形． （2）解：∵，， ∴， ∴． ∵是等边三角形，， ∴． 在中，， ∴， ∴． 28．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得，连接． (1)若． ①判断的形状，并说明理由； ②探究：当为多少度时，是等腰三角形？ (2)若，当分别为多少度时，是等腰直角三角形？ 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②当为或或时，是等腰三角形． (2)当，或，或，时，是等腰直角三角形． 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题（八） 【分析】本题考查了旋转的性质和等边三角形的判定方法和性质，等腰直角三角形的性质，等腰三角形的性质，此题具有一定的开放性，要找到变化中的不变量，根据等腰三角形的性质进行分类讨论． （1）①利用旋转的性质，，即可证明是等边三角形； ②分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解； （2）分三种情况讨论，①，②，③，分别计算即可求解． 【详解】（1）①是等边三角形， 理由如下：∵绕点C按顺时针方向旋转得， ∴，， ∴是等边三角形； ②当为或或时，是等腰三角形． ∵是由旋转后得到的， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 是等腰三角形，分三种情况： ①当时， ∴， ∴， ∴； ②， ∴， ∴， ∴； ③， ∴， ∴， ∴， ∴当为或或时，是等腰三角形． （2）∵是由旋转后得到的， ∴， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴， 是等腰直角三角形，分三种情况： ①当，时， ∴， ∴， ∴，； ②，时， ∴， ∴， ∴，； ③，时， ∴， ∴，， ∴，；， ∴当，或，或，时，是等腰直角三角形． 29．(22-23七下·重庆重庆实验外国语学校·期末)如图，在中，，上的高线与上的高线相交于点F． (1)求证：． (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【详解】（1）证明：∵上的高线与上的高线相交于点F． ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）∵， ∴是等腰三角形， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质等知识，证明是解题的关键． 30．(22-23七下·重庆西南大学附属中学校·期末)如图，，点E为上一点，且，延长交于点F． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）利用平行线的性质得到，然后根据三角形全等的判定证明即可； （2）根据全等的性质得到，然后运用三角形内角和定理计算即可； 【详解】（1）解： 在和中 （2） 【点睛】本题考查了三角形全等的判定和性质、平行线的性质、等腰三角形的性质、三角形的内角和定理，熟练运用这些知识解决问题是关键． 31．(23-24七下·重庆第一中学·期末)如图，在中，． (1)如图1，若D是边上的一点，点M为线段的中点，连接．于N，，，求的长度． (2)如图2，H为线段上一点，连接，E为的中点，连接并延长交于F，再连接，若，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【来源】重庆第一中学2023-2024学年七年级下学期数学期末模拟试题 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握相关判定和性质是解题的关键． （1）由可知是等腰三角形，由，利用三线合一，可得，设，则，，，由，解方程即可得解； （2）过作交于，交于，利用平行线的性质得，，证明，得，结合已知，可得，，即，证明，得到，即，利用三角形外角性质可得，即得证． 【详解】（1）解：， 是等腰三角形， ， ， 设， ， ， ， 点为线段的中点， 　， ， ， 解得：， ， ， 故的长度为2； （2）证明：如图，过作交于，交于， ，， 为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， 是等腰三角形，， ，即， 在和中， ， ， , , ． 32．(23-24七下·重庆育才中学校·期末)如图，、相交于点，点、分别是线段、上的点，连接，，且． (1)求证：； (2)若，，，求． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市育才中学校2023-2024学年七年级下学期数学期末试题 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，得到是解题的关键． （1）利用，可得，即可推出，即可解答； （2）证明，可得，即可解答． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， 在与中， ， ， ． 33．(23-24七下·重庆北碚区西南大学附属中学校·期末)如图，中，，D、E是边、上的点，连接、交于点F，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市北碚区西南大学附属中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练运用全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）利用证明，根据全等三角形的性质即可得证； （2）根据全等三角形的性质求出，再根据三角形外角性质求解即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． 34．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，为等边三角形，点D，E分别是边，上的点．连接，交于点H． (1)如图1，点M是延长线上一点，连接，，若，，，求的值； (2)如图2，点F是的角平分线上一点，连接，，，满足．若，求证：． 【答案】(1)5 (2)证明过程见详解 【来源】重庆市第一中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）由“”可证，可得，，可证是等边三角形，即可求解； （2）作于M，于N，由角平分线的性质可得，由“”可证，可得结论． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ，， ， ，，， 是等边三角形， ， ， . （2）证明：作于M，的延长线于N， 均为直角三角形， 平分， ， ， ， ， ，，， ∴， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，角平分线的性质等知识，证明是解题的关键． 35．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，在中，，E为平面内一点，连接，，C为延长线上一点，连接交于点F，且，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【来源】重庆市第一中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，三角形的外角定理． （1）根据等边对等角得出，进而得出，通过证明，即可求证； （2）根据三角形的外角定理得出，在求出，则，最后根据三角形的外角定理，即可解答． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 36．(23-24七下·重庆第八中学校·期末)如图1，在等边三角形中，点D在上，点E在上，，交于点F，于点G，延长交于点H，． (1)求证：． (2)如图2，连接，若，求证：点F是的中点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【来源】重庆市第八中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的性质，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）由可证，可得； （2）延长交于点Q，由可证，可得，由可证，可得，可得结论． 【详解】（1）∵是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）如图，延长交于点Q， ∵，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点F是的中点． ( 题型0 3 ) 解答压轴题 37．(22-23七下·重庆沙坪坝区第一中学校·期末)如图，在中，，，过点B作，且，点B作交于点F，连接．      (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【来源】重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、平行线的性质等知识，熟练运用全等三角形的性质探究线段间的关系是解答的关键． （1）先根据平行线的性质得到，，再根据等腰三角形的性质求得，，进而利用三角形的外角性质求解即可； （2）先求得，在上截取，连接，分别证明和得到，进而可得结论． 【详解】（1）解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：∵，， ∴， ∵， ∴， 如图，在上截取，连接，      ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 38．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，为中的角平分线，，延长至F，连接． (1)求的度数； (2)若，求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为中的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵为中的角平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 39．(23-24七下·重庆巴蜀中学校·期末)如图1，在中，点D、E在边上，连接、，满足，且，点F在上，连接交于点G．    (1)若平分，，求的度数； (2)如图2，若，连接，证明：； (3)在（2）的条件下，如图3，于点Q，点M、N在边上，且，连接、，已知，，，，直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】重庆市巴蜀中学校2023-2024学年下学期七年级期末数学试题 【分析】（1）由，根据三角形内角和定理，得到，由，在中，根据三角形内角和定理，求出，，由平分，在中，根据三角形内角和定理，即可求解， （2）， 由，，根据平行线的性质，得到，，结合，得到，，结合，，得到，，在和根据三角形内角和定理，得到，，即可求解， （3）作，，作，由，，得到，结合，，得到，，根据，，，，得到，由（2）得，，，由，得到，由，得到，在中，根据三边关系得到，即可求解， 本题考查了，角平分线，三角形内角和定理，平行线的性质，全等三角形的性质与判定，三角形三边关系，解题的关键是：连接辅助线，构造全等三角形． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴设，则， ∴，即：，解得：， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：， （2）解：作，交于点，    ∵，， ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴, （3）解：作，，连接，作 交延长线于点，    ∵，， ∴，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， 由（2）得，， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 40．(23-24七下·重庆外国语中学校·期末)直角三角形，等腰三角形都是我们最为常见的几何图形．如图，在中，，是的角平分线，为边上一点，过点作于点，过点作交于点． (1)如图，当时，求的长； (2)如图，连接，若是的角平分线，请猜测、、之间的数量关系，并证明你的猜测； (3)如图3，在（）问的条件下，连接并延长交于点，连接、，当为等腰三角形时，请直接写出与的面积之比为多少？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析； (3)． 【来源】重庆市外国语中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）由角平分线的定义及平行线的性质得，又根据垂线定义得，，进而得，即可得解； （2）延长交于点，先证，得，，进而利用三角形的中位线性质得，又证明，得，即可得解； （3）过点作，，于、、，设， 先证平分，，，再证明为等腰三角形，时，从而得，，根据直角三角形的性质，进而根据勾股定理及等腰三角形的判定得，，，，，从而利用面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 如下图，延长交于点， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：过点作，，于、、，设， ∵， ∴， ∵平分，平分， ∴平分，，， 又∵， ∴， ∴， ∴， 同理可得， ∵为等腰三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， ∵， ∴，， 设， ∵， ∴，即， 解得， ∵， ∴， ∵，， ∴，， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴与的面积之比为． 【点睛】本题主要考查了全等三角形得判定及性质，勾股定理，等腰三角形的判定及性质，三角形的中位线性质，熟练掌握勾股定理及全等三角形的判定及性质是解题的关键． 41．(23-24七下·重庆第一中学校·期末)如图，在中，，是边上的高，点D是线段延长线上一点，连接． (1)如图1，，若，，求线段的长度； (2)如图2，，将线段绕着点B旋转一定的角度得到线段，连接，，若，，求证：， (3)如图3，，点P是线段上的动点，点Q是线段上的动点，满足，，连接，，．若，当最小时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【来源】重庆市第一中学校2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）直接利用勾股定理可得答案； （2）如图，延长至，使，连接，证明，可得，，再证明，延长，作，证明，结合，可得，再进一步解答即可； （3）如图，在上截取，延长至，使，连接，证明，可得，，，，；同理可得：，可得，，当在上时，则，此时最短；再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴； ∵， ∴； （2）解：如图，延长至，使，连接， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 延长，作， ∴， ∴， ， ∵， ∴， 由旋转可得：， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，延长至，使，连接， ∵，，， ∴，都是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∴，，， ∴，； 同理可得：， ∴，， 当在上时， ，此时最短； ∵，， ∴， 而， ∴， 过作于，过作于， 则为等腰直角三角形，设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，而， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，二次根式的混合运算，旋转的性质，含的直角三角形的性质，作出合适的辅助线是解本题的关键． 42．(22-23七下·重庆渝中区巴蜀中学·期末)如图，在中，，，点D、E分别是边、上的点，连接，交于点O．    (1)如图1，，过点C作，交的延长线于点F，求证：； (2)如图2，点D是中点，连接，若，求证：； (3)如图3，过点C作于点F，延长至点G，使得，点B、O、D、G在同一直线上，若，，直接写出的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 在和中，， ， ∴． （2）证明：如图，过点作交的延长线于点，      ∵是的中点， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ， 在和中，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、三角形全等的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 43．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)在中，，D是边上一动点，连接． (1)如图1，在平面内将线段绕点C顺时针旋转得到线段，点F为边上一点，连接交于M，连接．若，求的长； (2)如图2，在平面内将线段绕点B顺时针旋转一定角度得到线段，连接交于G，连接，若，猜想线段的数量关系，并证明你的猜想； (3)在（2）的条件下，将沿直线翻折至所在平面内得到，连接，若，在点D运动过程中，当线段取得最小值时，请直接写出与四边形重叠部分的面积． 【答案】(1)的长为 (2)线段AD，CG的数量关系为：，证明见解析 (3)与四边形重叠部分的面积为 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学模拟试题（八） 【分析】（1）由题意可证明出，可得到，，，再令，则，可推出，从而得到，作交于，可推出，再根据勾股定理可求出的长，然后根据三角形的等面积法求出的长度，最后用勾股定理即可求出的长； （2）作交于，根据，得到，，从而证明出，由此得到，再证明出，由此得到，最后根据边的关系进行转化即可得到答案； （3）令，则由题意可得， ，从而可得到，根据三角形三边关系可知：当三点共线时，即当并交于时，的值最小，从而可得到，由解得：，再将重合部分的面积进行分解，从而可计算出重合部分的面积． 【详解】（1）解：如图所示，作交于， 将线段绕点顺时针旋转得到线段， ， 在和中， ， ， ，，， 令，则， ， ，   , , ， ， ， ，即， ， ， 故答案为：； （2）解：线段，的数量关系为：， 证明：如图所示，作交于， 令， ， ， ， ， ， ，   ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：线段，的数量关系为：， （3）解：令，则由题意可得， ， ， ， 由三角形三边关系可知： 当共线时，即当并交于时，的值最小， ， ， 由勾股定理得，，即， 由解得：， , ∴， 作交于，令与的交点为， 则，， ， ∴ ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定与性质，线段的旋转变换，三角形全等的判定定理，三角形的等面积法求边长等知识点，熟练掌握这些定理和知识点是解题的关键． 44．(22-23七下·重庆西南大学附属中学校·期末)在中，；在中，，． (1)如图，若，点在线段上，且，求的度数． (2)如图，若，点在外部，连接交于点，连接，已知是中点，求证：． (3)如图，点在线段上，且平分，过点作交线段于点，交线段于点，连接，当，，时，请直接写出的周长． 【答案】(1)； (2)证明见解析； (3)． 【来源】重庆市西南大学附属中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（）由得，进而可得，即可得，再根据即可求解； （）在上截取一点，使，连接，可证，得到，，进而证明，得到，可得，再由即可求证； （）如图，过点作，，，可得四边形是矩形，进而由可得矩形是正方形，得到，设，利用的面积可得，即得，得到，在上找一点，使，证明可得，，进而证明，得到，得到周长，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：在上截取一点，使，连接， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作，，， 则，， ∴四边形是矩形， 在中，， ， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴矩形是正方形， ∴， 设， ∴， ， ， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， 在上找一点，使， ∵正方形， ∴，， ∴， 在和中  ， ， ∴， ∴，， ∵正方形， ∴， ∴， 又∵，，   ∴，   即， ∴， 在和中 ， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴周长 ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形外角性质，矩形的判定，正方形的判定和性质，三角形的面积，三角形的周长，正确作出辅助线是解题的关键． 45．(23-24七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)为等边三角形，在外作射线，D为射线上一点，连接，在平面内有一点E，满足． (1)如图1，连接，若点E恰好在上，且，求的度数； (2)如图2，连接，若，且恰好过边的中点M，求证：； (3)如图3，若，，连接，当线段的长度最小时，在射线上取一点F，在边上截取，连接、，则当的值最小时，请直接写出的度数． 【答案】(1) (2)证明见解析； (3)； 【详解】（1）解： ，， 是等边三角形， ， ， 为等边三角形， ，， ，， ， ， ， ， ． （2）证明：在上取点，使得，连接、、，如图所示， 为边的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ， 故； （3）解：以为边向下作等边三角形，连接，如图所示， 和都是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ， ， 当点在射线上运动时，点的运动轨迹是在直线上，且满足， 当线段的长度最小时，即过点向直线作垂线，为垂足， 即， ， ，， ， 在中，， 又 ， ， ， 以点为顶点，作，且，连接，如图所示， ， ， ， ， 连接交射线于点，在中， ， 当三点共线时，的值最小，如图所示， 此时， ， 为等腰三角形， 又， ， 又 （前面已证）， ， ， 故当的值最小，． 46．(22-23七下·重庆沙坪坝区第七中学校·期末)已知点E是△ABC内部一点．将△ABE沿BE翻折，点A落在BC上的点F′处．    (1)如图1，若，，．求的度数； (2)如图2，若，请说明． (3)如图3．连接，若，，，将绕点顺时针方向旋转一个角度得到，则在这个旋转过程中，当与的某一边垂直时，直接写出旋转角的度数． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)当时，；当时，；当时，． 【来源】重庆市沙坪坝区第七中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据翻折变换的性质以及三角形内角和定理可以得出，再根据平行线的性质得出，即可得出的度数； （2）根据翻折变换的性质可得，设，，根据三角形内角和定理可得，再对等式两边进行角度转换和化简可得； （3）根据图形旋转的特点，能够想象出绕点顺时针方向旋转角到时垂直于各边的不同情形，可以分三种情形：如图3-1中，当时；如图3-2，当时；如图3-3，当时．通过对这三种情形的分析，准确找到旋转角，并利用翻折变换的性质以及三角形内角和定理求出旋转角的度数． 【详解】（1），， ， 是由沿翻折而成的， ， 又， ， ． （2）设， 是由沿翻折而成的， ， ，， ， ， 即． （3）如图3-1，延长至点，作垂直于点，将绕点顺时针方向旋转角到，且，   ，， 在中，， ， 由翻折变换的性质可知，， ， ． 当时，． 如图3-2，延长至点，作垂直于点，将绕点顺时针方向旋转角到，且，   ，， 在中，， ， 由翻折变换的性质可知，， ，， ， ． 当时，． 如图3-3，延长至点，作垂直于点，将绕点顺时针方向旋转到，且，   ，， 在中，， ， 由翻折变换的性质可知，，， ， ， 又， ， ， ． 当时，． 47．(22-23七下·重庆巴南区重庆巴南育才实验中学校·期末)（1）如图，在中，点为中点，证明：；    （2）如图，在中，点为中点，点为的三等分点且，若，请直接写出的面积；    （3）如图，点为上动点（不与，重合），，，，，于，请探究的值是否为定值，若是定值，请求出该定值；若不是，请说明理由．    【答案】（1）证明见解析；（2）12；（3）的值为定值，理由见解析 【来源】重庆市巴南区重庆巴南育才实验中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）延长到，使，连接，证≌，得，再由三角形的三边关系即可得出结论； （2）取的中点，连接，，，证是的中位线，则，,再证，得，然后由三角形面积得，即可解决问题； （3）过点作于点，证≌，得，同理≌，得，则，然后由等腰三角形的性质得，即可解决问题． 【详解】（1）证明：如图，延长到，使，连接，    则， 点为中点， ， 在和中， ， ≌， ， 在中，， ， ； （2）解：如图，取的中点，连接，，，    ，， 是的中位线， 为三等分点且， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：的值为定值，理由如下： 如图，过点作于点，    ，， ， 在和中， ， ≌， ， 同理：≌， ， ， 即， ，， ， ， ， ，为定值． 48．(23-2七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)已知是等边三角形，点D为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，点D在线段上，连接，若，且，求线段的长； (2)如图2，点D是延长线上一点，过点E作于点F，求证：； (3)如图3，若，点D在射线上运动，取中点G，连接，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【详解】（1）如图，过点E作，交的延长线于点M， ∵，都是等边三角形， ， ∴， ． ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）如图，延长过到点N，使得， ∵，都是等边三角形， ∴， ． ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （3）根据（1）得， ∴． ∴是的角平分线， 当时，最短， ∵，中点G， ∴， ∴， 故的最小值为． 49．(21-22七下·重庆第一中学校·期末)在中，D为线段AC上一点，DE⊥AB于点E，连接BD． (1)如图1，若点E是AB的中点，∠ADB＝120°，G是线段DE上一点，连接GA、GC、GB，且GC＝GB，则∠DCG+∠EBG＝______； (2)如图2，连接CE交BD于点F，若DA＝DB，且∠BFE＝∠BCD，求证：DA＝DC+2DF； (3)如图3，连接CE交BD于点F，若CE＝BD，且CE⊥BD，∠CBD+2∠ABD＝90°，请直接写出的值． 【答案】(1)30° (2)见解析 (3) 【来源】重庆市第一中学校2021-2022学年七年级下学期期末数学试题 【详解】（1）解：∵点E是AB的中点，DE⊥AB， ∴DE是AB的中垂线， ∴AD＝DB，AG＝GB， ∵∠ADB＝120°，AD＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA＝30°， ∵GC＝GB， ∴AG＝GB＝GC， ∴∠GAC＝∠GCD，∠DBE＝∠GAB， ∴∠DCG+∠EBG＝∠GAC+∠GAB＝∠DAB＝30°， 故答案为：30°； （2）证明：如图，过点C作CN⊥AB于N，交BD于H，连接EH， ∵DA＝DB， ∴∠DAB＝∠DBA， ∵∠BFE＝∠BCD＝∠CFD，∠CBD+∠DCB+∠CDF＝180°，∠CDF+∠CFD+∠DCF＝180°， ∴∠DCF＝∠DBC， ∴∠DCF+∠DAB＝∠DBC+∠DBA， ∴∠CEB＝∠CBE， ∴CB＝CE， 又∵CN⊥AB， ∴EN＝NB， ∴CN是BE的中垂线， ∴EH＝BH， ∴∠HEB＝∠HBE， ∴∠HEB＝∠A， ∴， ∵DE⊥AB，CN⊥AB， ∴， ∴四边形CDEH是平行四边形， ∴CD＝EH＝BH， ∵， ∴∠CDF＝∠EHD，∠DCF＝∠FEH， ∴△DCF≌△HEF（ASA）， ∴DF＝FH， ∴AD＝DB＝DF+FH+BH＝2DF+DC； （3）解：如图，过点C作CN⊥AB于N，CM⊥DE，交ED的延长线于M， ∵CN⊥AB，CM⊥DE，DE⊥AB， ∴四边形CMEN是矩形， ∴CN＝EM，CM＝EN， ∵DE⊥AB，CE⊥BD， ∴∠DEF+∠FEB＝90°＝∠FEB+∠DBE， ∴∠DEF＝∠DBE， 又∵CE＝BD，∠M＝∠DEB＝90°， ∴△DEB≌△CME（AAS）， ∴CM＝DE，BE＝EM， ∵∠CBD+2∠ABD＝90°， ∴∠CBN+∠ABD＝90°， ∵∠CBN+∠BCN＝90°， ∴∠BCN＝∠ABD， ∵， ∴∠DEC＝∠ECN， ∴∠DEC＝∠ECN＝∠ABD＝∠BCN， 又∵∠CNB＝∠CNE＝90°，CN＝CN， ∴△CNB≌△CNE（ASA）， ∴EN＝NB， ∴BE＝2EN＝ME， ∴MD＝MC， 设MC＝MD＝DE＝EN＝NB＝a， ∴， ∵DE＝a，BE＝2a， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 50．(22-23七下·重庆沙坪坝区南开中学校·期末)在中，．    (1)如图1，在边上找一点E，连接，使得，过点B作的垂线交延长线于点G，延长，交于点D．若，求的长度； (2)如图2，在内部找一点E，连接，将绕点E旋转至交于点O，使得，连接，取的中点D，连接．求证：； (3)如图3，在（2）问的条件下，若，且，交于点R，点P为线段上一动点，连接，将线段绕着R点顺时针方向旋转，得到线段，连接．当线段长度最小时，请直接写出的值． 【答案】(1)6，详见解析； (2)详见解析； (3)，详见解析． 【来源】重庆市沙坪坝区南开中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）根据直角三角形的性质求出，然后证出，进而即可得出答案； （2）如图所示，延长到G，使，连，构造，得出，进而可证出，最后利用等腰直角三角形的性质即可得出答案； （3）连，先证出四边形为平行四边形，得出，如图所示，以为边在左边作等边三角形，连，得出，进而得出线段长度最小即为线段长度最小，利用线段长度最小时得出与的关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵， ∴, ∵， ∴， 在中， ∵，， ∴， 在和中 ∴ ∴； （2）如图所示，延长到G，使，连， ∵D为的中点， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∵， ∴，， 由旋转知：， ∴在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴；    （3）如图所示,连， ∵，的中点D， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， 如图所示，以为边在左边作等边三角形，连， ∴ ∵将线段绕着R点顺时针方向旋转，得到线段， ∴， ∴， 在和中 ∴ ∴， ∴线段长度最小即为线段长度最小， ∵点P为线段上一动点， ∴当时，线段长度最小， ∵, ∴,, ∴在中，, ∴， ∴的值为.    【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰直角三角形的性质，等边三角形的性质,勾股定理，垂线段最短等知识点，灵活作出辅助线是解决此题的关键． 51．(23-24七下·重庆重庆实验外国语学校·期末)已知是等边三角形． (1)如图1，点D是边的中点，点P为射线AC上一动点，当是轴对称图形时，的度数为__________； (2)如图2，，点D在边上，点F在射线上，且，作于G，当点D在边上移动时，请同学们探究线段，，之间有什么数量关系，并对结论加以证明； (3)如图3，点R在延长线上，连接，S为上一点，，连接交于T，若，，直接写出线段的值为__________． 【答案】(1)，， (2)；理由见解析 (3) 【详解】（1）解：∵等腰三角形为轴对称图形， ∴当是轴对称图形时，一定是等腰三角形， ∵为等边三角形， ∴， ∵点D是边的中点， ∴平分， ∴； 当时，如图所示： ∴， ∴； 当，点P在线段上时，如图所示： ∴， ∴； 点P在线段延长线上时，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， 即； 当时，点P在的延长线上，不在射线上； 综上分析可知，，，； 故答案为：，，． （2）解：；理由如下； 延长过点F作于点H，连接，延长EA，过点D作于点N，过点D作于点M，如图所示： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即． （3）解：过点R作较的延长线于点D交的延长线于点E，在上截取，连接，如图所示： 在和中， ∴， ∴， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， 设，， 则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ， ∴． 故答案为：． 52．(22-23七下·重庆沙坪坝区第一中学校·期末)如图，在中，，点D为中点，连接，点M是直线上一点，连接．    (1)如图1，当点M和点D重合时，将线段绕点B逆时针旋转至，过点B作交于点E，连接、、．若，，求的长； (2)如图2，当点M在线段上，且时，将线段绕点B逆时针旋转至，连接交于点F，交于点G，连接交于点H，若，求证：； (3)如图3，将线段绕点B逆时针旋转至，连接，在线段上取一点P，使．若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2)详见解析 (3) 【来源】重庆市沙坪坝区第一中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）可求，可证，可求，由，即可求解； （2）方法一：连接，可证，可得，，再证，可得，即可求证；方法二：连接， 可证，，从而可得，，可证，即可求证；方法三：如图，延长至，使，可得，，可证，从而可得，， ，再证，即可求解． （3）作于，可求；，所在直线为点的轨迹，与夹角，可证，可得，连接， 可得，当、、三点共线时，最小，此时，连接，作于，可求，由即可求解． 【详解】（1）解：，是中点，， ， ，， ， ， 由旋转得：，， ， ， 在中，， 在，． （2）证明：方法一：如图，连接，    ，D为中点 ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ∴（）， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ． 方法二：如图，连接，    ， ，， 垂直平分 点在上， ∴， ， 由方法一得，同理可证（）， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ． 方法三：如图，延长至，使，    由方法一得：， ，， ， ， ， ， 即， 在和中 ， （）， ，， ， ， 在和中 （）， ． （3）解：如图，作于    ， ，， ， ， ， ； 如图，所在直线为点的轨迹，与夹角，    构造，且 连接， ， 在和中 ， （）， ， 连接， 由（1）得同理可证：， ， 当、、三点共线时，最小，此时 如图，连接，作于，    ， 由题可知，， ， ， ． 53．(22-23七下·重庆沙坪坝区第八中学校·期末)如图1，已知等边，以B为直角顶点向右作等腰直角，连接．    (1)若，求点D到边的距离； (2)如图2，过点B作的垂线，分别交，于点E，F，求证：； (3)如图3，点M，N分别为线段，上一点，，连接，，若，当取得最小值时，直接写出的面积． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【来源】重庆市沙坪坝区第八中学校2022-2023学年七年级下学期期末数学试题 【分析】（1）延长，过点作于点E，根据等边三角形性质求出，，根据等腰直角三角形性质求出，，求出，根据，根据含角的直角三角形性质求出； （2）在上截取，连接，，证明，得出，根据即可证明结论； （3）过点A作，截取，连接，过点C作于点E，证明，得出，得出，求出当、M、P三点共线时，最小，然后求出此时的面积即可． 【详解】（1）解：延长，过点作于点E，如图所示：    ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰三角形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴点D到边的距离为． （2）解：在上截取，连接，，如图所示：    ∵为等边三角形， ∴，， ∵为等腰三角形三角形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴．    （3）解：过点A作，截取，连接，过点C作于点E，如图所示：    ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴当、M、P三点共线时，最小， 根据（2）可知，，，， ∴， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 5 / 20 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$