2024-2025学年八年级第二学期期末考试数学试卷（人教版）

· 2024-2025学年八年级第二学期期末考试 · 数学试卷（人教版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试范围：八年级下册+一元二次方程。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上。 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．在某校举行的“国学经典诵读”比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分和一个最低分后得到的五个有效评分分别为：，，，， (单位：分)，则这五个有效评分的中位数与众数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 4．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①对角线相等 B．③对角线互相垂直 C．②有一组邻边相等 D．④对角线互相平分 5．对于一次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象与直线平行 B．图象与y轴的交点坐标为 C．若点，，且在一次函数的图象上，则 D．图象可由直线向下平移个单位长度得到 6．在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 7．如图，在矩形中，点M，N分别是和的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 第7题 第9题 8．小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（    ） A．22 B．22.5 C．23 D．23.5 9．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则下列结论：；；；四边形是菱形．其中正确的有（      ） A． B． C． D． 10．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（   ） A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．在中，，则 ． 12．已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 （填“”“”或“”）． 第12题 第14题 13．关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 14．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 15．如图，矩形中，，，点在边上，将△沿直线翻折，点落在点处，联结、．如果△是以为腰的等腰三角形，那么的长是 ． 第15 第16题 16．如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为 ． 17．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 18．如图，点是正方形内一点，且，垂足为，连接，点，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 第18题 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题纸对应的位置和区域内解答。 19．（本题10分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 20．（本题10分）如图，点、是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求平行四边形的周长． 21．（本题10分）已知关于的一元二次方程有两个实根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，满足？ 22．（本题10分）如图，把一张矩形纸片沿对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．过点作交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，求四边形的面积． 23．（本题12分）为了有效提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防诈反诈”讲座，随后组织了“防诈反诈”知识竞赛，从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩，并对这些竞赛成绩进行了整理、描述和分析（满分100分，成绩得分用x表示，分为4组：A．；B．；C．；D．．得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数：94，92，93，91． 八年级C组学生的分数：91，92，93，93，93，94，94，94，94，94． (1)填空：________，________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级的学生对“防诈反诈”的掌握情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） (3)该校有七年级学生600名，八年级学生700名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 24．（本题12分）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进某品牌的足球若干个，购买此品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)当个时，该品牌足球的价格___________元/个； (2)当时，求与的函数表达式； (3)若购买该品牌足球的平均价格为元，请求出购买足球的数量． 25．（本题13分）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 26．（本题13分）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$ · 2024-2025学年八年级第二学期期末考试 · 数学试卷（人教版） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．做选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3．做填空题和解答题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 4．考试范围：八年级下册+一元二次方程。 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项的序号填涂在答题纸上。 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意， 故选：A． 2．下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的乘法、二次根式的除法、二次根式的加减运算 【分析】本题考查二次根式的加法，减法，乘法，除法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； 根据二次根式的运算法则计算即可判断． 【详解】解：A、，原式计算错误，故不符合题意； B、，原式计算错误，故不符合题意； C、，原式计算错误，故不符合题意； D、，原式计算正确，故符合题意． 故选：D． 3．在某校举行的“国学经典诵读”比赛中，七位评委给某班的评分去掉一个最高分和一个最低分后得到的五个有效评分分别为：，，，， (单位：分)，则这五个有效评分的中位数与众数分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【知识点】求中位数、求众数 【分析】本题考查了中位数和众数的定义，根据中位数和众数的定义求解即可． 【详解】解：将数据从小到大排列可得：，，，，， 这五个有效评分的中位数与众数分别是，， 故选：D． 4．在复习特殊的平行四边形时，某小组同学画出了如下关系图，组内一名同学在箭头处填写了它们之间转换的条件，其中填写错误的是（   ） A．①对角线相等 B．③对角线互相垂直 C．②有一组邻边相等 D．④对角线互相平分 【答案】D 【知识点】矩形的判定定理理解、证明四边形是菱形、正方形的判定定理理解 【分析】本题考查了正方形的判定，矩形和菱形的判定，对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形，据此可得答案． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，有一个角是直角的平行四边形是矩形，一组邻边相等的平行四边形是菱形，对角线垂直的矩形是正方形，对角线相等的菱形是正方形， 故错误的只有④， 故选： D． 5．对于一次函数，下列说法不正确的是（   ） A．图象与直线平行 B．图象与y轴的交点坐标为 C．若点，，且在一次函数的图象上，则 D．图象可由直线向下平移个单位长度得到 【答案】C 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、一次函数图象平移问题、比较一次函数值的大小 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质，一次函数的图象平移，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题关键． 根据一次函数的图象与性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的图象平移的法则进行逐项分析判断即可． 【详解】解：A、直线的图象可由直线向上平移个单位长度得到，故直线与直线平行，此选项正确，但不符合题意； B、令，则，故一次函数的图象与轴的交点为，此选项正确，但不符合题意； C、一次函数中的，故随的增大而减小，由得，此选项错误，但符合题意； D、直线的图象可由直线向下平移个单位长度得到，此选项正确，但不符合题意． 故选：C． 6．在中，，，的对边分别为，，，下列条件中可以判断的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【知识点】判断三边能否构成直角三角形 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据勾股定理的逆定理逐项判断即可． 【详解】解：A、，，， ， 是直角三角形，且， 故A选项不符合题意； B、，，， ， ， 故B选项不符合题意； C、，，， ， 是直角三角形，且， 故C选项符合题意； D、，，， ， 是直角三角形，且， 故D选项不符合题意； 故选：C． 7．如图，在矩形中，点M，N分别是和的中点，则下列说法错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】与三角形中位线有关的证明、利用矩形的性质证明 【分析】本题考查矩形的性质和三角形中位线的性质，灵活运用相关的知识是解题的关键． 根据中位线的性质和矩形的性逐一分析，判定即可． 【详解】∵点M，N分别是和的中点， ∴， 在矩形中，，， ∴，， 因此A、C是正确的， ∵，， ∴， ∴，因此D是正确的， B选项不能证明，是错误的， 故选：B． 8．小鹿和小晨从图书馆出发去公园．小鹿先出发，5分钟后小晨出发，两人刚好同时到达休息点，短暂休息后两人分别以原来的速度同时再出发，各自到达公园．如图1，图书馆到公园的路线长4.5千米，图2表示两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系，则图中的值为（    ） A．22 B．22.5 C．23 D．23.5 【答案】B 【知识点】从函数的图象获取信息、行程问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查了一次函数图象．熟练掌握行程问题的s—v图象数据，路程与速度和时间的计算，是解题的关键． 由两人相距的路程（千米）与小鹿所用时间（分）之间的函数关系图象可得小鹿的速度为0.2千米/分钟，小晨的速度为0.3千米/分钟，休息的时间为2.5分钟，小晨从休息点到公园的时间为5分钟，即得m的值． 【详解】解：由图象可得， 小鹿的速度为（千米/分钟）， 小鹿行完全程的时间为（分钟）， 在休息点休息的时间为（分钟）， 小鹿与小晨的速度差为（千米/分钟）， 小晨的速度为（千米/分钟）， 小晨行完全程的时间为（分钟）， 图书馆到休息点的路程为（千米）， 小晨从休息点到公园的时间为（分钟）， ． 故选：B． 9．如图，在菱形中，，与交于点，为延长线上的一点，且，连接分别交，于点，，连接，则下列结论：；；；四边形是菱形．其中正确的有（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】全等三角形综合问题、等边三角形的判定和性质、与三角形中位线有关的证明、根据菱形的性质与判定求线段长 【分析】由四边形是菱形，得，，，然后根据平行四边形的判定可证四边形是平行四边形，然后通过平行四边形的性质即可判断；由平行四边形的性质和全等三角形的判定方法即可判断；由四边形是平行四边形，四边形是菱形，则，，然后通过中位线定理即可判断；由四边形是菱形，得，则可证明是等边三角形，故有，通过菱形的判定方法即可判断． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴，故正确； ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，故正确； ∵四边形是平行四边形，四边形是菱形， ∴，， ∴是中位线， ∴，故正确； ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形，故正确， 综上可知：正确， 故选：． 【点睛】本题考查了菱形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、三角形中位线定理等知识，熟练掌握菱形的判定与性质是解题的关键． 10．定义，图象与x轴有两个交点的函数y＝叫做关于直线x＝m的对称函数，它与x轴负半轴交点记为A，与x轴正半轴交点记为B例如：如图：直线l：x＝1，关于直线l的对称函数y＝与该直线l交于点C，当直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点时，则m的取值范围是（   ） A．0≤m≤ B．－2＜m≤ C．－2＜m≤2 D．－4＜m＜0 【答案】B 【知识点】一次函数图象与坐标轴的交点问题、根据两条直线的交点求不等式的解集 【分析】根据定义轴上存在即可求得，根据题意联立即可求得的范围，结合定义所求范围即可求解 【详解】∵一次函数图象与x轴最多只有一个交点，且关于m的对称函数与x轴有两个交点， ∴组成该对称函数的两个一次函数图象的部分图象都与x轴有交点． ∵ 解得或 ∴． ∵直线y＝x与关于直线x＝m的对称函数有两个交点， ∴直线y=x分别与直线和各有一个交点． 对于直线y=x与直线， 联立可得解得 ∴直线y=x与直线必有一交点． 对于直线y=x与直线， 联立可得解得 ∵， ∴必须在的范围之内才能保证直线y=x与直线有交点． ∴． ∴． ∴m的取值范围是． 故选B 【点睛】本题考查了新定义，两直线交点问题，一次函数的性质，掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，第11～12题每小题3分，第13～18题每小题4分，共30分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 11．在中，，则 ． 【答案】 【知识点】利用平行四边形的性质求解 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质，两组对角分别相等解答即可，解题的关键是要熟练掌握平行四边形的性质． 【详解】解：如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， 故答案为：． 12．已知甲、乙两名运动员10次标枪的平均成绩相同，标枪落点如图所示，则方差 （填“”“”或“”）． 【答案】 【知识点】根据方差判断稳定性 【分析】本题主要考查了方差与数据集中性的关系，方差越小，数据越集中，据此可得答案． 【详解】解：由图可知，乙的成绩比甲的成绩更加的集中， ∵甲和乙的平均成绩相同， ∴， 故答案为：． 13．关于的一次函数，若随的增大而减小，且图象与轴的交点在原点上方，则实数的取值范围是 ． 【答案】/ 【知识点】根据一次函数增减性求参数 【分析】本题考查一次函数的性质；由一次函数性质得，，，求解即可． 【详解】解：∵y随x的增大而减小， ∴． ∴． 当时，， ∵图象与y轴的交点在原点上方， ∴． ∴． ∴． 故答案为：． 14．我国古代称直角三角形为“勾股形”，并且直角边中较短边为勾，另一直角边为股，斜边为弦．如图1所示，数学家刘徽（约公元225年—公元295年）将勾股形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，后人借助这种分割方法所得的图形证明了勾股定理．如图2所示的长方形，是由两个完全相同的“勾股形”拼接而成，若，，则长方形的面积为 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、用勾股定理构造图形解决问题 【分析】本题考查了勾股定理的运用，利用勾股定理列出方程是解题的关键． 设的长为x，在直角三角形中，利用勾股定理可建立关于x的方程，进而可求出该矩形的面积． 【详解】解：由已知可得，，， ∴， 设的长为x， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 即， 整理得，， ∴ ∴ 而矩形面积为：， 故答案为：． 15．如图，矩形中，，，点在边上，将△沿直线翻折，点落在点处，联结、．如果△是以为腰的等腰三角形，那么的长是 ． 【答案】或 【知识点】用勾股定理解三角形、根据矩形的性质求线段长、矩形与折叠问题 【分析】分两种情况讨论，一是，由折翻折得，所以，过点F作于点G，交于点H，则，四边形是矩形，所以，，求得，则，由勾股定理得，求得；二是，连接，过点F作于点Q，交于点P，则，四边形是矩形，所以，可证明垂直平分，则，所以，则，所以，由，求得，于是得到问题的答案． 【详解】解：如图1，△是以为腰的等腰三角形，且， 四边形是矩形，，， ，， 将△沿直线翻折，点落在点处， ， ， 过点作于点，交于点，则， ， 四边形是矩形， ，，， ， ， ，且，， ， 解得； 如图2，△是以为腰的等腰三角形，且， 连接，过点作于点，交于点，则， ， 四边形是矩形， ，， ， 垂直平分， ， ， △是等边三角形， ， ， ， ， ， 综上所述，的长是或， 故答案为：或． 【点睛】此题重点考查矩形的判定与性质、翻折变换的性质、等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理、分类讨论数学思想的运用等知识与方法，正确地作出辅助线是解题的关键． 16．如图是一个游戏装置，四边形是正方形，点光源为的中点．点、点为的三等分点，是一个感光元件．若从点发出的光线照向平面镜，其反射光线照射到上（含端点），该感光元件就会发光．已知点，反射光线所在直线为，当感光元件发光时，的取值范围为 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合 【分析】本题考查一次函数的应用．取点关于轴的对称点，根据点的坐标得到的坐标，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点；设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且，将的坐标代入，将用含的代数式表示出来；再分别将点、的坐标代入得到对应的值，从而得到的取值范围，进而求得的整数值． 【详解】解：如图，取点关于轴的对称点． ∵点为的中点， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点、点为的三等分点， ∴，， ∵点关于轴的对称点， ∴，根据光的反射定律，反射光线所在的直线经过点， 设反射光线所在的直线的解析式为为常数，且， 将代入， 得，∴， ∴， 当反射光线经过时，得， 解得； 当反射光线经过时，得， 解得， ∴， 故答案为：． 17．已知点，，直线经过点．当该直线与线段有交点时，的取值范围是 ． 【答案】或 【知识点】求一次函数解析式、一次函数图象与旋转问题 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系、一次函数图象上点的坐标的特征的等知识点，利用待定系数法求出临界值是解题的关键． 利用临界法求得直线和的解析式即可解答． 【详解】解：当时， ∵直线经过点，， ∴，解得∶ ∴， 当时， ∵直线经过点，， ∴，解得：， ∴． 综上，当该直线与线段有交点时，k的取值范围是：或． 故答案为或． 18．如图，点是正方形内一点，且，垂足为，连接，点，分别是，的中点，若，则的最小值是 ． 【答案】 【知识点】用勾股定理解三角形、与三角形中位线有关的求解问题、斜边的中线等于斜边的一半、根据正方形的性质求线段长 【分析】本题考查正方形的性质，勾股定理，三角形的中位线，直角三角形斜边中线的性质，取中点，连接、、，则，，由结合斜边中线得到，即可得到，再由是的中位线，得到，求出，即可得到的最小值． 【详解】解：取中点，连接、、， ∵正方形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴，即，当、、三点共线时取等号， ∵点，分别是，的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴的最小值是， 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共90分）解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.请在答题纸对应的位置和区域内解答。 19．（本题10分）用适当的方法解下列方程： (1) (2) 【答案】(1)， (2)， 【知识点】公式法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程 【分析】本题主要查了解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键． （1）利用因式分解法解答，即可求解； （2）利用公式法解答，即可求解． 【详解】（1）解： ∴， ∴， ∴， 解得：， （2）解：， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得：，． 20．（本题10分）如图，点、是平行四边形对角线上两点，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)若，，，求平行四边形的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、利用平行四边形性质和判定证明 【分析】本题考查了平行四边形的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）证明得到，再由即可证明； （2）过点作，交的延长线于，由角直角三角形性质求出，再由勾股定理求出，然后在中，由勾股定理求出，最后根据平行四边形的性质求解即可． 【详解】（1）证明：平行四边形中，，， ， 又， ， 在和中，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； （2）解：过点作，交的延长线于， 在中，，， ， ∴ 在中，， ∵平行四边形， ∴， ． 21．（本题10分）已知关于的一元二次方程有两个实根． (1)求的取值范围； (2)是否存在实数，满足？ 【答案】(1) (2)存在，，理由见详解 【知识点】因式分解法解一元二次方程、一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、解分式方程（化为一元二次） 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，掌握以上知识的计算是关键． （1）根据题意，运用根的判别式即可求解； （2）根据根与系数的关系得到，代入求解即可． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程有两个实根， ∴， 解得：； （2）解：存在，，理由如下， ∵一元二次方程， ∴， 整理得，， ，即， 解得，． 又且， ． 22．（本题10分）如图，把一张矩形纸片沿对角线向上折叠，顶点落到点处，交于点．过点作交于点，连接交于点． (1)求证：四边形是菱形 (2)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)20 【知识点】根据等角对等边证明边相等、用勾股定理解三角形、矩形与折叠问题、根据菱形的性质与判定求面积 【分析】（1）由矩形的性质得，由折叠的性质得，则得，即，再由，即可证明四边形是平行四边形，从而得它是菱形； （2）在中利用勾股定理建立方程求得，再在中利用勾股定理求得菱形的边长，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴； 由折叠的性质得， ∴， ∴， ∵，即，， ∴四边形是平行四边形； ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴； 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：或（舍去）， ∴； 设菱形的边长为x，则，， 在中，由勾股定理得：， 即，解得：， 即， 则菱形的面积为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定与性质，勾股定理，折叠的性质，等腰三角形的判定等知识，熟练运用这些知识是解题的关键． 23．（本题12分）为了有效提高学生防诈反诈能力，某学校开展了“防诈反诈”讲座，随后组织了“防诈反诈”知识竞赛，从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩，并对这些竞赛成绩进行了整理、描述和分析（满分100分，成绩得分用x表示，分为4组：A．；B．；C．；D．．得分在90分及以上为优秀）．下面给出了部分信息． 七年级C组学生的分数：94，92，93，91． 八年级C组学生的分数：91，92，93，93，93，94，94，94，94，94． (1)填空：________，________． (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级学生在“防诈反诈”知识竞赛中，哪个年级的学生对“防诈反诈”的掌握情况更好？请说明理由．（写出一条理由即可） (3)该校有七年级学生600名，八年级学生700名，请估计这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数． 【答案】(1)，94； (2)八年级的学生对“防诈反诈”的掌握情况更好，理由见详解 (3)820 【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求中位数、运用中位数做决策、求众数 【分析】（1）结合条形统计图、扇形统计图、七、八年级C组同学的分数，结合中位数以及众数的定义进行分析，可得答案； （2）可以对比中位数即可得到结论； （3）求出七、八年级优秀人数，再相加可得． 本题考查了中位数、众数、条形统计图、扇形统计图，样本估计总体，解题的关键是正确列式计算． 【详解】（1）解：∵从七、八年级各随机选取了20名学生的竞赛成绩， ∴七年级学生的成绩的中位数是第10位、第11位的平均数， 观察条形统计图可得，中位数在C组，（分）， 观察扇形统计图和八年级C组同学的众数的分数，分出现次数是次，分出现次数是最多的， ∴； 故答案为：，94； （2）解：∵该校七、八年级学生的平均数都是分， ∵八年级学生成绩的中位数是93分，七年级学生成绩的中位数是分，且， ∴八年级学生对“防诈反诈”的了解情况更好； （3）解：七年级优秀人数（人）， 八年级优秀人数（人）， ∴（人）， ∴这两个年级竞赛成绩为优秀的学生总人数为820人． 24．（本题12分）为落实“五育并举”，我市某学校积极开展“阳光体育运动”，引导学生走向操场，积极参加体育锻炼．为满足学生需求，保障“阳光体育运动”的开展，学校计划购进某品牌的足球若干个，购买此品牌足球所需费用（单位：元）与购买数量（单位：个）之间的关系如图所示． (1)当个时，该品牌足球的价格___________元/个； (2)当时，求与的函数表达式； (3)若购买该品牌足球的平均价格为元，请求出购买足球的数量． 【答案】(1) (2) (3)购买足球的数量个 【知识点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、从函数的图象获取信息、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用) 【分析】本题考查一次函数的应用及求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法，正确求出时的解析式是解题关键． （1）根据“价格=所需费用÷购买数量”列式计算即可； （2）设时，与的函数表达式为，把，代入，求出、的值即可得答案； （3）根据平均价格确定购买足球的数量大于个，根据（2）中所求解析式列方程求出的值即可得答案． 【详解】（1）解：由图像可知：个时，购买个足球的费用是元， ∴该品牌足球的价格是（元/个）． 故答案为： （2）解：设时，与的函数表达式为， 由图像可知点，在该图像上， ∴， 解得：， ∴． （3）解：∵购买该品牌足球的平均价格为元，， ∴购买该品牌足球的数量， ∴ 解得：， ∴购买足球的数量个 25．（本题13分）根据国际标准，系列纸为矩形，其中纸的面积为．将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸；将纸沿长边对折、裁开，便成纸…… 将纸按如图1所示的方式折叠． (1)观察图1的折叠过程，可知纸矩形的宽与长的比值为___________； (2)某兴趣小组在实践活动中尝试用纸板做一个无盖的长方体纸盒，要求如下：把一张纸板分割成个矩形纸板，用其中一个作为底面，其余个作为侧面，恰好能粘接成一个无盖的长方体纸盒，小鑫同学画出了如图2所示的设计示意图，该长方体纸盒底面的面积为． 请你在图3，图4所示的纸板中画出两种与小鑫同学不同的设计示意图，并在图中直接标出长方体纸盒的底面和底面的面积． 【答案】(1) (2)作图见解析，不唯一 【知识点】二次根式的混合运算、组合几何体的构成、矩形与折叠问题、根据正方形的性质与判定求线段长 【分析】本题考查长方体的认识，二次根式的运算，正方形的判定与性质，矩形的性质，熟练掌握长方体的侧面和底面的关系是解题的关键． （1）设纸的长为，宽为，第一次翻折：由图可知，，得出，第一次翻折中，则，即可求解； （2）纸宽为，先利用图2的底面积得出，分别利用长方体的特征得到如图3和图4，再将底面积分别用含的代数式表示出来，再将代入即可求解． 【详解】（1）解：设纸的长为，宽为， 第一次翻折：由图可知，， ∴四边形是正方形， ∴， 第一次翻折：， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵纸的宽与长的比值为， ∴如图，设，， 由题可知， ∴底面积为， 得， 作法不唯一，如图3，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 如图4，按此方法分割，其中，，可以接成无盖的长方体， 此时，， ∴， ∴底面积为， 此时如图： 26．（本题13分）如图，直线图象与轴、轴分别交于、两点，点、分别是射线、射线上一动点点与点不重合，且． (1)求点、坐标和度数； (2)点、在线段、上时不与端点重合，设的长度为，用含的代数式表示的面积； (3)若为坐标平面内的一点，当以、、、为顶点的四边形为菱形时，直接写出的坐标． 【答案】(1)点的坐标为；点的坐标为， (2) (3)当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或 【知识点】一次函数与几何综合、用勾股定理解三角形、斜边的中线等于斜边的一半、利用菱形的性质求线段长 【分析】（1）利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点，的坐标及，的长度，在中，利用勾股定理可求出的长度，由取的中点，连接，可得是等边三角形，进而求出的度数； （2）过点作轴，垂足为点，由，的长度可得出，由，，可得出为等边三角形，利用等边三角形的性质及勾股定理可得出的长度，再利用三角形的面积公式即可得出关于的函数关系式； （3）分，及三种情况考虑：①当时，点与点重合或点与点重合，进而可得出点的坐标；②当时，由可求出的长度，结合是等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标；③当时，过点作直线，垂足为点，通过解直角三角形可求出的长度，由等腰三角形的性质及的长度可求出的长度，结合为等边三角形可得出的长度，由可求出的长度，进而可得出点的坐标．综上，此题得解． 【详解】（1）解：当时， ，点的坐标为； 当时， 解得： 点的坐标为， 在中，， 如图，取的中点，连接， 是等边三角形， （2）在图中，过点作轴，垂足为点． ，， ， ，， 为等边三角形， （3）∵以、、、为顶点的四边形为菱形， 分三种情况考虑，如图所示． ①当时，点与点重合， 点的坐标为； ②当时， 是等边三角形， ③当时，过点作直线，垂足为点， 在中，，， ， ， ． 为等边三角形， ， ， 点的坐标为． 综上所述：当以、、、为顶点的四边形为菱形时，点的坐标为或或或． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、解含30度角的直角三角形、等边三角形的判定与性质、三角形的面积以及等腰三角形的性质，掌握以上知识分类讨论，是解题的关键． 第1页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $$